Este documento presenta una lección sobre intervalos, desigualdades e inecuaciones impartida por el profesor Omar E. Estrada en el IED Simón Rodríguez. La lección introduce los conceptos de intervalos, propiedades de desigualdades, expresión de inecuaciones como intervalos, resolución de inecuaciones de primer y segundo grado, y resolución de inecuaciones racionales. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos de cada tema.

1. IED SIMON RODRIGUEZ, BARRIO MAMATOCO, DIAGONAL 35, Nº 7‐48
DOCENTE: OMAR E. ESTRADA TRESPALACIOS AREA DE MATEMÁTICAS
CURSO 11. INTERVALOS, DESIGUALDADES E INECUACIONES
COMPETENCIAS
 Aplico justamente los diversos conjuntos numéricos por medio del análisis
de sus propiedades, relaciones y operaciones.
 Utilizo correctamente las diversas notaciones de números según el
contexto, a partir de las relaciones y diferencias entre estos.
LOGROS
 Reconoce el significado de los números en diversos contextos, así como
sus relaciones.
 Utiliza métodos algebraicos y numéricos para el análisis de los conjuntos
numéricos.
INTERVALOS
Un intervalo es una expresión matemática que permite incluir una infinidad de
números que van de un punto a otro; el primer punto o número es el menor
mientras que el segundo es el mayor. Se utilizan paréntesis y corchetes para
representar intervalos; los paréntesis son empleados para indicar que se
acerca a los números sin alcanzarlos mientras que los corchetes se emplean
para incluir números.
Existen diversos intervalos: cerrados, abiertos, semi abierto o semi cerrado e
infinitos.
INTERVALO CERRADO
Ejemplo. Dada las siguientes expresiones, representarlas en la recta numérica
y escribir su intervalo:
Una balanza (tienda) funciona con un peso mínimo de 0.25 Kg y máximo
de 7 Kg, antes de de descalibrarse.
El curso de inglés inicia con mínimo 4 y máximo acepta 9 estudiantes.
INTERVALO ABIERTO
Ejemplo. Dada las siguientes expresiones, representarlas en la recta numérica
y escribir su intervalo:
La infancia va desde que nace el niño y antes de los 4 años.
El consumo de bebida alcohólicas está prohibido a menores de edad.
INTERVALO SEMI ABIERTO
Ejemplo. Dada las siguientes expresiones, representarlas en la recta numérica
y escribir su intervalo:

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CURSO 11. INTERVALOS, DESIGUALDADES E INECUACIONES
Medicamento. Almacenar a una temperatura mayor de 4º y una máxima
de 35º.
Los números que van desde el 4 y son menores que 10.
INTERVALO INFINITO
Ejemplo. Dada las siguientes expresiones, representarlas en la recta numérica
y escribir su intervalo:
Los números mayores que 3.
El conjunto de los números reales.
OPERACIONES DE INTERVALOS
Las operaciones entre intervalos son similares a la de los conjuntos, tales
como: intersección, unión y diferencia. Para estas operaciones se utiliza la
recta numérica y el resultado se expresa en otro intervalo.
Intersección: se refiere a los elementos que tienen en común varios
intervalos.
Unión: se refiere a todos los elementos de los intervalos en cuestión.
Diferencia: indica los elementos que tiene un intervalo y otro no.
Ejemplos. Sea S= [-4, 2) R = (0, 10] T= (2, 9) A= (2, 3) B= (2.5, 8) C= (10,
oo)
1) S ∩ R 4) B – A
2) A U R 5) T ∩ C
3) A – B
Resolver las siguientes operaciones entre intervalos:
1. (2,3) u (2.5,8)
2. (2,3) n (2.5,8)
3. [-1, 10) – (9, 29]
4. [-1, 10) u [10, 29]
5. (2, 9) n (10, 00)
DESIGUALDAD E INECUACIONES
RELACION DE IGUALDADES Y DESIGUALDADES

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CURSO 11. DESIGUALDADES, INECUACIONES E INTERVALOS
Una desigualdad es una expresión matemática que indica la diferencia de dos
o más cantidades, a diferencia de una igualdad que indica que dos cantidades
son iguales:
10 =20/2. (Igualdad) 18 < 22. (Desigualdad)
En las desigualdades se utilizan los siguientes símbolos matemáticos:
PROPIEDADES DE LA DESIGUALDADES:
1. Al sumar o restar una cantidad a cada uno de los miembros de una
desigualdad el sentido de esta se mantiene.
Ejemplo. Agregar 6 a la siguiente desigualdad.
-3 < 5.
2. Al multiplicar o dividir cada uno de los miembros de una desigualdad por
una cantidad positiva el sentido de esta se mantiene.
Ejemplo. Multiplique por 4 las siguientes desigualdades:
4 > -12.
3. Al multiplicar o dividir cada uno de los miembros de una desigualdad por
una cantidad negativa el sentido de esta cambia.
Ejemplo. Multiplique por -1 la siguiente desigualdad:
-4 < -2.
RELACION DE DESIGUALDADES E INECUACIONES
Cuando una igualdad posee alguna incógnita recibe el nombre de ecuación:
1. x+3 = 6 Ecuación.
Así cuando una desigualdad tiene una incógnita recibe el nombre de
inecuación.

