1. El documento discute los modelos de líneas de espera, que son útiles para la planificación de la capacidad en situaciones donde se forman filas de espera como en aeropuertos, bancos o restaurantes. 2. Las líneas de espera se forman debido a un desequilibrio entre la demanda de un servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo. 3. Los modelos de líneas de espera usan distribuciones de probabilidad para ofrecer estimaciones del tiempo de retraso promedio de los clientes, la longitud

1. AdministracióndelasOperaciones
Cualquiera que haya tenido que
esperar frente a un semáforo, en
la cola de un banco o de un
restaurante de comidas rápidas,
ha vivido la dinámica de las filas
de espera.
MODELOSDE
LÍNEASDEESPERA
El análisis de líneas de espera es
de interés para los gerentes
porque afecta el diseño, la
planificación de la capacidad, la Roberto CARRO PAZ
Daniel GONZÁLEZ GÓMEZ
planificación de la distribución
de espacios, la administración de
inventarios y la programación.
Aquí discutiremos por qué se
forman colas y filas, las
aplicaciones de los métodos de
la
administración de las
operaciones y la estructura de los
modelos de filas de espera.
Veremos también cómo abordan
los gerentes sus decisiones con
esos modelos.
16

2. ElSistema de
ProducciónyOperaciones
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3. MODELOSDELÍNEASDEESPERA
Cualquiera que haya tenido que esperar frente a un semáforo, en la cola
de un banco o de un
restaurante de comidas rápidas, ha vivido la dinámica de las filas de espera.
El análisis de líneas de
espera es de interés para los gerentes porque afecta el diseño, la
planificación de la capacidad, la
planificación de la distribución de espacios, la administración de
inventarios y la programación.
J
unto a losárbolesdedecisiones,confrecuencia losmodelosdelíneasdeesperasonútilespara la
planificacióndela
capacidad. Frente a ciertos centros de trabajo, como el mostrador de pasajes de un aeropuerto,
un centro de
máquinasoun centro decómputoscentral,tiendena formarse líneasdeespera.Esasí porque los
tiemposdellegada
entre dos trabajos o clientes sucesivos varían y el tiempo de procesamiento también varía de un
consumidor al
siguiente.Losmodelosdelíneasdeespera usandistribucionesdeprobabilidad paraofrecer
estimacionesdel tiempo
de retraso promedio delos clientes,la longitud promedio delasfilasde espera y la utilizacióndel
centro de trabajo.
Los gerentes suelen usar esta informaciónpara elegirla capacidad másefectiva entérminosde
costos, hallando un
equilibrio entreel servicio alclienteyel costo dela capacidad agregada.
Se conoce como línea de espera a una hilera formada por uno o varios clientes que aguardan para
recibir un
servicio. Los clientes pueden ser personas, objetos, máquinas que requieren mantenimiento,
contenedores con
mercancíasenespera de ser embarcadosoelementosdeinventario a punto de ser utilizados.Las
líneasde espera se
forman a causa de un desequilibrio temporal ente la demanda de un servicio y la capacidad del
sistema para
suministrarlo.
Una posibilidad de 0,0625
significa que la posibilidad
de
tener más de tres clientes
en una
fila de registro en un
aeropuerto,
en un cierto momento del
día, es
una probabilidad de uno
en 16.
Si este check-in de
American
Airlines en el aeropuerto
de
Bruselas puede vivir con
cuatro o
más pasajeros en línea
aproximadamente el 6%
del
tiempo, un agente de
servicio será
suficiente. Si no, se deben
sumar
más puestos de registro y
personal.

4. ROBERTO CARRO PAZ · DANIEL GONZÁLEZ
GÓMEZ
En la mayoría delosproblemasdelíneasdeespera quesepresentan en la vida real,la tasa dedemanda
varía;esdecir,
los clientes llegan a intervalos imprevisibles. Lo más común es que también haya variaciones en
el ritmo de
produccióndelservicio,dependiendo delasnecesidadesdelcliente.
Los pacientesqueaguardanal médico ensuconsultorio ylostaladrosdescompuestosqueesperanen
una instalación
dereparacióntienenmucho encomúndesdeuna perspectiva deProducciónyOperaciones.Ambas
utilizanrecursos
humanos y recursos de equipos para mantener los valiosos activos de producción (gente y
máquinas) en buenas
condiciones.
Los administradores de operaciones reconocen el trueque que se lleva a cabo entre el costo de
ofrecer un buen
servicio y el costo del tiempo de espera del cliente o la máquina. Los administradores desean que las
filas de espera
sean losuficientemente cortas,detal forma quelosclientesnose sientandescontentosy se vayansin
comprar,oque
comprenpero nunca regresen. Sin embargo,losadministradoresestándispuestosa permitiralguna
espera,si ésta es
proporcional a un ahorro significativo en los costos del servicio. Cuando la empresa intenta elevar
su nivel de
servicio,seobserva un incremento enloscostos.
USOSDE LA TEORÍA DE LÍNEASDEESPERA
La teoría delaslíneasdeespera es aplicable a empresasdeserviciosomanufactureras,porque
relaciona la llegadade
los clientes y las características de procesamiento del sistema de servicios con las características de
salida de dicho
sistema. El sistema de servicio puede consistir en la operación de cortar el cabello en una peluquería,
o bien, en el
departamento de partes, con una máquina determinada para atender un pedido de producción.
Otros ejemplos de
clientesy servicios son las filasdelosespectadoresqueesperanfrente a un estadio defútbol para
comprarentradas,
los camiones que aguardan para ser descargados en una planta de acopio de cereales, las máquinas
en espera de ser
reparadasporuna cuadrilla demantenimiento y lospacientesque hacen antesala para ser atendidos
por un médico.
Cualquiera quesea la situación,losproblemasreferentesa líneasdeespera tienenalgunoselementosen
común.
ESTRUCTURA DE LOSPROBLEMASDE LÍNEASDE ESPERA
El análisis de los problemas de líneas de espera comienza con una descripción de los elementos
básicos de la
situación. Cada situación específica tendrá características diferentes, pero cuatro elementos son
comunes a todas
ellas:
1
2
3
. Un insumo,opoblacióndeclientes,quegenera clientes
potenciales.
. Una línea o fila deesperaformada porlos
clientes.
. La instalacióndeservicio,constituida poruna persona (ouna cuadrilla),una máquina (ogrupo
demáquinas)
oambascosassi así serequiere para proveerel servicio queel cliente solicita.
. Una regla deprioridad paraseleccionaral siguiente clientequeserá atendido porlainstalaciónde
servicio.
4
La figura 16.1ilustra estos elementosbásicos.El sistema deservicio describe el número defilasyla
disposicióndelas
instalaciones.Una vez queel servicio ha sido suministrado,losclientesatendidossalendel sistema.
Poblacióndeclientes
La fuente de insumos para el sistema de servicio es una población de clientes. Si el número
potencial de nuevos
clientespara el sistema deservicio resulta afectadonotablemente porel número declientesqueya se
encuentran enel
sistema,sedicequeesa fuente deinsumoses finita.Porejemplo,supongamosqueuna cuadrillade
mantenimiento se
le asigna la responsabilidad de reparar 10 máquinas y dejarlas en buen estado de funcionamiento.
Esa población
generará losclientespara la cuadrilla demantenimiento,deacuerdo conuna función matemática de
lastasas defalla
de las máquinas. A medida que un mayor número de máquinas falle y entre en el sistema de
servicio, ya sea para
esperarsu turno opara serreparada deinmediato,la poblacióndeclientesdisminuirá y,por
consiguiente,seregistrará
un descenso de la tasa a la cual dicha población es capaz de generar otro cliente. En consecuencia,
se dice que la
poblacióndeclientesesfinita.

