Algebra(2) 4° 1 b

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EXPRESIONES
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria
Entendemos que, Algebra es la parte de la matemática que estudia a la cantidad en su forma más general
posible, empleando constantes y variables y las operaciones que con ellas se realizan en los conjuntos
numéricos.
EXPRESION ALGEBRAICA
Es una combinación de constantes y variables en cantidades finitas donde solo intervienen las seis
operaciones fundamentales suma , resta, multiplicación, división potenciación y radicación, sin variables
en los exponentes.
Ejemplos: -8x3
y2
z ; x2
– x + 1 ;
z
y4
x2 −
Nota:
Cualquier expresión que no cumpla con los requisitos mencionados se denomina expresión no algebraica o
trascendente.
Ejemplos
2x
+ 5√3
+ logx2
; 1 + x + x2
+ x3
+ ......... ;
TERMINO ALGEBRAICO
Es la mínima expresión algebraica en la que sus elementos se encuentran ligados por las diferentes
operaciones aritméticas, excepto la adición y sustracción. Sus partes se indican en el siguiente esquema.
exponentes
signo
coeficientes
parte literal (variables)
- 6 x y
3 2
TERMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que tienen la misma parte literal.
Dos o más términos se pueden sumar o restar sólo si son semejantes, para lo cual se suman o restan los
coeficientes y se escriben la misma parte literal.
Ejemplos:
7xy2
; - xy2
; √2 xy2
son semejantes y se pueden reducir a:
(7 - √2) xy2
= (6 + √2)xy2
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la naturaleza de sus exponentes o por el número de
sus términos.
Según la naturaleza
del exponente
Racional
Irracional
Entera
Fraccionaria
Según número de
términos
Monomios
Polinomios
1° Término
Binomios
Trinomios
Cuatrinomios
2° Término
3° Término
4° Término
EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Son aquellas expresiones cuyas variables no están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios. Estas
expresiones se subclasifican en:
A) RACIONALES ENTERAS: Son aquellas expresiones en los que al transportar todas las variables al
numerador, sus exponentes resultan ser enteros no negativos.
Ejemplos:
2x2
y ; 2yx2;
3
1x
+
+
B) RACIONALES FRACCIONARIAS: Son expresiones en donde por lo menos una de sus variables
aparece en el denominador, o si están en el numerador, alguna de ellas aparece con exponentes
entero negativo.
Ejemplos:
1x
1x2
;
x
1
xy3;
x
2
3 −
+
+
EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES
Estas expresiones se caracterizan por que sus variables están afectadas de radicales o exponentes
fraccionarios.
Ejemplos:
3 22
1
4 yxyx5;xy6;3x5 +−
GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
GRADO: Es aquel exponente numérico (no variable) racional positivo o negativo que afecta a una
variable tomada como base.
Clases de Grado:
S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...” S4AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...”

119 120COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria ÁLGEBRA 4to Año Secundaria
a) Grado Relativo (G.R.):
Con respecto a una de las variables
b) Grado Absoluto (G.A.):
Con respecto a todas sus variables
GRADO DE UN MONOMIO
A) GRADO RELATIVO:
Se refiere a una de sus variables de la expresión y está determinada por el mayor exponente que
posee dicha variable; para ello la expresión debe estar previamente reducida o simplificada.
Así: El monomio 4x2
y5
z8
es:
con respecto a “x”, de 2do grado
con respecto a “y”, de 5to grado
con respecto a “z”, de 8vo grado
B) GRADO ABSOLUTO:
Se calcula sumando algebraicamente los exponentes de sus variables.
Así: El monomio: M(x, y) = 7x3
y5
Tiene por Grado Absoluto(G.A) = 3 + 5 = 8º grado
IMPORTANTE
• El grado de toda constante siempre es cero, cte≠ 0.
Ejemplo:
Si P(x) = 43
su grado es cero por ser constante
• Si P(x) = 0 Este es el único polinomio cuyo grado es indefinido.
GRADO DE UN POLINOMIO
A) GRADO RELATIVO:
Se refiere a una de sus variables y está determinado por el mayor exponente que afecta a dicha
letra en todo el polinomio.
Así:
El polinomio F(x, y) = 2x2
y4
z3
– 3x3
y2
z + 5x5
yz2
es:
Con respecto a 2x” de 5to grado
Con respecto a “y” de 4to grado
Con respecto a “z” de 3er grado
B) GRADO ABSOLUTO:
Se calcula indicando el término de máximo grado.
Así:
El polinomio:

o10
235
o11
452
o7
223 zyx8zyx3zyx4 −−
Tiene por grado absoluto 11.
En el siguiente cuadro se muestra como obtener los grados de las diferentes operaciones:
OPERACIÓN GRADO RESULTANTE
MULTIPLICACI
ÓN
Se suman los grados de los
factores
DIVISIÓN Se resta el grado del
dividendo menos el grado
del divisor
POTENCIACIÓN Se multiplica el grado de la
base por el exponente
RADICACIÓN Se divide el grado del
radicando entre el índice del
radical.
PRACTICA DE CLASE
01. Respecto a la expresión:
9830327
520
0213
xxxx +−+
a) Es de 1er grado b) Es de 2do grado c) Es de 3er grado
d) Es de 6to grado e) N.a.
02. Determine el grado del siguiente monomio:
P(x) = 24
3 x8
y2
a) 14.5 b) 14 c) 10 d) 8 e) 2
03. Calcule el grado de:
3 92 xx1 ++ - (x2
+ 2x + 1)3
+ 1
a) 2 b) 3 c) 6 d) 9 e) 0
04. Determine el grado de la siguiente expresión:

P(x) = 5
2
18
1x
)xx)(x2x(
−
+− −
a) 7/5 b) 1 c) 6/5 d) –7/5 e) 0
05. Calcular (m+n), si el monomio:
M =
m2n1
n2m1
yx
yx
−−
−+
es de grado absoluto 10 y el grado relativo a “y” es 4.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 5
06. Hallar (a+b)10
, si los términos:
ba5ab462)ba( yx13;yx17 ++
son semejantes:
a) 32 b) 0 c) 64 d) 128 e) 1024
07. Calcular mn si el polinomio:
P(x,y)= 2n3m1n2m2n1m
yx6yx6yx4 −+−+−+
++
es de grado 20. G.R. (x) = 8
a) 71 b) 70 c) 68 d) 69 e) 172
08. Hallar el valor de “n” si el grado de “P” y “Q” es igual a 3 y 4 respectivamente y se conoce que el
grado de la expresión:
3n45
n257
)QP(
)QP(
++
+
es igual a 4.
a) 1 b) 2 c) 3 d) –1 e) 4
09. En P(x, y) = (x+y2
)7
(x+y3
)7
(x+y4
)7
...(x+y20
)7
el grado absoluto es:
a) 1462 b) 1463 c) 1464 d) 1465 e) N.A.
10. Si el grado de P(x) es 4 y el grado de Q(x) es 5. Hallar el grado de R(x) si:
R(x) =
[ ]
[ ][ ]32
532
)x(Q)x(Q)x(P
)x(Q)x(Q.)x(P
+−
+
a) 30 b) 40 c) 45 d) 65 e) N.a.
11. ¿Cuál es el grado absoluto de:
P(x, y) = 3x6
y2
+ 2x5
y3
– 8x4
y2
+ 9y9
– 7x2
y2
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
12. Hallar el valor de “a” para que el grado del siguiente monomio sea igual a 10.
P(x, y) = (22
xa+2
y)2
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) 3
13. Hallar A-B para que el polinomio:
Ax4
+ (B-3)x2
+ Bx + A sea de grado 1.
a) 3 b) 0 c) -3 d) 4 e) 1
14.Determine el grado de:
Q(x) =










−+ 43 xxx
1
+ 2x-7
+ 1
a) 6 b) 7 c) 5 d) –6 e) 8
15. Dado el polinomio:
P(x, y) = 2xa+2
y2
– 3xa+1
yb
+ 52
x6
yb-1
Si su grado absoluto es 10 y el grado relativo a “y” es 4. Hallar el grado relativo a “x”.
a) 5 b) 7 c) 6 d) 4 e) 8
16.Determinar el valor de “m” para que la siguiente expresión:
F(a, b) = 3
4/1
2/1
m
3/1
b
a
−










Sea de 2do grado.
a) 37 b) 35/2 c) 31/3 d) 37/2 e) 37/3
17. Hallar el valor de “n” si el grado de “P” y “Q” es igual a 5 y 3 respectivamente y se conoce que el
grado de la expresión:

A =
[ ]
[ ] 4n76
2n349
QP
QP
+
−
+
+
es 105.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.
18.Hallar el grado del siguiente producto:
L = (x7
+1)(x9
+1)(x11
+1) ... 20 factores
a) 500 b) 510 c) 520 d) 530 e) 540
19.Si G.P. (x) → 3 ∧ G.Q. (x) → 4
¿Cuál es el grado de la expresión?
E =
[ ]
[ ] 223223
2
2322
PQQPQP
)PQ(PQQP
+






+
a) 46 b) 47 c) 48 d) 49 e) 50
20.Determinar la suma de los grados absolutos máximo y mínimo que puede adoptar:
S(x,y)= 6nn12n922n31n
xyx3)y()x(2 −−−−−
+−
a) 60 b) 61 c) 62 d) 65 e) 70
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Señale Verdadero o Falso:
I. 24 x2
y es una E.A. racional entera
II.
3
1
x3
y2
es una E.A. racional fraccionaria
III. xx
+2x no es una expresión algebraica
a) VVF b) VVV c) VFF d) FVF e) VFV
02.Hallar el grado absoluto de la expresión:
x2
y+x3
yz-xyz+x3
y3
a) 2 b) 3 c) 6 d) 9 e) 15
03.Con respecto al monomio 7x3
y4
z2
es FALSO que:
I) Su grado absoluto es 9
II) Su G.R. (x) es 3
III) Su G.R. (z) es mayor que G.R. (x)
a) Solo II b) Solo I c) I y II d) Solo III e) I y III
04.Son términos semejantes:
a) 5b2
y 5a2
b) 3a2
bc y 3a2
b c) 99a2
y −

 

1
6
a2
d) a2
+b y a + b2
e) N.a.
05.¿Cuál es el coeficiente numérico de la expresión?
cb
2
1
4
17 3 











a)
4
17
b)
4
17
c c)
8
17
c d)
8
17
e) N.a.
06.La expresión:
10x3
y2
- 9y2
x3
+23
x (xy)2
a) Es un trinomio b) Se puede reducir a binomio
c) Se puede reducir a monomio d) Equivale a cero (0)
e) N.a.

07. Al ordenar decrecientemente el polinomio:
x6
+y3
+x4
y2
+x5
y+x3
y5
respecto a “x” o respecto a “y” ¿Qué término ocupa en ambos casos el mismo lugar?
a) x6
b) y3
c) x4
y2
d) x5
y e) x3
y5
08. Señale la afirmación Falsa:
a) Un polinomio completo no siempre está ordenado
b) Un polinomio ordenado no siempre está completo
c) Un polinomio completo de grado 8, siempre tiene 9 términos
d) Un polinomio ordenado de grado 6, siempre tiene 7 términos
e) Un polinomio completo puede estar ordenado
09. Hallar el valor de a para que el grado del siguiente polinomio sea 9:
3xa+1
y-4a+2
xa
y-5x2
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5
10. El polinomio: xm+3
+xm+1
yn
+y4
es homogéneo. Hallar: m+n
a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e)No se puede determinar
11. Hallar el grado del producto :
P(x) = (6x2
+1)3
(x2
+x+1)5
(x3
-8)
a) 15 b) 7 c) 20 d) 17 e) 19
12.Señales verdadero o falso respecto a estas expresiones:
I) 3
1
Y.x5
− es irracional
II) 3xy+y2
es racional entera
III)
1x3
y2
+
es racional fraccionaria
a) VFV b) VFF c) VVV d) FFF e) VVF
13.Hallar 2a+b, si se tiene que:
(2a – b)x2
+ 4bx+2c ≡ 7x2
+20x – 5
a) 21 b) 17 c) 19 d) 11 e) 13
14. Hallar el valor de n, para que el grado de (2xn+2
y)3
sea 18
a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
15. Si el siguiente polinomio es homogéneo:
P (x,y) = x5
+xn
y2
+xm
y4
+yr-1
Hallar m+n+r
a) 5 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12
16. El polinomio:
P(x,y)= ax3
- a2
x2
y+a3
x y2
-a4
y3
a) Es heterogéneo, ordenado y completo
b) Es homogéneo, ordenado y completo
c) Es homogéneo, ordenado e incompleto
d) No es homogéneo, no es ordenado ni completo
e) Ninguna anterior
17. Si el polinomio es completo, hallar n.
P(x) = xn+1
+3xn+2
+xn+3
+5
a) -1 b) 0 c) 1
d) 2 e) 3
18. Indique Verdadero o falso:
I) P(x)= x-2
+3x-1
+2 es polinomio entero en x
II) ax2
y3
, con a constante es de grado absoluto 5
III) sen x + x2
, es una expresión algebraica
a) VFF b) FFF c) FFV d) VVF e) FVF
19. Dada la expresión:
1
64
zx
yx
−
Hallar: G.A. + G.R. (x) - G.R. (z)
a) 3 b) 5 c) 8 d) 9 e) 12
20. Si: (a+2) x2a+3
y3b-1
; (b-3)xa+5
y2a+b-3

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POLINOMIOS ESPECIALES
son semejantes; su suma es:
a) 2x7
y2
b) -x5
y3
c) 3x3
y7
d) -2x7
y3
e) 5x4
y3
TAREA DOMICILIARIA
01. Señale verdadero o falso:
I. 4x2
y2
es una EA racional entera.
II. 2x–1
y2
es una EA racional fraccionaria.
III. xx
+ log x no es una expresión algebraica.
a) VVF b) VVV c) VFF d) FVF e) VFF
02. Halla el grado absoluto de la expresión:
3x2
yz + 2x3
yz + x3
y3
a) 2 b) 3 c) 6 d) 9 e) 15
03. Con respecto al monomio 7x5
y2
es falso que:
I. Su grado absoluto es 7.
II. Su GR (x) es 4
III. Su coeficiente es 7.
a) sólo II b) sólo I c) I y II d) sólo III e) I y III
04.Son términos semejantes:
a) 5ab2
y 5ab2
b) a2
c y 3a2
b c) 9a2
b y 3a
8
1






