El documento trata sobre las columnas y su estabilidad. Explica que las columnas son elementos sometidos a compresión que pueden fallar por pandeo. Define columnas largas, intermedias y cortas según su comportamiento ante cargas. Presenta la fórmula de Euler para calcular la carga crítica de pandeo de columnas esbeltas con extremos articulados, así como factores que afectan esta carga como las condiciones de apoyo y imperfecciones reales. También cubre métodos para columnas intermedias y factores de seguridad usados

1. COLUMNAS
La selección de columnas es a menudo una parte muy importante del cálculo o
diseño de una estructura, porque la falla de una columna suele tener efectos
catastróficos.
Por definición una columna es una barra o elemento, lo bastante delgado
respecto a su longitud (ya sea macizo o formado de varias partes unidas y
aproximadamente recto) sujeto a cargas de compresión aplicadas en sus
extremos que actúan paralelamente a su eje. No existe un límite definido entre
un elemento corto y columnas pero se suele considerar que un elemento a
compresión es columna, si su longitud es más de diez veces su dimensión
transversal menor.
El objeto de estudio que se presenta en este informe es la “estabilidad de
columnas “, es decir, elementos de comprensión con área transversal constante.
En nuestra vida profesional veremos los problemas que afectan a las
columnas que por lo general es una deflexión por pandeo y por lo tanto debemos
saber tomar decisiones adecuadas como las dimensiones correctas de la
sección transversal de la columna su longitud.
ESFUERZOS EN COLUMNAS
DEFINICION Una columna es un miembro relativamente largo cargado a
compresión. Una columna alta esbelta falla por pandeo, nombre común que
recibe la inestabilidad elástica de las columnas. En lugar de aplastar o
desmembrar el material, la columna se flexiona de manera drástica a una carga
crítica y luego se desploma repentinamente.

2. TIPOS DE COLUMNAS SEGÚN ESFUERZOS
Las columnas se dividen en dos grupos; largas e intermedias, donde el autor
(F. Singer) considera que los elementos cortos pertenecen a un tercer grupo y
estos se diferencian entre sí por su comportamiento:
 Columnas largas:
Se rompen por flexión lateral o pandeo.
 Columnas intermedias:
Se rompen por combinación de aplastamiento pandeo.
 Columnas cortas:
Se rompen por aplastamiento
CARGA CRÍTICA (PCR)
El valor de la carga crítica es la carga axial
máxima o de ruptura de compresión que el
miembro esbelto y recto puede resistir, aunque
en equilibrio inestable, de manera que un
pequeño empuje lateral haga que se deforme y
quede pandeada.
Cuando ya se ha alcanzado la carga crítica de
pandeo, cualquier desviación de las condiciones
ideales, tal como una ligera excentricidad de la
carga, hará que se flexione la columna esbelta,
aumentando el momento flexionante que origina
un incremento en la flecha.
Por lo tanto cuando se inicia el pandeo, este
crece rápidamente (a menos que se le
disminuya la carga) y el esfuerzo aumenta
rápidamente al punto de fluencia del material
hasta que la columna se rompe. De lo contrario
si la carga la disminuimos ligeramente
inmediatamente después de originarse el
pandeo la columna volverá a su posición
original.
𝑀 𝐹𝐿𝐸𝑋𝐼𝑂𝑁𝐴𝑇𝐸 =
𝐻
2
(
𝐿
2
) + 𝑃𝛿
Limite cuando H=0 M=(𝑃𝐶𝑅) 𝛿
Carga axial máximaa la que puede someterse una
columna permaneciendo recta aunque en
equilibrio inestable

3. FORMULA DE EULER PARA CARGAS DE PANDEO ELÁSTICO
La fórmula que da la carga de pandeo, PCr, para una barra recta cargada
axialmente fue deducida primero por el matemático Suizo, Leonhard Euler en
1757, tomó en cuenta que tiene que ser una columna esbelta cargada a
compresión y con pivote o articulada en sus extremos, de sección constante,
donde se basa en la ecuación diferencial de la elástica que es válida solo hasta
que los esfuerzos alcancen el límite de proporcionalidad, trabajando dicha
condición y haciéndola cumplir con las condiciones de borde en el estudio de sus
extremos se llega a la siguiente expresión:
2
2
L
EI
PCr