5. MODELOS DE LÍNEAS DE
ESPERA
Población
de clientes
Sistema de servicio
Instalaciones
de servicio
Fila de espera
Clientes
atendidos
Regla de
prioridad
Figura 16.1
Elementos básicos de los modelos de
líneas de espera.
En forma alternativa, la población de clientes infinita es aquella en la que el número de clientes que
entran al
sistema no afecta la tasa a la cual dicha población genera nuevos clientes. Por ejemplo, considere una
operación de
pedidosporInternet para la cual la poblacióndeclientesestá constituida por los compradoresque
han recibido un
catálogo delos productosque vendela compañía vía lista dedistribuciónpor correo electrónico. En
vista deque la
poblacióndeclientesesmuy grande y sólo una pequeña fraccióndeloscompradoreshacepedidosen
un momento
determinado, el número de nuevos pedidos que genera no resulta afectado en forma notable por
el número de
pedidosqueestánenespera deservicio oquesonatendidosporel sistema queimparte dichoservicio.
Eneste caso se
dicequela poblacióndeclientesesfinita.
Los clientesde las líneasde espera pueden ser pacienteso impacientes,locual nada tiene que ver con
el lenguaje
que un cliente que espera largo tiempo en una fila, durante un día caluroso, podría utilizar. En el
contexto de los
problemas de líneas de espera, un cliente paciente es el que entra al sistema y permanece allí hasta
ser atendido; un
cliente impaciente esel queobiendecide noentraral sistema(arrepentido)osaledeésteantesde
habersido atendido
(desertor).Para simplificarlosmétodos,eneste suplemento utilizaremoscomo supuesto que todoslos
clientesson
pacientes.
Sistema deservicio
El sistema deservicio sueledescribirse entérminosdel número defilasyla disposicióndelas
instalaciones.
Número de filas. Las filas de espera se diseñan en forma de una sola fila o filas múltiples. La
figura 16.2
muestra un ejemplo de cada una de esas disposiciones. En general, se utiliza una sola fila en
mostradores de
aerolíneas, cajas de los bancos y algunos restaurantes de comida rápida, mientras que las filas
múltiples son
comunes en lossupermercadosy espectáculospúblicoscomo teatrosocanchasdefútbol.Cuando
se dispone de
servidores múltiplesy cada uno de ellospuede manejar transaccionesdetipo general,la
disposición deuna sola
fila mantiene a todos ellosuniformemente ocupadosy proyecta enlos clientesuna sensación de
que la situación
es equitativa.Estospiensanqueseránatendidosdeacuerdo consuordendellegada,noporel grado
en quehayan
podido adivinarlosdiferentestiemposdeespera al formarse enuna fila enparticular.El diseño de
filasmúltiples
es preferible cuandoalgunosdelosservidoresproveenunconjunto deservicioslimitado.Enesta
disposición,los
clienteseligenlosservicios quenecesitany esperanen la fila dondesesuministra dicho servicio,
como sucedeen
los supermercadoses las que hay filas especiales para los clientes que paganen efectivo o para los
que compran
menosde10artículos.

6. ROBERTO CARRO PAZ · DANIEL GONZÁLEZ
GÓMEZ
Algunasveces, loselementosque esperansu turno no están organizadosnítidamente enfilas.Las
máquinasque
necesitanser reparadasenel tallerdeproduccióndeuna fábrica puedenpermanecerensus
respectivossitiosyel
equipo de mantenimiento esel que tiene que acudira cada lugar. A pesar de todo, podemos
considerarque esas
máquinas forman una sola fila o filas múltiples, según el número de cuadrillas de reparación y sus
respectivas
especialidades. Asimismo, los usuarios que llaman por teléfono para pedir un taxi también
forman una fila,
aunque cada unoseencuentre enun lugardiferente.
Instalaciones de servicio Instalaciones de servicio
(a) Una sola fila (b) Filas múltiples
Figura 16.2
Diversas disposiciones de filas
de espera
Disposicióndeinstalacionesdeservicio.Lasinstalacionesdeservicio consistenen el personal y/o el
equipo
necesario para proporcionardicho servicio al cliente.La figura 16.3muestra algunosejemplosdelos
cinco tipos
básicos de disposiciones para las instalaciones de servicio. Los gerentes deben elegir una
disposición adecuada
según el volumendesus clientesy el carácterdelosserviciosofrecidos.Algunosserviciosrequieren
un solo paso,
tambiénconocido como fase,entanto queotrosrequierenuna secuencia depasos.
Instalación
de servicio
Instalación Instalación
de servicio 1 de servicio 2
Instalación
de servicio 1
Instalación
de servicio 2
a) Un solo canal, una sola fase b) Un solo canal, múltiples fases c) Múltiples canales, una sola fase
Ruta para : 1-2-4
Ruta para : 2-4-3
Instalación Instalación
de servicio 1 de servicio 3
Ruta para : 3-2-1-4
Instalación
de servicio 2
Instalación
de servicio 1
Instalación Instalación
de servicio 2 de servicio 4
Instalación
de servicio 3
Instalación
de servicio 4
Figura 16.3
Ejemplos de disposiciones para
instalaciones de servicio