−
d) a2
+ d y a+b e) N.a.
05.Hallar el valor de n, para que el grado (2xn+2
y)4
sea 20.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
06.Si el siguiente polinomio es homogéneo:
P(x, y) = 10x5
+ 3xn
y2
+ 2xm
y4 – 5
yr – 1
Hallar: 2m + 3n – r
a) 5 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12
07.Si el polinomio es completo. Hallar n
P(x) = 4xn – 1
+ 3xn – 2
+ 2xn – 3
+ 5
a) –1 b) 0 c) 1 d) 4 e) 3
08.Indique verdadero o falso:
I. P(x) = x2
+ 3x + 2 es una EA racional fraccionaria.
II. abx2
y3
, con ab constante es de grado absoluto 3.
III. Senx + x–x
es una expresión algebraica.
a) VFF b) FFF c) FFV d) VVF e) FVF
10.Dada la expresión:
2
b4
x
yx
−
Hallar: GA + GR (x) + GR(y)
a) 3 b) 5 c) 8 d) 9 e) 12

POLINOMIOS ESPECIALES
Se denomina así a un conjunto de polinomios que gozan de características especiales, llámese la
ubicación de sus términos o por el comportamiento de los exponentes que afectan a sus variables. Entre
los más importantes tenemos.
A. Polinomio Ordenado
Es todo aquel polinomio cuyos exponentes de una de sus variables (llamada letra ordenatriz) van
aumentando o disminuyendo de izquierda a derecha según que el orden sea creciente o decreciente
respectivamente.
Ejemplo:
P(x, y) = x9
+ 2 x4
y2
+ 2x2
y3
- 3xy2
+ 7
Con respecto a “x” está ordenado en forma decreciente.
Q(x, y) = 3x11
y2
- x6
y4
+ 62
x3
y5
+ y8
Con respecto a “x” está ordenado en forma decreciente.
Con respecto a “y” está ordenado en forma creciente.
B. Polinomio Completo
Un polinomio es completo con respecto a una de sus variables, cuando contienen todos los
exponentes desde el mayor en forma consecutiva hasta el exponente cero inclusive (término
independiente), de uno en uno sin importarnos el orden de su presentación.
Ejemplo:
P(x) = 2x2
-5x4
+3x3
-7x + 1 →Term. Indep.
2° 4° 3° 1° 0°
Tiene todas las potencias de la letra “x” desde la potencia 4 hasta cero. Luego diremos que P(x) es
un polinomio completo con respecto a “x”, pero desordenado.
Propiedades:
1) En todo polinomio ordenado y completo de una sola variable se cumple que el número de términos
está determinado por el grado relativo aumentado en la unidad.
# términos = Grado Relativo + 1
Ejemplo:
P(x) = 5x 3
+ 2x2
- 6x + 5
Es de 3er grado y tiene 4 términos.
2) En todo polinomio ordenado y completo el menor exponente respecto a una variable es CERO,
denominándose a este término. INDEPENDIENTE, el cual se encuentra al final o al comienzo
cuando el polinomio está ordenado en forma decreciente o creciente respectivamente.
Ejemplo:
F(x) = 4x3
+ 2 x2
- 5x + 3 → 3x0
= T.I.
G(x) = 2 - 5x + 7x2
+ 3x
↓
2x0
= T.I.
3) En cualquier polinomio completo y ordenado y de una variable la diferencia de grados entre dos
términos consecutivos es uno.
Ejemplo:
P(x) = 4x 3 5x 2 + x + 16x0
3
3
2 1 0
1 1 1
4) En cualquier polinomio completo y ordenado, el grado de un término cualquiera es la media
aritmética entre sus extremos de los términos que lo rodean.
Ejemplo:
F(x) = 4x5
- 3 x4
- 2x3
+ x2
+ 7x + 5x0
Lugar: 1° 2° 3° 4° 5° 6°
Gt3 =
2
42 +
= 3
Gt5 =
2
64 +
= 5
C. Polinomio Homogéneo
Son aquellos polinomios cuyos términos (todos ellos) poseen el mismo grado absoluto. A dicho
valor se le denomina grado de homogeneidad (G.H.)
Ejemplo:
P(x, y) = x7
- 3x5
y2
+ 8x3
y4
– y7
G.A.= 7° 7° 7° 7°
P(x, y) es homogéneo de sétimo grado.

Observación:
No existe polinomio homogéneo de una sola
variable, deberá poseer dos o más variables.
Ejemplo:
P(x) = ax6
+ bx6
+ cx6
; no es homogéneo. ¿Por qué?
Porque depende de una sola variable: a, b y c son constantes; entonces se podrá reducir a
un solo término, así:
P(x) = ax6
+bx6
+ cx6
= (a+b+c)x6
= Kx6
D) Polinomio Entero en X
Es aquel que depende únicamente de la variable “x”, siendo sus coeficientes números enteros.
Ejemplo: P(x) = 2x4
- 3x3
+ 7x2
– 2
E) Polinomio Mónico
Es aquel polinomio entero en x que se caracteriza por su coeficiente principal igual a la unidad.
Ejemplo:
P(x) = x2
– 7x + 5; es un polinomio mónico de segundo grado (cuadrático).
Q(x) = 2x + 3 + x3
- 4x2
; es un polinomio mónico de tercer grado (cúbico).
F) Polinomios Idénticos ( ≡ )
Dos polinomios reducidos, son idénticos cuando los coeficientes que afectan a sus términos
semejantes son iguales.
Sea:
P(x) = ax3
bx2
+cx+d ∧ Q(x)=Ax3
+ Bx2
+ Cx + D
Se dice que P(x) ≡ Q(x) (idénticamente iguales , si se cumple que:
a = A , b = B , c = C y d = D.
G) Polinomios Equivalentes ( < > )
Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes adoptan el mismo valor numérico para un
mismo sistema de valores asignados a sus variables.
Ejemplo:
Dados los polinomios:
P(x; y) ≡ (x+y)2
– (x – y)2
∧ Q(x; y) ≡ 4xy
Si ambos admiten el mismo valor numérico para cualquier valor de “x” ∧ “y”, entonces serán
equivalentes; veamos:
Hagamos: x = 2 ∧ y = 1
En P(2; 1) = (2+1)2
- (2-1)2
= 9 - 1 = 8
En Q(2, 1) = 4(2)(1) = 8
Se observa que P(2; 1) = Q(2, 1)
En consecuencia P(x;y)∧Q(x;y) son polinomios equivalentes y se les podrá representar así:
P(x; y) < > Q(x; y)
Observación:
Si dos polinomios son idénticos, entonces también serán Equivalentes, es decir también se
obtendrá el mismo valor numérico para cualquier sistema de valores que se asigne a sus
variables.
Algunos autores utilizan indistintamente los símbolos de identidad (≡) y equivalencia (< >). ¡No
te confundas!
H) Polinomio Idénticamente Nulo (≡ 0)
Un polinomio reducido es idénticamente nulo, cuando los coeficientes de todos sus términos son
nulos o ceros.
Ejemplo:
Si: Ax7
+ Bx6
+ Cx5
+ Dx3
+ E ≡ 0
Se debe cumplir: A = B = C = D = E = 0
Propiedades Adicionales en los Polinomios

i) Para todo polinomio se cumple que su suma de coeficientes se obtiene reemplazando ala variable o
variables con las cuales se está trabajando por la unidad.
∑ Coeficiente = P(1)
ii) Análogamente, el término independiente (T.I.) se obtiene reemplazando a la(x) variable(s) por cero.
T.I. = P(0)
PRACTICA DE CLASE
01.Si el polinomio es homogéneo:
P(x, y) = x5
+ xn
y2
+ xm
y4
+ yr-1
Hallar m + n + r.
a) 5 b) 7 c) 9d) 10 e) 12
02. Determinar la suma de coeficientes del polinomio.
P(x, y) = axa-4
+ bxa+b-5
+ cxc-b+3
Si se sabe que es completo y ordenado decrecientemente.
a) 4 b) 2 c) 3d) 5 e) N.a.
03. Señale el grado del polinomio entero ordenado en forma estrictamente decreciente:
P(x) = x12-a
+ x2a-4
+ x4-2a
a) 5 b) 3 c) 6d) 4 e) 7
04. Si: ax2
+ bx + c ≡ (mx + n)2
. Calcule:
S =
acb
acb
2
2
−
+
a) 5/4 b) 5/3 c) 2/3 d) 2/5 e) 3/2
05. Si el trinomio:
c cab cba ba xxx +++ ++
es homogéneo de 10° grado. ¿De qué grado será el monomio:
c cc aa b x.x.x ?
a) 24 b) 25 c) 27 d) 30 e) 33
06. ¿Cuál será el valor de : A + B + C + D para que el polinomio:
Ax3
+ 2x2
- 3x3
+ 2Cx2
+ 8 - 3Bx + D + 9x
sea idénticamente nulo?
a) 0 b) –2 c) 2d) –3 e) 4
07. dado el polinomio homogéneo:
P(x, y) = xa
+ yb+c
+ xb
yc
+ xc
yb
+ xd
ye
+ xe
yd
Si la suma de todos los exponentes del polinomio es 54. El valor de :
K = a + b + c + d + e, es:
a) 54 b) 27 c) 25 d) 24 e) 40
08. ¿Cuál es el término independiente de:
(x + y + 8z - 5)2
(2x2
- y3
+ z + 3)2
a) 150 b) -225 c) 225 d) 425 e) N.a.
09. Hallar la suma de coeficientes de:
(7x3
- 6x2
)7
(3x - 2)8
(5x4
- 4x3
+ 1)6
a) 32 b) 65 c) 64 d) 128 e) 112

10. Hallar “K” si se cumple la siguiente identidad:
(x+y)7
- x7
- y2
≡ Kxy (x+y)(x2
+ xy + y2
)2
a) 6 b) 8 c) 7d) 5 e) 10
11. El polinomio : x3n-1
+ x3n-2
+ x3n-3
+... + 1
es ordenado y completo. ¿Cuántos términos tiene?
a) 3n+1 b) n c) 3n-1 d) 3n e) n+1
12. Hallar a + b + c en el siguiente polinomio homogéneo:
E = 10xa+3
- 2axb+a
+ (xy)c
- x2
yb+2
a) 10,5 b) 10 c) 11 d) 9 e) 12,5
13. Se conoce que el polinomio:
4xa
+ 3xb
yc
+ xc
yb
+ ya
es homogéneo, ordenado y completo respecto a “x” e “y” según esto. ¿Cuánto vale a + 2b + 3c?
a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10
14. Si: ..... 3xa
yb
+ 5xa-1
y4
+ 7x3
yc
+ ..... son términos consecutivos de un polinomio ordenado,
homogéneo y completo. Entonces a + b + c es:
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
15.Calcular el grado del polinomio entero y ordenado decrecientemente.
P(x) = x2m
+ xm-3
+ x4-m
a) 6 b) 18 c) 20 d) 14 e) N.a.
16.Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo:
P(x) = c(xa
+xb
) + a(xb
+xc
) + b(xa
+xc
) + abc
a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18
17.Hallar la suma de coeficientes de la expresión:
E = [2x2
- 3x + 1]3
(x5
+ 2)2
a) –1 b) 3 c) 4d) 8 e) 0
18. Determinar “m” con la condición que el término independiente del producto (m > 0).
(x + 3)2
(x + 2)3
(x - m)2
(x2
+ 5) sea 1440
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
19.Sabiendo que el polinomio es idénticamente nulo:
P(x)=(a+c-3abc)x2
y + (a+b-6abc)xy+(b+c-7ab)
a, b, c ≠ 0. Calcule A =
2
cba
abc
−






++
.
a) 8 b) 32 c) 64 d) 16 e) 81
20.Halle “a + b + c” si:
4x2
– 14x-48 ≡ a(x+1)(x+2)+b(x+2)(x+3)+c(x+1)(x+3)
a) 34 b) 19 c) -4 d) 4 e) –19
01.Calcular la suma de coeficientes de:
)x()x()x()x(f 142312 115 +−−=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
02.Calcular el Termino independiente de:
)x()x()x()x(f 32213 359 −−+=
a) 24 b) 23 c) 22 d) 21 e) N.a.
03.Calculara el valor del coeficiente del polinomio:
nmnmm y.xn)y,x(P −+= 5234
Si su G.A. es 10 y su G.R.(x) = 7
a) 2 b) 18 c) 4d) 8 e) N.a.

04.Hallar el valor de 5m + 2n con la condición que el monomio:
nmnm y.x)y,x(P 3944 −+=
Sean de G.A.= 53 y de grado relativo respecto a “x” es 20.
a) 22 b) 13 c) 16 d) 33 e) N.a.
05.Sabiendo que:
pnpnnmpm pyynxmx)y,x(P +−−+ ++= 3
es un polinomio homogéneo cuya suma de cuadrados de sus coeficientes es 48, hallar el grado del
polinomio. Nota: m > 0
a) 3 b) 6 c) 4d) 8 e) N.a.
06.Dado el polinomio homogéneo:
++++= + bccbcba yxyxyx)y,x(P
,yxyx deed +
si la suma de todos los exponentes del polinomio propuestos es 42, el valor de:
E = a+ b + c + d + e es:
a) 7 b) 21 c) 14 d) 28 e) 33
07.Dado el polinomio:
+−+−= −− 21 21 nm x)m(x)n()x(P
1112 13 −+++ −− qp x)p(x)q(
Ordenado y completo, la suma de sus coeficientes es:
a) 13 b) 12 c) 15 d) 18 e) N.a.
08.Si P(x) es completo, hallar su grado:
)n...(xxx)x(P 321 32 −+++= términos
a) 2n – 1 b) 2n + 1 c) 2n – 4 d) 2n – 2 e) N.a.
09.Si el polinomio:
13nm12nm y.xy.x)y,x(P +−++ −= 13 45
es homogéneo y la relación de los exponentes de “x” en sus 2 términos es como 3 es a 1. Hallar: m
+ n
a) 7 b) 11 c) 1d) 9 e) N.a.
10. 932 +++= x)b(ax)x(P
2831 x)a(x)c()c()x(Q −+−+−=
Son idénticos. Calcular abc
a) 100 b) 200 c) 400 d) 120 e) N.a.
11.Si el polinomio:
baba x...x)x(P 22 −+ ++=
es completo, ordenado en forma ascendente y tiene 25 términos, entonces la cantidad de términos
que le falta a:
)xxx(x)x(Q aaaba 21 −−+ ++=
para que sea completo es:
a) 10 b) 9 c) 16 d) 15 e) 28
12.Si el grado de homogeneidad del polinomio:
+++= +− pnnm )x,()x)nm(()x(P 50 pm)x)pm(( −+
es 2 entonces el producto de sus coeficientes es:
a) 2 b) 4 c) 8d) 46 e) 64
13.Si el grado del monomio:
6 a
3 4 a3
x
x
)x(M =
es igual a 5, calcular el valor de 4+a
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) N.a.
14.Si el grado absoluto de “P” es 11, determine el valor de “n”
23322213 2 zyxyxyx)y;x(P nnnnnn −−− +−=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.a.
15. El polinomio 214243 xxx)x(P aa −−= −−
está ordenado descendentemente.
Calcular P(2), si (a-4) y (2ª-14) son consecutivos.
a) 70 b) 72 c) 76 d) 80 e) N.a.

