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![119 120COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria
P(x) = 5
2
18
1x
)xx)(x2x(
−
+− −
a) 7/5 b) 1 c) 6/5 d) –7/5 e) 0
05. Calcular (m+n), si el monomio:
M =
m2n1
n2m1
yx
yx
−−
−+
es de grado absoluto 10 y el grado relativo a “y” es 4.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 5
06. Hallar (a+b)10
, si los términos:
ba5ab462)ba( yx13;yx17 ++
son semejantes:
a) 32 b) 0 c) 64 d) 128 e) 1024
07. Calcular mn si el polinomio:
P(x,y)= 2n3m1n2m2n1m
yx6yx6yx4 −+−+−+
++
es de grado 20. G.R. (x) = 8
a) 71 b) 70 c) 68 d) 69 e) 172
08. Hallar el valor de “n” si el grado de “P” y “Q” es igual a 3 y 4 respectivamente y se conoce que el
grado de la expresión:
3n45
n257
)QP(
)QP(
++
+
es igual a 4.
a) 1 b) 2 c) 3 d) –1 e) 4
09. En P(x, y) = (x+y2
)7
(x+y3
)7
(x+y4
)7
...(x+y20
)7
el grado absoluto es:
a) 1462 b) 1463 c) 1464 d) 1465 e) N.A.
10. Si el grado de P(x) es 4 y el grado de Q(x) es 5. Hallar el grado de R(x) si:
R(x) =
[ ]
[ ][ ]32
532
)x(Q)x(Q)x(P
)x(Q)x(Q.)x(P
+−
+
a) 30 b) 40 c) 45 d) 65 e) N.a.
11. ¿Cuál es el grado absoluto de:
P(x, y) = 3x6
y2
+ 2x5
y3
– 8x4
y2
+ 9y9
– 7x2
y2
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
12. Hallar el valor de “a” para que el grado del siguiente monomio sea igual a 10.
P(x, y) = (22
xa+2
y)2
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) 3
13. Hallar A-B para que el polinomio:
Ax4
+ (B-3)x2
+ Bx + A sea de grado 1.
a) 3 b) 0 c) -3 d) 4 e) 1
14.Determine el grado de:
Q(x) =
−+ 43 xxx
1
+ 2x-7
+ 1
a) 6 b) 7 c) 5 d) –6 e) 8
15. Dado el polinomio:
P(x, y) = 2xa+2
y2
– 3xa+1
yb
+ 52
x6
yb-1
Si su grado absoluto es 10 y el grado relativo a “y” es 4. Hallar el grado relativo a “x”.
a) 5 b) 7 c) 6 d) 4 e) 8
16.Determinar el valor de “m” para que la siguiente expresión:
F(a, b) = 3
4/1
2/1
m
3/1
b
a
−
Sea de 2do grado.
a) 37 b) 35/2 c) 31/3 d) 37/2 e) 37/3
17. Hallar el valor de “n” si el grado de “P” y “Q” es igual a 5 y 3 respectivamente y se conoce que el
grado de la expresión:
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A =
[ ]
[ ] 4n76
2n349
QP
QP
+
−
+
+
es 105.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.
18.Hallar el grado del siguiente producto:
L = (x7
+1)(x9
+1)(x11
+1) ... 20 factores
a) 500 b) 510 c) 520 d) 530 e) 540
19.Si G.P. (x) → 3 ∧ G.Q. (x) → 4
¿Cuál es el grado de la expresión?
E =
[ ]
[ ] 223223
2
2322
PQQPQP
)PQ(PQQP
+
+
a) 46 b) 47 c) 48 d) 49 e) 50
20.Determinar la suma de los grados absolutos máximo y mínimo que puede adoptar:
S(x,y)= 6nn12n922n31n
xyx3)y()x(2 −−−−−
+−
a) 60 b) 61 c) 62 d) 65 e) 70
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Señale Verdadero o Falso:
I. 24 x2
y es una E.A. racional entera
II.
3
1
x3
y2
es una E.A. racional fraccionaria
III. xx
+2x no es una expresión algebraica
a) VVF b) VVV c) VFF d) FVF e) VFV
02.Hallar el grado absoluto de la expresión:
x2
y+x3
yz-xyz+x3
y3
a) 2 b) 3 c) 6 d) 9 e) 15
03.Con respecto al monomio 7x3
y4
z2
es FALSO que:
I) Su grado absoluto es 9
II) Su G.R. (x) es 3
III) Su G.R. (z) es mayor que G.R. (x)
a) Solo II b) Solo I c) I y II d) Solo III e) I y III
04.Son términos semejantes:
a) 5b2
y 5a2
b) 3a2
bc y 3a2
b c) 99a2
y −
1
6
a2
d) a2
+b y a + b2
e) N.a.
05.¿Cuál es el coeficiente numérico de la expresión?
cb
2
1
4
17 3
a)
4
17
b)
4
17
c c)
8
17
c d)
8
17
e) N.a.
06.La expresión:
10x3
y2
- 9y2
x3
+23
x (xy)2
a) Es un trinomio b) Se puede reducir a binomio
c) Se puede reducir a monomio d) Equivale a cero (0)
e) N.a.
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10. Hallar “K” si se cumple la siguiente identidad:
(x+y)7
- x7
- y2
≡ Kxy (x+y)(x2
+ xy + y2
)2
a) 6 b) 8 c) 7d) 5 e) 10
11. El polinomio : x3n-1
+ x3n-2
+ x3n-3
+... + 1
es ordenado y completo. ¿Cuántos términos tiene?
a) 3n+1 b) n c) 3n-1 d) 3n e) n+1
12. Hallar a + b + c en el siguiente polinomio homogéneo:
E = 10xa+3
- 2axb+a
+ (xy)c
- x2
yb+2
a) 10,5 b) 10 c) 11 d) 9 e) 12,5
13. Se conoce que el polinomio:
4xa
+ 3xb
yc
+ xc
yb
+ ya
es homogéneo, ordenado y completo respecto a “x” e “y” según esto. ¿Cuánto vale a + 2b + 3c?
a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10
14. Si: ..... 3xa
yb
+ 5xa-1
y4
+ 7x3
yc
+ ..... son términos consecutivos de un polinomio ordenado,
homogéneo y completo. Entonces a + b + c es:
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
15.Calcular el grado del polinomio entero y ordenado decrecientemente.
P(x) = x2m
+ xm-3
+ x4-m
a) 6 b) 18 c) 20 d) 14 e) N.a.
16.Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo:
P(x) = c(xa
+xb
) + a(xb
+xc
) + b(xa
+xc
) + abc
a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18
17.Hallar la suma de coeficientes de la expresión:
E = [2x2
- 3x + 1]3
(x5
+ 2)2
a) –1 b) 3 c) 4d) 8 e) 0
18. Determinar “m” con la condición que el término independiente del producto (m > 0).
(x + 3)2
(x + 2)3
(x - m)2
(x2
+ 5) sea 1440
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
19.Sabiendo que el polinomio es idénticamente nulo:
P(x)=(a+c-3abc)x2
y + (a+b-6abc)xy+(b+c-7ab)
a, b, c ≠ 0. Calcule A =
2
cba
abc
−
++
.
a) 8 b) 32 c) 64 d) 16 e) 81
20.Halle “a + b + c” si:
4x2
– 14x-48 ≡ a(x+1)(x+2)+b(x+2)(x+3)+c(x+1)(x+3)
a) 34 b) 19 c) -4 d) 4 e) –19
PROBLEMAS PROPUESTOS
01.Calcular la suma de coeficientes de:
)x()x()x()x(f 142312 115 +−−=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
02.Calcular el Termino independiente de:
)x()x()x()x(f 32213 359 −−+=
a) 24 b) 23 c) 22 d) 21 e) N.a.
03.Calculara el valor del coeficiente del polinomio:
nmnmm y.xn)y,x(P −+= 5234
Si su G.A. es 10 y su G.R.(x) = 7
a) 2 b) 18 c) 4d) 8 e) N.a.
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![119 120COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria
36xxxS
14xxxS
6xxxS
3xxxS
3
3
3
2
3
13
2
3
2
2
2
12
3211
0
3
0
2
0
1o
=++=
=++=
=++=
=++=
1 3 -12 11
6 18 -33 18
-11 36 -66 36
6 84 -154 84
o
S
3
↓
1
S
6
↓
2
S
14
↓
3
S
36
↓
Lo cual se verifica teniendo en cuente que : x1= 1;
x2 = 2; x3 = 3; como se planteó al inicio.
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Definición
Es aquella operación donde a partir de dos polinomios llamados dividendo y divisor se obtienen otros
dos polinomios llamados cociente y residuo; donde estos 4 polinomios cumplen la siguiente identidad.
D(x) ≡ d(x) q(x) + R(x)
Divisiónla
deAlgoritmos
Donde :
D(x)= Polinomio Dividendo
d(x)= Polinomio Divisor
q(x)= Polinomio Cociente
R(x)= Polinomio Resto ó Residuo
Además : Grado [d(x)] > Grado [R(x)] ∨ R(x)=0
PROPIEDADES DEL GRADO
♦GR [d(x)] ≥ GR [d(x)]
♦Máximo GR [R(x)]= GR [R(x)]-1
♦GR [q(x)] = GR [D(x)] - GR [d(x)]
Clasificación de la División
A. División Exacta 0)x(R ≡↔
Del algoritmo: D(x) )x(R)x(q)x(d +≡
⇒ )x(q
)x(d
)x(D
≡
B. División Inexacta 0)x(R ≠↔
Del algoritmo: D(x) )x(R)x(q)x(d +≡
⇒ )x(d
)x(R
)x(q
)x(d
)x(D
+≡
Métodos para Dividir
Para dividir polinomios; se van a desarrollar dos métodos :
A. Método de Horner
Este método utiliza coeficientes separados de acuerdo al esquema.
:
"k" columnas
RESTO
D I V I D E N D O
COCIENTE
D
I
V
S
O
R
I
mismo
signo
cambiados
signo
NOTA
K = Grado de Divisor
Ejemplo:
Dividir:
5xx2
2x5x2xx2
23
2345
+−
+++−
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![119 120
DIVISIBILIDAD
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria
( ) ( )
ABxAx
AxBABxxBAABx
2
22322
++
++++++
da por resto: BAxR )x( += .
Determinar :
B
1A −
.
a) -2 b) 4 c) -3 d) 3 e) 5
1. CEPUNT 96 : II SUMAT. AREA “A”
Calcular m , sabiendo que la división :
:exactaes;
2x3x
2x5mxx
2
23
++
+++
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) N.A.
2. CEPUNT 98 - 99
El residuo de la expresión :
( ) ( )[ ]
a
babaab3b 4222
−−++ ; es :
a) 2
ba − b) 1- b c) 1 d) 0 e) N.A.
3. UNT - 99 : AREA “A”
Si el polinomio cbxaxx 23
+++ es divisible por ( ) ( )3x,2x −+ y ( 1x − ) entonces el
valor de:
+
c
ba
7
3
es :
a)
2
1
b)
6
7
c) -
6
7
d)
2
1
− e) 2
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA
01.Hallar m sabiendo que:
P(x) = 2mx4
– mx3
+ 6x – 24 es divisible entre: 2x2
–x + 4
a) 4 b) 3 c) 6 d) 7 e) 2
02.Determinar M y N de manera que el polinomio:
x4
+ 2x3
– 7x2
+ Mx + N sea divisible entre x2
– 3x + 5
a) 14 y 13 b) 15 y 16 c) 13 y 12 d) 16 y 15 e) N.a
03.Qué valor debe tener k para que el polinomio:
P(k)=x6
+2x5
+ kx4
– x3
+ 2(8 + k)x2
+ 6x – 18, sea divisible por x3
+ 2x2
– 3
a) 2 b) –2 c) 3 d) –3 e) 4
04.Si al dividir: 12x4
+ Mx3
+ Nx2
+ 25x – 15 entre un polinomio de segundo grado, se obtuvo como
cociente 4x2
+ 3x – 2 y como residuo 6x – 5. Calcular M + N
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
05.Hallar un polinomio de cuarto grado en variable “x”, que dé como residuo 2x al dividirlo por (x-1)2
y dé como residuo 3x al dividirlo por (x-2)3
.
a) (x-3)3
(3x+1) + 2 b) (x-2)2
(4x+3) + 3x
c) (x-2)3
(4x – 3) + 3x d) (x – 2)3
(3x + 1)+ 2x
e) N.a
06.Encontrar el valor de K para que el polinomio: x3
+ y3
+ z3
+ (k – 9) x y z, sea divisible por x + y
+ z.
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Subido por349juan
Algebra(2) 4° 1 b
El documento explica conceptos básicos de álgebra, incluyendo expresiones algebraicas, términos algebraicos, clasificación de expresiones, y grados de expresiones y polinomios. Define expresiones algebraicas, términos algebraicos, y términos semejantes. Explica cómo clasificar expresiones según la naturaleza de sus exponentes y número de términos. También describe cómo calcular grados relativos y absolutos de monomios, polinomios y expresiones.