 .
Si se quisiera aumentar la carga, estas serán físicamente posibles si la columna
tiene sujeciones laterales donde los momentos flexionante son nulos y la longitud
total es dividida en dichos tramos, lo que hace que la resistencia bajo esa
condición sea mayor que si no se tuviera la sujeción lateral; caso contrario es si
cambiemos las condiciones de los extremos y hacemos que la longitud aumente,
al trabajar la ecuación notaremos que la columna soportará menos carga que el
caso fundamental (una columna con extremos articulados).
SUJECION EN EL
CENTRO n=2
SUJECION EN 1/3
DEL LARGO CENTRO
n=3

4. PANDEO ELASTICO DE COLUMNAS CON DIFERENTES RESTRICCIONES
ENTRE SUS APOYOS
La longitud real (L) se define como la longitud de la columna entre sus
extremos, o entre puntos de restricción intermedios.
El factor de fijación de los extremos (K), es un factor que mide el grado de
limitación contra rotación de cada extremo. MOTT, 1999, sugiere los valores
mostrados en el cuadro 16:
CONDICIÓN Ambos
extremos
articulados
Ambos
extremos
fijos
Un extremo
fijo y otro
libre
Un extremo
fijo y otro
articulado
Valor teórico 1.00 0.50 2.00 0.70
Valor
práctico
0.65 2.10 0.80
LA LONGITUD EFECTIVA PARA REMPLAZAREN LA ECUACION
DE EULER ES PARA VIGASCON EXTREMOS ARTICULADOS ES
1L PERO PARA OTROS EMPOTRAMIENTOS VEMOS QUE
VARIA EL COEFICIENTE DE LONGITUD

5. ECUACIONES DIFERENCIALES PARA
VIGAS Y COLUMNAS
La fórmula de Euler para cargas críticas de
columnas se puede obtener también
resolviendo una ecuación diferencial de
cuarto orden para la elástica en carga
crítica, y empleado ecuaciones de frontera
adecuadas, las que dependen las
restricciones en los extremos. Dicha
ecuación se puede obtener a partir del
equilibrio de un elemento infinitesimal y
tomar forma:
𝐸𝐼 =
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑃(−𝑌)
Se asemeja:
𝑚𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2 = −𝑘𝑦
POR DINAMICA:
𝑥 = 𝑐
1+sin(√
𝑃
𝐸𝐼
)+𝐶
2 cos( 𝑋√
𝑃
𝐸𝐼
)
APLICAR CONDICIONES DE
FORNTERA:
X=0 ,Y=0 C2
X=L , Y=0 se obtiene 0=C1sin(𝐿√
𝑃
𝐸𝐼
)
𝑃 =
𝑛2
𝐸𝐼𝜋2
𝐿2
ECUACION FINAL

6. LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER
La carga cirtica PR que produce el pandeo no depende de la resistencia del
material sino de sus dimensiones o modulo elástico
𝜎
𝑐𝑟 ≤
𝑃
𝐴
≤
𝐸𝜋2
(
𝐿
𝑟
)
2
RELACION DE ESBELTEZ
En las columnas es un término que figura en todas las fórmulas de estas; es la
relación de la longitud “L” de la columna al radio de giro “r” de su sección
transversal con respecto al eje centroidal que es perpendicular al plano en le cual
la columna se flexiona o tiende a flexionarse. Por lo tanto para que la fórmula de
Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produce en el pandeo no debe exceder
al límite de proporcionalidad, donde dicho esfuerzo se determina sustituyendo el
momento de inercia por el área de la sección y el radio de giro mínimo, que queda
expresada como:
 2
2
r
L
E
A
PCr 
 .
Fórmula de Euler muestra que la capacidad de carga de una columna esbelta
depende de la rigidez del material, expresada por el módulo de elasticidad de
este (mas bien que de la resistencia del mismo, expresada por algún esfuerzo
tal como el punto de fluencia); es fácil observar lo anteriormente dicho si con una
mano le aplicamos una fuerza axial a una tirita de madera hasta que
repentinamente se flexione y continúe flexionándose sin incrementar la carga
aplicada.
COLUMNAS INTERMEDIAS
Los métodos propuestos para cubrir la zona límite superior de las columnas
cortas y la inferior de las largas, ninguno de ellos ha sido aceptado para
columnas intermedias, debido en parte a la desviación de la relación esfuerzo–
deformación cuando los esfuerzos exceden al límite de proporcionalidad; se ha
mencionado que cuando aumenta la longitud de una columna disminuye la
importancia y efectos directos de compresión y aumenta correlativamente los del
esfuerzo de flexión, donde, en la zona intermedia no es posible determinar
exactamente la forma en que varían esto dos tipos de esfuerzos, o la proporción
con la que cada una contribuye al esfuerzo total. Es por esto que se da lugar al
estudio de columnas intermedias.
Siendo:
 A=área sección recta
 r =radio de giro mínimo