119 120
PRODUCTOS
TAREA DOMICILIARIA
01.Sea el binomio:
Q(x;y)= 232535232 3 ybxyxyxayax ba +−+ −+
Calcular: 1ab +
a) 1 b) 5 c) 3d) 4 e) N.a.
02.Calcular la suma de coeficientes del polinomio homogéneo:
)nba(yx)na()y;x(P nn 225 4225
3
−−−+= +
ba8nn )xy)(nnb(y.x 323 25
3
++ −+−
a) 40 b) 36 c) 62 d) 70 e) N.a.
03.Calcular abc en el polinomio:
++−−++−+≡ )x)(x)(b()x)(x)a()x(P 1012213
)x)(x)(c( 1022 ++−
es idénticamente nulo.
a) –2 b) –4 c) –8 d) –12 e) –16
04.En el polinomio:
)x()bax()x(P n 1++≡
Se cumple: P(2) + 130 = b + 4 = a
Además P(x) es mónico. El valor de “n” es:
a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) –1
05.Si P(x) y F(x) son polinomios de primer grado de coeficientes naturales, y además:
F(4) = 19 ∧ P (F(x) –3) ≡ 20x+ 8
Calcular: F (P (4))
a) 112 b) 113 c) 114 d) 115 e) 116
Son productos cuyo desarrollo se conoce fácilmente por una simple inspección. Los más importante
son:
01.BINOMIO AL CUADRADO.
Perfecto
cuadradoTrinomio





2
b2ab
2
a
2
b)(a* +−=−
2
b2ab
2
a
2
b)(a* ++=+
02.SUMA POR DIFERENCIA
* (a+b)(a-b) = a2
- b2
← Diferencia de cuadrados
03.BINOMIO AL CUBO
* (a+b)3
= a3
+ 3a2
b +3ab2
+b3
forma
* (a – b)3
= a3
– 3a2
b +3ab2
– b3
desarrollada
04.BINOMIO POR TRINOMIO
(Suma o Diferencia de cubos )
* (a+b) (a2
- ab +b2
) = a3
+b3
* (a - b) (a2
+ab +b2
) = a3
- b3
05.BINOMIO CON UN TERMINO COMUN
* (x+a)(x+b) = x2
+ (a+b)x + ab
06.PRODUCTO DE BINOMIOS
* (ax+b)(cx+d) = acx2
+ (ad+bc)x +bd

07.TRINOMIO AL CUADRADO
* (a+b+c)2
= a2
+b2
+c2
+2ab+2ac+2bc
forma desarrollada
08.TRINOMIO AL CUADRADO
* (a+b+c)3
= a3
+b3
+c3
+3(a+b)(a+c)(b+c)
forma semidesarrollada
09.IDENTIDADES DE LEGENDRE
* (a+b)2
+ (a - b)2
= 2(a2
+b2
)
* (a+b)2
- (a - b)2
= 4ab
COROLARIO
* (a+b)4
- (a - b)4
= 8 ab(a2
+b2
)
10.IDENTIDADES DE LAGRANGE
* (a2
+ b2
) (x2
+y2
) = (ax+by)2
+(ay - bx)2
a x (- )
b y (+)
11.IDENTIDAD DE ARGAND
* (x2
+x+1) (x2
-x+1) = x4
+x2
+1
* (x2m
+xm
ym
+y2n
)(x2m
- xm
yn
+y2n
) =
= x4m
+ x2m
x2n
+ y4n
• IDENTIDADES AUXILIARES
* (a+b+c) (a2
+b2
+c2
-ab - ac - bc)=
= a3
+b3
+c3
-3abc
* (a+b+c)3
+ 2(a3
+b3
+c3
) =
3(a+b+c)(a2
+b2
+c2
) +6 abc
• IDENTIDADES CONDICIONALES
I) Si a+b+c= 0; se demuestra que:
* a2
+b2
+c2
= -2(ab+bc+ac)
* a3
+b3
+c3
= 3abc
* (a2
+b2
+c2
)2
= 2(a4
+b4
+c4
)
* (ab+aac+bc)2
= a2
b2
+a2
c2
+b2
c2
* Si a2
+b2
+c2
= ab+bc+ac
Donde a,b,c ε R
Se demuestra que: a=b=c
* Si:
a2n
+b2n
+c2n
+…+m2n
= 0
a b c mn n n n2 2 2 2
0+ + + + =...
donde n ε N, es posible sólo si :
a = b = c = ……= m = 0
PRACTICA DE CLASE

01. Simplificar:
E = (a – b) (a + b – c)+ (b – c) (b + c – a)+(c – a) (c + a – b)
a) 0b) a2
c) b2
d) c2
e) a2
+ b2
02. Simplificar:
M=(x – 3)(x – 1) (x+2)(x+4) – (x – 2)(x+3)(x+5) (x – 4) – 12(x + 4) (x – 3)
a) x2
+x+ 5 b) 40 c) 48 d) x2
– x +16 e) 42
03. Simplificar la sgte expresión:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
x x x
x
x x x
x
− + +
−






+ − +
+






1 1
1
1 1
1
7 2 7
3 7
14 12 2 12
3 12
16
a) (x+1)30
b) (x – 1)30
c) x30
d) x e) 1
04. Simplificar :
222 cba4)cba)(cba)(cba)(cba(E ++−−+−−+++=
a) a2
b) b2
c) a2
+ b2
d) 0 e) a2
– b2
05. Si: (x+y+z+w)2
= 4(x+y)(z+w)
calcule el valor de:







=
− −+ + )zx(3 )yw()yx(5 )wz( 832E
a) 2b) 2 – 1 c) 2 – 2 d) 22 e) N.a.
06. Reducir la siguiente expresiva :
32 4824161286432 2)23)(23)(23)(23(E +++++=
a) 3 b) 32
2 c) 6
6 d) 3 e) 4
2
07. Si se cumple que: (x/y)m
+ (y/x)m
= 79
Hallar :
mm
mm
yx
yx
K
+
=
a) 1b) 2 c) 3 d) 2/5 e) N.a.
08. Si se cumple que: a/b + b/a= 7
Calcular el valor de:
a
b
b
a
+
a) ± 1 b) ± 3 c) ± 2 d) ± 4 e) N.a.
09. Sabiendo que: x + 1/x = 2
Calcular el valor de x6
+ 1/x6
a) 1b) 3 c) 64 d) 32 e) 2
10. Si se cumple que: a+b=3 y ab= -2
Determinar el valor de: a5
+b5
a) 243 b) 191 c) 573 d) 373 e) 753
11. Si m + n + p = 0; entonces el valor de:
pmnpmn
)mp()pn()nm( 222
++
+++++
; es:
a) 1b) –1 c) 2 d) –2 e) 0
12. Simplificar:
(a+b+c+d)2
+ (a-b-c+d)2
+(a-b+c-d)2
+
(a+b-c-d)2
– 4(a2
+b2
+c2
+d2
)
a) a2
b) c2
c) b2
d) 0 e) a2
+b2
13. Evaluar la siguiente expresión:
3
333
)xz)(zy)(yx(
9
1
)xz()zy()yx(
−−−
−+−+−
a) 31/3
b) 2 c) 1 d) –1 e) 3
14. Si : x4
- 3x2
+1=0
Calcular : 3 1010 2xxM ++= −
a) 5b) 3 c) 7 d) 4 e) 6
15. Si : 0zyx
333
=++
Calcular :

xyz
)zyx(
G
3++
=
a) 1b) 3 c) 9 d) 27 e) 1/3
16. Hallar el valor numérico de :
E = x6
- 6x4
+9x2
Para : 33
6767x ++−=
a) 12 b) 24 c) 28 d) 56 e) N.a.
17. Simplificar: 







+
−






+
−
+
−
+
22
22
ba
ba
ba
ba
ba
ba
a) 1b) 2 c) a d) b e) N.a.
18. Calcular el Valor Numérico de:
322 22 b)ba(ab)ba()ba( +



 −+++−
Si: 3
4a = b = 3 3
12 −
a) 2b) 4 c) 8 d) 16 e) N.a.
19. Si: x + y + z = 0. Calcular el valor de:
222
222
zyx
)zy3x()zyx3()z3yx(
E
++
+−+−−+−+
=
a) 12 b) 16 c) 9 d) 8 e) N.a.
20. Si se cumple que: )I)...(ba()b(a −+= 12
)II)...(dc()d(c −+= 12
Calcular:
2222
3333
dcba
dcba
E
−+−
+++
=
a) 1b) 2 c) 3 d) 4 e) N.a.
01. Si: x = – 3 Calcular: E =
3x
9x2
+
−
a) –6 b) 6 c) 4 d) 8 e) N.a.
02. Si: 53
x
1
x =+ . Hallar: 22 −+ xx
a) 40 b) 41 c) 43 d) 42 e) N.a.
03. Dado: xx 612 =−
Hallar: 22 −+ xx
a) 10 b) 20 c) 30 d) 38 e) N.a.
04. Si: 2722 =+ − xx aa
Hallar: xx aa −−
a) 6b) 5 c) 10 d) 8 e) N.a.
05. Si: 13333 =+yx y 70=+ )yx(xy
Calcular: x + y
a) 7b) 5 c) 10 d) 8 e) N.a.
06. Dado: 29222 =++ cba
9=++ cba
Hallar: A = ab + ac + bc
a) 24 b) 23 c) 26 d) 21 e) N.a.
07. Si: a – b = b – c = 3 3
Calcular:
10
)ca()cb()ba(
A
333 −+−+−
=
a) 1b) 2 c) 3 d) 4 e) N.a.

08. Si: 3
x
1
x =+
Calcular: 55 −+ xx
a) 123 b) 124 c) 121 d) 128 e) N.a.
09. Calcular:
x
y
y
x
M +=
Siendo: 7
x
y
y
x
=+
a) 1b) 3 c) 2 d) 8 e) N.a.
10. Siendo: a – b = 5 ab = 4
Hallar: 33 ba −
a) 185 b) 180 c) 144 d) 130 e) N.a.
11. Si: 4
x
1
x =+ Hallar:
3
3
x
1
x +
a) 50 b) 54 c) 52 d) 48 e) N.a.
12. Si: 2
a
1
a =+
Halle:
1996
1996
a
1
aA +=
a) 1b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13. Si: a + b = 2, ab = 3
Calcular:
22
33
ba
ba
A
+
+
=
a) 5b) 10 c) 15 d) 20 e) N.a.
14. Si: a + b + c = 0
Entonces:
222
222
cba
)a2cb()b2ca()c2ba(
A
++
−++−++−+
=
a) 1b) 3 c) 9 d) 9,5 e) N.a.
15. Si: a + b + c = 3 9222 =++ cba
Calcular: 222 )cb()ca()ba(A +++++=
a) 18 b) 9 c) 12 d) 21 e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
01.Hallar el coeficiente del término de grado 5 del producto total en:
)x)(xx)(xx( 1243213 2245 +−++−
a) 12 b)13 c)17 d) 19 e) N.a.
02.Hallar “m” para que en el producto resultante, el termino de grado 4º tenga como coeficiente 21.
a) 2b) 3 c) 4 d) 6 e) N.a.
03.Hallar “m” para que en el producto resultante, el término de grado 3º tenga como coeficiente 7.
)mx)(xmx)(xm( −+−+ 133 22
a) 2b) 3 c) 4 d) 6 e) N.a.
04.Hallar el grado absoluto del producto total en: )......x)(x)(x( 111 242322 +++
20 factores en total
a) 610 b) 620 c) 630 d) 440 e) 800
05. Hallar el grado absoluto del producto total en:
).......x)(x)(x)(x 1111 8036122 ++++
a) 3025 b) 3045 c) 3065 d) 3410 e) 385
PRACTICA DE FIJACIÓN DEL APRENDIZAJE

01. ( )( )( )( ) 112121212 488
+++−+
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.a.
02.Efectuar:





 ++




 −+




 +−




 + 1241212412
666666
a) 2√2 b) 6
22 c) 3
32 d) 3
16 e)
N.a.
03.Si: x – y = 7 ; xy = 5
Calcular: x2
+ y2
a) 49 b) 25 c) 24 d) 59 e) N.a.
04.Si: x3
+ y3
= 10
xy = 6
Calcular: (x + y)3
– 18(x + y) + 20
a) 50 b) 40 c) 30 d) 20 e) 10
05.Reducir:
( ) ( ) ( )( ) 21aa1a21a1a 233
−++−−−++
a) 3a b) 2a c) 6a d) 4a e) 5a
06.Calcular: ab + ac + bc, sabiendo que:
a2
+ b2
+ c2
= 10
a + b +`c = 8
a) 54 b) 27 c) 9 d) 8 e) 64
07.Si: x2
+ 1 = 3x
Hallar: x3
+ x-3
a) 36 b) 24 c) 18 d) 29 e) 31
08.Reducir:
(x+2) (x+3) (x+4) (x+5) – x2
(x+7)2
– 120
a) 22 b) 11 c) 22(x+7) d) 22x2
+154x e) 22x2
+154
09.Efectuar:
(a+b)4
– (a –b)4
+ 8ab (a+b) (a-b)
a) 8a3
b b) 8ab3
c) 16ab3
d) 16a3
b e) N.a.
10.Reducir:
(x+2) (x - 3) (x - 5)- x2
(x - 1)2
+26 (x2
-x+4)
a) 220 b) 221 c) 222 d) 223 e) 224
11.Reducir:
(x+1)2
(x-1)2
(x2
+x+1)2
(x2
-x+1)2
– (x6
+1) (x6
-1)
a) x6
+ x3
– 1 b) x6
– 1 c) – 2x6
+ 2 d) x6
+ x –1 e) x12
+ x2
– 1
12.Hallar:
x2
+ (x – a)2
+ (x – b)2
+ (x – c)2
Para: x =
2
cba ++
a) a2
+ b2
+ c2
b) 0 c) abc d) 4abc e) 2(a + b + c)
13.Efectuar:
(x+1) (x-1) (x4
+x2
+1) (x6
-x3
+1) (x6
+x3
+1)
a) x18
– 1 b) – x18
+ 1 c) x18
+ x9
– 1 d) x18
+ 1 e) x 18
14.Si:
(x – a) (x –b) (x – c) ≡ x3
+ 5x2
+ 15x – 10
Hallar: a3
+ b3
+ x3
a) – 50 b) – 60 c) – 70 d) – 80 e) N.a.
15.Siendo: a + b = 3 y ab = 3
Calcular:
M = (a + a2
+ a3
+ a4
) + (b + b2
+ b3
+ b4
)
a) 3 b) – 3 c) – 2 d) 2 e) 1
PRACTICA CALIFICADA

