Este documento presenta tres problemas matemáticos relacionados con conjuntos y álgebra proposicional. El primer problema involucra determinar el valor de verdad de una proposición sobre conjuntos. El segundo problema demuestra dos propiedades de operaciones entre conjuntos usando álgebra proposicional. El tercer problema determina los elementos de tres conjuntos dados sus relaciones.

1. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
1
de
5
ESCUELA
SUPERIOR
POLITÉCNICA
DEL
LITORAL
FACULTAD
DE
CIENCIAS
NATURALES
Y
MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO
DE
MATEMÁTICAS
CURSO
DE
NIVELACIÓN
2014
(1S)
TALLER
2
–
FRANJA
1
GUAYAQUIL,
ABRIL
28
DE
2014
S
O
L
U
C
I
Ó
N
y
R
Ú
B
R
I
C
A
TEMA
1
(20
puntos)
Considere
el
conjunto
A = @,$, ?,!{ }{ },
determine
el
valor
de
verdad
de
la
siguiente
proposición:
?,!{ }{ }⊆ P(A) ↔ ϕ, @{ }{ }⊆ P(A)#
$
%
&∨ N P P A( )( )( )= 256 ∧ @{ }{ }{ }∉ P P P A( )( )( )#
$
%
&
Solución:
Como
A = @,$, ?,!{ }{ },
se
tiene
que:
N A( )= 3
N P A( )( )= 2N (A)
= 8
N P P A( )( )( )= 22N ( A)
= 28
= 256
P A( )= ∅, @{ }, ${ }, ?,!{ }{ }, @,${ }, @, ?,!{ }{ }, $, ?,!{ }{ }, A{ }
Los
valores
de
verdad
de
las
proposiciones
simples
son:
?,!{ }{ }⊆ P A( )≡ 0
ϕ, @{ }{ }⊆ P A( )≡1
N P P A( )( )( )= 256( )≡1
@{ }{ }{ }∉ P P P A( )( )( )≡ 0
Se
reemplazan
estos
valores
de
verdad
en
la
proposición
dada
y
se
tiene:
?,!{ }{ }⊆ P A( )
0
! "## $##
↔ ϕ, @{ }{ }⊆ P A( )
1
! "## $##
#
$
%
%
&
'
(
(
∨ N P P A( )( )( )= 256
1
! "### $###
∧ @{ }{ }{ }∉ P P P A( )( )( )
0
! "#### $####
#
$
%
%
&
'
(
(
0 ↔1[ ]!∨! 1∧0[ ]
0 ∨!0
∴
La
proposición
es
FALSA.
Rúbrica:
Determina
los
valores
de
verdad
de
las
proposiciones
simples.
Determina
el
valor
de
verdad
de
la
proposición
compuesta.
Concluye
que
la
proposición
es
falsa.
9
puntos
9
puntos
2
puntos

2. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
2
de
5
TEMA
2
(20
puntos)
Utilizando
ÁLGEBRA
PROPOSICIONAL,
demuestre
las
siguientes
propiedades
de
operaciones
entre
conjuntos:
a) ( ) BABA
CC
−=∪
b) ( ) ( )[ ] ( )[ ]CBACABA ∩⊆⇔⊆∧⊆
Solución:
a) x ∈ (Ac
∪B)c
≡
≡ x ∈ Re( )∧¬!x ∈ Ac
∪B( )!!
Definición
de
Complementación
de
Conjuntos.
≡ x ∈ Re( )∧!¬ x ∈ Ac
( )∨ x ∈ B( )%
&
'
(
Definición
de
Unión
entre
Conjuntos.
≡ x ∈ Re( )∧¬ x ∈ Re!∧¬!x ∈ A( )∨ x ∈ B%& '(
Definición
de
Complementación
de
Conjuntos.
≡ x ∈ Re( )∧ ¬ x ∈ Re( )∧¬ x ∈ A( )( )∧¬ x ∈ B( )$
%
&
'
Por
la
Ley
de
De
Morgan
de
la
Disyunción.
≡ x ∈ Re( )∧ ¬ x ∈ Re( )∨¬ ¬ x ∈ A( )( )( )∧¬ x ∈ B( )%
&
'
(
Por
la
Ley
de
De
Morgan
de
la
Conjunción.
≡ x ∈ Re( )∧ ¬ x ∈ Re( )∨ x ∈ A( )( )∧¬ x ∈ B( )%
&
'
(
Por
la
Ley
de
la
Doble
Negación.
≡ x ∈ Re( )∧ ¬ x ∈ Re( )∨ x ∈ A( )( )%
&
'
(∧¬ x ∈ B( )
Por
la
Ley
Asociativa
de
la
Conjunción.
≡ x ∈ Re( )∧¬ x ∈ Re( )( )∨ x ∈ Re( )∧ x ∈ A( )( )%
&
'
(∧¬ x ∈ B( )
Por
la
Ley
Distributiva.
≡ 0∨ 1∧ x ∈ A( )%& '(∧¬ x ∈ B( )
Por
la
Ley
de
la
Contradicción.
≡ 0∨ x ∈ A( )$% &'∧¬ x ∈ B( )
Por
la
Ley
de
Identidad
de
la
Conjunción.
≡ x ∈ A( )∧¬ x ∈ B( )
Por
la
Ley
de
Identidad
de
la
Disyunción.
≡ x ∈ A − B( )!
Definición
de
Diferencia
entre
Conjuntos.
∴
( ) BABA
CC
−=∪
b) A ⊆ B( )∧ A ⊆ C( )#$ %&≡
≡ ∀x! x ∈ A → x ∈ B( )!∧!∀x!(x ∈ A → x ∈ C)
Definición
de
Subconjunto.
≡ ∀x! x ∈ A → x ∈ B( )∧! x ∈ A → x ∈ C( )&' ()
Por
la
Ley
Distributiva
del
Cuantificador
Universal.
≡ ∀x!! ¬x ∈ A∨ x ∈ B( )∧ ¬x ∈ A∨ x ∈ C( )&' ()
Por
la
Ley
de
la
Implicación.
≡ ∀x!! ¬x ∈ A∨ x ∈ B∧!x ∈ C( )&' ()
Por
la
Ley
Distributiva
≡ ∀x!! x ∈ A → x ∈ B∧!x ∈ C( )&' ()
Por
la
Ley
de
la
Implicación.
≡ ∀x!! x ∈ A → x ∈ B∩C( )&' ()
Definición
de
Intersección
entre
Conjuntos.
≡ A ⊆ (B∩C)
Definición
de
Subconjunto.
∴
( ) ( )[ ] ( )[ ]CBACABA ∩⊆⇔⊆∧⊆

3. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
3
de
5
Rúbrica:
Realiza
un
procedimiento
ordenado
con
la
respectiva
argumentación
en
cada
paso
y
concluye
que
se
trata
de
una
propiedad.
10
puntos
c/u
TEMA
3
(20
puntos)
Determine
los
elementos
de
los
conjuntos
A,
B
y
C
si
se
conoce
que:
{ } { } { } ( ) { }
( ) { } ( ) { }9,8,7;10
5,4;6,3,2;6,1;10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re
=∪−=∪∪
=−−=−=∩=
BACCBA
ACBCABA
C
Solución:
Se
realiza
una
representación
gráfica
de
las
condiciones.
A −C = 2,3,6{ }A∩ B = 1,6{ }
B −C( )− A = 4,5{ } A∪ B∪C( )
c
= 10{ }
C − A∪ B( ) = 7,8,9{ }

4. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
4
de
5
Con
lo
cual
se
puede
concluir
que:
{ }6,3,2,1=A
{ }6,5,4,1=B
{ }9,8,7,1=C
Rúbrica:
Identifica
las
regiones
especificadas
en
cada
condición
del
problema
y
ubica
los
valores
en
un
diagrama
de
Venn
o
en
los
respectivos
conjuntos.
Tabula
cada
conjunto.
14
puntos
6
puntos
TEMA
4
(20
puntos)
Durante
una
encuesta
realizada
a
200
estudiantes
de
un
colegio
se
obtuvo
lo
siguiente:
68
se
comportan
bien,
138
son
inteligentes,
160
son
habladores,
120
son
habladores
e
inteligentes,
20
se
comportan
bien
y
no
son
inteligentes,
13
se
comportan
bien
y
no
son
habladores,
15
se
comportan
bien
y
son
habladores
pero
no
son
inteligentes.
Determine
la
cantidad
de
personas
que
tienen
al
menos
dos
de
las
características
mencionadas.
Solución:
• N(Re)
=
200
• N(C)
=
68
• N(I)
=
138
• N(H)
=
160
• N(H∩I)
=
120
• N(C
–
I)
=
20
• N(C
–
H)
=
13
• N[(C∩H)
–
I]
=
15
El
diagrama
de
Venn
correspondiente
es:
Los
que
tienen
al
menos
2
características
son
aquellos
que
tienen
2
características
o
3
características,
es
decir:
8
+
15
+
80
+
40
=
143
∴
La
cantidad
de
personas
que
tienen
al
menos
2
de
las
características
es
143.
Rúbrica:
Identifica
las
cardinalidades
asociadas
a
cada
condición
del
problema
y
ubica
los
valores
en
un
diagrama
de
Venn
o
en
los
respectivos
conjuntos.
14
puntos

5. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
5
de
5
Describe
cómo
debe
obtenerse
la
cantidad
de
personas
que
cumplen
al
menos
2
características
y
concluye
sobre
su
valor.
6
puntos
TEMA
5
(20
puntos)
Dados
los
conjuntos
referenciales
{ }3,2,1,0,1Re −=x ,
{ }9,4,3,2,1,0Re =y
y
el
predicado
( ) 2
:, xyyxp = ,
entonces:
a) Determine
el
conjunto
de
verdad
( )yxAp ,
b) Determine
el
conjunto
de
verdad
( )1,xAp
c) Determine
el
valor
de
verdad
de
la
proposición
∀x∃y p x, y( )→ ∃x∀y p x, y( )
Solución:
a) Ap x, y( )= −1,1( ), 0,0( ), 1,1( ), 2,4( ), 3,9( ){ }
b) Ap x,1( )= −1,1( ), 1,1( ){ }
c) Para
este
literal
se
puede
hacer
una
representación
gráfica:
( )yxAp ,
Rex
Rey
De
aquí
se
deduce
que:
∀x!∃y!p x, y( )≡1
∃x!∀y!p x, y( )≡ 0
∀x∃y p x, y( )
1
! "## $##
→ ∃x∀y p x, y( )
0
! "## $##
1→ 0
0
∴
∀x∃y p x, y( )→ ∃x∀y p x, y( )
es
una
proposición
FALSA.
Rúbrica:
Tabula
los
elementos
del
conjunto
de
verdad
especificado
en
el
literal
a).
Tabula
los
elementos
del
conjunto
de
verdad
especificado
en
el
literal
b).
Determina
los
valores
de
verdad
de
las
proposiciones
simples
del
literal
c).
Determina
el
valor
de
verdad
de
la
proposición
compuesta
y
concluye
que
es
falsa.
7
puntos
7
puntos
4
puntos
2
puntos
-­‐1
0
1
2
3
0
1
2
3
4
9