7. MODELOS DE LÍNEAS DE
ESPERA
En el sistema de un solo canal y una sola fase, todos los servicios solicitados por un cliente suelen
impartirse
por una instalación con un solo servidor. En ese caso, los clientes formanuna sola fila y circulan uno
por uno a
través de la instalación de servicio. Ejemplos de esto son los servicios de lavado automático
donde los
automovilistas no necesitan salir de sus vehículos, o bien, cualquier máquina en la cual sea
necesario procesar
varioslotesdepartes.
La disposición con un solo canal y múltiples fases se usa cuando es más conveniente que los
servicios se
impartan en secuencia por varias instalaciones, pero el volumen de la clientela y otras
restricciones limitan el
diseño a un solo canal. Los clientes forman una sola fila y avanzan en forma secuencial,
pasando de una
instalación de servicio a la siguiente. Un ejemplo de esta disposición son las instalaciones donde se
realizan los
trámitespara la obtencióndedocumentospersonalescomo lospasaportes,donde la primera
instalacióndetoma
el formulario deinscripción,la segundatoma la huellasdigitalesyla tercera sacala foto
delsolicitante.
La disposicióndemúltiplescanalesyuna sola fasese usa cuando la demanda essuficientemente
grande para
justificarquesesuministre el mismo servicio enmásdeuna instalación,obien,cuando losservicios
ofrecidospor
las instalaciones son diferentes. Los clientes forman una o varias filas, dependiendo del diseño. En
el diseño de
una sola fila,losclientessonatendidosporel primerservidordisponible,comosucede enlasoficinas
del ANSES
o en los bancos. Si cada canal tiene su propia fila de espera, los clientes aguardan hasta que el
servidor de su
respectiva filapuedaatenderlos.
La disposicióndemúltiplescanalesymúltiplesfasessepresenta cuando losclientespuedenser
atendidospor
una delas instalacionesdela primera fase, pero despuésrequierenlos servicios de una instalación
de la segunda
fase, y así sucesivamente. En algunos casos, los clientes no pueden cambiar de canales después
de iniciado el
servicio;en otrossí puedenhacerlo.Unejemplo deesta disposiciónsonlosnegociosdeserviciosde
lavado como
Laverap.Lasmáquinaslavadorassonlasinstalacionesdela primera faseylassecadorassonlas
instalacionesdela
segunda fase.Algunaslavadorasysecadorasestándiseñadaspara recibircargasdemayorvolumen,
con lo cual es
posible brindaral cliente laposibilidad deelegirentrevarioscanales.
En el problema máscomplejodefilasdeespera intervienenclientescuyosserviciosrequeridos
tienensecuencias
únicas; por consiguiente,el servicio no puede dividirse claramente endistintasfases.En esos casos
se utiliza una
disposiciónmixta.Enesta disposición,lasfilasdeespera suelenformarse frentea cada instalación,
como enun
tallerdeproducciónintermitente donde cada trabajopersonalizado tal vezrequiera el usode
diversasmáquinasy
diferentesrutas.
Regla deprioridad
La regla de prioridad determina a qué cliente se deberá atender a continuación. En la mayoría de los
sistemas de
servicio que conocemos,seaplica la regla de“a quien llega primero,seatiende primero” (FCFS;del
inglés,first-come,
first-served).El cliente queestá en primerlugaren la fila deespera tiene la másalta prioridad,yel que
llega al final tiene
la prioridad másbaja.Enotrasdisciplinasparadeterminarórdenesdeprioridad,seconcedela prioridad
al cliente que
tenga la fecha prometida de vencimiento más próxima (EDD; del inglés, earliest due date) o al que
corresponda el
tiempo deprocesamiento máscorto (SPT;del ingles,shortestprocessingtime).
Una disciplina prioritaria consiste enuna regla quepermite a un cliente demás alta prioridad
interrumpir el servicio
de otro cliente. Por ejemplo, en la sala de emergencias de un hospital, los pacientes que llegan con
heridas que
representan amenazas más graves para la vida son atendidos primero, sin importar en qué orden
hayan llegado. La
construcción de modelos de sistemas con disciplinas de prioridad complejas se realiza comúnmente
por medio de
una simulaciónporcomputadora.