119 120
DIVISIÓN ALGEBRAICA DE
01.En la expresión:
(3m4
– am2
)2
= 4ma
– bm6
+ 9mc
, entonces el valor de: (b – a) (c – d) es:
a) 4 b) 5 c) 27 d) 12 e) 3
02.Si: p + q + r = 0, entonces simplificar:
3
222
prqrpq
)rp()rq()qp(
++
+++++
se obtiene:
a) 3
3 b) 3
3− c) 3
2− d) – 1 e) 1
03.Si a = 3, entonces el valor de:
16 842
1)1a()1a()1a(8 ++++ es:
a) a2
b) √3 c) 3 d) 6 e) 27
04.Si:
(a –b) ( a + b) = 49, a2
+ b2
= 337 y √a + √b = 7, entonces el valor de
ba
ab
−
, es:
a) 125 b) 145 c) 144 d) 120 e) 140
05.Si:
(x + y + z + w)2
= 4 (x + y) (z + w)
Calcule el valor de:
( )












=
− −+ + )zx(3 )yw(yx5 )wz(
832E
a) 2 b) 2-1
c) 2-2
d) 22
e) N.a.
Objetivos
 Conocer los métodos de división de polinomios.
 Buscar la aplicación de la división a capítulos posteriores.
 Hallar los restos de algunas divisiones en forma directa.
Introducción
La operación de la división aparece y se desarrolla conjuntamente con los números quebrados al
llamarles números ruptos (rotos) y empleó la raya de quebrado para separar el numerador del
denominador. En el siglo XVI aparece la reducción de quebrados a un común denominador por medio
de M.C.M.
La división de polinomios se simplifica cuando aparecen los trabajos de Guillermo Horner y Paolo
Ruffini; donde se muestran esquemas que hacen que la división de polinomios sea mas sencilla.
La división de polinomios tiene mayor aplicación en la teoría de ecuaciones. A continuación
desarrollaremos una aplicación importante del Horner al cálculo de la suma de las potencias de las
raíces de una ecuación polinominal.
Ejemplo:
Sea polinomio; P(x) = x3
- x2
+11x - 6 donde se sabe que las raíces son: x1=1; x2=2; x3 =3 ahora
obtendremos el polinomio: P(x) = 3x2
– 12x + 11 (llamado también la derivada de P (x)).
Luego dividimos :
)x(P
)x('P
por Horner.
Lo que se obtiene en el cociente representa :

36xxxS
14xxxS
6xxxS
3xxxS
3
3
3
2
3
13
2
3
2
2
2
12
3211
0
3
0
2
0
1o
=++=
=++=
=++=
=++=
1 3 -12 11
6 18 -33 18
-11 36 -66 36
6 84 -154 84

o
S
3
↓
1
S
6
↓
2
S
14
↓
3
S
36
↓ 
Lo cual se verifica teniendo en cuente que : x1= 1;
x2 = 2; x3 = 3; como se planteó al inicio.
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Definición
Es aquella operación donde a partir de dos polinomios llamados dividendo y divisor se obtienen otros
dos polinomios llamados cociente y residuo; donde estos 4 polinomios cumplen la siguiente identidad.
D(x) ≡ d(x) q(x) + R(x)
Divisiónla
deAlgoritmos
Donde :
D(x)= Polinomio Dividendo
d(x)= Polinomio Divisor
q(x)= Polinomio Cociente
R(x)= Polinomio Resto ó Residuo
Además : Grado [d(x)] > Grado [R(x)] ∨ R(x)=0
PROPIEDADES DEL GRADO
♦GR [d(x)] ≥ GR [d(x)]
♦Máximo GR [R(x)]= GR [R(x)]-1
♦GR [q(x)] = GR [D(x)] - GR [d(x)]
Clasificación de la División
A. División Exacta 0)x(R ≡↔
Del algoritmo: D(x) )x(R)x(q)x(d +≡
⇒ )x(q
)x(d
)x(D
≡
B. División Inexacta 0)x(R ≠↔
Del algoritmo: D(x) )x(R)x(q)x(d +≡
⇒ )x(d
)x(R
)x(q
)x(d
)x(D
+≡
Métodos para Dividir
Para dividir polinomios; se van a desarrollar dos métodos :
A. Método de Horner
Este método utiliza coeficientes separados de acuerdo al esquema.
:
"k" columnas
RESTO
D I V I D E N D O
COCIENTE
D
I
V
S
O
R
I
mismo
signo
cambiados
signo
NOTA
K = Grado de Divisor
Ejemplo:
Dividir:
5xx2
2x5x2xx2
23
2345
+−
+++−

Primero completamos los polinomios:
D(x) ≡ 2x0x5x2xx2 2345 ++++−
D(x) ≡ 5x0xx2
23
++−
Llevamos al esquema:
1 2 -1 2 5 0 2
1 1 0 -5
0 0 0 0 0
-5 2 1 0 -5
1 0 1 1 0 -3
q(x) R(x)
q(x)= 1x2
+ 0x + 1 =x2
+ 1
R(x)= 1x2
+ 0x – 3 = x2
– 3
B. Método de Ruffini
Es una consecuencia del método de Horner que se aplica cuando el divisor es de la forma:
d(x) = ax + b ; a ≠ 0; de acuerdo al esquema:
RESTO
D I V I D E N D O
COCIENTE FALSO
-b
x= a
ax+b= 0
Donde:
verdadero
cociente
=
a
falsocociente
Ejemplo :
Dividir:
1x3
3xx17x13x6x8x3 23456
−
+−++++
como están completos y ordenados llevamos al esquema:
3x-1=0 3 8 -6 13 17 -1 3
X=1/3 1 3 -1 4 7 2
3 9 -3 12 21 6 5
q(x)Falso R(x)
q(x) verdadero =
3
621123-93
q(x) = 1x5
+ 3x4
– 1x3
+ 4x2
+ 7x + 2
R(x) = 5
Teorema del Resto
Este teorema nos permite hallar el resto de una división en forma directa; de acuerdo al enunciado:
Sea P(x) un polinomio no constante; entonces el resto de dividir P(x)entre: (x - a) es P(a).
Demostración:
Del algoritmo: P(x) ( ) ( ) Rxqax +−≡ para:

⇒+=⇒= R)a(q0)a(Pax R)a(P =
Ejemplo:
Sea P(x) un polinomio no constante.
♦ El resto de
5x
P
−
es P(5)
♦ El resto de
4x
)x(P
+
es P(- 4)
Procedimiento Práctico
I.I gual a cero el divisor.
II. Reemplazar en el denominador.
Ejemplo :
Hallar el resto de :
2x
1xx
5
−
−+
I. 2x02x =→=−
II. Resto = 331225 =−+
Generalización del Teorema del Resto
El teorema del Resto también se aplica para divisores de la forma: ax +b ; a ≠ 0 ; y para divisiones de
grado mayor que uno de acuerdo al siguiente procedimiento:
I. Se iguala a cero el divisor y se despeja lo más conveniente.
II. Se reemplaza en el numerador; hasta obtener un polinomio de grado menor que el grado del
divisor el cual será el resto.
Ejemplo:
Hallar el resto de:
( )( )( )( )
1x5x
4x4x3x2x1x
2
2
−+
−+++++
Resolución:
Por el T.R. Generalizado:
I. 1x5x01x5x 22 =+→=−+
II. Resto = 4x6x5x4x5x 222 −+



 ++



 ++
(1) (1)
= (5) (7) + x2
– 4
1 –5x
= 35 +1 – 5x – 4 = -5x +32
∴ Resto = -5x +32
PRACTICA

01.Halle la suma de los coeficientes del cociente de:
3x3x5
3x3bxx5x25
2
234
−−
++++
. Sabiendo que su
resto es: 5cx
a) 5 b) 1 c) 9 d) 6 e) 8
02.La expresión (x2
+2x+5) será un factor de (x4
+px2
+q), cuando el valor de “pq” es:
a) -150 b) 150 c) 250 d) -250 e) 400
03.Si el resto de dividir:
1x2x3
nmxx8x5x4x6
2
2345
++
+++++
es: “px+q”. Calcular el valor numérico
de:
)5p(n
)2q(m
+
+
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
04.Halle m+n+p si:
23
235
x3x2
npxmxx4x8
++
++++
arroja como resto 5x2
- 3x+7
a) 0 b) 27 c) 12 d) 10 e) 18
05.Si la siguiente división
1xx
dcxbxaxx
2
234
−−
++++
Calcule el valor de:
dac
dba
−+
++
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
06.En la siguiente división
3xx2
INxUxDxAx
23
235
++
++++
; el resto es 5x2
- 3x+7. Calcule el valor de
A+D+U+N+I. Sabiendo que el resto de dividir:
1x
Ax
−
+
es 9; y el resto de dividir:
2x
Dx
−
+
es 6.
a) 19 b) 29 c) 39 d) 49 e) 59
07.Encontrar el resto de la división:
1x2
7xx6x2x4
3
36912
+
+−++
a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 0
08.En la siguiente división efectuado por el método de Horner:
b
-1
1
a d
c
c e
-3 2
e -e
1 e
-c
Calcule a - b - c + d + e; si los coeficientes del dividendo suman -10.
a) -1 b) 2 c) 10 d) 0 e) 1
09.Si la división indicada:
λ+−+
−−+
x4x3x
x8x3x7x2
23
345
, ofrece un residuo lineal. ¿Cuál es éste?
a) -2x b) -x+2 c) x+2 d) -2x+1 e) 2x - 3

10.La división siguiente
bxx
axbx6bxx3x2
2
2345
+−
+++++
, se sabe que el resto es 2x+3, además la suma de coeficientes
del cociente es mayor 1ue 15. Calcule ab.
a) 4 b) 9 c) 7 d) 2 e) 8
11.Calcule (mn+np+mp) si el resto de la división:
2x5x2
6x6pxnxmx
2
234
+−
++++
es -5x+8
a) -12 b) -16 c) -137 d) 124 e) 46
12.Calcular “a+b” si la división
1x2x
1bx)b6(x)a12(x)a3(2ax
2
2345
−+
−+−−−+++
Da un cociente que evaluado para x=2 es igual a 39 y a; b ∈ Z+
a) 1 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
13.Si x1, x2, x3 son las raíces del polinomio P(x)=x3
+2x-1. Averigüe el residuo de:
xx
x
1
x
1
x
1
P)x(P
3
321
+








++−
a) 0 b) 2x - 12 c) 2x – 1 d) x – 12 e) 2x+1
14.Halle “a” si el polinomio P(x) = xn
-axn-1
+ax-1; es divisible por F(x)=(x-1)2
a) 2 b)
1a
a2
+
c)
1a
a2
−
d) 8 e) 6
15.Halle el residuo en la división:
2x2x
1xx256x
2
162036
+−
−+−
a) 200 b) 150 c) 10 d) 255 e) 100
16.Calcule el resto de dividir:
(x3
- 3x2
+9x - 5) ÷ )124x( 33 −+−
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
17.Halle el resto de dividir:
)1x)(1x)(1x)(1x(
4xxx
842
174832
++++
+++
a) x+6 b) x - 1 c) 2x -1 d) 4x e) 6x
18.Sea la división de polinomios:
1xx
4x7x2x
2
46
+−
+++
. Indicar el resto de la división:
a) x+3 b) x - 1 c) 5x+5 d) 2x e) x
19.Si se sabe que en la división:
;
)3x)(1x(
)6x.()2x(
n
++
++
n ∈ Z n es par, el término independiente del cociente igual a 510. Calcule
el valor de “n”.
a) 5 b) 8 c) -1 d) 6 e) 0

20.Halle el resto de:
1xx
x)1x(7
714
10597
++
+++
a) x7
+1 b) x2
+1 c) 7 d) 6 e) 5
TAREA DOMICILIARIA
01.Si la división de: (Ax4
+Bx3
-16x2
+9)÷(3-x-2x2
) es exacta. Determine el valor de (A/B)
a) 1/6 b) 3 c) 6 d) 1/3 e) 9
02.En la siguiente división:
)1x)(7x)(5x)(x3(
7x2bxaxx71x2
2345
−++−
+++++
el resto es: 72x + c. Hallar a + b - c
a) -5 b) -10 c) 0 d) 10 e) 5
03.Calcular “k” si: P(x,y,z) = x3
+y3
+z3
+ kxyz; es divisible por: x+y+z
a) 3 b) -3 c) 0 d) 1 e) -1
04.Calcular el resto de:
1xx
5)xx(x
2
32
3
3
3
++
−++
a) -7 b) 0 c) 1 d) -5 e) -1
05.Dado:P(x)=2x5
- 3 x4
+5x3
-6 3 x2
+6x+4 3 .
Calcule P(
3
)
a) 0 b) 16 3 c) 3 d) - 2 e) 3
1nx
nnx5x)nn(x)3n(nx3
322324
−
+++−−+ La suma de coeficientes del cociente más el
resto es igual a 19; calcular “n”, si n ∈ N
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
07.Halle el residuo de la división:
)2x)(3x(
7)2x()3x(
35
++
++++
a) 2x+12 b) x+6 c) x+6 d) 5x – 1e) 3x+6
08.Halle el resto al dividir en:
)3x()1x(
)6x)(5x()1x(
2
3
++
+++
a) -12 (x+1)2
b) -6x+1 c) 2x d) 5x - 1
e) x+3
09.Si: f(x) y g(x) tiene como divisor común a (x-1) halle el residuo de la división:
1xx
)x(g)x(xf
2
33
++
+
a) 1 b) 0 c) 6 d) x+1 e) 2
10.Sea P un polinomio en x divisible por (x3
-25x+42). ¿Cuál será el residuo al dividir P(x) entre (x -
2)?

