transporte de pulpas metalúrgicas

1. 1
Fernando Concha
TRANSPORTE DE PULPA DEN TUBERÍAS Y CANALES

2. INTRODUCCIÓN

3. • Densidad y
viscosidad
• Gradiente
de presión o
altura
• Capacidad y
potencia de
la bomba
Transporte en una Desaladora de Agua de mar
PROPIEDADES
DEL FLUIDO A
TRANSPORTAR

4. 2
2
Distribución de velocidad:
Para fluido newtoniano:
1
2
1
Para todo fluido:
2
Integrando:
1
( ) 1
4
z
z
z
v
p
v
r r
r L
p
r
L
pR r
v r
L R
 











 
 
 
 
 
 
 
 

 

  


 

 
z
v
r
 



0
Continuidad para todo fluido ( )
1
Movimientopara todo fluido ( ) , 0
2
z z
L
v v r
p
r r p p p
L



     
p0 pL
Ecuaciones de
Navier Stokes
Flujo Laminar

5. Esfuerzo de cizalle
1
( )
2
p
r r
L


 
1
2
w
p
R
L


 
r R
z
Flow direction
L
p
0
p

6. 4
2
2
3
1
Caudal
8
1
Velocidad máxima
4
1
Velocidadpromedio
8
Número de Reynolds Re
8 10.2
Velocidad de cizalle en pared:
m
z
z
z
w
p R
Q
L
pR
v
L
pR
v
L
v D
v Q
D D














 
 
Régimen Laminar 0 Re 2000
 
Información sobre el flujo de agua

7. Ejemplo 1
Para un fluido con densidad
1000 [kg/m3] en un tubo
de 1 [pulgada] de diámetro
y 200 [m] de largo a una
presión de 495 [Pa], si la
viscosidad del fluido es de
0.001 [Pa-s]. Calcule, el
caudal, la velocidad
promedio para agua, la
velocidad de cizalle y el
número de Reynolds.
2
2
2
4
3
2
1
( ) 1 [m s]
4
1
[m s]
4
1
[m s]
8
[m s]
Re
z
m
z
z
pR r
v r
L R
pR
v
L
p R
Q
L
Q
v
R
v D







 
  
 
 
 
 
 
 





 


8.  (kg/m3
)= 1000
 (Pa-s)= 0.001
D (m)= 0.0254
L (m) 200
p (Pa)= 496
Q (m3
/s)= 2.53E-05
vz (m/s)= 5.00E-02
Re= 1.27E+03
Ejemplo 1
2
2
4
3
2
1
( ) 1 [m s]
4
1
[m s]
8
[m s]
Re
z
z
z
pR r
v r
L R
p R
Q
L
Q
v
R
v D






 
  
 
 
 
 
 
 



 

Para los parámetros del flujo laminar y datos indicados calcular:

9. 5
4 4
8 8 0.001 200 2.53 10
495 [Pa]
(0.0254 / 2)
LQ
p
R

 

   
   

Ejemplo 2
Cual es la caída de
presión necesaria para
impulsar 1.52 [l/min] de
agua por una tubería de 1
[pulgada] de diámetro y
200 [m] de largo. Usar
datos del problema
anterior
2
2
4
3
2
1
( ) 1 [m s]
4
1
[m s]
8
[m s]
Re
z
z
z
pR r
v r
L R
p R
Q
L
Q
v
R
v D






 
  
 
 
 
 
 
 



 


10. Cuando el número de Reynolds es mayor a 2100 y las paredes
del tubo tiene rugosidades y el flujo laminar se transforma en
turbulento y la fricción en la tubería aumenta.
*
2 1 1.25
2 , [Pa] y 4log
3.7
Re
z
L
p f v
D f f

 
 
    
 
 
 
4
3
2 3
1 10.2
[m s], [m s], [m ]
8
z w w
Q p R Q
v Q s
R L D

  
 
 
   
Flujo Turbulento
2
8
z
L
p v
R


 
Turbulento

11. Factor de Fricción f

12. Calcular el flujo que se logra cuando se fuerza agua a través de
una tubería de 8 [pulgadas] con una caída de presión de 10.000
[Pa] en un tubo de 200 [m], si la cañería tiene una rugosidad de
e=0.25 [mm], con una densidad del agua de 1000 [kg/m3] y
viscosidad de 0.001 [Pa-s].
Ejemplo 3