8. ROBERTO CARRO PAZ · DANIEL GONZÁLEZ
GÓMEZ
Años deescucharlas quejasdelosclienteshan enseñado a lasaerolíneasalgunasleccionesde
recoleccióndeequipaje.Cuando
Aeropuertos Argentina 2000 diseñó su área de recolección de equipaje en el Aeroparque
Jorge Newbery de la ciudad de
Buenos Aires, la puso cerca de las puertas, de tal forma que los pasajeros que
desembarcaran no tuvieron que hacer una
caminata demasiado larga. Pero aunque los pasajeros llegan al área rápidamente, deben
esperar por su equipaje. En el
aeropuerto internacional deEzeiza,encambio,lospasajerostienenquecaminarcierta
distancia hasta el área derecolección,
pero cuando llegan, sus maletas generalmente están ahí. Aún cuando los viajeros
internacionales duran más tiempo total
recogiendo suequipaje,la empresa ha encontradoquenosequejantanto porla demora del
equipaje dela formaenquelohacen
lospasajerosdecabotaje.
DISTRIBUCIONESDEPROBABILIDAD
Las fuentes de variación en los problemas de filas de espera provienen del carácter aleatorio de la
llegada de los
clientes y de las variaciones que se registran en los distintos tiempos de servicio. Cada una de esas
fuentes suele
describirsemedianteuna distribucióndeprobabilidades.
Distribucióndellegadas
La llegada de clientes a las instalaciones de servicio es aleatoria. La variabilidad en los intervalos de
llegada de los
clientesa menudo sedescribe pormediodeuna curva dedistribucióndePoisson,la cual especifica la
probabilidadde
quenclienteslleguenenTperiodosdetiempo:
n
( ëT) -ëT
e
P =
(n)
para n= 0,1, 2, ...
n!
donde: P =probabilidad denllegadasenT periodosde
tiempo
(n)
ë=número promedio dellegadasdeclientespor
periodo
e=2,7183
La medida de distribución de Poisson es ëT, y la varianza también es ëT. La distribución de
Poisson es una
distribución discreta; es decir, las probabilidades corresponden a un número específico de llegadas
por unidad de
tiempo.

9. MODELOS DE LÍNEAS DE
ESPERA
Ejemplo del cálculo dela probabilidad dellegadasdeclientes.Losclientessepresentanenla
secciónde
atención de quejas por productos defectuosos de una casa de electrodomésticos a razón de dos
clientes por
hora.¿Cuál esla probabilidaddequesepresentencuatro clientesdurante lapróxima hora?
Solución. En este caso ë = 2 clientes por hora, T = 1 hora y n = 4 clientes. La probabilidad de
que lleguen
cuatro clientesenla próxima hora
es: 4
[2(1)] 16
-2(1) -2
e e = 0,090
P = =
(4)
4! 24
Otra forma deespecificarla distribucióndellegadasconsiste en hacerlo en términos detiemposentre
llegadasde
clientes;es decir,el intervalo detiempo entrela llegada dedosclientessucesivos.Si la poblaciónde
clientesgenera a
éstos de acuerdo con una distribución de Poisson, entonces la distribución exponencial describe la
probabilidad
dequeel próximo cliente lleguedurante lossiguientesTperiodosdetiempo.
Distribucióndetiempodeservicio
La distribución exponencial describe la probabilidad de que el tiempo de servicio del cliente en una
instalación
determinada nosea mayorqueTperiodosdetiempo.La probabilidad:puede calcularse conla
siguientefórmula:
-ìT
P =1-e
(t <T)
donde: ì = número medio de clientes que completan el servicio en cada
periodo
t =tiempo deservicio del cliente
T =tiempo deservicio propuesto como
objetivo 2
La media de la distribución del tiempo de servicio es 1/ì, y la varianza es (1/ì) . A medida que T
incrementa, la
probabilidaddequeel tiempo deserviciodel cliente sea menorqueTseva
aproximando a 1,0.
Ejemplo del cálculo de la probabilidad del tiempo de servicio. El empleado de la sección de
atención de
quejas por productosdefectuosospuedeatender,enpromedio,a tresclientespor hora. ¿Cuál es la
probabilidad
dequeun cliente requiera menosde10minutosdeeseservicio?
Solución.Es necesario expresartodoslosdatosen las mismasunidadesdetiempo.Puesto que ì = 3
clientespor
hora,convertimoslosminutosen horas,osea,T=10 minutos=10/60hora = 0,167hora.Entonces:
-ìT
P =1-e
(t <T)
-3(0,167)
P =1-e = 1-0,61 = 0,39
(t <0,167 h)
Algunas características de la distribución exponencial no siempre se adaptan a una situación real. El
modelo de
distribuciónexponencialsebasa enla suposicióndequecada tiempo deservicioesindependiente de
lostiemposque
lo precedieron. Sin embargo, en la vida real, la productividad puede mejorar a medida que los
servidores humanos
aprendena hacermejorsutrabajo.
La suposiciónfundamental eneste modelo esquelos tiemposdeservicio muy pequeños,igual quelos
muy grandes,
son posibles. No obstante, las situaciones de la vida real requieren a menudo un tiempo de
duración fija para su
puesta enmarcha,algúnlímite para laduracióntotal delservicio ountiempo deserviciocasi constante.