a) 2 b) -2 c) 0 d) 1 e) -1
PRACTICA
01.Calcular la suma de coeficientes del cociente, luego de dividir:
2x6x5
3x7x6xx5
2
345
+−
+−+−
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
02.Calcular “a+b”, si la división:
1xx3
baxx4xx6
2
245
−+
++−−
es exacta.
a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3
03.Calcular “a-b”, si la siguiente división es exacta:
ax2x3
bx10x5x4x6
2
234
++
+−−+
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) N.a.
04.Proporcione el residuo de dividir:
ACxx
BAxx
2
3
++
++
; sabiendo que es equivalente al cociente.
a) x - 1 b) 2x + 1 c) 2x - 1 d) x + 2 e) x - 2
05.En la división:
3xx3
cxbx5ax2x6
2
245
+−
++−
se obtiene un cociente entero cuyos coeficientes disminuyendo de 2 en 2 y un resto de grado cero.
Calcular
3
cba ++
.
a) 1 b) -1 c) 3 d) -3 e) -5
06.Dividiendo por Horner:
1 a 3 -20 1 f
p -7 b
3 4 c
d e
7 -4 5 -16 10
Luego:
P = a + b + c + d + e + f
a) 21 b) -12 c) 0 d) 12 e) -21
07.Determine k− para que el coeficiente del término lineal del cociente entero valga (-45) en la
división:
3x
7kxx6x2 235
−
−+−
a) -81 b) 81 c) 9 d) 6 e) 8
08.Al dividir : 90x21x10x 35
+−− entre “x-α”; el tercer término del cociente es “ 2
x− ”.
Hallar α
a) 3 b) -3 c) ± 2 d) ± 1 e) ± 3
09.hallar el resto de dividir:
bax
bax)baba(x)ba(xx)ab(x 33222345
+−
+++++−−+−+
a) 3
b2 b) 2a c) 2b d) 3
a2 e) ab
10.Para efectuar una división según la regla de “Paolo Ruffini” se planteó el siguiente esquema:
4 -3 -b a
2 2
a 1 8a c m
4 b d n

Calcule dn + .
a) 3 b) 4 c) 5 d) 12 e) 15
11.Efectuar:
31x
13x313x13x2x
2
234
−+




 ++



 −+



 −++
Indique el resto.
a) 1 b) 7 c) 13 d) 8 e) 9
12.Hallar (m-n) si la división:
5x4x6
15x13x22nxmx
2
234
+−
−−+−
es exacta.
a) -20 b) -21 c) -22 d) -23 e) 24
13.Proporcione el cociente luego de efectuar la siguiente división:
2x
5x4x9x4
3
3912
−
−+−
a) 8x2xx4 369
−−− b) 8x2xx4 23
−−− c) 8xx4 23
−−
d) 2xx4 69
+− e) 8x2xx4 369
+++
14.Halle el resto en :
2x
3xx64x128x16x8 2651819
+
−++++
a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) -7
15.Si el polinomio: 4m1m5m5
2xn3xn +−
+− ; es divisible entre (x-2) el valor de “n” es :
a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3
16.Sabiendo que: P(x) = 16x8x 2
+− , hallar el resto de dividir: P(x+3) entre (x+2)
a) 36 b) 16 c) 49 d) 9 e) 4
17.Calcular “m+n+p”, si el resto de la división:
1x
1x3nxmx
3
568
+
−−+
es : 5pxx8 2
−− .
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
18.Calcular el resto de dividir:
1x2
3x4x5x8
4
4820
+
+−+
a) 6 b) -6 c) 3 d) -3 e) 1/2
19.Hallar el resto luego de dividir:
( ) ( )
12x7x
64x3x
2
47100
+−
+−+−
a) x - 2 b) 2x + 1 c) x - 1 d) 2x + 2 e) 2x - 1
20.Proporcione el residuo de :
( ) ( )
( )( )2x4x
2x3x 20
++
−+
a) x - 1 b) x - 2 e) x - 3 d) 2x - 1 e) 0

TAREA DOMICILIARIA
01.Calcular “a” y “b” si la siguiente división es exacta.
2xx5
baxx15x11x5
2
234
−−
+++−
a) a=1 b) a=2 c) a=1 d) a=4 e) N.a.
b=5 b=-6 b=-6. b=7
02.Calcular “a+b” si la división:
1xx
baxx5x3x
2
234
+−
+++−
deja por residuo: 7x + 8
a) 10 b) 12 c) 14 d) 13 e) 17
03.Calcular el resto de la división:
( ) ( )
2x
x63x3x2 45
+
−+++
a) 1 b) -6 c) -3 d) 12 e) N.a.
04.Dividiendo por Ruffini:
8 c (c-2) 2
b 16 22 f
a 11 d 32
Evaluar:
ba
fdc
+
++
a) 10 b) -6 c) 15 d) 12 e) N.a.
05.¿Qué valor deberá asignarse a “α” para que el polinomio: 5x3
- α(x2
+ x - 1) admita como divisor a:
5x2
+2x-4.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
06.Calcular el valor de “n”, si en la división:
2x3
n2nx9nx4x)2n4(x)3n(nx3 2345
−
−+−−+++
Se cumple: restox2Q. )x(.coef =Σ
( )x(Q → cociente)
a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
07.Calcular el resto de dividir:
1x5x
25)4x)(3x)(2x)(1x(
2
+−
+−−−−
a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70
08.Sea el polinomio:
f(x)= 224
x62462x321x23 



 −−+



 −+−



 +
Hallar su valor numérico para x = 23 −
a) 2 b) 0 c) 1 d) 3 e) 5
09.Determinar la suma de coeficientes del cociente que se obtiene al dividir:
( )bxx2x4 7980
++− entre (x -1).
a) 153 b) 163 c) 173 d) 183 e) 193
10.Si la siguientes división:

119 120
DIVISIBILIDAD
( ) ( )
ABxAx
AxBABxxBAABx
2
22322
++
++++++
da por resto: BAxR )x( += .
Determinar :
B
1A −
.
a) -2 b) 4 c) -3 d) 3 e) 5
1. CEPUNT 96 : II SUMAT. AREA “A”
Calcular m , sabiendo que la división :
:exactaes;
2x3x
2x5mxx
2
23
++
+++
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) N.A.
2. CEPUNT 98 - 99
El residuo de la expresión :
( ) ( )[ ]
a
babaab3b 4222
−−++ ; es :
a) 2
ba − b) 1- b c) 1 d) 0 e) N.A.
3. UNT - 99 : AREA “A”
Si el polinomio cbxaxx 23
+++ es divisible por ( ) ( )3x,2x −+ y ( 1x − ) entonces el
valor de:





 +
c
ba
7
3
es :
a)
2
1
b)
6
7
c) -
6
7
d)
2
1
− e) 2
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA
01.Hallar m sabiendo que:
P(x) = 2mx4
– mx3
+ 6x – 24 es divisible entre: 2x2
–x + 4
a) 4 b) 3 c) 6 d) 7 e) 2
02.Determinar M y N de manera que el polinomio:
x4
+ 2x3
– 7x2
+ Mx + N sea divisible entre x2
– 3x + 5
a) 14 y 13 b) 15 y 16 c) 13 y 12 d) 16 y 15 e) N.a
03.Qué valor debe tener k para que el polinomio:
P(k)=x6
+2x5
+ kx4
– x3
+ 2(8 + k)x2
+ 6x – 18, sea divisible por x3
+ 2x2
– 3
a) 2 b) –2 c) 3 d) –3 e) 4
04.Si al dividir: 12x4
+ Mx3
+ Nx2
+ 25x – 15 entre un polinomio de segundo grado, se obtuvo como
cociente 4x2
+ 3x – 2 y como residuo 6x – 5. Calcular M + N
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
05.Hallar un polinomio de cuarto grado en variable “x”, que dé como residuo 2x al dividirlo por (x-1)2
y dé como residuo 3x al dividirlo por (x-2)3
.
a) (x-3)3
(3x+1) + 2 b) (x-2)2
(4x+3) + 3x
c) (x-2)3
(4x – 3) + 3x d) (x – 2)3
(3x + 1)+ 2x
e) N.a
06.Encontrar el valor de K para que el polinomio: x3
+ y3
+ z3
+ (k – 9) x y z, sea divisible por x + y
+ z.

a) 1 b) 3 c) 6 d) 5 e) 4
07.Al dividir un polinomio P(x) entre el producto (x+1) (x-2) (x+3) el resto obtenido es x2
–
5x+1. Encontrar cuáles son los restos que se obtiene al dividir P(x) entre x + 1 ; x-2 ; x+3
a) 7; -3 ; 12 b) 14; 13; -15 c) –13; 12; 15 d) –8; 13; 15
e) 7; -5; 25
08.Al dividir un polinomio P(x) entre (x+3) se obtuvo por residuo –5 y un cociente cuya suma de
coeficientes es igual a 3. Encontrar el residuo de dividir P(x) entre (x –1).
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
09.Un polinomio de cuarto grado es divisible entre (x+2) tiene raíz cuadrada exacta. Al dividirlo entre
(x – 2) y (x + 1) los restos obtenidos son iguales a 16. Calcular la suma de sus coeficientes.
a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) N.a
10.Determinar un polinomio P(x) de quinto grado que sea divisible entre (2x4
– 3) y que al dividirlo
separadamente entre (x+1) y (x-2) los restos obtenidos sean respectivamente 7 y 232.
a) 12x5
– 3x4
– 15x + 6 b) 10x5
– 4x4
+ 15x + 6
c) 12x5
– 4x4
– 15x + 6 d) 10x5
– 4x4
– 15x+7
e) 10x5
– 3x4
– 15x + 6
11.Encontrar un polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente entre (x+3),
(x+2) y (x-5), se obtenga siempre el mismo residuo (- 6) y al dividirlo entre (x + o1) el resto sea (-
42).
a) 3x2
– 57x – 95 b) –3x3
+ 57x – 95 c) x3
+ 57x – 96
d) 3x3
– 57x – 96 e) –3x3
+ 57x – 59
12.Un polinomio entero en “x” de tercer grado se anula para x = 7 y para x = -3 y el dividirlo entre (x –
10) da como residuo 39 si el primer coeficiente del polinomio es 3.
Hallar el resto al dividirlo entre (x – 8).
a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56
13.Un polinomio de grado “n” y variable x es divisible entre (xn-1
+ xn-2
+1) y tiene por término
independiente 2. Además dicho polinomio disminuido en 9 es divisible entre (x – 1) y disminuido
en 388 es divisible entre (x – 2). Calcular el valor de “n”.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
14.Cuál es la suma de coeficientes de un polinomio P(x) si se sabe que es mónico y de tercer grado,
siendo divisible entre (x-2) (x+1) y carece de término cuadrático.
a) 2 b) –5 c) –4 d) 8 e) –3
15.El siguiente polinomio:
P(x) = (x2
– n2
) (x3
– m3
), se anula sólo para 4 valores diferentes de x. Calcular el resto de dividir
entre (x – 2n)
a) 27n5
b) 29n5
c) 25n5
d) 24n5
e) 21n5
16.Al efectuar la división del polinomio P(x) entre (x2
+1) se obtiene como residuo (x – 2). El resto que
se obtiene al dividir el cubo del polinomio P(x) entre x2
+ 1 es:
a) x – 11 b) x – 2 c) 11x-2 d) 11x-8 e) 11x + 2
17.Al dividir un polinomio P(x) entre (x2
+ 2) se obtiene un cociente Q(x) y un resto (3x – 1).
Si Q(x) es divisible entre (x2
– x – 6) el resto de dividir P(x) entre (x+2) es:
a) 5 b) –5 c) 7 d) –7 e) 6
18.Si el polinomio P(x) se anula para x = 1, x = 2, x = 3, además es de cuarto grado y divisible por (x
– 5), se pide calcular la suma de coeficientes de P(x) si presenta como primer coeficiente a la unidad.
a) 3 b) 4 c)5 d) 1 e) 0
19.Señalar la suma de coeficientes de un polinomio en x, de tercer grado, que es divisible por (x
+ 1) y al dividirlo entre: (x – 1), (x – 2) y (x – 4) presenta en cada caso el mismo resto 30.
a) –4 b) –2 c) 30 d) 6 e) 7
20.Determinar el residuo de dividir un polinomio P(x) entre: x3
+ x2
+ x + 1 siendo dicho resto divisible
por (x – 1), además el polinomio disminuido en 2 unidades es divisible por (x2
+1). Señale como
respuesta la suma de los cubos de sus coeficientes.
a) –8 b) –3 c) 3 d) 0 e) 8

119 120
COCINTES NOTABLES
Reciben este nombre aquellos que se originan de divisiones que adquieren la forma :
+
∈
±
±
Zn,
ax
ax nn
El desarrollo de estos cocientes se puede escribir correctamente sin necesidad de efectuar la división. Es
importante hacer notar que los términos de su desarrollo se caracterizan por que obedecen a una misma
ley de formación, de la forma general :
Exponente común
ax
ax nn
±
±
Bases
Podemos extraer las siguientes características :
* El Dividendo y el Divisor deben ser binomios, o cualquier otra expresión que se reduzca a ellos.
* Las bases están indicadas en el divisor, debiéndose repetir en el dividendo.
* Los exponentes que afectan a las bases en el dividendo deben ser iguales y nos indicará el número
de términos que tendrá en su expresión el cociente notable.
2. ESTUDIO DE LA DIVISION NOTABLE .-
Se presentan 4 formas o casos distintos de divisiones notables, que lo vamos a determinar
combinando adecuadamente los signos.
Primero Caso :
ax
ax nn
−
−
Aplicamos el Teorema del Resto :

x − a = 0 → x = a
Reemplazamos en el Dividendo :
R = an
− an
→ R = 0
Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente exacto. Luego el cociente es :
1n2n23n2n1n
nn
axaaxaxx
ax
ax −−−−−
+++++=
−
−
...
Segundo Caso :
ax
ax nn
−
+
Aplicaremos el Teorema del Resto :
x − a = 0 → x = a
R = an
+ an
→ R = 2ªn
≠ 0
Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente completo o cociente mixto. Luego
el cociente es :
ax
a2
axaaxaxx
ax
ax n
1n2n23n2n1n
nn
−
++++++=
−
+ −−−−−
...
Tercer Caso :
ax
ax nn
+
−
Aplicamos el Teorema del Resto :
x + a = 0 → x = − a
Si n es un número par
R = 0
Origina un cociente exacto
R = (−a)n
− an
→
Si n es un número impar
R = − 2an
≠ 0
Origina un cociente completo
Luego el cociente obtenido es :
Si “n” es un número par
1n2n23n2n1n
nn
axaaxaxx
ax
ax −−−−−
−+−+−=
+
−
...
Si “n” es un número impar
ax
a2
axaaxaxx
ax
ax n
1n2n23n2n1n
nn
+
−+−−+−=
+
− −−−−−
...
Cuarto Caso :
ax
ax nn
+
+
Aplicaremos el Teorema del Resto :
x + a = 0 → x = − a
Si n es un número par
R = 2an
≠ 0
Origina un cociente completo
R = (−a)n
+ an
→
Si n es un número impar
R = 0
Origina un cociente exacto
Luego el cociente obtenido es :
Si “n” es un número par
ax
a2
axaaxaxaxx
ax
ax n
1n2n34n23n2n1n
nn
+
+−++−+−=
+
+ −−−−−−
...

