Flujo descendente

Flujo
Descendente
Martínez Alvarez Nimsi Keren
Universidad Politécnica del Valle de Toluca
FENOMENOS DEL TRANSPORTE DE MOMENTO Y CALOR

Conceptos Generales
 Pvr= Tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento
convectiro
 L= Tensor de densidad de flujo de cantidad de movimiento
viscoso
 ņ- =pξ L= Tensor de densidad de flujo de cantidad de
movimiento molecular

Balances envolventes de cantidad de
movimiento : condiciones límite
 - + + =0
= -
Velocidad
de entrada
de la
cantidad
de
movimient
o por
transporte
convectivo
Velocidad
de salida de
la cantidad
de
movimiento
por
transporte
convectivo
Velocidad de
entrada de la
cantidad de
movimiento
por transporte
molecular
Velocidad
de
salidade la
cantidad
de
movimient
o por
transporte
molecular
Fuerz
a de
grave
dad
sobre
la
que
actua
un
sitem
a

PASOS
 1.- Se identifica la componente de velocidad y la variable de
la cual depende
 2._Se escribe un balance de cantidad de movimiento
 3.- Se provoca que el espesor de la envoltura tienda a 0
 4.- Se hace uso de la Ley de Newton de la viscosidad

Condiciones Límites del Sistema
 En las interfaces sólido-fluido la velocidad del fluido es
igual a la velocidad con que se mueven la superficie
solida
 En un plano interfacial de líquido-Líquido , los
componentes tangenciales son continuos a través de
la interface
 En un plano interfacial líquido gas de x constante los
componentes del tensor de esfuerzo son iguales a 0.

Proposito
 Determinar el perfil de velocidad de un fluido
que desciende sobre una lamina plan de
longitud L y ancho w

Pasos para resolver dicho
problema
 1.-Identificar la componente de velocidad y la
variable del componente:
Vz(x)

 2.- Realizar el balance de la cantidad de
movimiento en Z sobre un sistema de
espesor лx , el cul esta delimitado por los
planos
 Z=0 y z=L

Balance ρVzVz(лxω)І 𝑧=0 } Vel de entrada de cantidad de movimiento en Z atreves de la
superficie z=0
 ρVzVz(лxω)І 𝑧=2 } Vel de salida de cantidad de movimiento en Z atreves de la
superficie z=L
 Tr(Lω)І 𝑥=𝑥 } Vel de entrada de cantidad de movimiento en Z atreves de la
superficie x

𝜏 𝑥𝑦 𝐿𝑤 | 𝑥=𝑥 } 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑧 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎
 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑍 + ∆𝑥
 𝜌𝜗𝑐𝑜𝑠𝛽𝐿 } Fuerza de gravedad ejercida sobre el sistema}


Ecuación del sistema
 𝜌𝑉𝑧 ∗ 𝑉𝑧 (∆𝑧ω)𝐼 𝑍=0
- τzx(Lω)І 𝑧=0+∆𝑥 +
-𝜌𝑉𝑧𝑉𝑧
(∆𝑥ω)І 𝑧=𝐿+𝜏zx(Lω)І 𝑋=𝑋
𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽(𝐿ω∆𝑥) = 0
Donde sabemos que el sistema es estacionario y por lo tanto
concluimos que tanto la velocidad de entrada como de salida son
iguales.

Como resultado de la anterior anotación obtenemos:
−𝜏 𝑥𝑧(Lω)І 𝑥+∆𝑥 + 𝜏 𝑥𝑧(Lω) І 𝑥+𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽(Lω∆𝑥)=0
La ecuación anterior se multiplica por un -1:
𝜏 𝑥𝑧(Lω)І 𝑥+∆𝑥 − 𝜏 𝑥𝑧(Lω) І 𝑥 − 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽(Lω∆𝑥)=0
Después despejamos y dividimos entre los valores constantes y
obtuvimos:
𝜏 𝑥𝑧(Lω)І 𝑥+∆𝑥
∆𝑥
-
𝜏 𝑥𝑧(Lω) І 𝑥
∆𝑥
= 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽
𝜏 𝑥𝑧(Lω)І 𝑥+∆𝑥 − 𝜏 𝑥𝑧(Lω) І 𝑥 −
𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽(𝐿ω∆𝑥)
Lω∆𝑥
=0

Finalmente obtenemos la siguiente ecuación:
𝜏 𝑥𝑧(Lω)І 𝑥+∆𝑥−𝜏 𝑥𝑧(Lω) І 𝑥
∆𝑥
=𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽
Después aplicamos Límites para que el espesor tienda a cero y
ocupamos la definición de la primera derivada para obtener la
ecuación diferencial correspondiente para la densidad de flujo
de cantidad de movimiento
lim
→0
∆𝑥=
𝜏 𝑥𝑧(Lω)І 𝑥+∆𝑥−𝜏 𝑥𝑧(Lω) І 𝑥
∆𝑥