10. ROBERTO CARRO PAZ · DANIEL GONZÁLEZ
GÓMEZ
USODE MODELOSDE FILASDE ESPERAPARAANALIZAROPERACIONES
Los gerentes deoperacionessuelenutilizarmodelosdefilasdeespera para establecerel equilibrio
entre las ventajas
que podrían obtener incrementando la eficiencia del sistema de servicio y los costos que esto implica.
Además, los
gerentes deberíanconsiderarloscostos porno hacermejorasal sistema: las largasfilasdeespera o los
prolongados
tiemposdeespera resultantesdeesto provocanquelosclientessearrepientanodeserten.Porlo tanto,
es preciso que
losgerentesesténinteresadosenlassiguientescaracterísticasdeoperacióndelsistema:
1. Longitud de la fila. El número de clientes que forman una fila de espera refleja alguna de
estas dos
condiciones:lashilerascortassignificanqueel servicio al cliente esbueno oquela capacidades
excesiva,ylas
hileraslargasindicanuna baja eficienciadel servidorola necesidad deaumentarla capacidad.
2. Número declientesen el sistema.El número declientesque conformanla fila yrecibenservicio
también
se relaciona con la eficiencia y la capacidad de dicho servicio. Un gran número de clientes en
el sistema
provoca congestionamientos y puede dar lugar a la insatisfacción del cliente, a menos que
el servicio
incrementesucapacidad.
3. Tiempo deespera enla fila.Lasfilaslargasnosiempre significantiemposdeespera prolongados.
Si la tasa
de servicio es rápida, una fila larga puede ser atendida eficientemente. Sin embargo, cuando
el tiempo de
espera parece largo,losclientes tienenla impresióndeque la calidad del servicio esdeficiente.
Los gerentes
tratandecambiarla tasa dellegadadelosclientesodediseñarel sistemapara queloslargos
tiemposdeespera
parezcanmáscortosdeloquerealmente son.
4. Tiempo total en el sistema. El tiempo total transcurrido desde la entrada al sistema hasta la
salida del
mismo ofrece indicios sobre problemas con los clientes, eficiencia del servidor o capacidad.
Si algunos
clientes pasan demasiado tiempo en el sistema del servicio, tal vez sea necesario cambiar la
disciplina en
materia deprioridades,incrementarla productividad oajustardealgúnmodo lacapacidad.
5. Utilizacióndelasinstalacionesdeservicio.La utilizacióncolectiva deinstalacionesdeservicio
refleja el
porcentaje detiempo queéstaspermanecenocupadas.El objetivo dela gerencia esmantener
altosnivelesde
utilizaciónyrentabilidad,sinafectaradversamente lasdemáscaracterísticasdeoperación.
El mejor método para analizar un problema de filas de espera consiste en relacionar las cinco
características de
operaciónysus respectivasalternativasconsu valormonetario.Sinembargo,esdifícil asignarunvalor
económico a
ciertas características (como el tiempo de espera de un cliente en un banco). En estos casos, es
necesario que un
analista compare el costo necesario para aplicarla alternativaencuestión,frente a una evaluación
subjetiva del costo
queimplicaría el hecho denohacerdicho cambio.
Presentaremos ahora tres modelos y algunos ejemplos que ilustran la forma en que los modelos de
filas de espera
ayudana losgerentes deoperacionesenla toma dedecisiones.Analizaremosproblemasque
requierenla utilización
delosmodelosdeunsolo servidor,demúltiplesservidoresydefuentefinita,todosellosconuna sola
fase.
Modelo A:deunsoloservidor
El modelo defilasde espera más sencillo corresponde a un solo servidor y una sola fila de clientes.
Para especificar
conmásdetalle el modelo,haremoslassiguientessuposiciones:
1
2
3
4
5
. La poblacióndeclientesesinfinita ytodoslosclientessonpacientes.
. Los clientesllegandeacuerdoconuna distribucióndePoissonyconuna tasa media de
llegadasdeë.
. La distribucióndel servicio esexponencial,conuna tasa mediadeservicio deì.
. A losclientesquelleganprimero selesatiendeprimero.
. La longitud dela fila deesperaes
ilimitada.

11. MODELOS DE LÍNEAS DE
ESPERA
A partirdeellas,podemosaplicarvariasfórmulasparadescribirlascaracterísticasdeoperación
delsistema:
ë
p = utilización promedio del sistema
=
ì
n
P =probabilidad dequenclientesesténenel sistema =
(1-p) p
(n)
ë
L = número promedio declientesenel sistema de
servicio =
ì - ë
L = número promedio declientesenla filadeespera
=pL
q
1
W = tiempo promedio transcurrido enel sistema,incluidoel
servicio =
ì - ë
W = tiempo promedio deespera enla fila
=pW
q
Ejemplo del cálculo delascaracterísticasdeoperacióndeun sistema con un solo canal y una sola
fase
La gerente de un supermercado está interesada en brindar un buen servicio a las personas de
mayor edad que
compran en su local. Actualmente, el supermercado cuenta con una caja de salida reservada para
los jubilados.
Estaspersonasllegana la caja a un ritmo promedio de30porhora,deacuerdo conuna distribución
dePoisson, y
son atendidos a una tasa promedio de 35 clientes por hora, con tiempos de servicio
exponenciales. Calcule los
siguientespromedios:
a. Utilizacióndelempleado delacajade
salida.
b. Número declientesqueentranal
sistema.
c. Número declientesformadosenla fila.
d. Tiempo transcurrido dentro del sistema.
e. Tiempo deespera enla fila.
Solución. La caja de salida puede representarse como un sistema con un solo canal y una sola fase.
Usamos las
ecuacionescorrespondientesa las característicasdeoperacióndel modelo conun solo servidor
para calcularlas
característicaspromedio:
a. La utilizaciónpromedio delempleadodela cajade
salida es:
ë 30
p = = = 0,857 ; o sea, 85,7%
ì 35
b. El númeropromedio declientesqueentranal
sistema es:
ë 30
35-30
L = = = 6 clientes
ì - ë
c. El númeropromedio declientesformadosenla
fila es:
L = pL = 0,857 (6) = 5,14 clientes
q
d. El tiempopromedio transcurrido dentro del
sistema es:
1 1
W = = = 0,20hora ; osea,12
minutos
ì - ë 35-30
e. El tiempopromedio transcurrido enla fila
es:
W =pW= 0,857(0,20) =0,17hora : osea,10,28
mimnutos
q

12. ROBERTO CARRO PAZ · DANIEL GONZÁLEZ
GÓMEZ
Ejemplo del análisis de las tasas de servicio usando el modelo con un solo servidor La gerente
del
supermercado mencionado,desearespuestasdelas
siguientespreguntas:
a. ¿Qué tasa de servicio se requerirá para lograr que los clientes pasaran, en promedio, sólo 8
minutos en el
sistema?
b. Con esa tasa deservicio,¿cuál sería laprobabilidad detenermásdecuatro clientesenel
sistema?
c. ¿Qué tasa de servicio se requeriría para que fuera de sólo 10% la probabilidad de tener
más de cuatro
clientesenel sistema?
Solución.
a. Usamosla ecuacióncorrespondienteal tiempopromedio dentro del sistema y
resolvemospara ì. 1
W = ì - ë
1
8minutos= 0,133horas
=
ì - 30
0,133ì -0,133(30) =1
ì =37,52 clientes/hora
b. La probabilidad dequehaya más decuatro clientesen el sistema es igual a 1 menos la
probabilidad deque
haya cuatro omenosclientesenel sistema.
4
p=1- P(n)
n=0
4
=1- (1-p) p
n=0
30
y p= = 0,80 ; entonces,
37,52
2 3 4
p=1-0,2(1+0,8+0,8 + 0,8 + 0,8
)
p= 1- 0,672 = 0,328
Porlotanto,existeuna probabilidaddecasi 33%dequemásdecuatro clientesesténen
el sistema.
c. Aplicamos la misma lógica que en la parte (b), excepto que ì es ahora una variable de
decisión. La forma
másfácil deprocederesencontrarprimero la utilizaciónpromedio correcta ydespuésresolver
para la tasa
deservicio.
2 3 4
p=1-(1-p)(1+p +p +p +p
)
2 3 4 2 3 4
1-(1+p +p +p +p ) +p(1+p+p +p
+p )
=
=
=
2 3 4 2 3 4
1-1-p -p -p -p +p +p+p +p +p
+p
5
5
p
1/5
obien; =p
Si P =0,10 ; entonces,
1/5
p= (0,10) = 0,63