13. Ejemplo 3
DATOS:
D(m)= 0.2032
p(Pa)= 10000
L(m)= 200
(Pa-s)= 0.001
(kg/m3
)= 1000
(mm)= 0.25
RESULTADOS
p/L(Pa/m)= 50
*(m)= 0.001230315
f= 0.00542
1/f0.5
-1/f0.5
0 -5.11316E-07
vav (m)= 0.97
Re= 1.97E+05
Q(m3
/s)= 1.90E-01
1 2
4
3
3
*
0.5
2
1
m s
8
10.2
1 1.25
4log
3.7
Re
z
w
p D
v
L f
p R
Q
L
Q
D
f f





 

  
 




 
  
 
 
 

14. 1
2
3
4
P1
P4
2
Bombear agua desde un estanque (1) a un estanque (2)
f
h

Transporte de un fluido

15.  
4 1
4 1
T f
p p
H z z h
g


    
fricción f
h h
 
elevación 4 1
h z z
 
Flujo Q
Presión
p,
Columna
H
T
4 1
presión
p p
h
g



Altura de impulsión de la bomba HT versus flujo Q
Caudal de una Bomba

16. Altura de fricción
1
2
3
4
P1
P4
2
Bombear agua desde un estanque (1) a un estanque (2)
salida succión descarga ingreso
(1) (2) (3) (4), [m]
f f f f f
h h h h h
   

f
h

[m]
f
h


17. Energía Mecánica
Potencia de bomba [ ] y Disipación de energía por fricción [ ]
v
P kW E kWh
Agregamos el efecto de la bomba
1 1 1 2 2 2
1 1
Bernouilli:
2 2
p v gz p v gz
   
    
   
2 2
2 1
2 1 2 1
1
Columna Total:
2
T z z f
p p
H v v z z h
g g


      
 
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1
2 2
T f
p v gz H h p v gz
   
      

Altura de elevación
Pérdida por fricción
T
v
f
P
H
gQ
E
h
gQ


 

 
 
 


 
 

18. Singularidades
SINGULARIDAD X SINGULARIDAD X
Codo 45° 0,3 Válvula de globo 1/4 abierta 16
Codo 90° 0,7 Válvula de compuerta abierta 0,15
Codo cuadrado 90° 1,2 Válvula de compuerta 1/4 abierta 1
Entrada de T 1,8 Expansión súbita
Salida de T 1,2 Contracción súbita
Copla 0 Descarga a estanque grande 1
Válvula de Globo abierta 1,2 Entrada a tanque grande 0,5
Válvula de globo 1/2 abierta 4,0
PÉRDIDAS POR FRICCIÓN
     
6 4 2
2 1 2 1 2 1
0.7867 1.3322 0.1816 0.363
X D D D D D D
   
 
 
1 2
1 ^ 2 ^ 2
X D D
 
2
sin
2
z
g i
v
hf X
g

 

19. El caudal de operación debe ser ½ del caudal máximo que
puede impulsar la bomba.
Punto de operación de una bomba

20. El caudal de operación debe ser ½ del caudal máximo que puede
impulsar la bomba.
Curvas de la bomba

21. Columna de Succión Positiva Neta (CSPN)
La rotación de los álabes de la bomba produce disminución
de presión en el interior de la bomba. Si ésta es menor a la
presión de vapor del líquido se producen burbujas de vapor
(cavitación).
Para evitar este fenómeno es necesaria una columna de
presión a la entrada de la bomba debe ser mayor mayor que
(la presión de salida, la presión de vapor del líquido, prdidad
de entrada y pérdida de fricción).
  ( ) 0
succión psalida pvapor f succión
CSPN h h h h
    

22. Potencia desarrollada: ( ) , [ ]
75
donde es la eficienica de catálogo en unidades mks
T
Q H
P kW kW



 



