COORDENADAS CILINDRICAS

1. Balance de Cantidad de Movimiento
en coordenadas cilíndricas
Dr. Alberto Garrido Schaeffer

2. Condiciones de Frontera más
frecuentes
Interfaz
fluido - sólido
𝑣𝑧=0 = 𝑣𝑠𝑢𝑝
𝑣𝐴𝑧=0
= 𝑣𝐵𝑧=0
Interfaz
líquido – líquido
𝒗𝒛
Interfaz
líquido – gas
𝝉𝒙𝒛 ≈ 𝟎
𝑣𝑠𝑢𝑝

3. Flujo a través de una tubería
P1
P2
L
R
Un líquido newtoniano fluye a
través de una tubería de radio “R”.
De ésta, se toma un tramo de
longitud “L” lejos del inicio y final
de tubería, para evitar los efectos
de entrada y salida en el fluido
(perturbaciones).
Calcule el perfil del esfuerzo
cortante y el de velocidades del
fluido.
r
z
q

4. P1
P2
L
R
r
z
q
1. 𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠
2. 𝑣 = (𝑣𝑟, 𝑣𝜃, 𝑣𝑧)
3. 𝑣𝑧 = 𝑣𝑧(𝑟 , 𝜃 , 𝑧 )

5. 𝑣𝑧1
𝑧1
𝜃1
𝑟1
𝜃2
¿ 𝑣𝑧 = 𝑣𝑧 𝜃 ?
𝑣𝑧2
𝑣𝑧 ≠ 𝑣𝑧 𝜃
𝑣𝑧1 = 𝑣𝑧2

6. 𝑣𝑧1
𝑧1
𝑧2
𝜃1
𝑟1
𝑟1
𝑣𝑧2
¿ 𝑣𝑧 = 𝑣𝑧 𝑧 ?
𝜃1
𝑣𝑧 ≠ 𝑣𝑧 𝑧
𝑣𝑧1 = 𝑣𝑧2

7. 𝑧1
𝜃1
𝑟1
𝑟2
𝑣𝑧1
¿ 𝑣𝑧 = 𝑣𝑧 𝑟 ?
𝑣𝑧2
𝑣𝑧 = 𝑣𝑧 𝑟
3. 𝑣𝑧 = 𝑣𝑧(𝑟 , 𝜃 , 𝑧 )
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝜃
=
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
≠ 0

8. 𝑣𝑧1
𝑧1
𝑧2
𝜃1
𝜃1
𝑟1
𝑟1
𝜃2
𝑟2
Coordenadas cilíndricas
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝜃
=
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0
Componentes del vector velocidad que
son diferentes de cero.
𝑣 = (𝑣𝑟, 𝑣𝜃, 𝑣𝑧)
A los mismos r y z, variando sólo
q, los valores de vz son iguales
𝑣𝑧 = 𝑣𝑧(𝑟, 𝜃 , 𝑧 )
A los mismos r y q, variando z, los
valores de vz son iguales.
Pero si mantenemos a z y q, la
velocidad vz varía con r.
𝑣𝑧2
𝜃2

9. L
4. Tomamos un DV con el
D en “r”
5. Y en ese sistema
hacemos nuestro balance
de cantidad de
movimiento.

10. L
Entrada y salida con los
flujos de materia
Área de flujo = 2 𝜋 𝑟 ∆𝑟
∆𝒓
𝑚𝑣
𝑡
=
𝜌∆𝑉𝑣
𝑡
=
𝜌 2𝜋𝑟∆𝑟 ∆𝑧𝑣
𝑡
=
= 𝜌 (2𝜋𝑟∆𝑟)𝑣𝑧. 𝑣𝑧
𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑦 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜𝑠
𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎
2𝜋𝑟∆𝑟𝑣𝑧 𝜌𝑣𝑧 𝑧=0 − 2𝜋𝑟∆𝑟𝑣𝑧 𝜌𝑣𝑧 𝑧=𝐿
𝑧 = 0
𝑧 = 𝐿

11. Cantidad de flujo de C.M. que egresa
en z = L
= 2 𝜋 𝑟 . ∆𝑟. 𝑣𝑧 . (𝜌𝑣𝑧 )𝑧=𝐿
L
r r+Dr
Área de flujo = 2 p r . D r
Dz
Cantidad de flujo de C.M. que ingresa en
z = 0
= 2 𝜋 𝑟 . ∆𝑟.
∆𝑧
𝑡
. (𝜌𝑣𝑧 )𝑧=0
= 2 𝜋 𝑟 . ∆𝑟. 𝑣𝑧 . (𝜌𝑣𝑧 )𝑧=0

12. Área de ingreso de cant. mov.
= 2 𝜋 𝑟 . 𝐿 𝑟=𝑟
Área de salida de cant. mov.
= 2 𝜋 𝑟 . 𝐿 𝑟=𝑟+∆𝑟
Cantidad de flujo de C.M. que ingresa
en r = r
= 𝜏𝑟𝑧 . (2 𝜋 𝑟. 𝐿 )𝑟=𝑟
Cantidad de flujo de C.M. que egresa
en r = r + Dr
= 𝜏𝑟𝑧 . (2 𝜋 𝑟. 𝐿 )𝑟=𝑟+∆𝑟
𝑣𝑧
𝑟
𝑣𝑧
𝑟+∆𝑟