13. MODELOS DE LÍNEAS DE
ESPERA
En consecuencia, para una tasa de utilización de 63%, la probabilidad de que más de cuatro
clientes se
encuentren enel sistema esde10%.Para ë=30, la tasa deservicio media
deberá serde:
30
=0,63
ì
ì = 47,62clientes/hora
La gerente tiene que encontrar ahora la forma de incrementar la tasa de servicio, de 36 por
hora a 48 por
hora aproximadamente. Dicha tasa de servicio puede incrementarse en varias formas, que
abarcan desde
empleara untrabajadorqueayude a empacarla mercancía,hasta instalarequipoelectrónico
másmoderno
y veloz en la caja para quelea en menostiempo lospreciosdela informaciónimpresa en
código debarras
sobre cada artículo.
El EpcotCenter dela fotografía,al igual queDisneyWorldenOrlando,Disneyland enCalifornia,
EuroDisneycerca deParísy
DisneyJapancerca deTokiotienenuna característica encomún:laslargasfilasylasesperasque
parecennotenerfin. Pero Disneyes
una delascompañíaslíderesenel estudio científico delateoríadecolas;analiza los
comportamientosdelascolasypuedepredecirqué
juegosatraerána quécantidadesdemultitud.Para mantenercontentosa losvisitantes,Disneyhace
tres cosas:(1) hace quelaslíneas
parezcan que avanzan en forma constante; (2) entretiene a la gente mientras espera; y (3) pone
señales diciendo a los visitantes a
cuántosminutos delejanía estándecada juego.Deesa manera,lospadrespuedendecidirsi una
espera de 20 minutospara el Samll
Worldvalemáslapena queuna espera de30minutospara Mr.Frog`sWildRide.
Modelo B:demúltiplesservidores
En el modelo conmúltiplesservidores,losclientesforman una sola fila y escogen,entre s servidores,
aquel que esté
disponible. El sistema de servicio tiene una sola fase. Partiremos de las siguientes suposiciones,
además de las que
hicimospara el modelo conun solo servidor: tenemoss servidoresidénticos,yla distribucióndel
servicio para cada
uno deellosesexponencial,conuntiempo mediodeservicio igual a 1/ì.
Con estassuposiciones,podemosaplicarvariasfórmulasa findedescribirlascaracterísticasde
operacióndel sistema
deservicio:

14. ROBERTO CARRO PAZ · DANIEL GONZÁLEZ
GÓMEZ
ë
p = utilización promedio del sistema
=
sì - 1
s - 1
n s
(ë/ì) (ë/ì) 1
P =probabilidad dequecero clientesesténenel
sistema =
0
+
n! s! 1 - p
n=0
n
(ë/ì)
P ; 0 < n < s
0
n!
P =probabilidad dequehayanclientesesténenel
sistema =
n
n
(ë/ì)
P ; 0 < n < s
n-s 0
s!s
s
P (ë / ì) p
0
L = número promedio declientesenla filade
espera =
q 2
s!(1-p)
Lq
W = tiempo promedio deespera enla
fila =
q
ë
1
W = tiempo promedio transcurrido enel sistema,incluidoel servicio =
W +
q
ì
L = tiempo promediodeclientesenel sistema deservicio
= ëW
Ejemplo deestimacióndel tiempo deocio ylos costos de operaciónporhora, mediante el modelo
con
múltiplesservidores. La gerencia del correo internacional DHLenla central del barrio deMataderos,
Buenos
Aires,está preocupada porlacantidad detiempoqueloscamionesdela compañíapermanecen
ociosos,enespera
de ser descargados. Esta terminal de carga funciona con cuatro plataformas de descarga. Cada
una de éstas
requiere una cuadrilla de dos empleados, y cada cuadrilla cuesta $30 por hora. El costo estimado
de un camión
ocioso esde$50 porhora. Los camionesllegana unritmo promedio detresporhora, siguiendo una
distribución
de Poisson. En promedio, una cuadrilla es capaz de descargar un semirremolque en una hora, y los
tiempos de
servicioson exponenciales.¿Cuál esel costo totalporhora dela operacióndeestesistema?
Solución.El modelo conmúltiplesservidoresesapropiado.Para encontrarel costo totaldemano de
obra ydelos
camiones ociosos, debemos calcular el tiempo promedio de espera en el sistema y el número
promedio de
camionesenel mismo.Sinembargo,primero tendremosquecalcularel número promedio de
camionesenla fila y
el tiempo promedio deespera enla fila.
La utilizaciónpromedio delascuatro
plataformases:
ë 3
p = =
sì 1 (4)
= 0,75 ; o bien 75%
Para estenivel deutilización,ahora podemoscalcularlaprobabilidaddequenohaya ningúncamión
en el sistema s - 1 - 1 4- 1 - 1
n s n
(3/1) (3/1)
s
(ë/ì) (ë/ì) 1 1
P =
0
+ = +
n! s! 1 - p n! 4! 1 - 0,75
n=0
s=0
1
= = 0,0377
9 27 81 1
1 + 3 + + + +
2 6 24 1 - 0,75