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Algebra(2) 4° 1 b
- 1. 119 120 EXPRESIONES COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria Entendemos que, Algebra es la parte de la matemática que estudia a la cantidad en su forma más general posible, empleando constantes y variables y las operaciones que con ellas se realizan en los conjuntos numéricos. EXPRESION ALGEBRAICA Es una combinación de constantes y variables en cantidades finitas donde solo intervienen las seis operaciones fundamentales suma , resta, multiplicación, división potenciación y radicación, sin variables en los exponentes. Ejemplos: -8x3 y2 z ; x2 – x + 1 ; z y4 x2 − Nota: Cualquier expresión que no cumpla con los requisitos mencionados se denomina expresión no algebraica o trascendente. Ejemplos 2x + 5√3 + logx2 ; 1 + x + x2 + x3 + ......... ; TERMINO ALGEBRAICO Es la mínima expresión algebraica en la que sus elementos se encuentran ligados por las diferentes operaciones aritméticas, excepto la adición y sustracción. Sus partes se indican en el siguiente esquema. exponentes signo coeficientes parte literal (variables) - 6 x y 3 2 TERMINOS SEMEJANTES Son aquellos que tienen la misma parte literal. Dos o más términos se pueden sumar o restar sólo si son semejantes, para lo cual se suman o restan los coeficientes y se escriben la misma parte literal. Ejemplos: 7xy2 ; - xy2 ; √2 xy2 son semejantes y se pueden reducir a: (7 - √2) xy2 = (6 + √2)xy2 CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la naturaleza de sus exponentes o por el número de sus términos. Según la naturaleza del exponente Racional Irracional Entera Fraccionaria Según número de términos Monomios Polinomios 1° Término Binomios Trinomios Cuatrinomios 2° Término 3° Término 4° Término EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Son aquellas expresiones cuyas variables no están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios. Estas expresiones se subclasifican en: A) RACIONALES ENTERAS: Son aquellas expresiones en los que al transportar todas las variables al numerador, sus exponentes resultan ser enteros no negativos. Ejemplos: 2x2 y ; 2yx2; 3 1x + + B) RACIONALES FRACCIONARIAS: Son expresiones en donde por lo menos una de sus variables aparece en el denominador, o si están en el numerador, alguna de ellas aparece con exponentes entero negativo. Ejemplos: 1x 1x2 ; x 1 xy3; x 2 3 − + + EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES Estas expresiones se caracterizan por que sus variables están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios. Ejemplos: 3 22 1 4 yxyx5;xy6;3x5 +− GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS GRADO: Es aquel exponente numérico (no variable) racional positivo o negativo que afecta a una variable tomada como base. Clases de Grado: S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 2. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria a) Grado Relativo (G.R.): Con respecto a una de las variables b) Grado Absoluto (G.A.): Con respecto a todas sus variables GRADO DE UN MONOMIO A) GRADO RELATIVO: Se refiere a una de sus variables de la expresión y está determinada por el mayor exponente que posee dicha variable; para ello la expresión debe estar previamente reducida o simplificada. Así: El monomio 4x2 y5 z8 es: con respecto a “x”, de 2do grado con respecto a “y”, de 5to grado con respecto a “z”, de 8vo grado B) GRADO ABSOLUTO: Se calcula sumando algebraicamente los exponentes de sus variables. Así: El monomio: M(x, y) = 7x3 y5 Tiene por Grado Absoluto(G.A) = 3 + 5 = 8º grado IMPORTANTE • El grado de toda constante siempre es cero, cte≠ 0. Ejemplo: Si P(x) = 43 su grado es cero por ser constante • Si P(x) = 0 Este es el único polinomio cuyo grado es indefinido. GRADO DE UN POLINOMIO A) GRADO RELATIVO: Se refiere a una de sus variables y está determinado por el mayor exponente que afecta a dicha letra en todo el polinomio. Así: El polinomio F(x, y) = 2x2 y4 z3 – 3x3 y2 z + 5x5 yz2 es: Con respecto a 2x” de 5to grado Con respecto a “y” de 4to grado Con respecto a “z” de 3er grado B) GRADO ABSOLUTO: Se calcula indicando el término de máximo grado. Así: El polinomio: o10 235 o11 452 o7 223 zyx8zyx3zyx4 −− Tiene por grado absoluto 11. En el siguiente cuadro se muestra como obtener los grados de las diferentes operaciones: OPERACIÓN GRADO RESULTANTE MULTIPLICACI ÓN Se suman los grados de los factores DIVISIÓN Se resta el grado del dividendo menos el grado del divisor POTENCIACIÓN Se multiplica el grado de la base por el exponente RADICACIÓN Se divide el grado del radicando entre el índice del radical. PRACTICA DE CLASE 01. Respecto a la expresión: 9830327 520 0213 xxxx +−+ a) Es de 1er grado b) Es de 2do grado c) Es de 3er grado d) Es de 6to grado e) N.a. 02. Determine el grado del siguiente monomio: P(x) = 24 3 x8 y2 a) 14.5 b) 14 c) 10 d) 8 e) 2 03. Calcule el grado de: 3 92 xx1 ++ - (x2 + 2x + 1)3 + 1 a) 2 b) 3 c) 6 d) 9 e) 0 04. Determine el grado de la siguiente expresión: S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 3. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria P(x) = 5 2 18 1x )xx)(x2x( − +− − a) 7/5 b) 1 c) 6/5 d) –7/5 e) 0 05. Calcular (m+n), si el monomio: M = m2n1 n2m1 yx yx −− −+ es de grado absoluto 10 y el grado relativo a “y” es 4. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 5 06. Hallar (a+b)10 , si los términos: ba5ab462)ba( yx13;yx17 ++ son semejantes: a) 32 b) 0 c) 64 d) 128 e) 1024 07. Calcular mn si el polinomio: P(x,y)= 2n3m1n2m2n1m yx6yx6yx4 −+−+−+ ++ es de grado 20. G.R. (x) = 8 a) 71 b) 70 c) 68 d) 69 e) 172 08. Hallar el valor de “n” si el grado de “P” y “Q” es igual a 3 y 4 respectivamente y se conoce que el grado de la expresión: 3n45 n257 )QP( )QP( ++ + es igual a 4. a) 1 b) 2 c) 3 d) –1 e) 4 09. En P(x, y) = (x+y2 )7 (x+y3 )7 (x+y4 )7 ...(x+y20 )7 el grado absoluto es: a) 1462 b) 1463 c) 1464 d) 1465 e) N.A. 10. Si el grado de P(x) es 4 y el grado de Q(x) es 5. Hallar el grado de R(x) si: R(x) = [ ] [ ][ ]32 532 )x(Q)x(Q)x(P )x(Q)x(Q.)x(P +− + a) 30 b) 40 c) 45 d) 65 e) N.a. 11. ¿Cuál es el grado absoluto de: P(x, y) = 3x6 y2 + 2x5 y3 – 8x4 y2 + 9y9 – 7x2 y2 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 12. Hallar el valor de “a” para que el grado del siguiente monomio sea igual a 10. P(x, y) = (22 xa+2 y)2 a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) 3 13. Hallar A-B para que el polinomio: Ax4 + (B-3)x2 + Bx + A sea de grado 1. a) 3 b) 0 c) -3 d) 4 e) 1 14.Determine el grado de: Q(x) = −+ 43 xxx 1 + 2x-7 + 1 a) 6 b) 7 c) 5 d) –6 e) 8 15. Dado el polinomio: P(x, y) = 2xa+2 y2 – 3xa+1 yb + 52 x6 yb-1 Si su grado absoluto es 10 y el grado relativo a “y” es 4. Hallar el grado relativo a “x”. a) 5 b) 7 c) 6 d) 4 e) 8 16.Determinar el valor de “m” para que la siguiente expresión: F(a, b) = 3 4/1 2/1 m 3/1 b a − Sea de 2do grado. a) 37 b) 35/2 c) 31/3 d) 37/2 e) 37/3 17. Hallar el valor de “n” si el grado de “P” y “Q” es igual a 5 y 3 respectivamente y se conoce que el grado de la expresión: S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 4. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria A = [ ] [ ] 4n76 2n349 QP QP + − + + es 105. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. 18.Hallar el grado del siguiente producto: L = (x7 +1)(x9 +1)(x11 +1) ... 20 factores a) 500 b) 510 c) 520 d) 530 e) 540 19.Si G.P. (x) → 3 ∧ G.Q. (x) → 4 ¿Cuál es el grado de la expresión? E = [ ] [ ] 223223 2 2322 PQQPQP )PQ(PQQP + + a) 46 b) 47 c) 48 d) 49 e) 50 20.Determinar la suma de los grados absolutos máximo y mínimo que puede adoptar: S(x,y)= 6nn12n922n31n xyx3)y()x(2 −−−−− +− a) 60 b) 61 c) 62 d) 65 e) 70 PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Señale Verdadero o Falso: I. 24 x2 y es una E.A. racional entera II. 3 1 x3 y2 es una E.A. racional fraccionaria III. xx +2x no es una expresión algebraica a) VVF b) VVV c) VFF d) FVF e) VFV 02.Hallar el grado absoluto de la expresión: x2 y+x3 yz-xyz+x3 y3 a) 2 b) 3 c) 6 d) 9 e) 15 03.Con respecto al monomio 7x3 y4 z2 es FALSO que: I) Su grado absoluto es 9 II) Su G.R. (x) es 3 III) Su G.R. (z) es mayor que G.R. (x) a) Solo II b) Solo I c) I y II d) Solo III e) I y III 04.Son términos semejantes: a) 5b2 y 5a2 b) 3a2 bc y 3a2 b c) 99a2 y − 1 6 a2 d) a2 +b y a + b2 e) N.a. 05.¿Cuál es el coeficiente numérico de la expresión? cb 2 1 4 17 3 a) 4 17 b) 4 17 c c) 8 17 c d) 8 17 e) N.a. 06.La expresión: 10x3 y2 - 9y2 x3 +23 x (xy)2 a) Es un trinomio b) Se puede reducir a binomio c) Se puede reducir a monomio d) Equivale a cero (0) e) N.a. S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 5. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 07. Al ordenar decrecientemente el polinomio: x6 +y3 +x4 y2 +x5 y+x3 y5 respecto a “x” o respecto a “y” ¿Qué término ocupa en ambos casos el mismo lugar? a) x6 b) y3 c) x4 y2 d) x5 y e) x3 y5 08. Señale la afirmación Falsa: a) Un polinomio completo no siempre está ordenado b) Un polinomio ordenado no siempre está completo c) Un polinomio completo de grado 8, siempre tiene 9 términos d) Un polinomio ordenado de grado 6, siempre tiene 7 términos e) Un polinomio completo puede estar ordenado 09. Hallar el valor de a para que el grado del siguiente polinomio sea 9: 3xa+1 y-4a+2 xa y-5x2 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5 10. El polinomio: xm+3 +xm+1 yn +y4 es homogéneo. Hallar: m+n a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e)No se puede determinar 11. Hallar el grado del producto : P(x) = (6x2 +1)3 (x2 +x+1)5 (x3 -8) a) 15 b) 7 c) 20 d) 17 e) 19 12.Señales verdadero o falso respecto a estas expresiones: I) 3 1 Y.x5 − es irracional II) 3xy+y2 es racional entera III) 1x3 y2 + es racional fraccionaria a) VFV b) VFF c) VVV d) FFF e) VVF 13.Hallar 2a+b, si se tiene que: (2a – b)x2 + 4bx+2c ≡ 7x2 +20x – 5 a) 21 b) 17 c) 19 d) 11 e) 13 14. Hallar el valor de n, para que el grado de (2xn+2 y)3 sea 18 a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7 15. Si el siguiente polinomio es homogéneo: P (x,y) = x5 +xn y2 +xm y4 +yr-1 Hallar m+n+r a) 5 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12 16. El polinomio: P(x,y)= ax3 - a2 x2 y+a3 x y2 -a4 y3 a) Es heterogéneo, ordenado y completo b) Es homogéneo, ordenado y completo c) Es homogéneo, ordenado e incompleto d) No es homogéneo, no es ordenado ni completo e) Ninguna anterior 17. Si el polinomio es completo, hallar n. P(x) = xn+1 +3xn+2 +xn+3 +5 a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 18. Indique Verdadero o falso: I) P(x)= x-2 +3x-1 +2 es polinomio entero en x II) ax2 y3 , con a constante es de grado absoluto 5 III) sen x + x2 , es una expresión algebraica a) VFF b) FFF c) FFV d) VVF e) FVF 19. Dada la expresión: 1 64 zx yx − Hallar: G.A. + G.R. (x) - G.R. (z) a) 3 b) 5 c) 8 d) 9 e) 12 20. Si: (a+2) x2a+3 y3b-1 ; (b-3)xa+5 y2a+b-3 S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 6. 119 120 POLINOMIOS ESPECIALES COLEGIODE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria son semejantes; su suma es: a) 2x7 y2 b) -x5 y3 c) 3x3 y7 d) -2x7 y3 e) 5x4 y3 TAREA DOMICILIARIA 01. Señale verdadero o falso: I. 4x2 y2 es una EA racional entera. II. 2x–1 y2 es una EA racional fraccionaria. III. xx + log x no es una expresión algebraica. a) VVF b) VVV c) VFF d) FVF e) VFF 02. Halla el grado absoluto de la expresión: 3x2 yz + 2x3 yz + x3 y3 a) 2 b) 3 c) 6 d) 9 e) 15 03. Con respecto al monomio 7x5 y2 es falso que: I. Su grado absoluto es 7. II. Su GR (x) es 4 III. Su coeficiente es 7. a) sólo II b) sólo I c) I y II d) sólo III e) I y III 04.Son términos semejantes: a) 5ab2 y 5ab2 b) a2 c y 3a2 b c) 9a2 b y 3a 8 1 − d) a2 + d y a+b e) N.a. 05.Hallar el valor de n, para que el grado (2xn+2 y)4 sea 20. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7 06.Si el siguiente polinomio es homogéneo: P(x, y) = 10x5 + 3xn y2 + 2xm y4 – 5 yr – 1 Hallar: 2m + 3n – r a) 5 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12 07.Si el polinomio es completo. Hallar n P(x) = 4xn – 1 + 3xn – 2 + 2xn – 3 + 5 a) –1 b) 0 c) 1 d) 4 e) 3 08.Indique verdadero o falso: I. P(x) = x2 + 3x + 2 es una EA racional fraccionaria. II. abx2 y3 , con ab constante es de grado absoluto 3. III. Senx + x–x es una expresión algebraica. a) VFF b) FFF c) FFV d) VVF e) FVF 10.Dada la expresión: 2 b4 x yx − Hallar: GA + GR (x) + GR(y) a) 3 b) 5 c) 8 d) 9 e) 12 S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 7. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria POLINOMIOS ESPECIALES Se denomina así a un conjunto de polinomios que gozan de características especiales, llámese la ubicación de sus términos o por el comportamiento de los exponentes que afectan a sus variables. Entre los más importantes tenemos. A. Polinomio Ordenado Es todo aquel polinomio cuyos exponentes de una de sus variables (llamada letra ordenatriz) van aumentando o disminuyendo de izquierda a derecha según que el orden sea creciente o decreciente respectivamente. Ejemplo: P(x, y) = x9 + 2 x4 y2 + 2x2 y3 - 3xy2 + 7 Con respecto a “x” está ordenado en forma decreciente. Q(x, y) = 3x11 y2 - x6 y4 + 62 x3 y5 + y8 Con respecto a “x” está ordenado en forma decreciente. Con respecto a “y” está ordenado en forma creciente. B. Polinomio Completo Un polinomio es completo con respecto a una de sus variables, cuando contienen todos los exponentes desde el mayor en forma consecutiva hasta el exponente cero inclusive (término independiente), de uno en uno sin importarnos el orden de su presentación. Ejemplo: P(x) = 2x2 -5x4 +3x3 -7x + 1 →Term. Indep. 2° 4° 3° 1° 0° Tiene todas las potencias de la letra “x” desde la potencia 4 hasta cero. Luego diremos que P(x) es un polinomio completo con respecto a “x”, pero desordenado. Propiedades: 1) En todo polinomio ordenado y completo de una sola variable se cumple que el número de términos está determinado por el grado relativo aumentado en la unidad. # términos = Grado Relativo + 1 Ejemplo: P(x) = 5x 3 + 2x2 - 6x + 5 Es de 3er grado y tiene 4 términos. 2) En todo polinomio ordenado y completo el menor exponente respecto a una variable es CERO, denominándose a este término. INDEPENDIENTE, el cual se encuentra al final o al comienzo cuando el polinomio está ordenado en forma decreciente o creciente respectivamente. Ejemplo: F(x) = 4x3 + 2 x2 - 5x + 3 → 3x0 = T.I. G(x) = 2 - 5x + 7x2 + 3x ↓ 2x0 = T.I. 3) En cualquier polinomio completo y ordenado y de una variable la diferencia de grados entre dos términos consecutivos es uno. Ejemplo: P(x) = 4x 3 5x 2 + x + 16x0 3 3 2 1 0 1 1 1 4) En cualquier polinomio completo y ordenado, el grado de un término cualquiera es la media aritmética entre sus extremos de los términos que lo rodean. Ejemplo: F(x) = 4x5 - 3 x4 - 2x3 + x2 + 7x + 5x0 Lugar: 1° 2° 3° 4° 5° 6° Gt3 = 2 42 + = 3 Gt5 = 2 64 + = 5 C. Polinomio Homogéneo Son aquellos polinomios cuyos términos (todos ellos) poseen el mismo grado absoluto. A dicho valor se le denomina grado de homogeneidad (G.H.) Ejemplo: P(x, y) = x7 - 3x5 y2 + 8x3 y4 – y7 G.A.= 7° 7° 7° 7° P(x, y) es homogéneo de sétimo grado. S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 8. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria Observación: No existe polinomio homogéneo de una sola variable, deberá poseer dos o más variables. Ejemplo: P(x) = ax6 + bx6 + cx6 ; no es homogéneo. ¿Por qué? Porque depende de una sola variable: a, b y c son constantes; entonces se podrá reducir a un solo término, así: P(x) = ax6 +bx6 + cx6 = (a+b+c)x6 = Kx6 D) Polinomio Entero en X Es aquel que depende únicamente de la variable “x”, siendo sus coeficientes números enteros. Ejemplo: P(x) = 2x4 - 3x3 + 7x2 – 2 E) Polinomio Mónico Es aquel polinomio entero en x que se caracteriza por su coeficiente principal igual a la unidad. Ejemplo: P(x) = x2 – 7x + 5; es un polinomio mónico de segundo grado (cuadrático). Q(x) = 2x + 3 + x3 - 4x2 ; es un polinomio mónico de tercer grado (cúbico). F) Polinomios Idénticos ( ≡ ) Dos polinomios reducidos, son idénticos cuando los coeficientes que afectan a sus términos semejantes son iguales. Sea: P(x) = ax3 bx2 +cx+d ∧ Q(x)=Ax3 + Bx2 + Cx + D Se dice que P(x) ≡ Q(x) (idénticamente iguales , si se cumple que: a = A , b = B , c = C y d = D. G) Polinomios Equivalentes ( < > ) Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes adoptan el mismo valor numérico para un mismo sistema de valores asignados a sus variables. Ejemplo: Dados los polinomios: P(x; y) ≡ (x+y)2 – (x – y)2 ∧ Q(x; y) ≡ 4xy Si ambos admiten el mismo valor numérico para cualquier valor de “x” ∧ “y”, entonces serán equivalentes; veamos: Hagamos: x = 2 ∧ y = 1 En P(2; 1) = (2+1)2 - (2-1)2 = 9 - 1 = 8 En Q(2, 1) = 4(2)(1) = 8 Se observa que P(2; 1) = Q(2, 1) En consecuencia P(x;y)∧Q(x;y) son polinomios equivalentes y se les podrá representar así: P(x; y) < > Q(x; y) Observación: Si dos polinomios son idénticos, entonces también serán Equivalentes, es decir también se obtendrá el mismo valor numérico para cualquier sistema de valores que se asigne a sus variables. Algunos autores utilizan indistintamente los símbolos de identidad (≡) y equivalencia (< >). ¡No te confundas! H) Polinomio Idénticamente Nulo (≡ 0) Un polinomio reducido es idénticamente nulo, cuando los coeficientes de todos sus términos son nulos o ceros. Ejemplo: Si: Ax7 + Bx6 + Cx5 + Dx3 + E ≡ 0 Se debe cumplir: A = B = C = D = E = 0 Propiedades Adicionales en los Polinomios S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 9. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria i) Para todo polinomio se cumple que su suma de coeficientes se obtiene reemplazando ala variable o variables con las cuales se está trabajando por la unidad. ∑ Coeficiente = P(1) ii) Análogamente, el término independiente (T.I.) se obtiene reemplazando a la(x) variable(s) por cero. T.I. = P(0) PRACTICA DE CLASE 01.Si el polinomio es homogéneo: P(x, y) = x5 + xn y2 + xm y4 + yr-1 Hallar m + n + r. a) 5 b) 7 c) 9d) 10 e) 12 02. Determinar la suma de coeficientes del polinomio. P(x, y) = axa-4 + bxa+b-5 + cxc-b+3 Si se sabe que es completo y ordenado decrecientemente. a) 4 b) 2 c) 3d) 5 e) N.a. 03. Señale el grado del polinomio entero ordenado en forma estrictamente decreciente: P(x) = x12-a + x2a-4 + x4-2a a) 5 b) 3 c) 6d) 4 e) 7 04. Si: ax2 + bx + c ≡ (mx + n)2 . Calcule: S = acb acb 2 2 − + a) 5/4 b) 5/3 c) 2/3 d) 2/5 e) 3/2 05. Si el trinomio: c cab cba ba xxx +++ ++ es homogéneo de 10° grado. ¿De qué grado será el monomio: c cc aa b x.x.x ? a) 24 b) 25 c) 27 d) 30 e) 33 06. ¿Cuál será el valor de : A + B + C + D para que el polinomio: Ax3 + 2x2 - 3x3 + 2Cx2 + 8 - 3Bx + D + 9x sea idénticamente nulo? a) 0 b) –2 c) 2d) –3 e) 4 07. dado el polinomio homogéneo: P(x, y) = xa + yb+c + xb yc + xc yb + xd ye + xe yd Si la suma de todos los exponentes del polinomio es 54. El valor de : K = a + b + c + d + e, es: a) 54 b) 27 c) 25 d) 24 e) 40 08. ¿Cuál es el término independiente de: (x + y + 8z - 5)2 (2x2 - y3 + z + 3)2 a) 150 b) -225 c) 225 d) 425 e) N.a. 09. Hallar la suma de coeficientes de: (7x3 - 6x2 )7 (3x - 2)8 (5x4 - 4x3 + 1)6 a) 32 b) 65 c) 64 d) 128 e) 112 S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 10. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 10. Hallar “K” si se cumple la siguiente identidad: (x+y)7 - x7 - y2 ≡ Kxy (x+y)(x2 + xy + y2 )2 a) 6 b) 8 c) 7d) 5 e) 10 11. El polinomio : x3n-1 + x3n-2 + x3n-3 +... + 1 es ordenado y completo. ¿Cuántos términos tiene? a) 3n+1 b) n c) 3n-1 d) 3n e) n+1 12. Hallar a + b + c en el siguiente polinomio homogéneo: E = 10xa+3 - 2axb+a + (xy)c - x2 yb+2 a) 10,5 b) 10 c) 11 d) 9 e) 12,5 13. Se conoce que el polinomio: 4xa + 3xb yc + xc yb + ya es homogéneo, ordenado y completo respecto a “x” e “y” según esto. ¿Cuánto vale a + 2b + 3c? a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10 14. Si: ..... 3xa yb + 5xa-1 y4 + 7x3 yc + ..... son términos consecutivos de un polinomio ordenado, homogéneo y completo. Entonces a + b + c es: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 15.Calcular el grado del polinomio entero y ordenado decrecientemente. P(x) = x2m + xm-3 + x4-m a) 6 b) 18 c) 20 d) 14 e) N.a. 16.Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo: P(x) = c(xa +xb ) + a(xb +xc ) + b(xa +xc ) + abc a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18 17.Hallar la suma de coeficientes de la expresión: E = [2x2 - 3x + 1]3 (x5 + 2)2 a) –1 b) 3 c) 4d) 8 e) 0 18. Determinar “m” con la condición que el término independiente del producto (m > 0). (x + 3)2 (x + 2)3 (x - m)2 (x2 + 5) sea 1440 a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5 19.Sabiendo que el polinomio es idénticamente nulo: P(x)=(a+c-3abc)x2 y + (a+b-6abc)xy+(b+c-7ab) a, b, c ≠ 0. Calcule A = 2 cba abc − ++ . a) 8 b) 32 c) 64 d) 16 e) 81 20.Halle “a + b + c” si: 4x2 – 14x-48 ≡ a(x+1)(x+2)+b(x+2)(x+3)+c(x+1)(x+3) a) 34 b) 19 c) -4 d) 4 e) –19 PROBLEMAS PROPUESTOS 01.Calcular la suma de coeficientes de: )x()x()x()x(f 142312 115 +−−= a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5 02.Calcular el Termino independiente de: )x()x()x()x(f 32213 359 −−+= a) 24 b) 23 c) 22 d) 21 e) N.a. 03.Calculara el valor del coeficiente del polinomio: nmnmm y.xn)y,x(P −+= 5234 Si su G.A. es 10 y su G.R.(x) = 7 a) 2 b) 18 c) 4d) 8 e) N.a. S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 11. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 04.Hallar el valor de 5m + 2n con la condición que el monomio: nmnm y.x)y,x(P 3944 −+= Sean de G.A.= 53 y de grado relativo respecto a “x” es 20. a) 22 b) 13 c) 16 d) 33 e) N.a. 05.Sabiendo que: pnpnnmpm pyynxmx)y,x(P +−−+ ++= 3 es un polinomio homogéneo cuya suma de cuadrados de sus coeficientes es 48, hallar el grado del polinomio. Nota: m > 0 a) 3 b) 6 c) 4d) 8 e) N.a. 06.Dado el polinomio homogéneo: ++++= + bccbcba yxyxyx)y,x(P ,yxyx deed + si la suma de todos los exponentes del polinomio propuestos es 42, el valor de: E = a+ b + c + d + e es: a) 7 b) 21 c) 14 d) 28 e) 33 07.Dado el polinomio: +−+−= −− 21 21 nm x)m(x)n()x(P 1112 13 −+++ −− qp x)p(x)q( Ordenado y completo, la suma de sus coeficientes es: a) 13 b) 12 c) 15 d) 18 e) N.a. 08.Si P(x) es completo, hallar su grado: )n...(xxx)x(P 321 32 −+++= términos a) 2n – 1 b) 2n + 1 c) 2n – 4 d) 2n – 2 e) N.a. 09.Si el polinomio: 13nm12nm y.xy.x)y,x(P +−++ −= 13 45 es homogéneo y la relación de los exponentes de “x” en sus 2 términos es como 3 es a 1. Hallar: m + n a) 7 b) 11 c) 1d) 9 e) N.a. 10. 932 +++= x)b(ax)x(P 2831 x)a(x)c()c()x(Q −+−+−= Son idénticos. Calcular abc a) 100 b) 200 c) 400 d) 120 e) N.a. 11.Si el polinomio: baba x...x)x(P 22 −+ ++= es completo, ordenado en forma ascendente y tiene 25 términos, entonces la cantidad de términos que le falta a: )xxx(x)x(Q aaaba 21 −−+ ++= para que sea completo es: a) 10 b) 9 c) 16 d) 15 e) 28 12.Si el grado de homogeneidad del polinomio: +++= +− pnnm )x,()x)nm(()x(P 50 pm)x)pm(( −+ es 2 entonces el producto de sus coeficientes es: a) 2 b) 4 c) 8d) 46 e) 64 13.Si el grado del monomio: 6 a 3 4 a3 x x )x(M = es igual a 5, calcular el valor de 4+a a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) N.a. 14.Si el grado absoluto de “P” es 11, determine el valor de “n” 23322213 2 zyxyxyx)y;x(P nnnnnn −−− +−= a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.a. 15. El polinomio 214243 xxx)x(P aa −−= −− está ordenado descendentemente. Calcular P(2), si (a-4) y (2ª-14) son consecutivos. a) 70 b) 72 c) 76 d) 80 e) N.a. S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 12. 