23. Ejemplo 4
Para realizar una prueba hidráulica se desea bombear agua a 20 [°C]
desde el cajón de descarga de un molino hacia una batería de
hidrociclones a una presión de entrada de 10 [psi]. El nivel de líquido en
la caja de bomba se encuentra a 5.0 [m] del eje de la bomba y la entrada
de la batería de hidrociclones está a 15.0 [m] sobre el eje de la bomba.
El caudal es de 20 [m3/h]. La línea de succión consiste en tubería de
acero estándar de 2 [pulgadas] de cédula N°40S de diámetro (rugosidad
0.046 [mm]) y 1.0 [m] de longitud y posee una válvula de compuerta
abierta. La línea de descarga es también de acero estándar de 2
pulgadas de cédula N°40 y 60 [m] de longitud, con dos codos estándar y
una una válvula de control. La presión de vapor del agua es 2337[Pa].
Determinar: (1) la columna del sistema, (2) la potencia desarrollada por
la bomba y (3) la (CSPN)), suponer eficiencia de bomba de 85%.
EJEMPLO

24. Datos
Datos [pulgadas]= 2.067
Presión hidrociclones [psi] 10.0
Altura de nivel agua en cajón [m]= 5.0
Altura hidrociclones [m]= 15.0
Caudal Q [m3/h]= 20.0
Longitud línea de succión [m]= 1.0
Longitud línea de descarga [m]= 60.0
Un codo en succión= 0.35
Dos codos en descarga= 0.70
Una válvula de compuerta abuerta= 0.17
Una válvula de control= 5.00
mm 0.045
pv (Pa)= 2337
Tubería
D(m)= 0.0525018
A(m2
)= 0.0021649
m 0.000045
Fluido
(kg/m3
)= 1000
(Pa-s)= 0.001
pv (Pa)= 2337
Q(m3
/s)= 0.00555556
Succión
L(m)= 1.0
hes(m) 5.0
ps(Pa)= 101300
v(m/s)= 2.57
* 8.57E-01
f= 0.15487
Re= 134730
f0.5
-f0.5
=0 5.78E-04
l= 0.6195
h fricción(m)= 3.9604
hf fit (m)= 0.577
hf s (m)= 4.54
hps =ps/g(m)= 10.33
hpv =pv /g(m)= 0.2382
Descarga
L(m)= 60.0
pd(Pa)= 170300
hed(m)= 60.000
h fricción(m)= 237.6231
hf fit (m)= 2.8933
hf d (m)= 240.5163
hpd=pd/g(m)= 17.36
Pump
(catálogo)= 0.85
Htotal(m)= 307.09
P(Kw)= 26.76
CSPN(m)= 10.55
Exit from a tank X= 0.50
Inlet to a tank X= 0.96
Elbow X= 0.35
Gate valve open X= 0.17
Control valve X= 5.00
T used as an L X= 1.00
Pump outlet X= 0.96
pmanométric(Pa)= 68,970
patmosferic(Pa)= 101,330
 
d s
Total d s s d
p p
H h h hf hf
g

 

    
 
 
 
2
2
z
fric
v
L
h
D g
l
 
2
2
z
fit i
v
hf K
g

 
(kW) , [m], es la eficiencia de catálogo
75
Tot
Tot
H Q
P H



 

( ) 0
es ps pv fs
CSPN h h h h
    

3
5
1 6.897 10 [Pa]
1 1.013 10 [ ]
psi
bar Pa
 
 

25. Transporte de Relaves de Flotación a Espesadores y de
Espesadores a Tranques de Relave
TRANSPORTE DE PULPA EN TUBERÍAS

26. Suspensiones Heterogéneas
1. El gradiente de presión necesario para producir el
escurrimiento en tubos.
2. Propiedades de las pulpas.
3. La velocidad mínima del flujo necesaria para evitar la
sedimentación de las partículas.
INFORMACIÓN NECESARIA DE UNA PULPA
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27. Transporte de suspensiones
Pulpas diluidas tienen comportamiento newtoniano,
caracterizados por cierto tamaño, densidad y viscosidad:
• Pulpas con partículas menores a 50 m forman suspensiones
homogéneas que no-sedimentan.
• Pulpas con partículas mayores de 50 m forman suspensiones
heterogéneas que sedimentan.
Pulpas concentradas tienen comportan no-newtonianos con
cierta densidad viscosidad y yield stress. (no sedimentan)
PROPIEDADES Y TIPOS DE PULPAS