7. Uno de los métodos propuestos es el que presentó en 1889, F. Engesser,
quien dio nombre a la fórmula de Euler generalizada como la teoría del módulo
tangencial, esta es la fórmula más significativa en la predicción de la carga de
pandeo inelástico:
 2
2
r
L
E
A
P TT 
 . Se considera que da la carga de pandeo para
una columna ideal, pero se ha encontrado que da también la carga máxima que
es probable que resista una columna real que tenga ligeras imperfecciones. La
resolución de la ecuación del módulo tangencial para una columna, implica un
procedimiento de aproximaciones sucesivas, ya que ET no es constante. Por lo
tanto los valores del módulo tangencial, ET, tienen que conocerse para cada valor
del esfuerzo por encima del límite de elasticidad. Los valores correspondientes
de esfuerzo y ET se encuentran a partir de la curva esfuerzo - deformación y por
lo general se dan gráficamente.
El AISC (American Institute of Steel Construction) definen el límite entre
columnas intermedias y largas con un valor de relación de esbeltez dado como:
Pc
C
E
C

 2
2
 ,
Donde el valor del módulo de elasticidad (E) y el esfuerzo en el punto de cadencia
(Pc) para el tipo particular de acero empleado.
El AISC determina el esfuerzo de trabajo para columnas de longitud efectiva
(LE)y radios de giro mínimos y condiciona que LE/r > CC por lo tanto:
2
2
23
12







r
L
E
E
T

 ,
Donde es la misma fórmula de Euler, pero con un factor de seguridad
23
12
FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS
Columnas de acero. Las columnas de acero estructuralse diseñan conbase en formulas
propuestas por el Estructural Stability Research Council (SSRC). A estas formulas se
les aplicaron factores de seguridad y han sido adoptadas como especificaciones en la
industria de la construccion por el American Institute of Steel Construction (AISC).
Basicamente, estas especificaciones estipulan dos formulas para para el diseño de
columnas, cada una de las cuales da el esfuerzo permisible maximo en la columna para
un intervalo especifico de razones de esbeltez.
Para las columnas largas se propone la fórmula de Euler:
La aplicacion de esta fórmula requiere que se aplique un factor de seguridad F.S. =
1.92. Por tanto, para diseño,

8. Se determina el valor de la carga crítica (Pcr) que genera la falla por pandeo:
Pcr = (𝜋2E A) / (Le / r) 2 Pcr = (𝜋2 E I) / Le 2
.FÓRMULA DE J.B. JOHNSON PARA COLUMNAS CORTAS
Se determina el valor de la carga crítica (Pcr) que genera la falla por pandeo:
Pcr = A Sy [1 – (
Sy (Le / r) 2
(4 𝜋2 E)
/)]
Las ecuaciones empleadas para el diseño de columnas dependeran del tipo de
material con el cual se fabricaran las columnas por ejemplo para columnas de aluminio
la Aluminum Association especifica el diseño de columnas de aluminio por medio de
tres ecuaciones cada una aplicable dentro de un intervalo especifico de razones de
esbeltes. Como existen varios tipos de aleaciones de aluminio, hay un juego de
formulas para cada tipo de aleacion.
FASCTOR DE SEGURIDAD PARA COLUMNAS
Este factor disminuye al aumentar la relación de esbeltez, donde no debemos olvidar
que todas las fórmulas anteriores son para columnas con extremos articulados.
El esfuerzo de trabajo admisible, para la compresión, debe tomarse como un esfuerzo
máximo entre un factor de seguridad. El valor elegido para dicho factor depende de la
probabilidad de aumentos imprevistos o accidentales de la carga, de posibles errores
en la aplicación central de la carga y de la posibilidad de encorvadura inicial en la
columna. Las imperfecciones de esta pueden aumentar a medida que la columna se
hace más larga; por tanto, es lógico introducir un factor variable de seguridad que
aumente con la relación de esbeltez. Valores típicos del factor de seguridad para obras
estructurales están en el intervalo de 1.5 a 3.
El AISC determina el esfuerzo de trabajo para columnas de longitud efectiva (LE)y radios
de giro mínimos y condiciona que LE/r > CC por lo tanto: 2
2
23
12







r
L
E
E
T

 , donde es la
misma fórmula de Euler, pero con un factor de seguridad
23
12
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