Si “n” es un número impar
1n2n34n23n2n1n
nn
axaaxaxaxx
ax
ax −−−−−−
+−+−+−=
+
+
...
Observaciones :
Por lo expuesto anteriormente podemos concluir :
- Los divisores de la forma (x − a) provocan un desarrollo cuyos signos son todos positivos.
- Los divisores de la forma (x + a) provocan un desarrollo cuyos signos están en forma alternada, así :
+, −, +, −, ...
- El primer término del cociente notable se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre
el primer término del divisor, obteniéndose xn − 1
- A partir del segundo término del desarrollo, el exponente de la primera base disminuye de 1 en 1
mientras que aparece la segunda, cuyos exponentes aumentan de 1 en 1 hasta (n − 1)
− El desarrollo es un polinomio homogéneo.
3. PRINCIPIO A CUMPLIRSE EN UNA DIVISION NOTABLE .-
rq
pm
ax
ax
±
±
Es división notable o inmediata si y sólo si :
n
r
p
q
m
==
Donde : n = Número de términos del cociente.
m, p, q, r ∈ R ∧ n ∈ Z+
De la división notable expuesta podemos concluir:
* Los exponentes de “x” y “a” en el divisor nos indicará la forma como aumentan o disminuyen los
exponentes de las variables mencionadas.
* Si r > q, los grados absolutos del desarrollo aumentarán de acuerdo a la diferencia (r − q)
* Si r < q, los grados absolutos del desarrollo disminuyen de acuerdo a la diferencia (q − r)
Para ser más objetivos veamos los siguientes ejemplos :
Ejemplo 01 :
30253206159101251518
53
3521
aaxaxaxaxaxx
ax
ax
++++++=
−
−
G.A. → 18 < 20 < 22 < 24 < 26 < 28 < 30
Ejemplo 02 :
151249861231620
34
1824
aaxaxaxaxx
ax
ax
+++++=
−
−
G.A. → 20 > 19 > 18 > 17 > 16 > 15
4. FORMULA DEL TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES .-
Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes
notables, sin necesidad de conocer los demás :
Para una división de al forma :
 
n
1n
1n
2n
k3
23n
2
2n
1
1n
nn
axaTaxaxx
ax
ax −
−
−−−−
±±+±±+±=
±
±
......
Tk = Signo xn − k
ak − 1
El signo del término buscado dependerá de la forma del divisor y del lugar :
* Cuando el divisor es de la forma (x − a) entonces, el signo del término buscado será positivo (+)
* Cuando el divisor es de la forma (x + a) entonces, el signo del término buscado será :
( − ) Si el lugar que ocupa es PAR .
( + ) Si el lugar que ocupa es IMPAR .
EJEMPLOS ILUSTRADOS
Ejemplo 01 :
Hallar el octavo término del desarrollo de :
65
7260
yx
yx
+
−
Resolución :
Tk = Signo xn − k
ak − 1
Cómo el divisor es de la forma (x + a) y el término ocupa lugar PAR, entonces el signo será
negativo (−)

T8 = − ( x5
)12 − 8
( y6
)8 − 1
T8 = − x20
y42
Ejemplo 02 :
Calcular el valor de “n” en :
3n21n
n54n4
yx
yx
−+
+
+
−
Para que sea un cociente notable .
Resolución :
3n2
n5
1n
4n4
−
=
+
+
3n2
n5
1n
1n4
−
=
+
+
)(`
)(
8 n − 12 = 5 n
3 n = 12
n = 4
Ejemplo 03 :
Si el grado del octavo término del cociente notable
1x
1x
3
n
−
−
Es 12, hallar el número de términos de su desarrollo
Resolución :
Número de términos será : n/3
24n18
8
3
n
3
8 x1xT −−
−
== )()(
Luego : n – 24 = 12
n = 36
Luego, el número de términos será : 12
Ejemplo 04 :
¿Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable, el término cuyo grado absoluto es 252?
74
280160
yx
yx
−
−
Resolución :
Hallemos el término que ocupa el lugar “k” que cumpla la condición dada.
Tk = ( x4
)40 − k
( y7
)k − 1
G A Tk = 160 − 4k + 7k − 7 = 3k + 153
Por dato del problema : G.A.Tk = 252
3k + 153 = 252
k = 33
P
RACTICA DE CLASE
PRACTICA DE CLASE
Objetivos: Al finalizar el estudio de esta clase, el alumno será capaz de:
1. Definir e identificar a los cocientes notables.
2. Resolver problemas que involucran cocientes notables
01.En el desarrollo de:
915
2745
ax
ax
+
+
hay un término de grado 24, la diferencia de los exponentes de “x” y “a” es:
a) 7 b) 24 c) 5 d) 6 e) Ninguno

02. Cuál de las siguientes divisiones no genera un cociente notable?
a) 22
1010
yx
yx
−
+
b) 56
1012
yx
yx
+
+
c) 75
3525
yx
yx
+
+
d) 43
2015
yx
yx
+
−
e)
N.A.
03.Calcular el número de términos del cociente notable:
32
m3n2
yx
yx
−
−
si se cumple que: T20 . T30 = x100
y144
a) 100 b) 150 c) 50 d) 30 e) 60
04. Dar el número de términos del cociente notable:
22
nn
yx
yx
−
−
si el penúltimo término es: x2
y82
a) 42 b) 82 c) 86 d) 43 e) 45
05.Calcular: (256
- 1) : 624
a) 390 001 b) 390 251 c) 391 251 d) 391 250 e) 391 249
06.El número de términos que tiene el siguiente desarrollo de:
54
n5n4
yx
yx
−
−
sabiendo que el t(5) tiene grado absoluto 32, es:
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) N.A.
07.Hallar “m” y “n” para que el término 60 del cociente:
n4m2
n296m148
ba
ba
−
−
; sea a56
b708
a) m = 2 b) m = 3 c) m = 3 d) m = 2 e) N.A.
n = 2 n = 2 n = 3 n = 3
08.Dado la siguiente división notable ba
180120
yx
yx
+
−
Calcular la suma de las cifras de “ab” sabiendo
que los grados absolutos de los términos de su desarrollo aumentan de 3 en 3.
a) 10 b) 9 c) 8 d) 54 e) 44
09. x12
+ x9
+ x6
+ x3
+ 1 es el desarrollo de:
a)
1x
1x
3
12
−
−
b)
1x
1x
3
12
−
+
c)
1x
1x
3
15
−
+
d)
1x
1x
3
15
+
+
e)
1x
1x
3
15
−
−
10. En el cociente de:
35
63105
ba
aa
−
−
el grado del término que ocupa el lugar “k” supera en 8 al grado del término de lugar “k” contado
desde el último. Calcular k . k.
a) 9 b) 81 c) 100 d) 15 e) 36
11. De:
I.
ax
ax n2n2
−
−
II.
ax
ax 1n21n2
+
+ ++
III.
ax
ax 2n22n2
+
− ++
Con n ∈ Z+
, son exactos:
a) Sólo I b) Sólo I y II c) I, II y III d) Sólo II y III e) Ninguno
12. Si xm-96
y14
es el octavo término del desarrollo del cociente notable:
qp
24m
yx
yx
−
−
; calcular (m + p + q).
a) 124 b) 144 c) 168 d) 158 e) N.A.

13. En el cociente notable de: 75
ba
yx
yx
−
−
Calcular “a+b” si el término quinto es: xc
yd
, además d - c = 3.
a) 70 b) 100 c) 120 d) 130 e) 140
14. En el desarrollo del cociente notable de:
32
ba
yx
yx
−
−
hay un término cuyo grado es el doble del número de términos. ¿Qué lugar ocupa este término?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
15. Calcular el valor numérico del término central del cociente notable:
)(
)()(
22
100100
yxxy8
yxyx
+
−−+
para x = 3, y = 2 2
a) 3-2 2 b) 2 2 c) 2 d) 1 e) 3+2 2
16. En el cociente notable de:
22
5050
b2a2
baba
+
−++ )()(
¿Qué valor adquiere el término central para: a =
2
2x 48
+ ; b =
2
2x 48
−
a) 2 b) 1/2 c) 2 d) 24
2 e) 48
2
17. Efectuando: 23
1015
yy
yy
−
−
−
−
el número de términos enteros es:
a) 6 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5
18.Hallar el número de términos que tendrá el cociente notable:
5n29n2
50m510m5
yx
yx
++
−+
−
−
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) N.a.
19.Encontrar la suma algebraica de todos los términos del desarrollo del cociente:
158
23
1aa
a2
−
−
+
Sabiendo que es exacto:
a) 25 b) 32 c) 128 d) 96 e) 48
20. Encontrar el número de términos de:
. . . . - x108
y55
+ x99
y60
- . . . .
sabiendo que es el desarrollo de un cociente notable.
a) 12 b) 22 c) 24 d) 21 e) 23
21. Hallar a + b + c si el término central del cociente notable:
ba
114b40a
yx
yx
33
+
+ −−
Es el noveno e igual a x40
yc
.
a) 53 b) 54 c) 11 d) 48 e) 59
“El ser humano es como un quebrado: El numerador es lo que él es y el denominador lo que él cree
que es. Cuánto mayor es el denominador más pequeño es el quebrado”.
Leon Tolstoi
01.Sabiendo que 24a yx es el término central del desarrollo del cociente notable.

2c
b75
yx
yx
−
−
. Calcular: a + b + c.
a) 86 b) 87 c) 88 d) 89 e) 90
02.Indique la división que dio origen al cociente notable:
1x...xxx 26n44n42n4
−+−+− −−−
a)
1x
1x
2
n4
+
+
b)
1x
1x
4
n4
−
−
c)
1x
1x
4
n4
+
−
d)
1x
1x
2
n4
+
−
e)
1x
1x
2
n4
+
−
03.Reducir:
1x...xx
1x....xx
246
21214
++++
++++
a) 1x8 + b) 1x6 + c) 1x5 + d) 1x7 + e) 1x8 −
04.Hallar el número de términos del desarrollo de un cociente notable que tiene los siguientes términos
consecutivos:
....yxyx.... 15631270 +−+
a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18
05.Hallar el número de términos del cociente notable:
9n8n
3n412n4
yx
yx
−−
−+
−
−
a) 14 b) 13 c) 12 d) 15 e) 16
06.Qué relación deben cumplir “a” y “b” para que la expresión tenga la forma de un cociente notable:
2b2aab
ab3b3aabba
y)xy(
yyx
+
+++
−
−
a) ab = 1 b) a + b = 3 c) ab = -2 d) a - b = 4 e) ab = -1
07. Si los grados absolutos de los términos del cociente notable:
yx
yx
m
nmn
−
−
van disminuyendo de dos en dos y además el cuarto término tiene un grado absoluto de 21. Hallar
su número de términos.
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
08.¿Qué lugar ocupa el monomio en el cual la diferencia de exponentes de “x” e “y” es 11 en el
desarrollo de:
yx
yx
2
2040
−
−
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10
09.Si en el desarrollo de siguiente C.N. :
yx
yx
3
nn3
−
−
el término de lugar 8 contando a partir del extremo final tiene por grado absoluto 38, el número de
términos que tiene el desarrollo es :
a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25
10.El menor valor del término racional que se obtiene al efectuar el siguiente cociente :
24
28416
3
3
−
−
, es :
a) 16 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1
PRACTICA DE FIJACIÓN DEL APRENDIZAJE

01.Efectuar:   
factores.n
nnnn
n...n.n.n
a) n
n . n b)
n
n
n c)
2
n
n d) n2
n e)
n
2
n
02.Reducir:















 +
5 643
24)veces(3n
3 43 43 4
xxx
x...x.x
  
.













