Este documento explica tres métodos para resolver ecuaciones cuadráticas: factorización, trinomio cuadrado perfecto y ecuación de solución general. A través de varios ejemplos, muestra cómo aplicar el método de factorización para descomponer la ecuación cuadrática en dos binomios y encontrar sus raíces. También explica cómo convertir ecuaciones cuadráticas que no son trinomios cuadrados perfectos en una forma que permita aplicar este método.

1. Universidad Nacional Autónoma de México
Colegio de Ciencias y Humanidades
Plantel “Oriente”

3.  Una ecuación cuadrática esta formada por un
trinomio, existiendo tres formas de su solución:
 Factorización
 Método de trinomio Cuadrado perfecto
 Ecuación de Solución General de la cuadrática
Nota Importante: Una ecuación cuadrática no se puede despejar,
solamente que sea un binomio (termino de segundo grado y termino
independiente)

4.  Método por factorización
 X² + 5X + 6 = 0
 Recordar que el coeficiente del término de
primer grado (5X) es la suma de los valores
numéricos de los binomios y el término
independiente (6) es el producto de los dos
valores numéricos.

5. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² + 5X + 6 = 0
 Dos números multiplicados
debe resultar 6
( 1 )( 6 ) = 6
( 2 )( 3 ) = 6
( 3 )( 2 ) = 6
( 4 )( NE ) = 6
( 5 )( NE ) = 6
( 6 )( 1 ) = 6
 Dos números sumados
debe resultar 5
( 1 )+( 6 ) = 7
( 2 )+( 3 ) = 5
( 3 )+( 2 ) = 5
( 4 )+( NE ) = ?
( 5 )+( NE ) = ?
( 6 )+( 1 ) = 7

6. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² + 5X + 6 = 0
 Dos números multiplicados
debe resultar 6
( 2 )( 3 ) = 6
( 3 )( 2 ) = 6
 Dos números sumados
debe resultar 5
( 2 )+( 3 ) = 5
( 3 )+( 2 ) = 5
Ambos son lo mismo, por lo tanto los binomios son:
(X+2)(X+3) =0
X₁ = -2 ; X₂ = -3

7.  Método por factorización
 X² + 2X - 8 = 0
 El signo es menos,
indica que los valores
numéricos tienen
signos diferentes, uno
positivo y el otro
negativo
 El signo es más,
indica que el
número mayor es
positivo

8. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² + 2X - 8 = 0
 Dos números multiplicados
debe resultar 8
( 1 )( 8 ) = 8
( 2 )( 4 ) = 8
( 3 )( NE ) = 8
( 4 )( 2 ) = 8
( 5 )( NE ) = 8
( 6 )( NE ) = 8
 Dos números sumados
debe resultar 8, el valor
mayor es positivo
( -1 )+( 8 ) = 7
( -2 )+( 4 ) = 2
( -3 )+( NE ) = ?
( 4 )+( -2 ) = 2
( 5 )+( NE ) = ?
( 6 )+( NE ) = 7

9. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² + 2X - 8 = 0
 Dos números multiplicados
debe resultar 6
( -2 )( 4 ) = -8
( 4 )( -2 ) = -8
 Dos números sumados
debe resultar 5
( -2 ) + ( 4 ) = 2
( 4 ) + ( -2 ) = 2
Ambos son lo mismo, por lo tanto los binomios son:
(X-2)(X+4) =0
X₁ = 2 ; X₂ = -4

10.  Método por factorización
 X² - 3X - 4 = 0
 El signo es menos,
indica que los valores
numéricos tienen
signos diferentes, uno
positivo y el otro
negativo
 El signo es menos,
indica que el
número mayor es
negativo

11. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² - 3X - 4 = 0
 Dos números multiplicados
debe resultar 8
( 1 )( 4 ) = 8
( 2 )( NE ) = 8
( 3 )( NE ) = 8
( 4 )( NE ) = 8
( 5 )( NE ) = 8
( 6 )( NE ) = 8
 Dos números sumados debe
resultar 8, el valor mayor es
negativo
( 1 ) + ( -8 ) = -
8
( -2 ) + ( NE ) = ?
( -3 ) + ( NE ) = ?
( 4 ) + ( NE ) = ?
( 5 ) + ( NE ) = ?
( 6 ) +( NE ) = ?

12. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² - 3X - 4 = 0
 Dos números multiplicados
debe resultar 6
( 1 )( -4 ) = -4
 Dos números sumados
debe resultar 5
( 1 ) + ( -4 ) = -4
Ambos son lo mismo, por lo tanto los binomios son:
(X + 1)(X - 4) =0
X₁ = 1 ; X₂ = 4

13.  Método por factorización
 X² - 7X + 12 = 0
 El signo es más,
indica que los
valores numéricos
tienen signos
iguales.
 El signo es mas,
indica que ambos
valores son
negativo

14. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² - 7X +12 = 0
 Dos números multiplicados
debe resultar 12
( 1 )( 12 ) = 12
( 2 )( 6 ) = 12
( 3 )( 4 ) = 12
( 4 )( 3 ) = 12
( 5 )( NE ) = 12
( 6 )( 2 ) = 12
 Dos números sumados debe
resultar -7, ambos valores son
negativo
( -1 ) + ( -12 ) = -8
( -2 ) + ( -6 ) = -8
( -3 ) + ( -4 ) = -7
( -4 ) + ( -3 ) = -7
( -5 ) + ( NE ) = ?
( -6 ) +( -2 ) = -8

15. MÉTODO POR FACTORIZACIÓN
X² - 7X +12 = 0
 Dos números multiplicados
debe resultar 6
( -3 )( -4 ) = -12
 Dos números sumados
debe resultar -7
( -3 ) + ( -4 ) = -7
Por lo tanto los binomios son:
(X - 3)(X - 4) =0
X₁ = +3; X₂ = + 4

17. X² - 8X + 16 = 0
 Recordemos acerca de los trinomio cuadrado
perfecto, la mitad del término de primer grado
(-8) elevado al cuadrado nos da el término
independiente.
8
2
= 4,
8
2
2
= 4 por lo tanto la ecuación:
(𝑋 + 4)2
= 0

18.  Para resolver una ecuación cuadrática que no es un binomio
cuadrado perfecto, vamos a convertirlo parcialmente para
poder resolver la ecuación:
 Ejemplo:
X² + 8X +12 = 0
 No es trinomio cuadrado perfecto:
 La mitad del término de primer grado, la mitad del coeficiente
al cuadrado no es igual al termino independiente:
8
2
2
≠ 12

19. X² +8X +12 = 0
 Se separa el termino al cuadrado y el término
de primer grado del término independiente:
X² +8X = -12
 Para poder tener un binomio cuadrado
perfecto el término es el cuadrado del
coeficiente del termino de primer grado:
8
2
2
= 16

20. Se agrega el 16, pero no de romperse la igualdad
se tiene que agregar en ambos lados:
X² +8X = -12
X² +8X +16 = -12 +16
Ahora el lado izquierdo es un binomio cuadrado
perfecto, por lo tanto se puede factorizar:
𝑋 + 4 2
= −12 + 16
+16 +16

21. 𝑋 + 4 2
= 4
Se obtiene la raiz cuadrada en ambos lados de la
ecuación:
𝑥 + 4 2 = ± 4
 Se elimina el cuadrado del lado izquierdo por
ser operaciones inversas:
𝑋 + 4 = ±2
Despejando X:
𝑋 = −4 ± 2

22. 𝑋 = −4 ± 2
 Se obtienen las dos soluciones:
𝑋₁ = −4 + 2 = −2
𝑋2
= −4 − 2 = −4
Para comprobar, usemos el metodo
factorización:

