1. Ministerio VII Olimpiada Nacional Escolar de Matem´atica Sociedad Matem´atica
de Educaci´on (ONEM 2010) Peruana
Tercera Fase - Nivel 3
7 de octubre de 2010
- La prueba tiene una duraci´on m´axima de 2 horas.
- No est´a permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.
- Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar
tus c´alculos.
- Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la
prueba. En caso de empate se tomar´a en cuenta la hora de entrega.
- Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas.
ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS.
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN N´UMERO ENTERO POSITIVO.
1. Si el polinomio x2 +7x+12 es un divisor del polinomio x4 +ax2 +b, donde a y b son constantes
reales. Calcula el valor de b − 2a.
2. En un sal´on de clases hay 20 alumnos. La profesora escogi´o un d´ıa del presente a˜no (2010)
que no era d´ıa de cumplea˜nos de ninguno de sus alumnos, y en ese d´ıa pidi´o a cada alumno
que calcule la suma del a˜no en que naci´o con su edad. Despu´es la profesora calcul´o la suma
de los 20 n´umeros que le dieron los alumnos y obtuvo 40183. ¿De los 20 alumnos, cu´antos
a´un no hab´ıan cumplido a˜nos hasta ese momento?
3. Si cot x · csc x = 2/3, halla (2 sen x)4 + (2 cos x)4.
4. Sea ABC un tri´angulo acut´angulo en donde la altura BH, relativa al lado AC, mide 4. Si se
cumple que ∠A = 2∠C y que AC = 11, halla el valor del ´area del tri´angulo rect´angulo BHC.
5. Tenemos varias piezas de la forma:
¿Cu´al es la menor cantidad de piezas que se necesita para formar un cuadrado?
Aclaraci´on. Cada pieza est´a formada por 5 cuadraditos. Las piezas se pueden girar.
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6. Cada una de las casillas de un tablero de 5 × 5 debe ser pintada de un color, de tal forma que
cada rect´angulo de 1 × 4, 4 × 1 o de 2 × 2 no tenga dos casillas del mismo color. ¿Cu´al es la
m´ınima cantidad de colores que se necesita?
7. Sea A un conjunto formado por enteros positivos. El menor elemento de A es 21 y el mayor
elemento de A es m. Si la suma de todos los elementos de A es un cuadrado perfecto. Deter-
mina el menor valor posible de m.
8. En la siguiente figura se muestra un hex´agono regular ABCDEF de ´area 60, en el que se han
marcado los seis puntos medios de sus lados.
F E
D
CB
A
Halla el ´area del dodec´agono sombreado.
9. Si θ es un ´angulo que satisface |sen 3θ| = |sen θ|, determina cu´antos valores distintos toma la
expresi´on cos θ.
10. Considera una sucesi´on infinita a1, a2, a3, . . . , de enteros positivos. Sup´on que las siguientes
dos condiciones son ciertas para todo entero positivo n:
an es m´ultiplo de n.
|an − an+1| ≤ 4.
Determina el mayor valor que puede tomar a1.
GRACIAS POR TU PARTICIPACI´ON
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