CALCULO I

2. Integración por partes y
Sustitución
Trigonométrica
Módulo 11
Cálculo 1
2023-1
Videoconferencia 12

3. Temario
Método de Integración por partes.
Método de sustitución trigonométrica

4. Motivación
COVID-19 en el Perú
Cuando la pandemia del COVID -19 llegó al
Perú, la razón de llegada de casos nuevos a
cierto hospital está dada por 𝐶′ 𝑡 =
5𝑡𝑒−0.1𝑡, donde t está medido en días, t = 0
es el inicio de la pandemia. ¿Cuántos casos
ha tratado en total el hospital cuando t =5 y
cuando t=10? https://elperuano.pe/noticia/132532-covid-19-octubre-fue-el-mes-con-menos-
muertes-desde-inicio-de-la-pandemia

5. LOGRO DE APRENDIZAJE
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve
ejercicios y/o problemas aplicados a la
Ingeniería calculando integrales indefinidas
por los métodos de integración por partes y
de sustitución trigonométrica, de manera
eficiente y consistente.

6.  
5
4) 7 2x dx
 

 
6
7 2
)
12
x
B C

 
 
2
3
1) 7 2x dx
 

1 3
2) x
e dx



1 3
)
3
x
e
D C

 
 
5/3
3 7 2
)
10
x
E C

 
2
1
3)
16
dx
x




1
) arctan
4 4
x
A C
  

 
 
Relaciona las integrales de la columna izquierda con su respectiva solución dada en la columna
derecha.
Saberes previos

7. 1. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES.
Fórmula de integración por partes
udv u v vdu
  
 

8. Para resolver una integral por el método de integración por partes primero se comienza
por identificar a qué función se debe derivar y a que función se debe integrar, para ello
se puede recurrir a la técnica memorística:
INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS
LOGARÍTMICAS
ALGEBRAICAS
TRIGONOMÉTRICAS
EXPONENCIALES
𝑥 − 3 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥
Ejemplo:
Se deriva la letra
que queda a la
izquierda y se
integra la que
queda a la derecha
Dado que en I LA T E, L está
a la izquierda de A, entonces:
𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥 se
debe derivar
𝑑𝑣 = 𝑥 − 3 𝑑𝑥
se debe integrar
1. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES.

9. 𝑥 − 3 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥

10. Ejemplo 1. Calcular  
2
cos
x x dx

EJERCICIOS

11. Ejemplo 1. Calcular
Solución:
 
2
ln
x x dx

 
2
ln
x x dx

 
1
ln
u x du dx
x
  
3
2
3
x
dv x dx v
  
 
 
 
 
3 3
2
3 3
2
ln 1
ln
3 3
ln
ln
3 9
x x x
x x dx dx
x
x x x
x x dx C
 
   
 
  
 

Deriva
Integra
D
E
R
I
V
A
I
N
T
E
G
R
A
EJERCICIOS

12. Ejemplo 2: Calcular 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
D
E
R
I
V
A
I
N
T
E
G
R
A
EJERCICIOS

13. 2. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
El método de sustitución trigonométrica se utiliza cuando el integrando presenta cualquiera de
los siguientes radicandos en su composición.
2 2 2 2 2 2
, ,
a x a x x a
  
Pasos para la sustitución trigonométrica:
1. Identificar el tipo de raíz que se tiene.
2. Se reemplaza la variable 𝑥 y el 𝑑𝑥, en términos de la nueva variable 𝜃.
3. Se resuelve la integral trigonométrica.
4. Se reemplaza la variable original, es decir, en términos de 𝑥, en la solución obtenida de la
parte 3, para ello siempre es recomendable elaborar un triángulo rectángulo.

14. CASO 1. RAÍZ 𝒂𝟐 − 𝒙𝟐
𝑎
𝑥
𝑎2 − 𝑥2
𝜃
   
   
2 2
cos
Identidad trigonométrica usada:
sen +cos 1
x asen dx a d
x x
  
  

Ejemplo 1. Calcular
2
2
6
x
dx
x


Solución:

15. Solución de ejemplo 1.

16. CASO 2. RAÍZ 𝒂𝟐 + 𝒙𝟐
𝑎
𝑥
𝑎2 + 𝑥2
𝜃
 
 
   
2
2 2
tan
sec
Identidad trigonométrica usada:
1+tan sec
x a
dx a d
x x

 



Ejemplo 2. Calcular
 
2
2
1
1
dt
t 

Solución:

17. Solución de ejemplo 2.

18. 𝑎
𝑥
𝑥2 − 𝑎2
𝜃
CASO 3. RAÍZ 𝑥2 − 𝑎2
 
   
sec
sec tan
x a
dx a d

  


Ejemplo 3. Calcular
 
3/2
2
3
4
dx
x 

Solución:

19. Solución de ejemplo 3.

20. Solución a la motivación
Cuando la pandemia del COVID -19 llegó al Perú, la razón de
llegada de casos nuevos a cierto hospital está dada por 𝐶′
𝑡 =
5𝑡𝑒−0.1𝑡, donde t está medido en días, t = 0 es el inicio de la
pandemia. ¿Cuántos casos ha tratado en total el hospital
cuando t =5 y cuando t=10?

22. Conclusiones
Fuente: https://respuestas.tips/wp-content/uploads/2018/12/5-7.jpg
.
udv u v vdu
 
 
2 2 2 2 2 2
, ,
a x a x x a
  
1. Dadas las funciones derivables 𝑢, 𝑣; el método de integración por partes
presenta la siguiente estructura:
2. El método de sustitución trigonométrica, consiste en transformar el
integrando a través de funciones trigonométricas y convertirla en una expresión
más simple de integrar. EL método funciona cuando se presentan cualquiera de
las siguientes raíces:
.

23. Metacognición
• ¿En qué aspectos de tu vida te podrán servir resolver
problemas mediante la integración por partes y la
sustitución trigonométrica?
• ¿Qué dificultades se presentaron en la resolución de
problemas?
• ¿De qué manera resolví las dificultades encontradas?
• ¿Qué he aprendido en esta sesión?

24. Bibliografía
1. Leithold, L. (1994). El Cálculo. Mexico: Oxford University Press.
2. Purcell, V. R. (2007). Cálculo. México: Prentice Hall INC.
3. Ron Larson, B. E. (2010). Cálculo 1 de una variable. México: McGRAW-
HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.
4. Stwart, J. (2012). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas (Vol.
Séptima Edición). Mexico DF: Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

25. Consultas
Realice consultas a través del chat o solicita al docente
activar el micrófono para participar.
También podrás enviar sus consultas a través de
Preguntas al profesor y te responderé en 24 horas.

26. La próxima clase desarrollaremos el tema de
“Integración por fracciones parciales”

27. GRACIAS