28. Patrones de flujo en pulpas

29. Pulpas Heterogéneas Pulpas Homogéneas
Velocidad m/s
Pérdida
de
carga
[mm/m]
Con Sedimentación
Sin Sedimentación

30. 1. Flujo turbulento Re 2100
z
Dv


 
2. Establecer una velocidad tal que las partículas no
sedimenten, la Velocidad Límite de Transporte vL
Condiciones para evitar sedimentación

31. 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
0 0.1 0.2 0.3 0.4
Solid volume fraction j
Limiting
velocity
v
L
,
m/s
Yufin & Lop
Thomas
Charles
Shook
Babcock
Zandi& Gov
Condolios & Ch
Sinclair
Schulz
Govier
Cairns
Newitt
Spells
Wilson
Durand
Oroskar
Durand-Rayo
Oroskar
Velocidad Límite de Transporte

32.  
0.5
50
: (unidades MKS)
Para sólidos finos y distribución angosta en tuberías pequeñas:
1.1 ( , ) 2 ; para 0.20
Para sólidos gruesos y distribución ancha en tuberías pequeñas:
(
L L f
L L
v F d gD
v F
j   j
j
    

Durand y Rayo
 
 
     
0.1
0.5
80
50
0
0.25
50
50 50
, ) 2 ; para 0.20
Para sólidos finos y distribución angosta en tuberías grandes:
1.25 ( , ) 2
0.2154 0.1584 ln 1.112 1.19 ; para 5 ( m) 500
f
L L f
L
d
d gD
d
v F d gD
F d d
  j
j  
j j 
 
   
 
 
   
      
Ecuaciones empíricas de Velocidad Límite de Transporte

33. 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0.01 0.10 1.00
Fracción volumétrica de sólidos j
Velocidad
límite
v
L
,
[m/s]
d50=150microns; D=8 inch pipe
d50=150 microns; D=2 inch pipe
d50=1.5 mm; D=2 inch pipe
Duran & Rayo
Ejemplo de de la Velocidad Límite de Transporte según
Durán y Rayo

34. Ecuaciones empíricas de Velocidad Límite de Transporte
En 1986, Jergensen & Samuell desarrollaron una ecuación
empírica simple, muy práctica, con el diámetro de la tubería, el
tamaño de partícula, la fracción volumétrica de sólidos y las
densidades del sólido y líquido como variables, que es utilizada
por empresas como ERAL.
     
50 50
0.2154 0.1584 ln 1.11 1.19 ; for 5 < 500 ; in m
L
v d d
j j 
     
1.5 Relave 5% #65
2.1 Relave 15% #65
2.4 Relave 20% #65
2.7 Relave 25% #65
L
v


 

 


 

Valores recomendados:

35. Pérdida de carga para suspensiones
A la pérdida de caga del fluido puro JL se adiciona la pérdida
de las partículas JS
 
3 2
2
2
3 2
1 81
2
( )
81 ; donde
m L S L
z
L f
z D
S L
f
J J J J A
v
J h L
gD
v C
J J A A
gD
j
l
j
j
 


    
 
 

36. Donde:
Pérdida de carga para suspensiones por unidad de longitud
Para mantener flujo turbulento (misma que para agua)
Para mantener partículas en suspensión.
Pérdida de carga debido a fricción
m
L
S
L
J
J
J
h




s
f
para agua
Factor de fricción
Coeficiente de arrastre para partículas
Concentración de la suspensión como feracción volumétrica
=
Densidad de las partículas sólidos
Densidad del fluido
D
f
s
C
l
j
  








2
3 2 ( )
81 ; donde z D
S L
f
v C
J J A A
gD
j
j
 

 

37. Suspensiones Homogéneas
Son suspensiones homogéneas aquellas en que las
partículas no sedimentan.
Las suspensiones homogéneas se comportan como
fluidos con una densidad y una viscosidad característica.
• Si son diluidas tienen una viscosidad constante y
se comportan como fluidos newtonianos
• Si son más concentradas, la viscosidad varía con la
velocidad de cizalle y puede aparecer una
velocidad mínima para que el flujo se inicie (yield
stress). Estas son características de los flujos no-
newtonianos.