 +
5n
n
2
2n
43n
x.x
x
a) n
x b) x c) 3
x d) 1 e) 3
x
03.Encontrar la suma de los exponentes de x ∈ y al efectuar:
5 9 5 9 ...yxyx ∞
a) 5/3 b) 3/2 c) 5/11 d) 6/5 e) 5/22
04.Resolver:
256x
4
4
x
x
=
+
, y dar valor de
2
x
X
a) 2 b) 2 c) 4 d) 16 e) N.A.
05.Si: 2)1x(
)1x(
)1x(
=+
+
+ . ¿Cuál de las ecuaciones se cumple?
a) x+2= 2 +1 b) 2x=2 2 c) 2
x =2+ 2 d) x - 1= - 2
e) 2
x - 2= 2 - 1
06.El valor real de x que resuelve la ecuación: 3x
3
x
= .
a) Está entre 0 y 1 b) Está entre 1 y 2 c) Está entre 2 y 3
d) Es negativo e) N.A.
07.Hallar x en: 8
16
x
2x = .
a) 4
2 b) 8
2 c) 16
2 d) 32 e) 8
08.Resolver:
10x3x2x1x
2...222
++++
++++ = 4092
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
09.Reducir:
( ) ( )
32
2216
138L







 −−+
−−−=
a) 1 b) 0 c) –1 d) 2 e) -2
10.Si : M ≠ 0, calcule su valor aproximado.
M = ......MM ++
a) 1 b) 2 c) –2 d) 2 e) 2 2

11.Reducir e indicar como respuesta el exponente final de x, (x > 0)
45)125)125x((
7/1)2)3)
0)2(x.
99)1(x(5x(3x.(
2)2(x
−−
−−−−
a) –20 b) 15 c) –30 d) 30 e) –2
12.Si: 2a3a − – 2a – 1 = 0. Halle el valor de :
a a a 242 ; a ∈ N – {1}
a) 2b) 4 c) 1 d) 8 e) 16
13.Si se cumple:
a= .........5353
b= ...........3535
Hallar el valor que toma: “a . b”
a) 11 b) 12 c) 14 d) 15 e) 19
14.Si x ∈ R - {1}. Hallar “n”, en:
3 4
n
x
1
4
x
x
x
1






=
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
15.Reducir:





 +
+




+
+
−
1xx
xx
4x
x
xx
x
x
5
, si x
x = 5.
a) 1 b) x c) x+1 d) 2
x e) 5
x
16.Calcular el valor de:










−
+
1
a
a
1a
a
a
; si a
a
− =
3
1
a) 2 3 b) 3 3 c) 4 3 d) 5 3 e) 3
17.Reducir:
A= n
nnn
nnn
zyx
)zx()yz()xy(
−−−
++
++
.
y
z.x
11 −−
∀ n ∈ N - {1} ; xyz ≠ 0
a) 1 b) 0 c) x d) nnn
zyx e) xyz
18.Calcular el exponente final de x en:
S(x)= 3 3 3
radicalesn"......"xxx
a) n
3 - n
2/1 b) n
3 - n
3/1 c) n
3 - 1/2 d) n
3 / n
2 e)
n
n
3.2
13 −
19.Simplificar:
n
n n
2
nnn
nnn
−
−
−−−














E indicar el exponente final de n
n .
a) n b) 2
n c) n
n d)
1
2
n
−
e) 1n
n
−
20.Calcular:
T=
3
2
)8000000000(
00000004,0)1100000(
2
a) 60 b) 60,2 c) 3,60

d) 60,5 e) N.A.
21.Siendo a+b=2.
Reducir:

R= b
a2
a2
a
a
aaaa















 −
a) 0
2 b) 3 c) 2 d) 4 e) 10
22.Si: 3
z
9
4
z = . Hallar el valor de:
E=






+





 +
z
2
z3
2
zz3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
23.Simplifique:
M= x1x2x3x4x
x1x2x3x4x
3737373737
3737373737
++++
++++
−−−−
++++
a) 37 b) 2
37 c) 3
37 d) 4
37 e) 1/37
24.Cuantas veces x es y, si:
x=
5,0
4
9
8
4
1
−
−
−
−





 ; y=
1
2
16
81
64
−
−
−
−
a) 0,125 b) 0,5 c) 2 d) 4 e) 8
25.Si: n
n =2; calcular: 1
1n
n
n
n
+
+
.
a) 32 b) 16 c) 8 d) 4 e) 2
26.Reducir la siguiente expresión:
3
2
4
5
6
1
5 3 742
x
x
x
xxx
a) 4 3
x b) 4 7
x c) 7 4
x d) 3 4
x e) 15
x
27.Calcular aproximadamente cada expresión:
A= ∞+++ ...727272
B= ∞−−− ...202020
C= 5
5
5
64
64
64
∞
D= 4 4 4
...272727 ∞
E=
−∞
5
55
5
5
5
+
−∞
3 44 3
3
4
Señale cual de ellas es la cantidad menor.
a) A b) B c) C d) D e) E
28.El valor reducido de:
M= 3 3 3
...4424 +++ ; es
a) 1 b) 2 c) 5 d) 7 e) 11
29.El equivalente de:
P= 






















 8 115 85
x.x.x ..., es
a) x b) 3
x c) 6
x d) x e) 7
x
30.Hallar el exponente de “x” en:

S=
  
radic.97
4 4 4 4 3333
x...x.x.x
a) 1 - 97
4
− b) 1+ 97
4 c) 1 - 98
4 d)
2
41
97
−
e)
2
41
97
+
31.Dada la siguiente sucesión:
2x1
= ; 22x 2 = ; 222x 3 = , ...
Calcular:
103
22
4
x.x
x.x
a) 2 b) 4 c) 5 d) 1/2 e) 1/4
32.Simplificar: 1n
n1n1n1
1n1n1n
1286
432−
−−−
−−−
++
++
.
a) 9 b) 10 c) 12 d) 24 e) 36
33.Sabiendo que:
ba
1
b
1
a
1
+
=+ .
Reducir:
a
b
ba
b
a
ba
x
x
x
x








+






 ++
a) x/2 b) 2x c) 2
x2 d) 4x e) 1
34.Simplificar ∀x ∈ N - (1).
E=
x x
x xxx xx
16
3232
+
+++
−−
a) 5/6 b) 1/5 c) 2 d) 3 e) 5
35.Resuelva:
x
33 3
x33. = . E indique x3 .
a) 3 b) 1 c) 6 d) 2 e) 3
36.Resolver:
3x2x1xx
3
1
3
1
3
1
3
1
+++
+++ =120
a) - 1 b) - 2 c) - 3 d) - 4 e) - 5
37.Determine el valor de “m” en:
m
)003,0( = )4,0()2,0(
)1,0.()3,0(
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,01 e) 0,03
38.Resolver:
3 x3 x
3
x4
x4
xx =
−
−
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

39.Resolver: 3yx
yx =
+
36yx
yxy =
+
Siendo x>0, y>0, x ≠ y, indicando “x - y”
a) - 5 b) - 4 c) – 3 d) – 2 e) - 1
40.Si: 81x
x
81
81
=
−
. Calcular: x4
x .
a) 9 b) 3 c) 27 d) 4
3 e) N.A.
TAREA DOMICILIARIA
01.Simplifique:
A= 294
336
30.14.15
80.35.21
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
02.Efectúe:
C=
1
2
9
1
2
9
1
2
9
6427125
−
−
−
−
−
−
−
−
−
++
a) 45/60 b) 46/60 c) 47/60 d) 48/60e) 49/60
03.Reduzca:
G=
2.2.2.2
2222
a) 2 / 2 b) 2 c) 1d) 1/2 e) 2
J=
2
1
16
16
816
−
−
−
−










Es:
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 4 e) 1/4
05.Siendo:
a=   
veces(3m)""
1
m m
1
m m
1
m m
x.......xx
−−−
b=   
veces"
4
m"
1
3m
1
3m
1
3m
x.......x.x






−−−
Halle el valor de: N=
3
m
ab
a) 0
x b) 2
x c) 4
x d) 6
x e) 8
x
Q= 3 5 3 5
rad"......."2222 ∞
es:
a) 7
2 b)
2
7
2 c)
3
7
2 d)
4
7
2 e)
5
7
2
07.Siendo: 2a
a
= . Calcule el valor de:
T=
1
1a
a
a
a
+




 +
a) 4
a b) 16
a c) 4 d) 8 e) 16
08.Dada la igualdad: 3a
a
= , el valor reducido de:
U=
1a
a
a
+
+
1a
aa
a
+
+ es:
a) 30 b) 54 c) 81 d) 84 e) 108

09.Dada la igualdad: 2x
x
x
x
=
, calcule el valor de:
W=
x3
x
+






−
−
1
1
1x
xx
x
x
x
a) 4
2 b) 6
2 c) 8
2 d) 10
2 e) 12
2
10.Resuelve:
∞
=

x
x2
xx
; x > 0
a) 4
4 b) 4
2 c) 2 d) 2 e) 1/2
11.Luego de resolver:
3z4
2
4
2
1z
16
381
+











 +
=
Indique: 




 +− 1zz
2
a) 5 b) - 7 c) 9d) – 11 e) 13
12.Resolver en R.
17164
1x2x
=+
−+
a) 1/4 b) 1/2 c) 1d) 2 e) 4
13.Resuelva en R:
0924
3xx
=−+
+
a) - 2 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 2
14.Luego de resolver:
3
x318
x3 =
Indique: 2
x
a) 3
9 b) 3
3 c) 3 3 d) 3 3
3 e) 3
15.Resolver:
6)3x2(
22)3x2( =−
−
a) 1/2 b) 3/2 c) 5/2 d) 7/2 e) 9/2
16.El exponente formal de “n”; al reducir la expresión:
A= x x x 4
x
3
x
2
x
rad......xnnn
es:
a) x b) 2x c) 2
x d) x+1 e) 2
x +x
17.Reduzca:
C= x
xx
xx
189
126
+
+

a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 3/2 e) 3
18.Resuelva:
2
x = x
x1
1x
1x
1x
+
+
−
−
a) - 1/2 b) - 2/2 c) - 3/2 d) - 4/2 e) - 5/2
19.Simplifique:
E=
5
4
4
3
3
2
x
x
x
x
1
a) 120 115
x b) 120 116
x c) 120 117
x d) 120 118
x e) 120 119
x
20.Simplificar:
x2
x1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
−
−
−
−
−










+
+ , si x > 0
a) 2
x b) x c) x d) 3
x e) 1
21.Señalar el exponente final de x en:
3 3 3
3
1
3
1
3
1
......xx.x
“k” radicales
a) 






 −
k
k
3
13
2
1
b) 






 +
k
k
3
13
9
1
c) 






 −
k
k
3
13
3
1
d)
13
13
k
k
−
+
e)







 −
+1k
k
3
13
2
1
22.Calcular aproximadamente:
A= ........4242
a) 2 b) 2 3
2 c) 2 d) 16 e) 4 5
5
23.Sabiendo que x ∈ y verifican la igualdad xy+x+y=1, halle el valor de:
xy3
1
)yx(
1x 1y
1y 1x
4
4
−
−
−
+ +
+ +










a) 1 b) 2 c) 2 d) 4 e) 8
24.Sabiendo que 2
b
1
a
a
b
=





= . Hallar al valor de:
a
b.
b
a1
b1
a
a1
b
b1
a
a1
b
ba
ba
+
++
−−










+
+
a) 2 b) 1/2 c) 4 d) 1/4 e) 8
25.Calcular el exponente final de x en:
3 4 5 432
.......xxxx
a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 1/4
PRACTICA DE CLASE
01.Si: P(x) = 2x2
– 1
Calcular: P(2)P(1)
+ P(0)P(2)
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
02.A partir de:

P(3x+1) = 15x – 4
Calcular: P(2x-1)
a) 10x-9 b) 5x-9 c) 5x-10 d) 10x-14e) 10x-5
03.Si:
F(x+1) = F(x) – 2x+1
Además: F(0) = 5
Calcular : F(-1) + F(1)
a) 6 b) 8 c) 15 d) 4 e) 7
04.Dado:
6x2
– 10x(a – x) ≡ bx2
+10x
Calcular (a – b)
a) 17 b) 16 c) 15 d) –17 e) –7
05.Dar (m+n-p) si el polinomio:
P(x) = xm-10
+ 3xm –n+5
+ 2xp –n+6
Es completo y ordenado en forma descendente.
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
06.Si el polinomio:
P(x, y) = xa
+ 3xb
yc
+ 5xc
yb
+2ya
x0
Es homogéneo, completo y ordenado respecto a sus dos variables, dar (3a+2b+c)
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
07.En el polinomio:
P(x, y) = 2xn+3
ym – 2
z6 – n
+ xn+2
ym – 3
Si el GA(P) = 11 y GR(x) – GR(y) = 5; calcular (2m+n)
a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30
08.Si en el polinomio:
P(x; y) = x3
yn
– n(xyz)3n
+(xn
)n
y11
Y el GR(x) =9, calcular GA (P)
a) 20 b) 18 c) 9d) 27 e) 24
09.Dados los polinomios:
P(x) = (x2
+xy+y3
)(x3
+xy-y2
)
Q(x) = (y2
-xy+x3
)(x5
+2x+1)
Dar el grado de P2
(x). Q(x)
a) 12 b) 80 c) 20 d) 18 e) 96
10.Si:
2
)2x(x
)1x(P
+
=+
Calcular:
)5(P)1(P
)7(P)3(P
+
+
a) 7/3 b) 5 c) 2d) 1/2 e) N.a.
11.Si el polinomio:
P(x) = 3x3a - 9
+xa+b - 3
+6(x2
)4b+a - c
Es completo y ordenado en forma creciente, calcular (a+b+c)
a) 1 b) 3 c) 6d) 1 e) – 2
12.Dado el monomio:
M(x, y) = 42
(- 2)-b
x2b+3a
y3a-b
Si el GA = 8 y GR(x) = 7
Dar su coeficiente:
a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) –2
13.Si: P(x- 2) = x2
– 4x + 4
Calcular:
)4(P)3(PE +=
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
14.Si:
2x
3x2
)x(M
−
+
=
Calcular M(M(5))
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
15.Si:
1x
2x
)x(P
−
+
=
Hallar: P( P ( P ( P (2) ) ) )
a) 1 b) –1 c) –2 d) 2 e) 0
16.Si: P(x+4) = 3x – 1
Calcular “x” en: P(x) + P(x+1) = 1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
17. Calcular la suma de coeficientes del polinomio:

P(x, y) = a2
xa+7
– bxa
yb
+ abyb+4
Si es homogéneo.
a) – 3 b) 12 c) –1 d) – 12 e) 3
19.Si la expresión:
2m3nm1
n5mn
zyx
zyx
E
+−−
=
Tiene un grado relativo a: “x”, 12 y por grado relativo “y”, 10 el grado relativo con respecto a “z”
es:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 10
20.Hallar el grado de P(x) si los grados de P2
(x). Q(x) y
)x(Q
)x(P 3
son 27 y 23 respectivamente.
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
21.Encontrar un polinomio “P” de primer grado y en una variable tal que:
p(5) = 5 y P(4) = 3P(3)
a) 5x-2 b) 5x+2 c) 2x-5 d) 2x+5 e) x+5
22.Calcular el valor de “n” si la expresión:
2
42n
54
2
3n232n
x.)x(
n.xx.)x(
)x(M
−−
=
es de 2do grado.
a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
23.Si: 8xxx)1x(P 64x
2xx2 +++=−
Calcular P(1)
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
24.Dado el polinomio:
P(x; y) = xa-2
yb+5
+ 2xa-3
yb
+7xa-1
yb+6
Donde: GA =17 y GR(x) = 0
Calcular : (a – b)
a) –10 b)10 c) –11 d) 11 e) N.a.
25.Hallar “n” para que la suma de coeficientes del polinomio:
p(x- 3) = (2x – 5)n
+(x – 1)n
+(x – 2)n
– 8(3x+1)
exceda en 28 a su término independiente:
a) 3 b) 2 c) 4 d) 6 e) 9
26.Dar el grado absoluto mínimo del polinomio:
P(x; y) = a4m
x2m –4
y3
– abxm+3
yn –5
+am
bm
x3
y2m –6
– (b2
xy)m –13
a) 26 b) 25 c) 24 d) 23 e) 11
DOMICILIARIA
TAREA DOMICILIARIA
01.Si P(x9 = 3x + 2. Calcular : P(x + 1) + P(x - 1)
a) 3x + 5 b) 3x - 1 c) 6x + 5 d) 6x + 4 e) 3x + 4
02.Si P(x - 3) = x + 5. Calcular : P(0) + P(1) + P(2)
a) 9 b) 10 c) 17 d) 18 e) 27
03.Dado: P(x+1) =
1x
x
−
; x ≠ 1
Evaluar :
A =
)3(P)6(P)2(P
)3(P)6(P)2(P
+−
++
a) 1/12 b) 12 c) 1/6 d) 6 e) 4

04.Si P(x) = 5x + 2. Evaluar :
h
)x(P)hx(P −+
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
05.Si P(x) = 2x + m ; P(4) = 11. Calcular P(-2)
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
06.Se tiene: P(x) = k)1x( 2
+− . Reducir :
M =
x
)2x(P)x(P +−
a) -4 b) -2 c) 0 d) 2 e) 4
07.Dados los polinomios :
P(x - 1) = x2
+ x + 1
Q(x + 1 = x2
- 2x + 2
Además : H(x) = P(x + 1) + Q(x - 1)
Calcular H(3)
a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64
08.Dado el polinomio :
P(x;y) = 6n1mn3m5n2m
y7yx3yx6
+−−+−
++
Si GA(P) = 17 y GR(x) = 6. Calcular (mn)
a) 5 b) 7 c) 35 d) 3 e) 15
09.Si el GA(P) = 11. Calcular “n”
P(x;y) = n33nn23n2n1n3
yxyx2yx
−−−
+−
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10.Dar el número de variables del monomio :
M(a;b;c;...) = ...d.c.b.a 432
si su grado absoluto es 66.
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
11.Si P(x) = x2
+ 3x+ 1. Hallar p(x+1). dar como respuesta la suma de los coeficientes del polinomio
resultante.
a) 1 b) 10 c) 6 d) 12 e) N.a.
12.Si “n” es un número natural fijo y
p(x+n) = 2x2
- nx - 2n2
+ 4
Hallar p(1) sabiendo que p(n) = -4.
a) -1 b) -4 c) 0 d) 2 e) 6
13.Dadas las expresiones algebraicas :
A = 3 2nn9
yx
+
B = 3 2n2n3
yx
−
C = 3 n4n8
yx
Hallar el valor de “n”, sabiendo que el grado absoluto de la siguiente expresión : 3
ABC es 117.
a) 42 b) 39 c) 41 d) 37 e) 38
14.p(x), q(x) y r(x) son polinomios. Si G.A.(p(x))=20, G.A.(q(x))=10 y G.A.(r(x)) = 12. Hallar :
GA(p(x) + q(x))4
÷ (r(x))2
a) 66 b) 36 c) 46 d) 50 e) N.a.
15.Si el término independiente del producto :
2(x - 3)2
(x - 2)3
(x - m)2
(x + 1)3
es -576. Hallar m2
.
a) 4 b) 9 c) 16 d) 36 e) 64
16.Dado el siguiente polinomio :
P(x) = (3mx - 4m)2
+ (3x - 4)2m
- x2
+ 4
Hallar la suma de sus coeficientes sabiendo que el término independiente es 36 y que m ∈ N.
a) 3 b) -3 c) 4 d) -5 e) 5
17.Si la expresión :
E = 3
3
3y
12
5x
b.a
+−
es de cuarto grado con respecto a “a” y de sexto grado absoluto. El valor de (x + y) es :
a) 28 b) 29 c) 31 d) 32 e) 35
18.Dado el monomio : M(x ; y) = (a + b)x2a-2
y3b

donde :
COEF (m) = GR(x)
GA(m) = 27
Calcular (ab)
a) 5 b) 7 c) 12 d) 35 e) 42
19.Dados los polinomios P(x) y Q(x) tal que :
3 )x(Q).x(P tiene grado 4.
2
))x(Q(
)x(P






tiene grado 8
Dar el grado de Q.
a) 4 b) 7 c) 9 d) 10 e) 11
20.Si el monomio :
M(x ; y ) = a b baaba
yxyxb
sus grados relativos son iguales, hallar su grado absoluto.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
PRÁCTICA
01.Efectúe: 1)5x)(4x)(3x)(2x( +++++ ; x>0
Señalando luego de reducir el término lineal.
a) x b) –2x c) 5x d) 7x e) 9x
02.Si se cumple que: (a+b)2
– (a - b)2
= 4
Calcular










+
+
+










+
+
=
12a
12b
a
12b
12a
bM
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
03.Si:
x
202)1x(2)1x( =−−+ . Calcular:
F =
2x
2x
2x
2x
+
−
+
−
+
a) 13 b) 15 c) 18 d) 19 e) 20
04.Siendo xy=1, calcular el valor de “m” en :
m4
2
2x
12x
2
x
1
x2)2y2x(2)yx( +







−+





−≡+++
a) 2 b) 4 c) 6 d) 1/2 e) 1/4
05.Reducir:
F = 8
)185()145)(125(241 ++++
a) 1 b) 5 c) 6 d) 25 e) 36
06.Si: a – b = b – c = 5
Evaluar:
Q =
5
2)ac(2)cb(2)ba( −+−+−
a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) 45
07.Efectuar:
S =
2
2
cba
2
cba
2b)ca()cb2a(













 −++




 ++
++++
{a,b,c} ∈ R+
a) 3/2 b) 1/4 c) 2/5 d) 2/3 e) 5/2
08.Simplificar: (a , b ∈ R+
)
baba
2bab2a
++
++
- a + ab - b
a) 5 b) 0 c) 7 d) 8 e) 9
09.Dada las condiciones: 22c2b2a =++
(a+b+c) (2+ab+bc+ac) = 32
Calcule : a+b + c
a) 4b) 2 c) 3 32 d) 16 e) 64
10.Si : x = 2

y = 23 −
z = 2 - 3
Calcular :
3y)2z(xy3
)2)2z()2z(x2x()2zx(
−−
−+−−−+
a) 2 b) 5 c) 1 d) –1 e) 3
11.Si: 3b3a3)ba( +=+ , donde ab ≠ 0.
Determine el equivalente reducido de :
6b6a6)ba(
5b5a5)ba(
+++
+++
a) –1 b) 10 c) 0 d) 2 e) 1
12.Si: 222
2a
12a ++=+ . Calcular:
16a
116a +
a) 0 b) –1 c) –2 d) 1 e) 2
13.Si : 27yz22x −=+
72xz22y −=+
22xy22z +=+
Halle : x + y + z , si : x,y,z ∈ R-
a) 0 b) 2 c) –2 d) 1 e) –3
14.Si : x =
1a
aa
−
−
; y =
a
1
. además:
272y2x =+ . Calcular: E = x – y
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15.Siendo: a+b+c = 0 / a ; b ; c ∈ R
Determine el equivalente reducido de “M” siendo: M = A ÷ R, donde:
A = 3ca3bc3aba3cc3bb3a +++++
2)2c2b2a(R ++=
a) –1/2 b) –2 c) 1 d) 2 e) 0
TAREA DOMICILIARIA
01.Si: a+b = ab+1 ∧ 22b2a =+ ; donde
a;b ∈ R+
. Hallar :
b
1
a
1
+
a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) 4
02.Sean: a;b; x ∈ R+
tales que :
(x +3b)2
+ (x + 3a)2
= 12x(a + b)
Hallar : 





+
++
ba
ba2x6
2 ; a ≠ -b
a) 5 b) 12 c) 7 d) 21 e) 3
03.Si: a+b+c = 3
a2
+b2
+c2
= 2. Hallar : 1)acbcab( −++
a) 7/2 b) 2/7 c) 1/7 d) 7 e) 4
04.Si: x -
x
1
= 1 ; x > 0
Reducir: 8
8x
1
4x
14x
2x
12x
x
1
x +







+







+





+
a) x b) 1 c) 2 d) 0 e) 9
05.Si:
3
2
ba
2
3b3a





 +
=
+
. Calcular:
E =
)3b3a(ab
5b5a
+
+
a) -1 b) -2 c) 1 d) 2 e) 3

06.Si: x(x-3y) + 1 =
4
2y9)z4(z −−
Calcular: z
y
x
+ , sabiendo que {x;y;z} ⊂ R
a) 3 b) 3/2 c) 5 d) 7/2 e) 5/2
07.Calcular el valor de : 5)3n4m( −
sabiendo que se cumple:
)329n3n8m3(23)3n4m( ++=+
a) 1 b) 52 c) 0 d) 122 e) 152
08.Si: 1xx −+ = 4. Hallar 3x3x −−
a) 30 3 b) 3 2 c) 2 2 d) 3 8 e) 2 14
09.Siendo f una expresión matemática de variables x;y;z ∈ R, con regla de correspondencia:
f(x;y;z)=
)zxyzxy.....(
....)zxyzxy2z2y2x(44)zyx(
++
+++++−++
Calcular : )1;2;3(
f
a) 0 b) 1 c) 3 d) 5 e) 6
10.Si: 







+
2a
12a = 222 ++
Halle:
16a
116a +
a) 0 b) -1 c) -2 d) -3 e) 2
11.Sabiendo que se cumple: x3472)1x( ++
Encuentre el valor de :
14x
2)12x(
+
+
a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) -1
12.Sean a,b, c ∈ R – {0} que cumplen:
)2c2b2a(32c)b(a ++=++
Halle:
abc3
)cb()acbcab(
3c3b3a
3)cba( +++
+
++
++
a) 10 b) 15 c) 11 d) 9 e) 12
13.Si: (a , b, c) ⊂ R+
. Calcular:
c2b
3a
.
Si se cumple: 2c2)cb(a22b22a −+=+
a) 5 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12
14.Sean las números reales a, b, c; que satisfacen:
abc33c3b3a =++ ; a + b + c ≠ 0
Calcular: 2
3c2ab
4c.4b4a
Q






=
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15.Hallar : 4x33x +− para :
Calcular: 2
3c2ab
4c.4b4a
Q






=
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15.Hallar : 4x33x +− para :
x= 3
83
3
83 −++
a) 1 b) 10 c) -1 d) 8 e) –5
PRÁCTICA N° 2
01.Determine al dividir:

1x2x
6x6x9x7x
2
3456
++
++−−
Determine la suma de los coeficientes del cociente obtenido
a) 0 b) - 7 c) 2 d) – 1 e) 5
02.Si dividimos:
1bxax
1bxx)7a(x6x2
2
234
++
++−++
; {a; b} ⊂ Z
obtendremos como cociente y residuo polinomios no constantes mónicos de coeficientes reales;
además se sabe que el residuo es un monomio halle: a + b
a) 13 b) 11 c) 15 d) 9 e) 10
03.El resto de la división:
3xx2
9x8AxBxAx
2
234
−+
−+++−
Es el polinomio R(x) = 3x - 3. Calcule 3 B
3
A
+
a) - 1 b) 0 c) – 2 d) 3 e) N.A
3x
2xx3 1n
−
+++
La suma de coeficientes del cociente es 1093, calcular “n”
a) 3 b) 6 c) 7 d) 8 e) 5
05.Halle el resto de la siguiente división:
5xx
)3x()1x()2x()3x()2x(
2
2233
−−
+++−+−+
a) 30x+77 b) 31x+77 c) - 31x+77 d) x+11 e) - 31x -77
06.Halle el resto:
)2x)(1x(x
1x10
−−
−
a) 611 2x - 610x+1 b) 610 2x - 611x – 1 c) 610 2x +611x+1
d) 511 2x - 510x - e) 611 2x - 1
07.Halle el resto en:
)1x)(1x(
)1x....()1x()1x()1x( n21n243322
+−
−+−+−+− −
Siendo n ∈ N
a) 1 - x b) 1 + x c) )x1)(14(
3
2 n −− d) )1x)(14(
2
3 n ++ e) 0
08.Halle el resto en la siguiente división:
)x1)(x1(
x....xxx1
2
1n432
++
++++ −
a) 0 b) 1 - x c) 1 + x d) 1 + 2x e) 2x - 1
09.Al dividir el polinomio p(x) entre (x - 1) y luego entre (x - 2) se obtiene el mismo resto 4, además
p(x) es divisible entre (x - 3). Calcular el término independiente p(x) si es de 3º y además cp es 2.
a) - 1 b) - 3 c) – 12 d) - 7 e) - 8
10.Sea p(x) un polinomio mónico de 3º si p(x) es divisible entre (x+2) y también entre (x+3) y además
al dividir p(x) entre ( 2x - 1) el resto es 17x+19. Calcular p(0)
a) 10 b) 17 c) 2 d) 12 e) 6
11.Calcule “m” para que la división:
1xx
2m2nxx
2
5
−+
−+−
a) 5 b) 6 c)
2
5
d) 10 e) 8
12.Al dividir:
1x2
1x2x16 4
−−
++
se obtiene como cociente :

dx3
5
c
x2
4
b
x1
3
a
)x(q 23 +





−+





−+





−=
halle a+b+c+d
a) 34 b) 30 c) 21 d) 8 e) 50
13.Luego de dividir:
4)x7x(
)12x7x)(6x7x)(6x)(3x)(1x)(4x(
22
22
−−
−−−−−−−−
Calcule la suma de los coeficientes del cociente obtenido
a) - 140 b) - 156 c) – 175 d) – 144 e) - 136
14.Calcular a+b+c, si el resto de dividir:
3x5cxbxax 245 −−++ entre
2xxx2 23 −−+ es :
a) 18 b) 20 c) 15 d) 19 e) 92
15.Halle el resto en la siguiente división:
2x2x
4xx)1x(
2
4n
++
++++
donde n = 4º
a) x+2 b) - x + 1 c) - x - 1 d) x+1 e) x - 1
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