13. 𝑝0
𝑝𝐿
Área de aplicación de la presión
= 2 p r . D r
Volumen del DV
= 2 p r . D r . L
Generación de cant. mov. diferencia de
presión
= 𝑝0 − 𝑝𝐿 . 2 p r . D r
Generación de cant. mov. fuerzas
gravedad
= 2 p r . D r . L . 𝜌𝑔

14. 𝑑
𝑑𝑟
𝑟𝜏𝑟𝑧 =
𝑝0 − 𝑝𝐿
𝐿
+ 𝜌𝑔 𝑟
lim
∆𝑟→0
𝑟𝜏𝑟𝑧 𝑟+∆𝑟 − 𝑟𝜏𝑟𝑧 𝑟
∆𝑟
= =
𝑝0 − 𝑝𝐿
𝐿
+ 𝜌𝑔 𝑟
No puedo eliminar los “r” ya que tienen valores diferentes: r y r + Dr
𝜏𝑟𝑧. 2 𝜋 𝑟. 𝐿 𝑟=𝑟+∆𝑟 − 𝜏𝑟𝑧 . 2 𝜋 𝑟. 𝐿 𝑟=𝑟 = 2 p r . D r . L . 𝜌𝑔 + 2𝜋𝑟∆𝑟 𝑝0 − 𝑝𝐿
2 p r . D r . L 2 p r . D r . L 2 p r . D r . L
No se anulan, los valores de “r” son distintos en el numerador.
0 2 𝜋 𝑟 . ∆𝑟. 𝑣𝑧 . (𝜌𝑣𝑧 )𝑧=0 − 2 𝜋 𝑟 . ∆𝑟. 𝑣𝑧 . 𝜌𝑣𝑧 𝑧=𝐿 + 𝜏𝑟𝑧 . 2 𝜋 𝑟. 𝐿 𝑟=𝑟
− 𝜏𝑟𝑧 . 2 𝜋 𝑟. 𝐿 𝑟=𝑟+∆𝑟 + 2 p r . D r . L . 𝜌𝑔 + 2𝜋𝑟∆𝑟 𝑝0 − 𝑝𝐿
=

15. 𝑝1
𝑧1 = 𝐿
𝑝2
𝑧2 = 0
𝑃2 = 𝑝2 − 𝜌𝑔(𝐿)
𝑃1 = 𝑝1 − 𝜌𝑔0

16. 𝑑
𝑑𝑟
𝑟𝜏𝑟𝑧 =
𝑝 − 𝜌𝑔𝑧 𝑧=0 − 𝑝 − 𝜌𝑔𝑧 𝑧=𝐿
𝐿
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
𝑟𝜏𝑟𝑧 =
… … … …
𝐿
𝑟
P 0 - PL
La cantidad P , se denomina presión modificada y se define como
P = p + rgh
Donde “h” es la distancia “hacia arriba”, en dirección opuesta a la gravedad.
z
r
q
Para nuestro problema h = -z

17. 𝑑 𝑟𝜏𝑟𝑧 =
… … … …
𝐿
𝑟𝑑𝑟
P 0 - PL
𝑟𝜏𝑟𝑧 =
… … … …
2𝐿
𝑟2 + 𝑐1
P 0 - PL
𝜏𝑟𝑧 =
… … … …
2𝐿
𝑟 +
𝑐1
𝑟
P 0 - PL
C.L. 1: si r = 0 trz ≠ ∞ → C1 = 0
𝜏𝑟𝑧 =
… … … …
2𝐿
𝑟
P 0 - PL

18. Como
𝜏𝑟𝑧 = −𝜇
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑟
𝑑𝑣𝑧 = −
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
2𝜇𝐿
𝑟 𝑑𝑟 𝑣𝑧 = −
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
4𝜇𝐿
𝑟2 + 𝐶2
C.L. 2: si r = R vz = 0 𝐶2 = +
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
4𝜇𝐿
𝑅2
−𝜇
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑟
=
… … … …
2𝐿
𝑟
P 0 - PL
𝑣𝑧 = −
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
4𝜇𝐿
𝑟2 +
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
4𝜇𝐿
𝑅2
𝑣𝑧 = −
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
4𝜇𝐿
𝑅2 1 −
𝑟
𝑅
2

19. parábola
r
q
z
recta
𝑣𝑧𝑚á𝑥 = 𝑣𝑧
𝑟=0
=
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑟
= 0
Porque es un máximo

20. < 𝑣𝑧 > = 0
𝑅
0
2𝜋
𝒗𝒛𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟
0
𝑅
0
2𝜋
𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟
Área 𝐴 = 𝜋𝑟2
Velocidad Promedio
Caudal o flujo volumétrico 𝑄 = < 𝑣𝑧 >. 𝐴
𝑄 = < 𝑣𝑧 >. 𝐴 =
0
𝑅
0
2𝜋
𝒗𝒛𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟

21. 𝜏𝑟𝑧 =
𝐹𝑧
𝐴
𝐴 = 2𝜋𝑅 𝐿
Fuerza tangencial que ejerce
el fluido contra la pared
Fuerza tangencial que ejerce
la pared contra el fluido