15. MODELOS DE LÍNEAS DE
ESPERA
El númeropromedio decamionesenla fila
es: s
P (ë / ì) p
0
4
0,0377 (3/1) (0,75)
L =
q
= = 1,53camiones
2 2
s!(1-p)
El tiempopromedio deespera enla fila
es:
1,53
4! (1-0,75)
L q
Wq = = = 0,51hora
ë 3
El tiempopromedio transcurrido enel
sistema es:
1 1
W = W +
q
= 0,51 = 0,51 hora
ì 1
Porúltimo,el número promediodecamionesenel
sistema es:
L =ëW = 3(1,51) =
4,53camiones
Ahora podemoscalcularloscostosporhora correspondientesa mano deobray
camionesociosos:
Costo de mano de
obra:
$30 (s) = $30 (4) = $120,00
$226,50
Costo de camiones ociosos: $50 (L) = $50 (4,53)
= Costo total por hora = $346,50
Modelo C:confuente finita
Consideremosahora una situaciónen la que todaslassuposicionesdel modelo conunsolo servidor
son apropiadas,
excepto una.Eneste caso,la poblacióndeclientesesfinita,porquesólo existenNclientespotenciales.Si
N es mayor
que 30 clientes,resulta adecuado el modelo conunsolo servidor,sobre la suposicióndeque la
poblacióndeclientes
sea infinita.Enlos demáscasos,el modelo confuentefinita esel quemás conviene utilizar.Lasfórmulas
que seusan
para calcularlascaracterísticasdeoperacióndel sistema deservicioson:
N - 1
n
N!
(N-n)!
ë
P =probabilidad dequecero clientesesténenel
sistema =
0
ì
n=0
p = utilización promedio del servidor = 1
- P
0
(ë + ì)
L = número promedio declientesenla filadeespera
=N -
(1 - P )
0
q
ë
ì
L = tiempo promediodeclientesenel sistema =
N -
(1 - P )
0
ë
-1
W = tiempo promedio deespera enla fila = L [(N -
L) ë]
q q
-1
W = tiempo promedio transcurrido enel sistema,incluidoel servicio = L [(N
-L) ë]

16. ROBERTO CARRO PAZ · DANIEL GONZÁLEZ
GÓMEZ
Ejemplo deanálisisdeloscostosdemantenimiento aplicandoel modelo confuentefinita.Hacecasi
tres
años,GearTandil SA instaló unconjunto de10robotsque incrementó considerablementela
productividad desu
mano de obra,pero en el último tiempo la atenciónseha enfocado enel mantenimiento.La
empresa no aplica el
mantenimiento preventivo a los robots, en virtudde la gran variabilidad que se observa en la
distribución de las
averías.Cada máquina tieneuna distribuciónexponencial deaverías(odistribuciónentrellegadas),
conun tiempo
promedio de200horasentreuna y otra falla.Cada hora-máquina perdidacomo tiempoocioso
cuesta $30, locual
significa quela empresa tienequereaccionarconrapidezencuanto falla una máquina.La empresa
contrata sólo a
una persona de mantenimiento, quien necesita 10 horas de promedio para reparar un robot. Los
tiempos de
mantenimiento real estándistribuidosexponencialmente.La tasa desalariosesde$10porhora para
el encargado
de mantenimiento, el cual puede dedicarse productivamente a otras actividades cuando no hay
robots que
reparar.Calcule el costo diarioporconcepto detiempoocioso dela mano deobraylosrobots.
Solución. El modelo con fuente finita es apropiado para este análisis, porque sólo 10 máquinas
constituyen la
poblacióndeclientesylasdemássuposicionesse han cumplido.Enesta caso,ë = 1/200, osea, 0,005
averíaspor
hora,y ì = 1/10= 0,10robotsporhora.Para calcularel costo del tiempoocioso parala mano deobray
losrobots,
tenemosque estimarla utilizaciónpromedio del empleado demantenimiento yL, es decir,el
número promedio
de robots incluidos en el sistema de mantenimiento. Sin embargo, para mostrar cómo se utiliza el
modelo con
fuente finita,computaremosprimero todaslasestadísticasdeoperación.
La probabilidaddequeel sistema demantenimiento esté
vacío es: N - 1
n
1
N!
(N-n)!
ë
P =
0
= = 0,538
ì 10
n
n=0
10! 0,005
0,10
(10-n)!
n=0
La utilizaciónpromedio delempleado de
mantenimiento es:
p = 1 - P = 1 - 0,583 = 0,462 ; o sea,
46%
0
El númeropromedio derobotsenespera deser
reparadoses:
(ë + ì) 0,005 + 0,10
L = N - (1 - P ) = 10 -
0
(1 - 0,538) = 0,30
robots
q
ë 0,005
El númeropromedio derobotsqueestánenla fila yenproceso de
reparaciónes:
0,10
ì
L =N - (1 - P ) =10-
0
(1 - 0,538) = 0,76
robots
ë 0,005
El tiempopromedio deespera delosrobots,paraseratendidosporelencargado del
mantenimiento es: -1
W = L [(N - L) ë] = 0,30
q
1
= 6,49 horas
q
(10 - 0,76) (0,005)
Finalmente,el tiempo promedio quetranscurre desdeque un robotaveriado empiezaa requerirel
servicio hasta
quese lleva a cabo sureparaciónes: 1
-1
W = L[(N-L) ë] = 0,76
= 16,45 horas
(10 - 0,76) (0,005)