23.  En el siguiente se hará directo, si
tienes dudas vuelve a revisar el
primer ejemplo que esta paso a
paso.

24. X² -4X - 12 = 0
2
2
= 2 = 4
+ 12- 12
-4
-2
No son
iguales
No es trinomio cuadrado perfecto
X² -4X = 0
X² -4X = + 12

25. X² -4X = +12
 Completar el trinomio cuadrado perfecto.
X² -4X = +12
−4
2
2
= −2 2
= 4
 Se agrega 4 en ambos lados para no afectar la
igualdad
X² -4X +4 = +12+4
 Factorizando el binomio cuadrado perfecto:
𝑋 − 2 2
= +16

26. 𝑋 − 2 2
= 16
Se obtiene la raiz cuadrada en ambos lados de la
ecuación:
𝑥 − 2 2 = ± 16
 Se elimina el cuadrado del lado izquierdo por
ser operaciones inversas:
𝑋 − 2 = ±4
Despejando X:
𝑋 = −2 ± 4

27. 𝑋 = −2 ± 4
 Se obtienen las dos soluciones:
𝑋₁ = −2 + 4 = +2
𝑋2
= −2 − 4 = −6

28.  Se separa termino cuadrático y primer grado
X²-14X+45 = 0
 Coeficiente de Primer grado
X²-14X = -45
 Se obtiene la mitad del coeficiente
-14 = -14/2
 Se obtiene el cuadrado del coeficiente -7
(-7)² = 49
 Se completa el trinomio cuadrado perfecto con 49
 Se agregan a ambos lados para no alterar la
igualdad
X²-14X+49 = -45+49

29.  Se simplifica términos
-45+49 = 4
X²-14X+49 = 4
 Factorizar
(X-7)² = +4
 Se obtiene la raíz cuadrada en ambos términos
 El cuadrado se elimina con la raíz cuadrada por
ser operaciones contrarias
(𝑋 − 7)² = +4

30.  Resultando
X-7 = ± 2
 Despejando X
X = 7 ±2
 Soluciones:
 X₁ = +7 +2 = +9
 X₂ = +7 -2 = +5

31.  Se separa termino cuadrático y primer grado
X²-12X+27 = 0
 Coeficiente de Primer grado
X²-12X = -27
 Se obtiene la mitad del coeficiente:
-12 = -12/2=-6
 Se obtiene el cuadrado del coeficiente
(-6)² = 36
 Se completa el trinomio cuadrado perfecto con 36
 Se agregan a ambos lados para no alterar la
igualdad:
X²-12X+36 = -27+36

32.  Se simplifica términos
-27+36 = 9 X²-12X+36 = 9
 Factorizar
(X-6)² = +9
 Se obtiene la raíz cuadrada en ambos términos
 El cuadrado se elimina con la raíz cuadrada por
ser operaciones contrarias
(𝑋 − 6)² = +9

33.  Resultando
X-6 = ± 3
 Despejando X
X = 6 ±3
 Soluciones:
X₁ = +6 +3 = +9
X₂ = +6 -3 = +3

34.  Se separa termino cuadrático y primer grado
X²-10X+9 = 0
 Coeficiente de Primer grado
X²-10X = -9
 Se obtiene la mitad del coeficiente
-10 = -10/2 = -5
 Se obtiene el cuadrado del coeficiente
-5 (-5)² = 25
 Se completa el trinomio cuadrado perfecto con 25
 Se agregan a ambos lados para no alterar la igualdad
X²-10X+25 = -9+25

35.  Se simplifica términos
-9+25 = 16 X²-10X+25 = 16
 Factorizar
(X-5)² = +16
 Se obtiene la raíz cuadrada en ambos términos
 El cuadrado se elimina con la raíz cuadrada por
ser operaciones contrarias
(𝑋 − 5)² = +16

36.  Resultando
X - 5 = ± 4
 Despejando X
X = 5 ±4
 Soluciones:
 X₁ = 5 +4 = +9
 X₂ = 5 -4 = +1