 Aplicando la primera derivada

𝑑𝑦𝜏 𝑋𝑍
𝑑𝑥
=𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽
Donde obtuvimos:
𝜏 𝑋𝑍 = 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽+C ( Densidad de flujo de movimiento)
Ya que derivamos respecto a x todo lo que no tiene
x se mantiene constante

F(x)
X+𝜗
Representación d ela función del área debajp de la curva durante un
tiempo pequeño

 Donde:
 A(x+𝜕) − 𝐴 𝑥 = 𝐹(𝑥)𝜕
 F(x)=[A(X+𝜕)_A(x)]/𝜕
Cuando 𝜕 → 0
Posteriormente integramos la ecuación
𝑑𝜏 𝑥𝑧=𝜌𝜗 cos 𝑥 𝑑𝑥
𝜏 𝑥𝑧=𝜌𝜗𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝐶1
Aplicando el límite:
X=0 𝜏 𝑥𝑧=0
0=𝜌𝜗𝑐𝑜𝑠𝛽+𝐶1
0=0+C1
C2=0

Insertando la ley de Newtón
 𝜏 𝑥𝑧= -μ
𝑑𝑣𝑍
𝑑𝑥
 -𝜇
𝑑𝑉
𝑑𝑥
=𝜌𝜗𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
𝜌𝜗x𝑐𝑜𝑠𝛽)
𝜇
Integramos de nuevo
𝑑𝑣2 =
𝜌𝜗𝑐𝑜𝑠𝛽
𝜇
𝑥 𝑑𝑥

 Para obtener solo a V2
 V2=
−𝜌𝜗𝑐𝑜𝑠𝛽
𝜇
(
𝑥2
2
)+C2
 Aplicamos otro límite
para obtener a
 C2, donde:
 X=𝛿 𝑉2 = 0
0=
𝜇
(
𝛿2
2
)+C2
Despejando a C2
C2=
𝜇
(
𝛿2
2
)
Sustituyendo términos
Semejantes para obtener a
V2 y simplificar
V2=
𝜇
(
𝛿2
2
)+
𝜇
(
𝛿2
2
)
Factorizamos términos
semejantes y obtenemos:
V2=
𝜇2
(𝛿2
+𝑥2
)
Multiplicamos por un -1
V2=
𝜇
[1 −
𝑥
𝛿
2
]

Para obtener la Velocidad
Máxima y media x= 0
V2max=
𝜇
==
𝜇
[1 −
𝑥
𝛿
2
]
< 𝑉2 >=
ω
0 𝑣2𝑑𝑥𝑑𝑦
ω
0 𝑑𝑥𝑑𝑦
Por lo que obtenemos la siguiente notación:


1
𝛿
𝑉𝑧 𝑑𝑥
 𝑉𝑧 =
1
𝛿
𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽
2𝜇
1 −
𝑥
𝛿
2
𝑑𝑥
 𝑉𝑧 =
𝛿2𝜇 0
𝛿
1 −
𝑥
𝛿
2
𝑑𝑥

𝑥
𝛿
=
𝑑
𝑥
𝛿
𝑑𝑥
=
1
𝛿
→ 𝑑
𝑥
𝛿
=
1
𝛿
𝑑𝑥
 𝑉𝑧 =
𝛿2𝜇 0
1
1 −
𝑥
𝛿
2
𝑑
𝑥
𝛿
 𝑑
𝑥
𝛿
=
𝑥
𝛿
𝑥
𝛿
2
=
1
3
𝑥
𝛿
3

𝛿2𝜇
𝑥
𝛿
−
1
3
𝑥
𝛿
3
0
1
𝛿2𝜇
2
3
2𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽
6𝜇
3𝜇
𝜌𝑔 𝛿 2 𝑐𝑜𝑠𝛽
3𝜇
Donde finalmente obtenemos a Velocidad media
𝑉𝑧 =
𝜌𝑔 𝛿2 𝑐𝑜𝑠𝛽
3𝜇

Coordenas cilíndricas
Rectangulares a polares
r 2 + x 2 + y 2
r 2 = 𝑥2 + 𝑦2
Ө = tan -1 𝑦
𝑥
Rectangulares a
polares
x = r cosӨ
y = r senӨ
z = z
𝑣𝑧
0
ℎ
0
2𝑟𝜋
0
𝑅
𝑟𝑑𝑟𝑑Ө dz
0
ℎ
𝑑𝑧 z
h
0
0
2𝜋
𝑑Ө = Ө
2 𝜋
0
0
𝑅
𝑟𝑑𝑟 =
R
0
= R
2
2
r
2
2
Ө
P
r

