refuerzos

2. PRODUCTOS NOTABLES.
Se llama así a ciertos productos que cumplen con reglas
fijas, cuyo resultado puede ser escrito por simple
inspección, es decir sin verificar la multiplicación.
Existen varios tipos de productos notables, algunos de los
cuales se muestran a continuación.
Cuadrado de la suma de dos cantidades (cuadrado de
un binomio) Si elevamos, la suma
a + b al cuadrado, equivale a multiplicar por si mismo
ese binomio es decir que:
(a + b) 2 = (a + b)(a + b)

3. 1-Desarrollando este producto tendremos:
0 sea que; (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2
Cuyo resultado se puede expresar: El cuadrado de
la suma de dos términos es igual al cuadrado del
primer término más el doble producto de los dos
términos más el cuadrado del segundo término.

4. Ejemplos:
1) (x + 4) 2= x 2 + 2(x)(4)+ (4)2 = x2 + 8x + 16
2) (4a + 5b2 )2 = (4a)2+ 2(4a)(5b2 ) + (5b2 )2 = 16a 2 +
40ab 2+25b 4
3) (3a 2 + 5x 3 )2 = 9a 4+ 30a 2 x 3 + 25x 6
4) (7ax 4 +9y 5 )2 = 49a 2 x 8 + 126ax 4 y5 + 81y 10

5. 2-Cuadrado de la diferencia de dos cantidades. Elevar a
- b al cuadrado, equivalente a multiplicar ese binomio por
si mismo o sea: (a - b)2 = (a - b)(a - b)
Desarrollando tendremos:
a - b a - b
a2 - ab
- ab + b2
a2 - 2ab + b2
o sea que (a - b)2 = a2 - 2ab +b2 . Ya que: (b - a)2 = b2
- 2ba + a2
Por lo que: (a - b)2 = (b - a)2

6. Ejemplos:
(x - 5) 2 = x 2 - 10x + 25
(4a 2 - 3b 3 )2 = 16a 4 - 24a 2b 3 + 9b6
(10x 3 - 9xy 5 ) 2 = 100x 6 - 180x 4 y5 + 81x 2 y10
(a x -2 - 5) 2 = a2x -4 - 10a x -2 + 25

7. 3-Producto de la suma por la diferencia de dos
términos. Sea el producto. (a + b)(a - b) , que desarrollado
nos da: Esto es: (a + b)(a - b) = a 2 - b2
Lo que significa que: el producto de binomios
conjugados, es igual al cuadrado del primer término
menos el cuadrado del segundo término.

8. Ejemplos:
1)(a + x)(a - x) = a 2 - x 2
2) (x + 2)(x - 2) = x 2 - 4
3) (2a + 3b)(2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2
4) (5a n+1 - 3a m ) = 25a 2n+2 - 9a 2m

9. 4-Cubo de un binomio
. Sea(a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)2 (a + b)
. Desarrollando:
a 2 + 2ab + b2
a + b
a3 + 2a2b + ab2+ a2b + 2ab2 + b3
a3 + 3a2b+ 3ab2 +b3
Por lo tanto:
(a + b)3 = a 3 + 3a2 b + 3ab 2 + b3

10. 5-Diferencia de un binomio al cubo. Se desarrolla
análogamente a la suma, es decir el caso anterior, por lo
que, desarrollando:
a 2 - 2ab + b2
a - b
a3 - 2a2b + ab2
- a2b + 2ab2 - b3 a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Por lo tanto:
(a - b)3 = a 3 - 3a 2b + 3ab2-b3

11. Ejemplos
1) (a + 1) 3= (a)3 + 3(a)2 (1) + 3(a)(1)2 + (1)3 = a 3 + 3a 2 +
3a + 1
2) (x - 2) 3= x 3 - 3(x) 2 (2) + 3(x)(2)2 - (2)3= x 3- 6x 2 + 12x
- 8
3)(2x + 3)3= (2x)3+ 3(2x) 2 (3)+ 3(2x)(3)2+ (3)3
= 8x 3 + 36x 2 +54x+27

12. 6-Producto de dos binomios que tienen un término
común. Sean los binomios: (a + b) y (a + c) . Su producto
es:
a + b a + c
a2 + ab
+ ac + bc
a2 + ab + ac + bc = a2 + a(b + c) + bc
Por lo que: (a + b)(a + c) = a2 + a(b + c) +bc

13. Ejemplos:
1) (x + 7)(x - 2) = x 2 + x(7 - 2) + (7)(-
2) x 2 + 5x - 14(x - 7)(x - 6) = x 2 + x( -7 - 6) + (-7)(-
6)
= x2 - 13x +42
3)(4x 2 + 7)(4x 2 + 3) = (4x2 ) 2 + 4x 2 (7 + 3) +
(7)(3)
= 16x 4 + 40x 2 + 21

14. 7-Producto de dos binomios de la forma:
(mx + a)(nx + b) = mnx 2 + anx + bmx + ab = mnx 2 + (an
+ bm)x + abEs decir: (mx + a)(nx +b) = mnx 2 + (an
+bm)x + ab
Ejemplos:
(4x - 3)(5x + 4) = (4)(5)x2 + [(-3)(5) + (4)(4)]x+ ( -3)(4) =
1) 20x2 + (-15 + 16)x - 12 = 20x 2 + x - 12
2) (2x - 4)(3x + 1) = 6x 2 + (-12 + 2)x - 4 = 6x 2
- 10x - 4

15. 8.El trinomio cuadrado perfecto:
(a + b + c) 2= (a + b + c)(a + b +c)
. Desarrollando las operaciones indicadas se tiene.
a+b+ca+b+ca2+ab+ac+ab+b2+c
+ac+ bc+c2a2+ 2ab + 2ac + b2 + 2bc + c2
Ordenando tenemos:
(a + b + c)2 = a 2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Ejemplo:
(1 + 2a + 3b) 2 = (1)2 + (2a)2 + (3b)2 + 2(1)(2a)+
2(1)(3b)+ 2(2a)(3b)= 1 + 4a 2 + 9b 2+ 4a + 6b + 12ab

16. 9.Suma de cubos
Dado el producto: (a + b)(a 2 - ab + b 2 )
.
Efectuando la operación de multiplicaciónindicada
tenemos:
a 2-ab+b2a+ba3- a2b +ab2+ a2b - ab2+ b3a3+0+ 0 +b3
Por lo que: (a + b)(a2 - ab + b2 ) = a3 + b3

17. Diferencia de cubos. De la misma manera,
desarrollando el producto (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) ,
tenemos: (a - b)(a 2 + ab + b2 ) = a 3 + a 2b + ab2 - a 2
b - ab2 - b3 .
Es decir: (a - b)(a2 + ab + b2 ) = a3 -b3
Ejemplos:
(2x + 6y)(4x 2 - 12xy + 36y 2 ) = (2x)3 - (6y)3 = 8x 3 -
216y 3 3xy(3x - 4y)(9x 2 + 12xy + 16y 2 )
= 3xy[(3x)3 - (4y)3 ]
2) 3xy(27x3 - 64y3 ) = 81x 4 y - 192xy 4