38. Reología

39. Propiedades de los cuerpos
Estudio de la Deformación y Velocidad de Deformación
de los cuerpos:
• Cuando los cuerpos son sólidos elásticos, la
disciplina recibe el nombre de elasticidad, que
puede ser lineal o no-lineal.
• Cuando son fluidos reciben el nombre de mecánica
de fluidos, que también puede ser lineal o no-lineal.
Muchos cuerpos se comportan como sólidos o como
líquidos dependiendo de la velocidad con que se aplican
los esfuerzos. Este es el campo de la Reología.

40. 

Viscosidad
dinámica :
F A
dv dy

 



Elasticidad y Reología

41. 

Tipos de flujos
Flujo en varios tipos de geometrías

42. 0
100
200
300
400
500
600
0 100 200 300 400 500 600
Velocidad de cizalle  , 1/s
Esfuerzo
de
cizalle,

,
mPa
Fluido newtoniano: agua
 

Comportamiento newtoniano (agua)
Esfuerzo de cizalle

43. 0
0.5
1
1.5
2
0 100 200 300 400 500 600
Velocidad de cizalle  , (1/s)
Viscosidad

,
(mPa-s)
FLUIDO NEWTONIANO:Agua
Comportamiento newtoniano (agua)
Viscosidad de cizalle

44. 1. Pseudo-plástico
Comportamientos no-newtonianos
Materiales que disminuyen su viscosidad a medida que
aumenta la aplicación del esfuerzo son pseudo-plásticos.

45. 1. Pseudo-Plástico

46. 0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Velocidad de Cizalle  , 1/s
Esfuerzo
de
Cizalle

,
Pa
Datos experimentales
Relave 63%; pH=10.1
Ejemplo: Relave de cobre
Esfuerzo de cizalle

47. 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Velocidad de Cizalle  , 1/s
Viscosidad

,
mPa-s
Datos experimentales
Ejemplo: Relave de cobre
Viscosidad de cizalle

48.  = 6.0179+0.0069
R2
= 0.9905
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 100 200 300 400 500 600
Velocidad de cizalle  , (1/s)
Esfuerzo
de
cizalle

,
(Pa)
Datos experimentales
 =  y + K 
 y = 6.0179
K= 0.0069
Ejemplo: Relave de cobre
Modelo de Bingham
Rango de aplicación

49. 0
5
10
15
20
25
30
35
0 20 40 60 80 100 120
Velocidad de cizalle dvz/dr, s-1
Esfuerzo
de
cizalle
T
rz
E
,
Pa
Yield stress 5 Pa
Yield stress 10 Pa
Yield stress 15 Pa
Viscosidad plástica 150 mPa-s
Fig. 4 Reología de un material con modelos de Bingham, viscosidad
plástica 150 mPa-s y esfuerzos de cedencia 5, 10 y 15 Pa.
z
y
v
K
r
 

 

Modelo de Bingham, Yield stress 2, 10 y 15 [Pa];
Viscosidad Plástica 150 [mPa-s]

50. 0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Velocidad de Cizalle  , 1/s
Esfuerzo
de
Cizalle

,
Pa
Datos experimentales
Correlación modelo potencial
 =51.872 0.1933
( )
n
z
v
r m
r


 
  

 
Ejemplo: Relave de cobre
Modelo Potencial
Rango de aplicación

51. Modelo Potencial (en escala log-log)
K = 51872 -0.8067
R2
= 0.9996
100
1000
10000
100000
0 1 10 100 1000
Velocidad de cizalle  , 1/s
Viscosidad
K
,
mPa-s

52. Efecto de la concentración de sólidos
Esfuerzo de cizalle
0
5
10
15
20
0 100 200 300 400 500 600
Shear rate  , 1/s
Shear
stress