Dado lo anterior podemos deducir que:
𝝆 vz vz (2𝜋 r 𝝙r) z = 0
𝝆 vz vz (2𝜋 r 𝝙r) z = L
Ʈ rz ( 2𝜋 rL ) r
Ʈ rz ( 2𝜋 rL ) r+ 𝝙r
𝝆g (2𝜋 rL 𝝙r)
𝝆o (2𝜋 r 𝝙r) – PL (2𝜋 r 𝝙r )
𝝆 vz vz (2𝜋 r 𝝙r) zz0 - 𝝆 vz vz (2𝜋 r 𝝙r)
z=L + Ʈ rz ( 2𝜋 rL ) r -Ʈ rz ( 2𝜋 rL ) – r +
𝝙r + 𝝆g (2𝜋 rL 𝝙r) + 𝝆o (2𝜋 r 𝝙r) - PL (2𝜋 r
𝝙r ) = 0

Ʈ rz ( 2𝜋 rL ) r + 𝝙r - Ʈ rz ( 2𝜋 rL ) r - 𝝆g
(2𝜋 rL 𝝙r) - 𝝆o (2𝜋 r 𝝙r) +PL (2𝜋 r 𝝙r )
Aplicando límites para obtener el valor de la C2
Lim
𝝙r → 𝑂
𝑑𝑟𝜏𝑟𝑧
𝑑𝑟
= 𝜌𝛿 𝑟 +
𝑝𝑂(𝑅)
𝑙
-
𝑝𝐿(𝑅)
𝑙

r Ʈ rz = ∫ 𝝆g (r ) + Po(r) -
𝑝𝑙(𝑟)
𝐿
r Ʈ rz = ∫ rdr (𝝆g + Po – PL ) +r2 + c1/L
Sustituyendo el valor de la Constante
Ʈ rz = (𝝆g L + Po – PL)/zL
Presión dinámica:
P=𝜌𝛿cos𝛽

Cambiando las variables y sustituyendo
Z= 0
Po = Po - 𝝆go Po= Po
Z = L
Cambiando las variables y simplificando
PL = PL - 𝝆gl PL= 𝝆gl PL= 𝝆Gl +PL
Ecuación final
Ʈ rz = (PO –PL) r /2L

Velocidad máxima:
Cuando r=0
𝑉𝑚𝑎𝑥 =
𝜌0 − 𝜌 𝐿
4𝜇𝐿
𝑅2
Cuando esta costado
𝑑𝑟 𝜏 𝑟𝑧
𝑑𝑟
=
𝑃𝑜 𝑟
𝐿
−
𝑃𝑜 𝑟
𝐿
𝑟𝜏 𝑟𝑧 =
𝑃𝑜 𝑟 − 𝑃𝐿
𝐿
𝑟2
2
+ 𝐶1
𝑟𝜏 𝑟𝑧 =
𝐿
𝑟
2
+ 𝐶1

r=0 𝜏 𝑟𝑧 = ∞
𝜏 𝑟𝑧 =
2𝐿
𝑟
−𝜇
𝑑 𝑣𝑧
𝑑𝑟
=
2𝐿
𝑟
𝑑 𝑣𝑧
𝑑𝑟
=
𝑃𝑜 − 𝑃𝐿
2𝐿𝜇
𝑟
−𝜇
𝑑 𝑣𝑧
𝑑𝑟
=
2𝐿
𝑟
𝑑 𝑣𝑧
𝑑𝑟
=
2𝐿𝜇
𝑟
𝜇
𝑑 𝑣𝑧
𝑑𝑟
=
𝑃𝑜−𝑃 𝐿
2𝐿𝜇
r

𝑑 𝑣𝑧
𝑑𝑟
=
−𝑃𝑜+𝑃 𝐿
2𝐿𝜇
r
Integrando para obtener Vamax
𝑑 𝑣𝑧 =
−𝑃𝑜 + 𝑃𝐿
2𝐿𝜇
𝑟 𝑑𝑟 𝑉𝑧 =
2𝐿𝜇
𝑟2
2
Donde se integro respecto a r dejando todo lo
demás constante
4𝐿𝜇
𝑟2 + 𝐶2 = 𝑉𝑧

Condición de Límite
r=R 𝑉𝑧 = 0
Donde sustituimos y a C2 anteriormente obtenida y sustituimos
valores por las anotaciones anteriores
0 =
4𝐿𝜇
𝑅2
+ 𝐶2
𝐶2 =
4𝐿𝜇
𝑅2
𝑉𝑧 =
4𝐿𝜇
𝑟2
+
4𝐿𝜇
𝑅2
𝑉𝑧 =
4𝐿𝜇
+ 𝑅2 − 𝑟2
𝑃𝑜−𝑃 𝐿 𝑅2
4𝐿𝜇
+ 1 −
𝑟
𝑅
2
ECUACION DE VELOCIDAD

Finalmente después de ayudarnos de integrar y
derivar ecuaciones podemos sustituir la
anotación siguiente
𝑑𝑟𝑧 = −
2𝐿
𝑟}
Sustitutendo valores
𝑉𝑧 = −
2𝐿
𝑟 + 𝐶2}
Por lo tanto como las frecuencias también se cancelan la
ecuación es la misma:
𝑃𝑜−𝑃 𝐿 𝑅2
4𝐿𝜇
+ 1 −
𝑟
𝑅
2
ECUACION DE VELOCIDAD

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