17. MODELOS DE LÍNEAS DE
ESPERA
El costodiario porconcepto detiempo ocioso delamano deobra ylos
robotses:
Costo de mano de obra:
Costo de camiones ociosos: (0,76 robot) ($30/robots hora) (8
horas/día) =
Costo total diario
($10/hora) (8 horas/día) (0,462 de utilización = $
36,96
$182,40
$219,36
=
ÁREASDE DECISIÓNPARA LA ADMINISTRACIÓN
Después de analizar un problema de filas de espera, la gerencia es capaz de mejorar el sistema
de servicio
introduciendocambiosenunoovariosdelossiguientesaspectos:
1. Tasasdellegada.Esfrecuente quela administracióntenga la posibilidaddeinfluirenla tasa de
llegada delos
clientes,ë, ya sea por medio depublicidad,promocionesespecialesopreciosdiferenciales.Por
ejemplo,una
empresa telefónica aplica precios diferenciales para inducir un cambio en los patrones de
las llamadas
residenciales de larga distancia, de modo que en lugar de que los clientes las hagan durante el
día, prefieran
hacerlasporla noche.
2. Número de instalaciones de servicio. Al aumentar el número de recursos o instalaciones de
servicio,
como depósitosdeherramientas,casetasdepeajeocajerosautomáticosenbancos,obien,al
dedicaralgunos
recursos de una fasedeterminada a un conjunto deservicios único,la gerencia logra acrecentar
la capacidad
delsistema.
3. Número de fases. Los gerentes pueden optar por asignar tareas de servicio a fases
secuenciales, si
consideranquedosinstalacionesdeservicio secuencialessonmáseficientesqueuna sola.Por
ejemplo,enun
problema típico de las líneas de ensamble, la decisión se refiere al número de fases necesarias
dentro de la
misma. La determinación del número de trabajadores que se requieren en la línea también
implica la
asignacióndecierto conjunto de elementosdetrabajo a cada unodeellos.Un cambio enla
disposicióndela
instalaciónsueleincrementarlatasa deservicio,ì,decada recurso yla capacidaddetodo el
sistema.
4. Número de servidores por instalación.Losgerentes influyen en la tasa de servicio al asignar
más de una
persona a una mismainstalaciónde
servicio.
5. Eficiencia del servidor. Mediante un ajuste de la razón entre el capital y la mano de obra, ya sea
ideando
métodosdetrabajo mejoradosoinstituyendo programasdeincentivos,la gerencia puede
elevarla eficiencia
delosservidoresasignadosa una instalacióndeservicio.Loscambiosdeesetiposereflejanenì.
6. Regla de prioridad. Los gerentes establecen la regla de prioridad que debe aplicarse,
deciden si cada
instalación de servicio deberá tener una regla de prioridad diferente y si se permitirá que, por
motivos de
prioridad, se altere el orden previsto (señalando, en este último caso, en qué condiciones se
hará tal cosa).
Esasdecisionesafectanlostiemposdeespera delosclientesyla utilizacióndelosservidores.
7. Disposición de las filas. Los gerentes pueden influir en los tiempos de espera de los clientes
y en la
utilización de servidores, al decidir si habrá una sola fila o si cada instalación tendrá su
respectiva fila en el
curso deuna faseoserviciodeterminado.
Es obvio que todos estos factores están relacionados entre sí. Es muy posible que un ajuste en la tasa
de llegada de
clientes,ë,tenga queir acompañadodeunincremento enla tasa deservicio,ì,deuna u otra forma.Las
decisionesen
torno al número deinstalaciones,el número depasesyla disposicióndelasfilasdeesperatambién
estánrelacionadas
entre sí.

18. ROBERTO CARRO PAZ · DANIEL GONZÁLEZ
GÓMEZ
En cada uno de los problemas que analizamos con los modelos de filas de espera, las llegadas
mostraron una
distribución de Poisson (o sea, tiempos exponenciales entre llegadas), los tiempos de servicio
exhibieron una
distribución exponencial, las instalaciones de servicio tenían una disposición sencilla y la disciplina
prioritaria
consistía en que a quien llega primero, se atiende primero. La teoría de filas de espera se ha usado
para desarrollar
otros modelosen los que estos criteriosno se cumplen, pero dichos modelosson muy complejos.
Muchas veces, el
carácter de la población de clientes, las restricciones impuestas a las filas, la regla de prioridad, la
distribución del
tiempo deservicio y la disposicióndelasinstalacionessontan especialesquela teoría defilasde
espera ya no resulta
útil.Enesos casos,seutiliza a menudo la simulación.
PUNTOSRELEVANTES
?
Las filas de espera se forman cuando los clientes llegan a un servicio a un ritmo más rápido que la
tasa a la cual
puedenser atendidos.Debidoa quelastasasdellegada delosclientesvarían,esposible quese
formen largasfilas
de espera a pesar de que la tasa de servicio prevista en el diseño del sistema sea apreciablemente
más alta que la
tasapromedio dellegada delosclientes.
?
Cuatro elementosson comunes en todos los problemas defilas deespera:una población declientes,
una fila de
espera,un sistema deservicio yuna regla deprioridad para determinara quécliente seatenderá a
continuación.
? Los modelos de filas de espera se han desarrollado para usarse en el análisis de sistemas de
servicio. Si las
suposicionesformuladasal crearun modelo defilasdeespera soncongruentes conla situaciónreal,
lasfórmulas
del modelo pueden resolverse para pronosticar el rendimiento del sistema en lo referente a la
utilización de
servidores, el tiempo promedio de espera para los clientes y el número promedio de clientes que
estarán en el
sistema.
TÉRMINOSCLAVE
? Disciplina prioritaria ?
Poblacióndeclientes
?
Regla deprioridad
?
Sistema deservicio
?
Tiemposentrellegada
?
Fase
?
Fila deespera
?
Instalacióndeservicio
REFERENCIASBIBLIOGRÁFICAS
Cooper, Robert B. Introduction to Queuing
Theory. 2ª ed.
More, P.M. Queues, Inventories and
Maintenance. John
Elsevier-NorthHolland,NewYork.
1980.
Wiley&Sons.NewYork.
1958.
Hillier, F.S. y Lieberman, G.S. Introduction to
Operations
Research.2ª ed.Holden-Day.San
Francisco.1975.
Saaty, T.L. Elements of Queuing Theory with
Applications.
McGraw-Hill. New York. 1961.