1. Ministerio OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEM´ATICA Sociedad Matem´atica
de Educaci´on (ONEM 2010) Peruana
Cuarta fase - Nivel 3
07 de noviembre de 2010
- La prueba tiene una duraci´on m´axima de 4 horas.
- No est´a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.
- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.
- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.
Problema 1. En cada uno de los 9 c´ırculos peque˜nos de la siguiente figura escribimos
n´umeros enteros positivos menores que 10, sin repeticiones.
Adem´as se cumple que la suma de los 5 n´umeros ubicados alrededor de cada una de
las 3 circunferencias es siempre igual a S. Halla el mayor valor posible de S.
Problema 2. Una progresi´on aritm´etica est´a formada por 9 enteros positivos tales que el
producto de estos 9 t´erminos es m´ultiplo de 3. Prueba que dicho producto es tambi´en
m´ultiplo de 81.
Problema 3. Considera A, B y C tres puntos colineales del plano tales que B est´a entre
A y C. Sea S la circunferencia de di´ametro AB y L una recta que pasa por C, que
no intersecta a S y que no es perpendicular a la recta AC. Los puntos M y N son,
respectivamente, los pies de las alturas trazadas desde A y B a la recta L. Desde C se
trazan las dos rectas tangentes a S, donde P es el punto de tangencia m´as cercano a
L. Prueba que el cuadril´atero MPBC es inscriptible si y s´olo si las rectas MB y AN
son perpendiculares.
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2. Problema 4. Un paralelep´ıpedo se dice entero cuando al menos una de sus aristas mide
un n´umero entero de unidades. Se tiene un grupo de paralelep´ıpedos enteros con los
cuales se arma un paralelep´ıpedo mayor, que no tiene huecos dentro ni en su borde.
Demuestra que el paralelep´ıpedo armado tambi´en es entero.
Ejemplo. En la siguiente figura se muestra un paralelep´ıpedo armado con un cierto
grupo de paralelep´ıpedos enteros.
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