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CURSO 11. DESIGUALDADES, INECUACIONES E INTERVALOS
1. x <= 3 Inecuación.
EXPRESIÓN DE LAS INECUACIONES
Las inecuaciones se pueden expresar como:
EXPRESIÓN DE LAS DESIGUALDADES
REPRESENTACIÓN COMO INTERVALOS
GRÁFICA EN LA • Infinitos
COMO CONJUNTOS RECTA DE LOS • Abierto
NÚMEROS REALES • Abierto hacia la I o D
• Cerrado
Expresa las siguientes inecuaciones en forma de intervalo y gráfica:
1) x >=9 3) -8<x<0
2) x< -5/4 4) -8<=x<=-5
Expresa cada uno de los siguientes intervalos como inecuación en términos de
una variable x.
1) (-6,8) 4) (-4, 4.1]
2) [-3.6 , 126] 5) (-oo,3]
3) [2, 0)
SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO (I.P.G)
Una I.P.G. es aquella en la que el máximo exponente de la variable es
1.Resolver una inecuación consiste en hallar los valores que satisfagan la
inecuación, teniendo en cuenta las propiedades de las desigualdades:
Ejemplo, resuelva las siguientes inecuaciones y expréselas en forma de
intervalos:
1) 4x - 7 > 10
2) 8 - 2x >= 3x + 2
3) x/5- 2x/3 >= x/5
SOLUCIÓN DE INECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO
Ejemplo, resuelva las siguientes inecuaciones y expréselas en forma de
intervalos:
1) 3<= 2x – 1< 7
2) 5> - x + 1 >1
3) 2+2x < x – 1 < 5

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CURSO 11. DESIGUALDADES, INECUACIONES E INTERVALOS
EJERCICIOS
Resuelva las siguientes inecuaciones y expréselas en forma de intervalos:
1) -7<= 2x + 1<= 19 5) 1/2<= 2x – 1/2 <= 3/4
2) -5< x – 3 <= -3 6) -1 < (3 – 7x)/4 <= 6
3) 2+2x < x – 1 < 5 7) –x< x <= 0
4) 100 > 400 – 6x > 10
SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Las I.S.G. son aquellas en las que el mayor grado de la variable o incógnita es
2. Existen las siguientes formas:
1. Ax2 + Bx + C < 0 3. Ax2 + Bx + C <= 0
2. Ax2 + Bx + C > 0 4. Ax2 + Bx + C >= 0
Donde A, B Y C son números reales y A es diferente de cero.
Para resolver estas inecuaciones se siguen los siguientes pasos:
1. Se factoriza la I.S.G. (se expresa como una multiplicación de a.b).
2. Se relaciona su parecido con una de las siguientes propiedades:
Si a.b >0, entonces (a>0 ^ b>0) v (a<0 ^ b<0). En otras palabras
para que el producto de dos números sea positivo, ambos deben
ser positivos o ambos negativos.
Si a.b <0, entonces (a>0 ^ b<0) v (a<0 ^ b>0). En otras palabras
para que el producto de dos números sea negativo, ambos deben
ser de signos contrarios.
3. Se establecen los valores para los cuales la variable satisface las
condiciones, con ayuda de la recta numérica.
4. Se expresa la solución como intervalo.
EJEMPLOS. RESOLVER LAS SIGUIENTES INECUACIONES:
1. x2 + 2x – 3 > 0
2. x2 +5x <= -6
3. Problema: El número de kilómetros K que cierto auto puede recorrer con
un galón de gasolina está relacionado con su velocidad v (en km por
hora):

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¿A qué velocidades será K al menos de 72 km?
EJERCICIOS
SOLUCIÓN DE INECUACIONES RACIONALES
Al igual que las I.S.G. tiene cuatro formas:
5. p(x)/q(x) < 0 7. p(x)/q(x) <= 0
6. p(x)/q(x) > 0 8. p(x)/q(x) >= 0
Donde p(x) y q(x) son polinomios en x y p(x) es diferente de cero.
Para resolverlas se emplea el mismo procedimiento que se usó en las
I.S.G.
EJEMPLOS. RESOLVER LAS SIGUIENTES INECUACIONES:

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CURSO 11. DESIGUALDADES, INECUACIONES E INTERVALOS
1. (x+1)/(x+2) ≤ 0
2. (x+1)/(x+2) ≥ -1
EJERCICIOS