119 120 PRODUCTOS COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria TAREA DOMICILIARIA 01.Sea el binomio: Q(x;y)= 232535232 3 ybxyxyxayax ba +−+ −+ Calcular: 1ab + a) 1 b) 5 c) 3d) 4 e) N.a. 02.Calcular la suma de coeficientes del polinomio homogéneo: )nba(yx)na()y;x(P nn 225 4225 3 −−−+= + ba8nn )xy)(nnb(y.x 323 25 3 ++ −+− a) 40 b) 36 c) 62 d) 70 e) N.a. 03.Calcular abc en el polinomio: ++−−++−+≡ )x)(x)(b()x)(x)a()x(P 1012213 )x)(x)(c( 1022 ++− es idénticamente nulo. a) –2 b) –4 c) –8 d) –12 e) –16 04.En el polinomio: )x()bax()x(P n 1++≡ Se cumple: P(2) + 130 = b + 4 = a Además P(x) es mónico. El valor de “n” es: a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) –1 05.Si P(x) y F(x) son polinomios de primer grado de coeficientes naturales, y además: F(4) = 19 ∧ P (F(x) –3) ≡ 20x+ 8 Calcular: F (P (4)) a) 112 b) 113 c) 114 d) 115 e) 116 Son productos cuyo desarrollo se conoce fácilmente por una simple inspección. Los más importante son: 01.BINOMIO AL CUADRADO. Perfecto cuadradoTrinomio 2 b2ab 2 a 2 b)(a* +−=− 2 b2ab 2 a 2 b)(a* ++=+ 02.SUMA POR DIFERENCIA * (a+b)(a-b) = a2 - b2 ← Diferencia de cuadrados 03.BINOMIO AL CUBO * (a+b)3 = a3 + 3a2 b +3ab2 +b3 forma * (a – b)3 = a3 – 3a2 b +3ab2 – b3 desarrollada 04.BINOMIO POR TRINOMIO (Suma o Diferencia de cubos ) * (a+b) (a2 - ab +b2 ) = a3 +b3 * (a - b) (a2 +ab +b2 ) = a3 - b3 05.BINOMIO CON UN TERMINO COMUN * (x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab 06.PRODUCTO DE BINOMIOS * (ax+b)(cx+d) = acx2 + (ad+bc)x +bd S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 13. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 07.TRINOMIO AL CUADRADO * (a+b+c)2 = a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc forma desarrollada 08.TRINOMIO AL CUADRADO * (a+b+c)3 = a3 +b3 +c3 +3(a+b)(a+c)(b+c) forma semidesarrollada 09.IDENTIDADES DE LEGENDRE * (a+b)2 + (a - b)2 = 2(a2 +b2 ) * (a+b)2 - (a - b)2 = 4ab COROLARIO * (a+b)4 - (a - b)4 = 8 ab(a2 +b2 ) 10.IDENTIDADES DE LAGRANGE * (a2 + b2 ) (x2 +y2 ) = (ax+by)2 +(ay - bx)2 a x (- ) b y (+) 11.IDENTIDAD DE ARGAND * (x2 +x+1) (x2 -x+1) = x4 +x2 +1 * (x2m +xm ym +y2n )(x2m - xm yn +y2n ) = = x4m + x2m x2n + y4n • IDENTIDADES AUXILIARES * (a+b+c) (a2 +b2 +c2 -ab - ac - bc)= = a3 +b3 +c3 -3abc * (a+b+c)3 + 2(a3 +b3 +c3 ) = 3(a+b+c)(a2 +b2 +c2 ) +6 abc • IDENTIDADES CONDICIONALES I) Si a+b+c= 0; se demuestra que: * a2 +b2 +c2 = -2(ab+bc+ac) * a3 +b3 +c3 = 3abc * (a2 +b2 +c2 )2 = 2(a4 +b4 +c4 ) * (ab+aac+bc)2 = a2 b2 +a2 c2 +b2 c2 * Si a2 +b2 +c2 = ab+bc+ac Donde a,b,c ε R Se demuestra que: a=b=c * Si: a2n +b2n +c2n +…+m2n = 0 a b c mn n n n2 2 2 2 0+ + + + =... donde n ε N, es posible sólo si : a = b = c = ……= m = 0 PRACTICA DE CLASE S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 14. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 01. Simplificar: E = (a – b) (a + b – c)+ (b – c) (b + c – a)+(c – a) (c + a – b) a) 0b) a2 c) b2 d) c2 e) a2 + b2 02. Simplificar: M=(x – 3)(x – 1) (x+2)(x+4) – (x – 2)(x+3)(x+5) (x – 4) – 12(x + 4) (x – 3) a) x2 +x+ 5 b) 40 c) 48 d) x2 – x +16 e) 42 03. Simplificar la sgte expresión: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x − + + − + − + + 1 1 1 1 1 1 7 2 7 3 7 14 12 2 12 3 12 16 a) (x+1)30 b) (x – 1)30 c) x30 d) x e) 1 04. Simplificar : 222 cba4)cba)(cba)(cba)(cba(E ++−−+−−+++= a) a2 b) b2 c) a2 + b2 d) 0 e) a2 – b2 05. Si: (x+y+z+w)2 = 4(x+y)(z+w) calcule el valor de: = − −+ + )zx(3 )yw()yx(5 )wz( 832E a) 2b) 2 – 1 c) 2 – 2 d) 22 e) N.a. 06. Reducir la siguiente expresiva : 32 4824161286432 2)23)(23)(23)(23(E +++++= a) 3 b) 32 2 c) 6 6 d) 3 e) 4 2 07. Si se cumple que: (x/y)m + (y/x)m = 79 Hallar : mm mm yx yx K + = a) 1b) 2 c) 3 d) 2/5 e) N.a. 08. Si se cumple que: a/b + b/a= 7 Calcular el valor de: a b b a + a) ± 1 b) ± 3 c) ± 2 d) ± 4 e) N.a. 09. Sabiendo que: x + 1/x = 2 Calcular el valor de x6 + 1/x6 a) 1b) 3 c) 64 d) 32 e) 2 10. Si se cumple que: a+b=3 y ab= -2 Determinar el valor de: a5 +b5 a) 243 b) 191 c) 573 d) 373 e) 753 11. Si m + n + p = 0; entonces el valor de: pmnpmn )mp()pn()nm( 222 ++ +++++ ; es: a) 1b) –1 c) 2 d) –2 e) 0 12. Simplificar: (a+b+c+d)2 + (a-b-c+d)2 +(a-b+c-d)2 + (a+b-c-d)2 – 4(a2 +b2 +c2 +d2 ) a) a2 b) c2 c) b2 d) 0 e) a2 +b2 13. Evaluar la siguiente expresión: 3 333 )xz)(zy)(yx( 9 1 )xz()zy()yx( −−− −+−+− a) 31/3 b) 2 c) 1 d) –1 e) 3 14. Si : x4 - 3x2 +1=0 Calcular : 3 1010 2xxM ++= − a) 5b) 3 c) 7 d) 4 e) 6 15. Si : 0zyx 333 =++ Calcular : S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 15. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria xyz )zyx( G 3++ = a) 1b) 3 c) 9 d) 27 e) 1/3 16. Hallar el valor numérico de : E = x6 - 6x4 +9x2 Para : 33 6767x ++−= a) 12 b) 24 c) 28 d) 56 e) N.a. 17. Simplificar: + − + − + − + 22 22 ba ba ba ba ba ba a) 1b) 2 c) a d) b e) N.a. 18. Calcular el Valor Numérico de: 322 22 b)ba(ab)ba()ba( + −+++− Si: 3 4a = b = 3 3 12 − a) 2b) 4 c) 8 d) 16 e) N.a. 19. Si: x + y + z = 0. Calcular el valor de: 222 222 zyx )zy3x()zyx3()z3yx( E ++ +−+−−+−+ = a) 12 b) 16 c) 9 d) 8 e) N.a. 20. Si se cumple que: )I)...(ba()b(a −+= 12 )II)...(dc()d(c −+= 12 Calcular: 2222 3333 dcba dcba E −+− +++ = a) 1b) 2 c) 3 d) 4 e) N.a. PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Si: x = – 3 Calcular: E = 3x 9x2 + − a) –6 b) 6 c) 4 d) 8 e) N.a. 02. Si: 53 x 1 x =+ . Hallar: 22 −+ xx a) 40 b) 41 c) 43 d) 42 e) N.a. 03. Dado: xx 612 =− Hallar: 22 −+ xx a) 10 b) 20 c) 30 d) 38 e) N.a. 04. Si: 2722 =+ − xx aa Hallar: xx aa −− a) 6b) 5 c) 10 d) 8 e) N.a. 05. Si: 13333 =+yx y 70=+ )yx(xy Calcular: x + y a) 7b) 5 c) 10 d) 8 e) N.a. 06. Dado: 29222 =++ cba 9=++ cba Hallar: A = ab + ac + bc a) 24 b) 23 c) 26 d) 21 e) N.a. 07. Si: a – b = b – c = 3 3 Calcular: 10 )ca()cb()ba( A 333 −+−+− = a) 1b) 2 c) 3 d) 4 e) N.a. S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 16. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 08. Si: 3 x 1 x =+ Calcular: 55 −+ xx a) 123 b) 124 c) 121 d) 128 e) N.a. 09. Calcular: x y y x M += Siendo: 7 x y y x =+ a) 1b) 3 c) 2 d) 8 e) N.a. 10. Siendo: a – b = 5 ab = 4 Hallar: 33 ba − a) 185 b) 180 c) 144 d) 130 e) N.a. 11. Si: 4 x 1 x =+ Hallar: 3 3 x 1 x + a) 50 b) 54 c) 52 d) 48 e) N.a. 12. Si: 2 a 1 a =+ Halle: 1996 1996 a 1 aA += a) 1b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 13. Si: a + b = 2, ab = 3 Calcular: 22 33 ba ba A + + = a) 5b) 10 c) 15 d) 20 e) N.a. 14. Si: a + b + c = 0 Entonces: 222 222 cba )a2cb()b2ca()c2ba( A ++ −++−++−+ = a) 1b) 3 c) 9 d) 9,5 e) N.a. 15. Si: a + b + c = 3 9222 =++ cba Calcular: 222 )cb()ca()ba(A +++++= a) 18 b) 9 c) 12 d) 21 e) N.a. TAREA DOMICILIARIA 01.Hallar el coeficiente del término de grado 5 del producto total en: )x)(xx)(xx( 1243213 2245 +−++− a) 12 b)13 c)17 d) 19 e) N.a. 02.Hallar “m” para que en el producto resultante, el termino de grado 4º tenga como coeficiente 21. a) 2b) 3 c) 4 d) 6 e) N.a. 03.Hallar “m” para que en el producto resultante, el término de grado 3º tenga como coeficiente 7. )mx)(xmx)(xm( −+−+ 133 22 a) 2b) 3 c) 4 d) 6 e) N.a. 04.Hallar el grado absoluto del producto total en: )......x)(x)(x( 111 242322 +++ 20 factores en total a) 610 b) 620 c) 630 d) 440 e) 800 05. Hallar el grado absoluto del producto total en: ).......x)(x)(x)(x 1111 8036122 ++++ a) 3025 b) 3045 c) 3065 d) 3410 e) 385 PRACTICA DE FIJACIÓN DEL APRENDIZAJE S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 17. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 01. ( )( )( )( ) 112121212 488 +++−+ a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.a. 02.Efectuar: ++ −+ +− + 1241212412 666666 a) 2√2 b) 6 22 c) 3 32 d) 3 16 e) N.a. 03.Si: x – y = 7 ; xy = 5 Calcular: x2 + y2 a) 49 b) 25 c) 24 d) 59 e) N.a. 04.Si: x3 + y3 = 10 xy = 6 Calcular: (x + y)3 – 18(x + y) + 20 a) 50 b) 40 c) 30 d) 20 e) 10 05.Reducir: ( ) ( ) ( )( ) 21aa1a21a1a 233 −++−−−++ a) 3a b) 2a c) 6a d) 4a e) 5a 06.Calcular: ab + ac + bc, sabiendo que: a2 + b2 + c2 = 10 a + b +`c = 8 a) 54 b) 27 c) 9 d) 8 e) 64 07.Si: x2 + 1 = 3x Hallar: x3 + x-3 a) 36 b) 24 c) 18 d) 29 e) 31 08.Reducir: (x+2) (x+3) (x+4) (x+5) – x2 (x+7)2 – 120 a) 22 b) 11 c) 22(x+7) d) 22x2 +154x e) 22x2 +154 09.Efectuar: (a+b)4 – (a –b)4 + 8ab (a+b) (a-b) a) 8a3 b b) 8ab3 c) 16ab3 d) 16a3 b e) N.a. 10.Reducir: (x+2) (x - 3) (x - 5)- x2 (x - 1)2 +26 (x2 -x+4) a) 220 b) 221 c) 222 d) 223 e) 224 11.Reducir: (x+1)2 (x-1)2 (x2 +x+1)2 (x2 -x+1)2 – (x6 +1) (x6 -1) a) x6 + x3 – 1 b) x6 – 1 c) – 2x6 + 2 d) x6 + x –1 e) x12 + x2 – 1 12.Hallar: x2 + (x – a)2 + (x – b)2 + (x – c)2 Para: x = 2 cba ++ a) a2 + b2 + c2 b) 0 c) abc d) 4abc e) 2(a + b + c) 13.Efectuar: (x+1) (x-1) (x4 +x2 +1) (x6 -x3 +1) (x6 +x3 +1) a) x18 – 1 b) – x18 + 1 c) x18 + x9 – 1 d) x18 + 1 e) x 18 14.Si: (x – a) (x –b) (x – c) ≡ x3 + 5x2 + 15x – 10 Hallar: a3 + b3 + x3 a) – 50 b) – 60 c) – 70 d) – 80 e) N.a. 15.Siendo: a + b = 3 y ab = 3 Calcular: M = (a + a2 + a3 + a4 ) + (b + b2 + b3 + b4 ) a) 3 b) – 3 c) – 2 d) 2 e) 1 PRACTICA CALIFICADA S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 18. 119 120 DIVISIÓN ALGEBRAICADE COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 01.En la expresión: (3m4 – am2 )2 = 4ma – bm6 + 9mc , entonces el valor de: (b – a) (c – d) es: a) 4 b) 5 c) 27 d) 12 e) 3 02.Si: p + q + r = 0, entonces simplificar: 3 222 prqrpq )rp()rq()qp( ++ +++++ se obtiene: a) 3 3 b) 3 3− c) 3 2− d) – 1 e) 1 03.Si a = 3, entonces el valor de: 16 842 1)1a()1a()1a(8 ++++ es: a) a2 b) √3 c) 3 d) 6 e) 27 04.Si: (a –b) ( a + b) = 49, a2 + b2 = 337 y √a + √b = 7, entonces el valor de ba ab − , es: a) 125 b) 145 c) 144 d) 120 e) 140 05.Si: (x + y + z + w)2 = 4 (x + y) (z + w) Calcule el valor de: ( ) = − −+ + )zx(3 )yw(yx5 )wz( 832E a) 2 b) 2-1 c) 2-2 d) 22 e) N.a. Objetivos Conocer los métodos de división de polinomios. Buscar la aplicación de la división a capítulos posteriores. Hallar los restos de algunas divisiones en forma directa. Introducción La operación de la división aparece y se desarrolla conjuntamente con los números quebrados al llamarles números ruptos (rotos) y empleó la raya de quebrado para separar el numerador del denominador. En el siglo XVI aparece la reducción de quebrados a un común denominador por medio de M.C.M. La división de polinomios se simplifica cuando aparecen los trabajos de Guillermo Horner y Paolo Ruffini; donde se muestran esquemas que hacen que la división de polinomios sea mas sencilla. La división de polinomios tiene mayor aplicación en la teoría de ecuaciones. A continuación desarrollaremos una aplicación importante del Horner al cálculo de la suma de las potencias de las raíces de una ecuación polinominal. Ejemplo: Sea polinomio; P(x) = x3 - x2 +11x - 6 donde se sabe que las raíces son: x1=1; x2=2; x3 =3 ahora obtendremos el polinomio: P(x) = 3x2 – 12x + 11 (llamado también la derivada de P (x)). Luego dividimos : )x(P )x('P por Horner. Lo que se obtiene en el cociente representa : S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 19. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 36xxxS 14xxxS 6xxxS 3xxxS 3 3 3 2 3 13 2 3 2 2 2 12 3211 0 3 0 2 0 1o =++= =++= =++= =++= 1 3 -12 11 6 18 -33 18 -11 36 -66 36 6 84 -154 84 o S 3 ↓ 1 S 6 ↓ 2 S 14 ↓ 3 S 36 ↓ Lo cual se verifica teniendo en cuente que : x1= 1; x2 = 2; x3 = 3; como se planteó al inicio. DIVISIÓN DE POLINOMIOS Definición Es aquella operación donde a partir de dos polinomios llamados dividendo y divisor se obtienen otros dos polinomios llamados cociente y residuo; donde estos 4 polinomios cumplen la siguiente identidad. D(x) ≡ d(x) q(x) + R(x) Divisiónla deAlgoritmos Donde : D(x)= Polinomio Dividendo d(x)= Polinomio Divisor q(x)= Polinomio Cociente R(x)= Polinomio Resto ó Residuo Además : Grado [d(x)] > Grado [R(x)] ∨ R(x)=0 PROPIEDADES DEL GRADO ♦GR [d(x)] ≥ GR [d(x)] ♦Máximo GR [R(x)]= GR [R(x)]-1 ♦GR [q(x)] = GR [D(x)] - GR [d(x)] Clasificación de la División A. División Exacta 0)x(R ≡↔ Del algoritmo: D(x) )x(R)x(q)x(d +≡ ⇒ )x(q )x(d )x(D ≡ B. División Inexacta 0)x(R ≠↔ Del algoritmo: D(x) )x(R)x(q)x(d +≡ ⇒ )x(d )x(R )x(q )x(d )x(D +≡ Métodos para Dividir Para dividir polinomios; se van a desarrollar dos métodos : A. Método de Horner Este método utiliza coeficientes separados de acuerdo al esquema. : "k" columnas RESTO D I V I D E N D O COCIENTE D I V S O R I mismo signo cambiados signo NOTA K = Grado de Divisor Ejemplo: Dividir: 5xx2 2x5x2xx2 23 2345 +− +++− S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 20. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria Primero completamos los polinomios: D(x) ≡ 2x0x5x2xx2 2345 ++++− D(x) ≡ 5x0xx2 23 ++− Llevamos al esquema: 1 2 -1 2 5 0 2 1 1 0 -5 0 0 0 0 0 -5 2 1 0 -5 1 0 1 1 0 -3 q(x) R(x) q(x)= 1x2 + 0x + 1 =x2 + 1 R(x)= 1x2 + 0x – 3 = x2 – 3 B. Método de Ruffini Es una consecuencia del método de Horner que se aplica cuando el divisor es de la forma: d(x) = ax + b ; a ≠ 0; de acuerdo al esquema: RESTO D I V I D E N D O COCIENTE FALSO -b x= a ax+b= 0 Donde: verdadero cociente = a falsocociente Ejemplo : Dividir: 1x3 3xx17x13x6x8x3 23456 − +−++++ como están completos y ordenados llevamos al esquema: 3x-1=0 3 8 -6 13 17 -1 3 X=1/3 1 3 -1 4 7 2 3 9 -3 12 21 6 5 q(x)Falso R(x) q(x) verdadero = 3 621123-93 q(x) = 1x5 + 3x4 – 1x3 + 4x2 + 7x + 2 R(x) = 5 Teorema del Resto Este teorema nos permite hallar el resto de una división en forma directa; de acuerdo al enunciado: Sea P(x) un polinomio no constante; entonces el resto de dividir P(x)entre: (x - a) es P(a). Demostración: Del algoritmo: P(x) ( ) ( ) Rxqax +−≡ para: S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 21. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria ⇒+=⇒= R)a(q0)a(Pax R)a(P = Ejemplo: Sea P(x) un polinomio no constante. ♦ El resto de 5x P − es P(5) ♦ El resto de 4x )x(P + es P(- 4) Procedimiento Práctico I.I gual a cero el divisor. II. Reemplazar en el denominador. Ejemplo : Hallar el resto de : 2x 1xx 5 − −+ I. 2x02x =→=− II. Resto = 331225 =−+ Generalización del Teorema del Resto El teorema del Resto también se aplica para divisores de la forma: ax +b ; a ≠ 0 ; y para divisiones de grado mayor que uno de acuerdo al siguiente procedimiento: I. Se iguala a cero el divisor y se despeja lo más conveniente. II. Se reemplaza en el numerador; hasta obtener un polinomio de grado menor que el grado del divisor el cual será el resto. Ejemplo: Hallar el resto de: ( )( )( )( ) 1x5x 4x4x3x2x1x 2 2 −+ −+++++ Resolución: Por el T.R. Generalizado: I. 1x5x01x5x 22 =+→=−+ II. Resto = 4x6x5x4x5x 222 −+ ++ ++ (1) (1) = (5) (7) + x2 – 4 1 –5x = 35 +1 – 5x – 4 = -5x +32 ∴ Resto = -5x +32 PRACTICA S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 22. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 01.Halle la suma de los coeficientes del cociente de: 3x3x5 3x3bxx5x25 2 234 −− ++++ . Sabiendo que su resto es: 5cx a) 5 b) 1 c) 9 d) 6 e) 8 02.La expresión (x2 +2x+5) será un factor de (x4 +px2 +q), cuando el valor de “pq” es: a) -150 b) 150 c) 250 d) -250 e) 400 03.Si el resto de dividir: 1x2x3 nmxx8x5x4x6 2 2345 ++ +++++ es: “px+q”. Calcular el valor numérico de: )5p(n )2q(m + + a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04.Halle m+n+p si: 23 235 x3x2 npxmxx4x8 ++ ++++ arroja como resto 5x2 - 3x+7 a) 0 b) 27 c) 12 d) 10 e) 18 05.Si la siguiente división 1xx dcxbxaxx 2 234 −− ++++ Calcule el valor de: dac dba −+ ++ a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 06.En la siguiente división 3xx2 INxUxDxAx 23 235 ++ ++++ ; el resto es 5x2 - 3x+7. Calcule el valor de A+D+U+N+I. Sabiendo que el resto de dividir: 1x Ax − + es 9; y el resto de dividir: 2x Dx − + es 6. a) 19 b) 29 c) 39 d) 49 e) 59 07.Encontrar el resto de la división: 1x2 7xx6x2x4 3 36912 + +−++ a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 0 08.En la siguiente división efectuado por el método de Horner: b -1 1 a d c c e -3 2 e -e 1 e -c Calcule a - b - c + d + e; si los coeficientes del dividendo suman -10. a) -1 b) 2 c) 10 d) 0 e) 1 09.Si la división indicada: λ+−+ −−+ x4x3x x8x3x7x2 23 345 , ofrece un residuo lineal. ¿Cuál es éste? a) -2x b) -x+2 c) x+2 d) -2x+1 e) 2x - 3 S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 23. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 10.La división siguiente bxx axbx6bxx3x2 2 2345 +− +++++ , se sabe que el resto es 2x+3, además la suma de coeficientes del cociente es mayor 1ue 15. Calcule ab. a) 4 b) 9 c) 7 d) 2 e) 8 11.Calcule (mn+np+mp) si el resto de la división: 2x5x2 6x6pxnxmx 2 234 +− ++++ es -5x+8 a) -12 b) -16 c) -137 d) 124 e) 46 12.Calcular “a+b” si la división 1x2x 1bx)b6(x)a12(x)a3(2ax 2 2345 −+ −+−−−+++ Da un cociente que evaluado para x=2 es igual a 39 y a; b ∈ Z+ a) 1 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 13.Si x1, x2, x3 son las raíces del polinomio P(x)=x3 +2x-1. Averigüe el residuo de: xx x 1 x 1 x 1 P)x(P 3 321 + ++− a) 0 b) 2x - 12 c) 2x – 1 d) x – 12 e) 2x+1 14.Halle “a” si el polinomio P(x) = xn -axn-1 +ax-1; es divisible por F(x)=(x-1)2 a) 2 b) 1a a2 + c) 1a a2 − d) 8 e) 6 15.Halle el residuo en la división: 2x2x 1xx256x 2 162036 +− −+− a) 200 b) 150 c) 10 d) 255 e) 100 16.Calcule el resto de dividir: (x3 - 3x2 +9x - 5) ÷ )124x( 33 −+− a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17.Halle el resto de dividir: )1x)(1x)(1x)(1x( 4xxx 842 174832 ++++ +++ a) x+6 b) x - 1 c) 2x -1 d) 4x e) 6x 18.Sea la división de polinomios: 1xx 4x7x2x 2 46 +− +++ . Indicar el resto de la división: a) x+3 b) x - 1 c) 5x+5 d) 2x e) x 19.Si se sabe que en la división: ; )3x)(1x( )6x.()2x( n ++ ++ n ∈ Z n es par, el término independiente del cociente igual a 510. Calcule el valor de “n”. a) 5 b) 8 c) -1 d) 6 e) 0 S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 24. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 20.Halle el resto de: 1xx x)1x(7 714 10597 ++ +++ a) x7 +1 b) x2 +1 c) 7 d) 6 e) 5 TAREA DOMICILIARIA 01.Si la división de: (Ax4 +Bx3 -16x2 +9)÷(3-x-2x2 ) es exacta. Determine el valor de (A/B) a) 1/6 b) 3 c) 6 d) 1/3 e) 9 02.En la siguiente división: )1x)(7x)(5x)(x3( 7x2bxaxx71x2 2345 −++− +++++ el resto es: 72x + c. Hallar a + b - c a) -5 b) -10 c) 0 d) 10 e) 5 03.Calcular “k” si: P(x,y,z) = x3 +y3 +z3 + kxyz; es divisible por: x+y+z a) 3 b) -3 c) 0 d) 1 e) -1 04.Calcular el resto de: 1xx 5)xx(x 2 32 3 3 3 ++ −++ a) -7 b) 0 c) 1 d) -5 e) -1 05.Dado:P(x)=2x5 - 3 x4 +5x3 -6 3 x2 +6x+4 3 . Calcule P( 3 ) a) 0 b) 16 3 c) 3 d) - 2 e) 3 06.En la siguiente división: 1nx nnx5x)nn(x)3n(nx3 322324 − +++−−+ La suma de coeficientes del cociente más el resto es igual a 19; calcular “n”, si n ∈ N a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 07.Halle el residuo de la división: )2x)(3x( 7)2x()3x( 35 ++ ++++ a) 2x+12 b) x+6 c) x+6 d) 5x – 1e) 3x+6 08.Halle el resto al dividir en: )3x()1x( )6x)(5x()1x( 2 3 ++ +++ a) -12 (x+1)2 b) -6x+1 c) 2x d) 5x - 1 e) x+3 09.Si: f(x) y g(x) tiene como divisor común a (x-1) halle el residuo de la división: 1xx )x(g)x(xf 2 33 ++ + a) 1 b) 0 c) 6 d) x+1 e) 2 10.Sea P un polinomio en x divisible por (x3 -25x+42). ¿Cuál será el residuo al dividir P(x) entre (x - 2)? S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 25. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria a) 2 b) -2 c) 0 d) 1 e) -1 PRACTICA 01.Calcular la suma de coeficientes del cociente, luego de dividir: 2x6x5 3x7x6xx5 2 345 +− +−+− a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 02.Calcular “a+b”, si la división: 1xx3 baxx4xx6 2 245 −+ ++−− es exacta. a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3 03.Calcular “a-b”, si la siguiente división es exacta: ax2x3 bx10x5x4x6 2 234 ++ +−−+ a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) N.a. 04.Proporcione el residuo de dividir: ACxx BAxx 2 3 ++ ++ ; sabiendo que es equivalente al cociente. a) x - 1 b) 2x + 1 c) 2x - 1 d) x + 2 e) x - 2 05.En la división: 3xx3 cxbx5ax2x6 2 245 +− ++− se obtiene un cociente entero cuyos coeficientes disminuyendo de 2 en 2 y un resto de grado cero. Calcular 3 cba ++ . a) 1 b) -1 c) 3 d) -3 e) -5 06.Dividiendo por Horner: 1 a 3 -20 1 f p -7 b 3 4 c d e 7 -4 5 -16 10 Luego: P = a + b + c + d + e + f a) 21 b) -12 c) 0 d) 12 e) -21 07.Determine k− para que el coeficiente del término lineal del cociente entero valga (-45) en la división: 3x 7kxx6x2 235 − −+− a) -81 b) 81 c) 9 d) 6 e) 8 08.Al dividir : 90x21x10x 35 +−− entre “x-α”; el tercer término del cociente es “ 2 x− ”. Hallar α a) 3 b) -3 c) ± 2 d) ± 1 e) ± 3 09.hallar el resto de dividir: bax bax)baba(x)ba(xx)ab(x 33222345 +− +++++−−+−+ a) 3 b2 b) 2a c) 2b d) 3 a2 e) ab 10.Para efectuar una división según la regla de “Paolo Ruffini” se planteó el siguiente esquema: 4 -3 -b a 2 2 a 1 8a c m 4 b d n S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 26. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria Calcule dn + . a) 3 b) 4 c) 5 d) 12 e) 15 11.Efectuar: 31x 13x313x13x2x 2 234 −+ ++ −+ −++ Indique el resto. a) 1 b) 7 c) 13 d) 8 e) 9 12.Hallar (m-n) si la división: 5x4x6 15x13x22nxmx 2 234 +− −−+− es exacta. a) -20 b) -21 c) -22 d) -23 e) 24 13.Proporcione el cociente luego de efectuar la siguiente división: 2x 5x4x9x4 3 3912 − −+− a) 8x2xx4 369 −−− b) 8x2xx4 23 −−− c) 8xx4 23 −− d) 2xx4 69 +− e) 8x2xx4 369 +++ 14.Halle el resto en : 2x 3xx64x128x16x8 2651819 + −++++ a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) -7 15.Si el polinomio: 4m1m5m5 2xn3xn +− +− ; es divisible entre (x-2) el valor de “n” es : a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3 16.Sabiendo que: P(x) = 16x8x 2 +− , hallar el resto de dividir: P(x+3) entre (x+2) a) 36 b) 16 c) 49 d) 9 e) 4 17.Calcular “m+n+p”, si el resto de la división: 1x 1x3nxmx 3 568 + −−+ es : 5pxx8 2 −− . a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 18.Calcular el resto de dividir: 1x2 3x4x5x8 4 4820 + +−+ a) 6 b) -6 c) 3 d) -3 e) 1/2 19.Hallar el resto luego de dividir: ( ) ( ) 12x7x 64x3x 2 47100 +− +−+− a) x - 2 b) 2x + 1 c) x - 1 d) 2x + 2 e) 2x - 1 20.Proporcione el residuo de : ( ) ( ) ( )( )2x4x 2x3x 20 ++ −+ a) x - 1 b) x - 2 e) x - 3 d) 2x - 1 e) 0 S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 27. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria TAREA DOMICILIARIA 01.Calcular “a” y “b” si la siguiente división es exacta. 2xx5 baxx15x11x5 2 234 −− +++− a) a=1 b) a=2 c) a=1 d) a=4 e) N.a. b=5 b=-6 b=-6. b=7 02.Calcular “a+b” si la división: 1xx baxx5x3x 2 234 +− +++− deja por residuo: 7x + 8 a) 10 b) 12 c) 14 d) 13 e) 17 03.Calcular el resto de la división: ( ) ( ) 2x x63x3x2 45 + −+++ a) 1 b) -6 c) -3 d) 12 e) N.a. 04.Dividiendo por Ruffini: 8 c (c-2) 2 b 16 22 f a 11 d 32 Evaluar: ba fdc + ++ a) 10 b) -6 c) 15 d) 12 e) N.a. 05.¿Qué valor deberá asignarse a “α” para que el polinomio: 5x3 - α(x2 + x - 1) admita como divisor a: 5x2 +2x-4. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 06.Calcular el valor de “n”, si en la división: 2x3 n2nx9nx4x)2n4(x)3n(nx3 2345 − −+−−+++ Se cumple: restox2Q. )x(.coef =Σ ( )x(Q → cociente) a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 07.Calcular el resto de dividir: 1x5x 25)4x)(3x)(2x)(1x( 2 +− +−−−− a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 08.Sea el polinomio: f(x)= 224 x62462x321x23 −−+ −+− + Hallar su valor numérico para x = 23 − a) 2 b) 0 c) 1 d) 3 e) 5 09.Determinar la suma de coeficientes del cociente que se obtiene al dividir: ( )bxx2x4 7980 ++− entre (x -1). a) 153 b) 163 c) 173 d) 183 e) 193 10.Si la siguientes división: S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 28. 119 120 DIVISIBILIDAD COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria ( ) ( ) ABxAx AxBABxxBAABx 2 22322 ++ ++++++ da por resto: BAxR )x( += . Determinar : B 1A − . a) -2 b) 4 c) -3 d) 3 e) 5 1. CEPUNT 96 : II SUMAT. AREA “A” Calcular m , sabiendo que la división : :exactaes; 2x3x 2x5mxx 2 23 ++ +++ a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) N.A. 2. CEPUNT 98 - 99 El residuo de la expresión : ( ) ( )[ ] a babaab3b 4222 −−++ ; es : a) 2 ba − b) 1- b c) 1 d) 0 e) N.A. 3. UNT - 99 : AREA “A” Si el polinomio cbxaxx 23 +++ es divisible por ( ) ( )3x,2x −+ y ( 1x − ) entonces el valor de: + c ba 7 3 es : a) 2 1 b) 6 7 c) - 6 7 d) 2 1 − e) 2 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA 01.Hallar m sabiendo que: P(x) = 2mx4 – mx3 + 6x – 24 es divisible entre: 2x2 –x + 4 a) 4 b) 3 c) 6 d) 7 e) 2 02.Determinar M y N de manera que el polinomio: x4 + 2x3 – 7x2 + Mx + N sea divisible entre x2 – 3x + 5 a) 14 y 13 b) 15 y 16 c) 13 y 12 d) 16 y 15 e) N.a 03.Qué valor debe tener k para que el polinomio: P(k)=x6 +2x5 + kx4 – x3 + 2(8 + k)x2 + 6x – 18, sea divisible por x3 + 2x2 – 3 a) 2 b) –2 c) 3 d) –3 e) 4 04.Si al dividir: 12x4 + Mx3 + Nx2 + 25x – 15 entre un polinomio de segundo grado, se obtuvo como cociente 4x2 + 3x – 2 y como residuo 6x – 5. Calcular M + N a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 05.Hallar un polinomio de cuarto grado en variable “x”, que dé como residuo 2x al dividirlo por (x-1)2 y dé como residuo 3x al dividirlo por (x-2)3 . a) (x-3)3 (3x+1) + 2 b) (x-2)2 (4x+3) + 3x c) (x-2)3 (4x – 3) + 3x d) (x – 2)3 (3x + 1)+ 2x e) N.a 06.Encontrar el valor de K para que el polinomio: x3 + y3 + z3 + (k – 9) x y z, sea divisible por x + y + z. S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 29. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria a) 1 b) 3 c) 6 d) 5 e) 4 07.Al dividir un polinomio P(x) entre el producto (x+1) (x-2) (x+3) el resto obtenido es x2 – 5x+1. Encontrar cuáles son los restos que se obtiene al dividir P(x) entre x + 1 ; x-2 ; x+3 a) 7; -3 ; 12 b) 14; 13; -15 c) –13; 12; 15 d) –8; 13; 15 e) 7; -5; 25 08.Al dividir un polinomio P(x) entre (x+3) se obtuvo por residuo –5 y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3. Encontrar el residuo de dividir P(x) entre (x –1). a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 09.Un polinomio de cuarto grado es divisible entre (x+2) tiene raíz cuadrada exacta. Al dividirlo entre (x – 2) y (x + 1) los restos obtenidos son iguales a 16. Calcular la suma de sus coeficientes. a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) N.a 10.Determinar un polinomio P(x) de quinto grado que sea divisible entre (2x4 – 3) y que al dividirlo separadamente entre (x+1) y (x-2) los restos obtenidos sean respectivamente 7 y 232. a) 12x5 – 3x4 – 15x + 6 b) 10x5 – 4x4 + 15x + 6 c) 12x5 – 4x4 – 15x + 6 d) 10x5 – 4x4 – 15x+7 e) 10x5 – 3x4 – 15x + 6 11.Encontrar un polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente entre (x+3), (x+2) y (x-5), se obtenga siempre el mismo residuo (- 6) y al dividirlo entre (x + o1) el resto sea (- 42). a) 3x2 – 57x – 95 b) –3x3 + 57x – 95 c) x3 + 57x – 96 d) 3x3 – 57x – 96 e) –3x3 + 57x – 59 12.Un polinomio entero en “x” de tercer grado se anula para x = 7 y para x = -3 y el dividirlo entre (x – 10) da como residuo 39 si el primer coeficiente del polinomio es 3. Hallar el resto al dividirlo entre (x – 8). a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56 13.Un polinomio de grado “n” y variable x es divisible entre (xn-1 + xn-2 +1) y tiene por término independiente 2. Además dicho polinomio disminuido en 9 es divisible entre (x – 1) y disminuido en 388 es divisible entre (x – 2). Calcular el valor de “n”. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 14.Cuál es la suma de coeficientes de un polinomio P(x) si se sabe que es mónico y de tercer grado, siendo divisible entre (x-2) (x+1) y carece de término cuadrático. a) 2 b) –5 c) –4 d) 8 e) –3 15.El siguiente polinomio: P(x) = (x2 – n2 ) (x3 – m3 ), se anula sólo para 4 valores diferentes de x. Calcular el resto de dividir entre (x – 2n) a) 27n5 b) 29n5 c) 25n5 d) 24n5 e) 21n5 16.Al efectuar la división del polinomio P(x) entre (x2 +1) se obtiene como residuo (x – 2). El resto que se obtiene al dividir el cubo del polinomio P(x) entre x2 + 1 es: a) x – 11 b) x – 2 c) 11x-2 d) 11x-8 e) 11x + 2 17.Al dividir un polinomio P(x) entre (x2 + 2) se obtiene un cociente Q(x) y un resto (3x – 1). Si Q(x) es divisible entre (x2 – x – 6) el resto de dividir P(x) entre (x+2) es: a) 5 b) –5 c) 7 d) –7 e) 6 18.Si el polinomio P(x) se anula para x = 1, x = 2, x = 3, además es de cuarto grado y divisible por (x – 5), se pide calcular la suma de coeficientes de P(x) si presenta como primer coeficiente a la unidad. a) 3 b) 4 c)5 d) 1 e) 0 19.Señalar la suma de coeficientes de un polinomio en x, de tercer grado, que es divisible por (x + 1) y al dividirlo entre: (x – 1), (x – 2) y (x – 4) presenta en cada caso el mismo resto 30. a) –4 b) –2 c) 30 d) 6 e) 7 20.Determinar el residuo de dividir un polinomio P(x) entre: x3 + x2 + x + 1 siendo dicho resto divisible por (x – 1), además el polinomio disminuido en 2 unidades es divisible por (x2 +1). Señale como respuesta la suma de los cubos de sus coeficientes. a) –8 b) –3 c) 3 d) 0 e) 8 S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 30. 119 120 COCINTES NOTABLES COLEGIODE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria Reciben este nombre aquellos que se originan de divisiones que adquieren la forma : + ∈ ± ± Zn, ax ax nn El desarrollo de estos cocientes se puede escribir correctamente sin necesidad de efectuar la división. Es importante hacer notar que los términos de su desarrollo se caracterizan por que obedecen a una misma ley de formación, de la forma general : Exponente común ax ax nn ± ± Bases Podemos extraer las siguientes características : * El Dividendo y el Divisor deben ser binomios, o cualquier otra expresión que se reduzca a ellos. * Las bases están indicadas en el divisor, debiéndose repetir en el dividendo. * Los exponentes que afectan a las bases en el dividendo deben ser iguales y nos indicará el número de términos que tendrá en su expresión el cociente notable. 2. ESTUDIO DE LA DIVISION NOTABLE .- Se presentan 4 formas o casos distintos de divisiones notables, que lo vamos a determinar combinando adecuadamente los signos. Primero Caso : ax ax nn − − Aplicamos el Teorema del Resto : S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 31. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria x − a = 0 → x = a Reemplazamos en el Dividendo : R = an − an → R = 0 Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente exacto. Luego el cociente es : 1n2n23n2n1n nn axaaxaxx ax ax −−−−− +++++= − − ... Segundo Caso : ax ax nn − + Aplicaremos el Teorema del Resto : x − a = 0 → x = a Reemplazamos en el Dividendo : R = an + an → R = 2ªn ≠ 0 Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente completo o cociente mixto. Luego el cociente es : ax a2 axaaxaxx ax ax n 1n2n23n2n1n nn − ++++++= − + −−−−− ... Tercer Caso : ax ax nn + − Aplicamos el Teorema del Resto : x + a = 0 → x = − a Reemplazamos en el Dividendo : Si n es un número par R = 0 Origina un cociente exacto R = (−a)n − an → Si n es un número impar R = − 2an ≠ 0 Origina un cociente completo Luego el cociente obtenido es : Si “n” es un número par 1n2n23n2n1n nn axaaxaxx ax ax −−−−− −+−+−= + − ... Si “n” es un número impar ax a2 axaaxaxx ax ax n 1n2n23n2n1n nn + −+−−+−= + − −−−−− ... Cuarto Caso : ax ax nn + + Aplicaremos el Teorema del Resto : x + a = 0 → x = − a Reemplazamos en el Dividendo : Si n es un número par R = 2an ≠ 0 Origina un cociente completo R = (−a)n + an → Si n es un número impar R = 0 Origina un cociente exacto Luego el cociente obtenido es : Si “n” es un número par ax a2 axaaxaxaxx ax ax n 1n2n34n23n2n1n nn + +−++−+−= + + −−−−−− ... S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 32. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria Si “n” es un número impar 1n2n34n23n2n1n nn axaaxaxaxx ax ax −−−−−− +−+−+−= + + ... Observaciones : Por lo expuesto anteriormente podemos concluir : - Los divisores de la forma (x − a) provocan un desarrollo cuyos signos son todos positivos. - Los divisores de la forma (x + a) provocan un desarrollo cuyos signos están en forma alternada, así : +, −, +, −, ... - El primer término del cociente notable se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose xn − 1 - A partir del segundo término del desarrollo, el exponente de la primera base disminuye de 1 en 1 mientras que aparece la segunda, cuyos exponentes aumentan de 1 en 1 hasta (n − 1) − El desarrollo es un polinomio homogéneo. 3. PRINCIPIO A CUMPLIRSE EN UNA DIVISION NOTABLE .- rq pm ax ax ± ± Es división notable o inmediata si y sólo si : n r p q m == Donde : n = Número de términos del cociente. m, p, q, r ∈ R ∧ n ∈ Z+ De la división notable expuesta podemos concluir: * Los exponentes de “x” y “a” en el divisor nos indicará la forma como aumentan o disminuyen los exponentes de las variables mencionadas. * Si r > q, los grados absolutos del desarrollo aumentarán de acuerdo a la diferencia (r − q) * Si r < q, los grados absolutos del desarrollo disminuyen de acuerdo a la diferencia (q − r) Para ser más objetivos veamos los siguientes ejemplos : Ejemplo 01 : 30253206159101251518 53 3521 aaxaxaxaxaxx ax ax ++++++= − − G.A. → 18 < 20 < 22 < 24 < 26 < 28 < 30 Ejemplo 02 : 151249861231620 34 1824 aaxaxaxaxx ax ax +++++= − − G.A. → 20 > 19 > 18 > 17 > 16 > 15 4. FORMULA DEL TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES .- Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables, sin necesidad de conocer los demás : Para una división de al forma : n 1n 1n 2n k3 23n 2 2n 1 1n nn axaTaxaxx ax ax − − −−−− ±±+±±+±= ± ± ...... Tk = Signo xn − k ak − 1 El signo del término buscado dependerá de la forma del divisor y del lugar : * Cuando el divisor es de la forma (x − a) entonces, el signo del término buscado será positivo (+) * Cuando el divisor es de la forma (x + a) entonces, el signo del término buscado será : ( − ) Si el lugar que ocupa es PAR . ( + ) Si el lugar que ocupa es IMPAR . EJEMPLOS ILUSTRADOS Ejemplo 01 : Hallar el octavo término del desarrollo de : 65 7260 yx yx + − Resolución : Tk = Signo xn − k ak − 1 Cómo el divisor es de la forma (x + a) y el término ocupa lugar PAR, entonces el signo será negativo (−) S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 33. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria T8 = − ( x5 )12 − 8 ( y6 )8 − 1 T8 = − x20 y42 Ejemplo 02 : Calcular el valor de “n” en : 3n21n n54n4 yx yx −+ + + − Para que sea un cociente notable . Resolución : 3n2 n5 1n 4n4 − = + + 3n2 n5 1n 1n4 − = + + )(` )( 8 n − 12 = 5 n 3 n = 12 n = 4 Ejemplo 03 : Si el grado del octavo término del cociente notable 1x 1x 3 n − − Es 12, hallar el número de términos de su desarrollo Resolución : Número de términos será : n/3 24n18 8 3 n 3 8 x1xT −− − == )()( Luego : n – 24 = 12 n = 36 Luego, el número de términos será : 12 Ejemplo 04 : ¿Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable, el término cuyo grado absoluto es 252? 74 280160 yx yx − − Resolución : Hallemos el término que ocupa el lugar “k” que cumpla la condición dada. Tk = ( x4 )40 − k ( y7 )k − 1 G A Tk = 160 − 4k + 7k − 7 = 3k + 153 Por dato del problema : G.A.Tk = 252 3k + 153 = 252 k = 33 P RACTICA DE CLASE PRACTICA DE CLASE Objetivos: Al finalizar el estudio de esta clase, el alumno será capaz de: 1. Definir e identificar a los cocientes notables. 2. Resolver problemas que involucran cocientes notables 01.En el desarrollo de: 915 2745 ax ax + + hay un término de grado 24, la diferencia de los exponentes de “x” y “a” es: a) 7 b) 24 c) 5 d) 6 e) Ninguno S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 34. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 02. Cuál de las siguientes divisiones no genera un cociente notable? a) 22 1010 yx yx − + b) 56 1012 yx yx + + c) 75 3525 yx yx + + d) 43 2015 yx yx + − e) N.A. 03.Calcular el número de términos del cociente notable: 32 m3n2 yx yx − − si se cumple que: T20 . T30 = x100 y144 a) 100 b) 150 c) 50 d) 30 e) 60 04. Dar el número de términos del cociente notable: 22 nn yx yx − − si el penúltimo término es: x2 y82 a) 42 b) 82 c) 86 d) 43 e) 45 05.Calcular: (256 - 1) : 624 a) 390 001 b) 390 251 c) 391 251 d) 391 250 e) 391 249 06.El número de términos que tiene el siguiente desarrollo de: 54 n5n4 yx yx − − sabiendo que el t(5) tiene grado absoluto 32, es: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) N.A. 07.Hallar “m” y “n” para que el término 60 del cociente: n4m2 n296m148 ba ba − − ; sea a56 b708 a) m = 2 b) m = 3 c) m = 3 d) m = 2 e) N.A. n = 2 n = 2 n = 3 n = 3 08.Dado la siguiente división notable ba 180120 yx yx + − Calcular la suma de las cifras de “ab” sabiendo que los grados absolutos de los términos de su desarrollo aumentan de 3 en 3. a) 10 b) 9 c) 8 d) 54 e) 44 09. x12 + x9 + x6 + x3 + 1 es el desarrollo de: a) 1x 1x 3 12 − − b) 1x 1x 3 12 − + c) 1x 1x 3 15 − + d) 1x 1x 3 15 + + e) 1x 1x 3 15 − − 10. En el cociente de: 35 63105 ba aa − − el grado del término que ocupa el lugar “k” supera en 8 al grado del término de lugar “k” contado desde el último. Calcular k . k. a) 9 b) 81 c) 100 d) 15 e) 36 11. De: I. ax ax n2n2 − − II. ax ax 1n21n2 + + ++ III. ax ax 2n22n2 + − ++ Con n ∈ Z+ , son exactos: a) Sólo I b) Sólo I y II c) I, II y III d) Sólo II y III e) Ninguno 12. Si xm-96 y14 es el octavo término del desarrollo del cociente notable: qp 24m yx yx − − ; calcular (m + p + q). a) 124 b) 144 c) 168 d) 158 e) N.A. S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 35. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 13. En el cociente notable de: 75 ba yx yx − − Calcular “a+b” si el término quinto es: xc yd , además d - c = 3. a) 70 b) 100 c) 120 d) 130 e) 140 14. En el desarrollo del cociente notable de: 32 ba yx yx − − hay un término cuyo grado es el doble del número de términos. ¿Qué lugar ocupa este término? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 15. Calcular el valor numérico del término central del cociente notable: )( )()( 22 100100 yxxy8 yxyx + −−+ para x = 3, y = 2 2 a) 3-2 2 b) 2 2 c) 2 d) 1 e) 3+2 2 16. En el cociente notable de: 22 5050 b2a2 baba + −++ )()( ¿Qué valor adquiere el término central para: a = 2 2x 48 + ; b = 2 2x 48 − a) 2 b) 1/2 c) 2 d) 24 2 e) 48 2 17. Efectuando: 23 1015 yy yy − − − − el número de términos enteros es: a) 6 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5 18.Hallar el número de términos que tendrá el cociente notable: 5n29n2 50m510m5 yx yx ++ −+ − − a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) N.a. 19.Encontrar la suma algebraica de todos los términos del desarrollo del cociente: 158 23 1aa a2 − − + Sabiendo que es exacto: a) 25 b) 32 c) 128 d) 96 e) 48 20. Encontrar el número de términos de: . . . . - x108 y55 + x99 y60 - . . . . sabiendo que es el desarrollo de un cociente notable. a) 12 b) 22 c) 24 d) 21 e) 23 21. Hallar a + b + c si el término central del cociente notable: ba 114b40a yx yx 33 + + −− Es el noveno e igual a x40 yc . a) 53 b) 54 c) 11 d) 48 e) 59 “El ser humano es como un quebrado: El numerador es lo que él es y el denominador lo que él cree que es. Cuánto mayor es el denominador más pequeño es el quebrado”. Leon Tolstoi PROBLEMAS PROPUESTOS 01.Sabiendo que 24a yx es el término central del desarrollo del cociente notable. S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 36. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 2c b75 yx yx − − . Calcular: a + b + c. a) 86 b) 87 c) 88 d) 89 e) 90 02.Indique la división que dio origen al cociente notable: 1x...xxx 26n44n42n4 −+−+− −−− a) 1x 1x 2 n4 + + b) 1x 1x 4 n4 − − c) 1x 1x 4 n4 + − d) 1x 1x 2 n4 + − e) 1x 1x 2 n4 + − 03.Reducir: 1x...xx 1x....xx 246 21214 ++++ ++++ a) 1x8 + b) 1x6 + c) 1x5 + d) 1x7 + e) 1x8 − 04.Hallar el número de términos del desarrollo de un cociente notable que tiene los siguientes términos consecutivos: ....yxyx.... 15631270 +−+ a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 05.Hallar el número de términos del cociente notable: 9n8n 3n412n4 yx yx −− −+ − − a) 14 b) 13 c) 12 d) 15 e) 16 06.Qué relación deben cumplir “a” y “b” para que la expresión tenga la forma de un cociente notable: 2b2aab ab3b3aabba y)xy( yyx + +++ − − a) ab = 1 b) a + b = 3 c) ab = -2 d) a - b = 4 e) ab = -1 07. Si los grados absolutos de los términos del cociente notable: yx yx m nmn − − van disminuyendo de dos en dos y además el cuarto término tiene un grado absoluto de 21. Hallar su número de términos. a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 08.¿Qué lugar ocupa el monomio en el cual la diferencia de exponentes de “x” e “y” es 11 en el desarrollo de: yx yx 2 2040 − − a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 09.Si en el desarrollo de siguiente C.N. : yx yx 3 nn3 − − el término de lugar 8 contando a partir del extremo final tiene por grado absoluto 38, el número de términos que tiene el desarrollo es : a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 10.El menor valor del término racional que se obtiene al efectuar el siguiente cociente : 24 28416 3 3 − − , es : a) 16 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1 PRACTICA DE FIJACIÓN DEL APRENDIZAJE S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 37. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 01.Efectuar: factores.n nnnn n...n.n.n a) n n . n b) n n n c) 2 n n d) n2 n e) n 2 n 02.Reducir: + 5 643 24)veces(3n 3 43 43 4 xxx x...x.x . + 5n n 2 2n 43n x.x x a) n x b) x c) 3 x d) 1 e) 3 x 03.Encontrar la suma de los exponentes de x ∈ y al efectuar: 5 9 5 9 ...yxyx ∞ a) 5/3 b) 3/2 c) 5/11 d) 6/5 e) 5/22 04.Resolver: 256x 4 4 x x = + , y dar valor de 2 x X a) 2 b) 2 c) 4 d) 16 e) N.A. 05.Si: 2)1x( )1x( )1x( =+ + + . ¿Cuál de las ecuaciones se cumple? a) x+2= 2 +1 b) 2x=2 2 c) 2 x =2+ 2 d) x - 1= - 2 e) 2 x - 2= 2 - 1 06.El valor real de x que resuelve la ecuación: 3x 3 x = . a) Está entre 0 y 1 b) Está entre 1 y 2 c) Está entre 2 y 3 d) Es negativo e) N.A. 07.Hallar x en: 8 16 x 2x = . a) 4 2 b) 8 2 c) 16 2 d) 32 e) 8 08.Resolver: 10x3x2x1x 2...222 ++++ ++++ = 4092 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 09.Reducir: ( ) ( ) 32 2216 138L −−+ −−−= a) 1 b) 0 c) –1 d) 2 e) -2 10.Si : M ≠ 0, calcule su valor aproximado. M = ......MM ++ a) 1 b) 2 c) –2 d) 2 e) 2 2 S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 38. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 11.Reducir e indicar como respuesta el exponente final de x, (x > 0) 45)125)125x(( 7/1)2)3) 0)2(x. 99)1(x(5x(3x.( 2)2(x −− −−−− a) –20 b) 15 c) –30 d) 30 e) –2 12.Si: 2a3a − – 2a – 1 = 0. Halle el valor de : a a a 242 ; a ∈ N – {1} a) 2b) 4 c) 1 d) 8 e) 16 13.Si se cumple: a= .........5353 b= ...........3535 Hallar el valor que toma: “a . b” a) 11 b) 12 c) 14 d) 15 e) 19 14.Si x ∈ R - {1}. Hallar “n”, en: 3 4 n x 1 4 x x x 1 = a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 15.Reducir: + + + + − 1xx xx 4x x xx x x 5 , si x x = 5. a) 1 b) x c) x+1 d) 2 x e) 5 x 16.Calcular el valor de: − + 1 a a 1a a a ; si a a − = 3 1 a) 2 3 b) 3 3 c) 4 3 d) 5 3 e) 3 17.Reducir: A= n nnn nnn zyx )zx()yz()xy( −−− ++ ++ . y z.x 11 −− ∀ n ∈ N - {1} ; xyz ≠ 0 a) 1 b) 0 c) x d) nnn zyx e) xyz 18.Calcular el exponente final de x en: S(x)= 3 3 3 radicalesn"......"xxx a) n 3 - n 2/1 b) n 3 - n 3/1 c) n 3 - 1/2 d) n 3 / n 2 e) n n 3.2 13 − 19.Simplificar: n n n 2 nnn nnn − − −−− E indicar el exponente final de n n . a) n b) 2 n c) n n d) 1 2 n − e) 1n n − 20.Calcular: T= 3 2 )8000000000( 00000004,0)1100000( 2 a) 60 b) 60,2 c) 3,60 d) 60,5 e) N.A. 21.Siendo a+b=2. Reducir: S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 39. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria R= b a2 a2 a a aaaa − a) 0 2 b) 3 c) 2 d) 4 e) 10 22.Si: 3 z 9 4 z = . Hallar el valor de: E= + + z 2 z3 2 zz3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 23.Simplifique: M= x1x2x3x4x x1x2x3x4x 3737373737 3737373737 ++++ ++++ −−−− ++++ a) 37 b) 2 37 c) 3 37 d) 4 37 e) 1/37 24.Cuantas veces x es y, si: x= 5,0 4 9 8 4 1 − − − − ; y= 1 2 16 81 64 − − − − a) 0,125 b) 0,5 c) 2 d) 4 e) 8 25.Si: n n =2; calcular: 1 1n n n n + + . a) 32 b) 16 c) 8 d) 4 e) 2 26.Reducir la siguiente expresión: 3 2 4 5 6 1 5 3 742 x x x xxx a) 4 3 x b) 4 7 x c) 7 4 x d) 3 4 x e) 15 x 27.Calcular aproximadamente cada expresión: A= ∞+++ ...727272 B= ∞−−− ...202020 C= 5 5 5 64 64 64 ∞ D= 4 4 4 ...272727 ∞ E= −∞ 5 55 5 5 5 + −∞ 3 44 3 3 4 Señale cual de ellas es la cantidad menor. a) A b) B c) C d) D e) E 28.El valor reducido de: M= 3 3 3 ...4424 +++ ; es a) 1 b) 2 c) 5 d) 7 e) 11 29.El equivalente de: P= 8 115 85 x.x.x ..., es a) x b) 3 x c) 6 x d) x e) 7 x 30.Hallar el exponente de “x” en: S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 40. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria S= radic.97 4 4 4 4 3333 x...x.x.x a) 1 - 97 4 − b) 1+ 97 4 c) 1 - 98 4 d) 2 41 97 − e) 2 41 97 + 31.Dada la siguiente sucesión: 2x1 = ; 22x 2 = ; 222x 3 = , ... Calcular: 103 22 4 x.x x.x a) 2 b) 4 c) 5 d) 1/2 e) 1/4 32.Simplificar: 1n n1n1n1 1n1n1n 1286 432− −−− −−− ++ ++ . a) 9 b) 10 c) 12 d) 24 e) 36 33.Sabiendo que: ba 1 b 1 a 1 + =+ . Reducir: a b ba b a ba x x x x + ++ a) x/2 b) 2x c) 2 x2 d) 4x e) 1 34.Simplificar ∀x ∈ N - (1). E= x x x xxx xx 16 3232 + +++ −− a) 5/6 b) 1/5 c) 2 d) 3 e) 5 35.Resuelva: x 33 3 x33. = . E indique x3 . a) 3 b) 1 c) 6 d) 2 e) 3 36.Resolver: 3x2x1xx 3 1 3 1 3 1 3 1 +++ +++ =120 a) - 1 b) - 2 c) - 3 d) - 4 e) - 5 37.Determine el valor de “m” en: m )003,0( = )4,0()2,0( )1,0.()3,0( a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,01 e) 0,03 38.Resolver: 3 x3 x 3 x4 x4 xx = − − a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 41. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 39.Resolver: 3yx yx = + 36yx yxy = + Siendo x>0, y>0, x ≠ y, indicando “x - y” a) - 5 b) - 4 c) – 3 d) – 2 e) - 1 40.Si: 81x x 81 81 = − . Calcular: x4 x . a) 9 b) 3 c) 27 d) 4 3 e) N.A. TAREA DOMICILIARIA 01.Simplifique: A= 294 336 30.14.15 80.35.21 a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5 02.Efectúe: C= 1 2 9 1 2 9 1 2 9 6427125 − − − − − − − − − ++ a) 45/60 b) 46/60 c) 47/60 d) 48/60e) 49/60 03.Reduzca: G= 2.2.2.2 2222 a) 2 / 2 b) 2 c) 1d) 1/2 e) 2 04.El valor reducido de: J= 2 1 16 16 816 − − − − Es: a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 4 e) 1/4 05.Siendo: a= veces(3m)"" 1 m m 1 m m 1 m m x.......xx −−− b= veces" 4 m" 1 3m 1 3m 1 3m x.......x.x −−− Halle el valor de: N= 3 m ab a) 0 x b) 2 x c) 4 x d) 6 x e) 8 x 06.El valor reducido de: Q= 3 5 3 5 rad"......."2222 ∞ es: a) 7 2 b) 2 7 2 c) 3 7 2 d) 4 7 2 e) 5 7 2 07.Siendo: 2a a = . Calcule el valor de: T= 1 1a a a a + + a) 4 a b) 16 a c) 4 d) 8 e) 16 08.Dada la igualdad: 3a a = , el valor reducido de: U= 1a a a + + 1a aa a + + es: a) 30 b) 54 c) 81 d) 84 e) 108 S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 42. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 09.Dada la igualdad: 2x x x x = , calcule el valor de: W= x3 x + − − 1 1 1x xx x x x a) 4 2 b) 6 2 c) 8 2 d) 10 2 e) 12 2 10.Resuelve: ∞ = x x2 xx ; x > 0 a) 4 4 b) 4 2 c) 2 d) 2 e) 1/2 11.Luego de resolver: 3z4 2 4 2 1z 16 381 + + = Indique: +− 1zz 2 a) 5 b) - 7 c) 9d) – 11 e) 13 12.Resolver en R. 17164 1x2x =+ −+ a) 1/4 b) 1/2 c) 1d) 2 e) 4 13.Resuelva en R: 0924 3xx =−+ + a) - 2 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 2 14.Luego de resolver: 3 x318 x3 = Indique: 2 x a) 3 9 b) 3 3 c) 3 3 d) 3 3 3 e) 3 15.Resolver: 6)3x2( 22)3x2( =− − a) 1/2 b) 3/2 c) 5/2 d) 7/2 e) 9/2 16.El exponente formal de “n”; al reducir la expresión: A= x x x 4 x 3 x 2 x rad......xnnn es: a) x b) 2x c) 2 x d) x+1 e) 2 x +x 17.Reduzca: C= x xx xx 189 126 + + S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 43. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 3/2 e) 3 18.Resuelva: 2 x = x x1 1x 1x 1x + + − − a) - 1/2 b) - 2/2 c) - 3/2 d) - 4/2 e) - 5/2 19.Simplifique: E= 5 4 4 3 3 2 x x x x 1 a) 120 115 x b) 120 116 x c) 120 117 x d) 120 118 x e) 120 119 x 20.Simplificar: x2 x1 x x x x x x x x x x xx xx − − − − − + + , si x > 0 a) 2 x b) x c) x d) 3 x e) 1 21.Señalar el exponente final de x en: 3 3 3 3 1 3 1 3 1 ......xx.x “k” radicales a) − k k 3 13 2 1 b) + k k 3 13 9 1 c) − k k 3 13 3 1 d) 13 13 k k − + e) − +1k k 3 13 2 1 22.Calcular aproximadamente: A= ........4242 a) 2 b) 2 3 2 c) 2 d) 16 e) 4 5 5 23.Sabiendo que x ∈ y verifican la igualdad xy+x+y=1, halle el valor de: xy3 1 )yx( 1x 1y 1y 1x 4 4 − − − + + + + a) 1 b) 2 c) 2 d) 4 e) 8 24.Sabiendo que 2 b 1 a a b = = . Hallar al valor de: a b. b a1 b1 a a1 b b1 a a1 b ba ba + ++ −− + + a) 2 b) 1/2 c) 4 d) 1/4 e) 8 25.Calcular el exponente final de x en: 3 4 5 432 .......xxxx a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 1/4 PRACTICA DE CLASE 01.Si: P(x) = 2x2 – 1 Calcular: P(2)P(1) + P(0)P(2) a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10 02.A partir de: S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 44. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria P(3x+1) = 15x – 4 Calcular: P(2x-1) a) 10x-9 b) 5x-9 c) 5x-10 d) 10x-14e) 10x-5 03.Si: F(x+1) = F(x) – 2x+1 Además: F(0) = 5 Calcular : F(-1) + F(1) a) 6 b) 8 c) 15 d) 4 e) 7 04.Dado: 6x2 – 10x(a – x) ≡ bx2 +10x Calcular (a – b) a) 17 b) 16 c) 15 d) –17 e) –7 05.Dar (m+n-p) si el polinomio: P(x) = xm-10 + 3xm –n+5 + 2xp –n+6 Es completo y ordenado en forma descendente. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 06.Si el polinomio: P(x, y) = xa + 3xb yc + 5xc yb +2ya x0 Es homogéneo, completo y ordenado respecto a sus dos variables, dar (3a+2b+c) a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 07.En el polinomio: P(x, y) = 2xn+3 ym – 2 z6 – n + xn+2 ym – 3 Si el GA(P) = 11 y GR(x) – GR(y) = 5; calcular (2m+n) a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 08.Si en el polinomio: P(x; y) = x3 yn – n(xyz)3n +(xn )n y11 Y el GR(x) =9, calcular GA (P) a) 20 b) 18 c) 9d) 27 e) 24 09.Dados los polinomios: P(x) = (x2 +xy+y3 )(x3 +xy-y2 ) Q(x) = (y2 -xy+x3 )(x5 +2x+1) Dar el grado de P2 (x). Q(x) a) 12 b) 80 c) 20 d) 18 e) 96 10.Si: 2 )2x(x )1x(P + =+ Calcular: )5(P)1(P )7(P)3(P + + a) 7/3 b) 5 c) 2d) 1/2 e) N.a. 11.Si el polinomio: P(x) = 3x3a - 9 +xa+b - 3 +6(x2 )4b+a - c Es completo y ordenado en forma creciente, calcular (a+b+c) a) 1 b) 3 c) 6d) 1 e) – 2 12.Dado el monomio: M(x, y) = 42 (- 2)-b x2b+3a y3a-b Si el GA = 8 y GR(x) = 7 Dar su coeficiente: a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) –2 13.Si: P(x- 2) = x2 – 4x + 4 Calcular: )4(P)3(PE += a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5 14.Si: 2x 3x2 )x(M − + = Calcular M(M(5)) a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5 15.Si: 1x 2x )x(P − + = Hallar: P( P ( P ( P (2) ) ) ) a) 1 b) –1 c) –2 d) 2 e) 0 16.Si: P(x+4) = 3x – 1 Calcular “x” en: P(x) + P(x+1) = 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17. Calcular la suma de coeficientes del polinomio: S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 45. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria P(x, y) = a2 xa+7 – bxa yb + abyb+4 Si es homogéneo. a) – 3 b) 12 c) –1 d) – 12 e) 3 19.Si la expresión: 2m3nm1 n5mn zyx zyx E +−− = Tiene un grado relativo a: “x”, 12 y por grado relativo “y”, 10 el grado relativo con respecto a “z” es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 10 20.Hallar el grado de P(x) si los grados de P2 (x). Q(x) y )x(Q )x(P 3 son 27 y 23 respectivamente. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 21.Encontrar un polinomio “P” de primer grado y en una variable tal que: p(5) = 5 y P(4) = 3P(3) a) 5x-2 b) 5x+2 c) 2x-5 d) 2x+5 e) x+5 22.Calcular el valor de “n” si la expresión: 2 42n 54 2 3n232n x.)x( n.xx.)x( )x(M −− = es de 2do grado. a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 23.Si: 8xxx)1x(P 64x 2xx2 +++=− Calcular P(1) a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28 24.Dado el polinomio: P(x; y) = xa-2 yb+5 + 2xa-3 yb +7xa-1 yb+6 Donde: GA =17 y GR(x) = 0 Calcular : (a – b) a) –10 b)10 c) –11 d) 11 e) N.a. 25.Hallar “n” para que la suma de coeficientes del polinomio: p(x- 3) = (2x – 5)n +(x – 1)n +(x – 2)n – 8(3x+1) exceda en 28 a su término independiente: a) 3 b) 2 c) 4 d) 6 e) 9 26.Dar el grado absoluto mínimo del polinomio: P(x; y) = a4m x2m –4 y3 – abxm+3 yn –5 +am bm x3 y2m –6 – (b2 xy)m –13 a) 26 b) 25 c) 24 d) 23 e) 11 DOMICILIARIA TAREA DOMICILIARIA 01.Si P(x9 = 3x + 2. Calcular : P(x + 1) + P(x - 1) a) 3x + 5 b) 3x - 1 c) 6x + 5 d) 6x + 4 e) 3x + 4 02.Si P(x - 3) = x + 5. Calcular : P(0) + P(1) + P(2) a) 9 b) 10 c) 17 d) 18 e) 27 03.Dado: P(x+1) = 1x x − ; x ≠ 1 Evaluar : A = )3(P)6(P)2(P )3(P)6(P)2(P +− ++ a) 1/12 b) 12 c) 1/6 d) 6 e) 4 S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 46. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 04.Si P(x) = 5x + 2. Evaluar : h )x(P)hx(P −+ a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 05.Si P(x) = 2x + m ; P(4) = 11. Calcular P(-2) a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 06.Se tiene: P(x) = k)1x( 2 +− . Reducir : M = x )2x(P)x(P +− a) -4 b) -2 c) 0 d) 2 e) 4 07.Dados los polinomios : P(x - 1) = x2 + x + 1 Q(x + 1 = x2 - 2x + 2 Además : H(x) = P(x + 1) + Q(x - 1) Calcular H(3) a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64 08.Dado el polinomio : P(x;y) = 6n1mn3m5n2m y7yx3yx6 +−−+− ++ Si GA(P) = 17 y GR(x) = 6. Calcular (mn) a) 5 b) 7 c) 35 d) 3 e) 15 09.Si el GA(P) = 11. Calcular “n” P(x;y) = n33nn23n2n1n3 yxyx2yx −−− +− a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10.Dar el número de variables del monomio : M(a;b;c;...) = ...d.c.b.a 432 si su grado absoluto es 66. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 11.Si P(x) = x2 + 3x+ 1. Hallar p(x+1). dar como respuesta la suma de los coeficientes del polinomio resultante. a) 1 b) 10 c) 6 d) 12 e) N.a. 12.Si “n” es un número natural fijo y p(x+n) = 2x2 - nx - 2n2 + 4 Hallar p(1) sabiendo que p(n) = -4. a) -1 b) -4 c) 0 d) 2 e) 6 13.Dadas las expresiones algebraicas : A = 3 2nn9 yx + B = 3 2n2n3 yx − C = 3 n4n8 yx Hallar el valor de “n”, sabiendo que el grado absoluto de la siguiente expresión : 3 ABC es 117. a) 42 b) 39 c) 41 d) 37 e) 38 14.p(x), q(x) y r(x) son polinomios. Si G.A.(p(x))=20, G.A.(q(x))=10 y G.A.(r(x)) = 12. Hallar : GA(p(x) + q(x))4 ÷ (r(x))2 a) 66 b) 36 c) 46 d) 50 e) N.a. 15.Si el término independiente del producto : 2(x - 3)2 (x - 2)3 (x - m)2 (x + 1)3 es -576. Hallar m2 . a) 4 b) 9 c) 16 d) 36 e) 64 16.Dado el siguiente polinomio : P(x) = (3mx - 4m)2 + (3x - 4)2m - x2 + 4 Hallar la suma de sus coeficientes sabiendo que el término independiente es 36 y que m ∈ N. a) 3 b) -3 c) 4 d) -5 e) 5 17.Si la expresión : E = 3 3 3y 12 5x b.a +− es de cuarto grado con respecto a “a” y de sexto grado absoluto. El valor de (x + y) es : a) 28 b) 29 c) 31 d) 32 e) 35 18.Dado el monomio : M(x ; y) = (a + b)x2a-2 y3b S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 47. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria donde : COEF (m) = GR(x) GA(m) = 27 Calcular (ab) a) 5 b) 7 c) 12 d) 35 e) 42 19.Dados los polinomios P(x) y Q(x) tal que : 3 )x(Q).x(P tiene grado 4. 2 ))x(Q( )x(P tiene grado 8 Dar el grado de Q. a) 4 b) 7 c) 9 d) 10 e) 11 20.Si el monomio : M(x ; y ) = a b baaba yxyxb sus grados relativos son iguales, hallar su grado absoluto. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 PRÁCTICA 01.Efectúe: 1)5x)(4x)(3x)(2x( +++++ ; x>0 Señalando luego de reducir el término lineal. a) x b) –2x c) 5x d) 7x e) 9x 02.Si se cumple que: (a+b)2 – (a - b)2 = 4 Calcular + + + + + = 12a 12b a 12b 12a bM a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 03.Si: x 202)1x(2)1x( =−−+ . Calcular: F = 2x 2x 2x 2x + − + − + a) 13 b) 15 c) 18 d) 19 e) 20 04.Siendo xy=1, calcular el valor de “m” en : m4 2 2x 12x 2 x 1 x2)2y2x(2)yx( + −+ −≡+++ a) 2 b) 4 c) 6 d) 1/2 e) 1/4 05.Reducir: F = 8 )185()145)(125(241 ++++ a) 1 b) 5 c) 6 d) 25 e) 36 06.Si: a – b = b – c = 5 Evaluar: Q = 5 2)ac(2)cb(2)ba( −+−+− a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) 45 07.Efectuar: S = 2 2 cba 2 cba 2b)ca()cb2a( −++ ++ ++++ {a,b,c} ∈ R+ a) 3/2 b) 1/4 c) 2/5 d) 2/3 e) 5/2 08.Simplificar: (a , b ∈ R+ ) baba 2bab2a ++ ++ - a + ab - b a) 5 b) 0 c) 7 d) 8 e) 9 09.Dada las condiciones: 22c2b2a =++ (a+b+c) (2+ab+bc+ac) = 32 Calcule : a+b + c a) 4b) 2 c) 3 32 d) 16 e) 64 10.Si : x = 2 S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 48. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria y = 23 − z = 2 - 3 Calcular : 3y)2z(xy3 )2)2z()2z(x2x()2zx( −− −+−−−+ a) 2 b) 5 c) 1 d) –1 e) 3 11.Si: 3b3a3)ba( +=+ , donde ab ≠ 0. Determine el equivalente reducido de : 6b6a6)ba( 5b5a5)ba( +++ +++ a) –1 b) 10 c) 0 d) 2 e) 1 12.Si: 222 2a 12a ++=+ . Calcular: 16a 116a + a) 0 b) –1 c) –2 d) 1 e) 2 13.Si : 27yz22x −=+ 72xz22y −=+ 22xy22z +=+ Halle : x + y + z , si : x,y,z ∈ R- a) 0 b) 2 c) –2 d) 1 e) –3 14.Si : x = 1a aa − − ; y = a 1 . además: 272y2x =+ . Calcular: E = x – y a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 15.Siendo: a+b+c = 0 / a ; b ; c ∈ R Determine el equivalente reducido de “M” siendo: M = A ÷ R, donde: A = 3ca3bc3aba3cc3bb3a +++++ 2)2c2b2a(R ++= a) –1/2 b) –2 c) 1 d) 2 e) 0 TAREA DOMICILIARIA 01.Si: a+b = ab+1 ∧ 22b2a =+ ; donde a;b ∈ R+ . Hallar : b 1 a 1 + a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) 4 02.Sean: a;b; x ∈ R+ tales que : (x +3b)2 + (x + 3a)2 = 12x(a + b) Hallar : + ++ ba ba2x6 2 ; a ≠ -b a) 5 b) 12 c) 7 d) 21 e) 3 03.Si: a+b+c = 3 a2 +b2 +c2 = 2. Hallar : 1)acbcab( −++ a) 7/2 b) 2/7 c) 1/7 d) 7 e) 4 04.Si: x - x 1 = 1 ; x > 0 Reducir: 8 8x 1 4x 14x 2x 12x x 1 x + + + + a) x b) 1 c) 2 d) 0 e) 9 05.Si: 3 2 ba 2 3b3a + = + . Calcular: E = )3b3a(ab 5b5a + + a) -1 b) -2 c) 1 d) 2 e) 3 S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 49. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 06.Si: x(x-3y) + 1 = 4 2y9)z4(z −− Calcular: z y x + , sabiendo que {x;y;z} ⊂ R a) 3 b) 3/2 c) 5 d) 7/2 e) 5/2 07.Calcular el valor de : 5)3n4m( − sabiendo que se cumple: )329n3n8m3(23)3n4m( ++=+ a) 1 b) 52 c) 0 d) 122 e) 152 08.Si: 1xx −+ = 4. Hallar 3x3x −− a) 30 3 b) 3 2 c) 2 2 d) 3 8 e) 2 14 09.Siendo f una expresión matemática de variables x;y;z ∈ R, con regla de correspondencia: f(x;y;z)= )zxyzxy.....( ....)zxyzxy2z2y2x(44)zyx( ++ +++++−++ Calcular : )1;2;3( f a) 0 b) 1 c) 3 d) 5 e) 6 10.Si: + 2a 12a = 222 ++ Halle: 16a 116a + a) 0 b) -1 c) -2 d) -3 e) 2 11.Sabiendo que se cumple: x3472)1x( ++ Encuentre el valor de : 14x 2)12x( + + a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) -1 12.Sean a,b, c ∈ R – {0} que cumplen: )2c2b2a(32c)b(a ++=++ Halle: abc3 )cb()acbcab( 3c3b3a 3)cba( +++ + ++ ++ a) 10 b) 15 c) 11 d) 9 e) 12 13.Si: (a , b, c) ⊂ R+ . Calcular: c2b 3a . Si se cumple: 2c2)cb(a22b22a −+=+ a) 5 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12 14.Sean las números reales a, b, c; que satisfacen: abc33c3b3a =++ ; a + b + c ≠ 0 Calcular: 2 3c2ab 4c.4b4a Q = a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 15.Hallar : 4x33x +− para : Calcular: 2 3c2ab 4c.4b4a Q = a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 15.Hallar : 4x33x +− para : x= 3 83 3 83 −++ a) 1 b) 10 c) -1 d) 8 e) –5 PRÁCTICA N° 2 01.Determine al dividir: S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 50. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria 1x2x 6x6x9x7x 2 3456 ++ ++−− Determine la suma de los coeficientes del cociente obtenido a) 0 b) - 7 c) 2 d) – 1 e) 5 02.Si dividimos: 1bxax 1bxx)7a(x6x2 2 234 ++ ++−++ ; {a; b} ⊂ Z obtendremos como cociente y residuo polinomios no constantes mónicos de coeficientes reales; además se sabe que el residuo es un monomio halle: a + b a) 13 b) 11 c) 15 d) 9 e) 10 03.El resto de la división: 3xx2 9x8AxBxAx 2 234 −+ −+++− Es el polinomio R(x) = 3x - 3. Calcule 3 B 3 A + a) - 1 b) 0 c) – 2 d) 3 e) N.A 04.En la siguiente división: 3x 2xx3 1n − +++ La suma de coeficientes del cociente es 1093, calcular “n” a) 3 b) 6 c) 7 d) 8 e) 5 05.Halle el resto de la siguiente división: 5xx )3x()1x()2x()3x()2x( 2 2233 −− +++−+−+ a) 30x+77 b) 31x+77 c) - 31x+77 d) x+11 e) - 31x -77 06.Halle el resto: )2x)(1x(x 1x10 −− − a) 611 2x - 610x+1 b) 610 2x - 611x – 1 c) 610 2x +611x+1 d) 511 2x - 510x - e) 611 2x - 1 07.Halle el resto en: )1x)(1x( )1x....()1x()1x()1x( n21n243322 +− −+−+−+− − Siendo n ∈ N a) 1 - x b) 1 + x c) )x1)(14( 3 2 n −− d) )1x)(14( 2 3 n ++ e) 0 08.Halle el resto en la siguiente división: )x1)(x1( x....xxx1 2 1n432 ++ ++++ − a) 0 b) 1 - x c) 1 + x d) 1 + 2x e) 2x - 1 09.Al dividir el polinomio p(x) entre (x - 1) y luego entre (x - 2) se obtiene el mismo resto 4, además p(x) es divisible entre (x - 3). Calcular el término independiente p(x) si es de 3º y además cp es 2. a) - 1 b) - 3 c) – 12 d) - 7 e) - 8 10.Sea p(x) un polinomio mónico de 3º si p(x) es divisible entre (x+2) y también entre (x+3) y además al dividir p(x) entre ( 2x - 1) el resto es 17x+19. Calcular p(0) a) 10 b) 17 c) 2 d) 12 e) 6 11.Calcule “m” para que la división: 1xx 2m2nxx 2 5 −+ −+− a) 5 b) 6 c) 2 5 d) 10 e) 8 12.Al dividir: 1x2 1x2x16 4 −− ++ se obtiene como cociente : S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”
- 51. 119 120COLEGIO DECIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria dx3 5 c x2 4 b x1 3 a )x(q 23 + −+ −+ −= halle a+b+c+d a) 34 b) 30 c) 21 d) 8 e) 50 13.Luego de dividir: 4)x7x( )12x7x)(6x7x)(6x)(3x)(1x)(4x( 22 22 −− −−−−−−−− Calcule la suma de los coeficientes del cociente obtenido a) - 140 b) - 156 c) – 175 d) – 144 e) - 136 14.Calcular a+b+c, si el resto de dividir: 3x5cxbxax 245 −−++ entre 2xxx2 23 −−+ es : a) 18 b) 20 c) 15 d) 19 e) 92 15.Halle el resto en la siguiente división: 2x2x 4xx)1x( 2 4n ++ ++++ donde n = 4º a) x+2 b) - x + 1 c) - x - 1 d) x+1 e) x - 1 GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2002 S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”