,
Pa
55% solid
60% solid
65% solid
70% solid

53. 0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Volume fraction of solid ratio j / j m
Dimensionless
yielf
stress

y
/

K
   
3
1
y K m m
  j j j j
 
Efecto de la concentración de sólidos
Esfuerzo de cizalle

54.  (65)= 1611.7-0.7072
 (60)= 1141.8-0.6996
55 = 818.26-0.6963
70 = 2266.1-0.7134
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0 50 100 150 200 250
Shear rate  , (1/s)
Shear
Viscosity

,
(mPa-s)
55% sólido
60% sólido
65% sólido
70% sólido
Efecto de la concentración de sólidos
Viscosidad de cizalle

55. 0.1
1
10
100
1000
10000
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60
Solid volume fraction j
Shear
viscosity

,
mPa-s
 =(1+j /0.5)-1.25
Efecto de la concentración de sólidos
Viscosidad de cizalle

56. Otros comportamientos: 2. Dilatante

57. 4. Tixotrópico (dependiente del tiempo)
Son materiales para los
cuales el paso de sol a gel no
es reversible
A es el área entre
las dos curvas.
; Pa s
A  
 

58. 5. Reopéptico (dependiente del tiempo)
Es el comportamiento opuesto al tixotrópico

59. TRANSPORTE DE PULPAS HOMOGÉNEAS
EN TUBERÍAS

60. El flujo de un fluido no-newtoniano en un tubo circular queda
descrito por las siguientes variables:
1. la densidad del fluido 
2. la velocidad del fluido vz
3. gradiente de presión p
4. el esfuerzo de cizalle 
5. velocidad de cizalle
Estas variables deben cumplir las ecuaciones de continuidad y
momentum lineal. Para el flujo estacionario de cualquier fluido se
cumple la relación entre el esfuerzo de cizalle y el gradiente de
presión:


61. Esfuerzo de cizalle
1
( )
2
p
r r
L


 
0
1
2
p
R
L


 
r R
z
Flow direction
L
p
0
p
En la pared
En el fluido

62. 2
2
2
2
4
2
1 1
( ) 1 1 ; for
2 2
1 1
( ) 1 1 ; for
2 2
4 1
1
8 3 3
8 1
4
y
z y
w
y y y
z y
w w w
y y
z
w w
z
w
pR r r
v r
KL R R
pR
v r
KL
pR
v
KL
v pD
D KL

 

  
 
  
 
 

 
 
    
     
 
 
   
 
 
   
 
 
 
 
   

 
 
     
   
 
 
   
 
 
 
   

 
  
   
 
   
 

 
4
4 1
1
3 3
y y
w w
 
 
 
   
 
 
   
 
   
 
Transporte de pulpa
Modelo de Bingham laminar

63.  
 
4
2
;
;
16 4 1
1 for Re 4000
Re 3 3
4.53log Re 2.3 4.5log(1 ) for Re 4000; Re 5
for Re 4000; 5 Re 70
4.07log
2
y y
B
B w w
smooth B y w B
water rough
rough mooth B
water smooth
f
f f
f
f f
f
D
f
 
 
 



 
   
 
   
   
 
   
 
     
 
    
 
 
 
 
 


2
3.36 ; for Re 4000, Re 70
Re 1 Re
B
PL
f



 
  

 

 

Transporte de pulpa
Modelo de Bingham turbulento

64. Modelo de Bingham
-0.03
-0.02
-0.01
0.00
0.01
0.02
0.03
0.0 0.5 1.0 1.5
Velocity v z(r), m/s
Radius
r
,
m
Yield stress 15 Pa
Yield stress 20 Pa
Yield stress 50 Pa
( )
E z
rz y
v
T r K
r


 


65.  
 
   
 
1
1
2
1
1
1 2
3 1 2
3 1 2
3 1 3 1
8 8
,
4 4
3 1
2
n
n
n
n
z
n
z z
w w
n
n
n pR
Q R
n mL
n pR
v
n mL
n n
v v
m
n D n D
n
mL Q
p
R n R

 




 

  
  
 

  
  
 
 
   
 

 
   
 
Transporte de pulpa
Modelo de Potencia

66. Modelo de Potencia
-0.015
-0.010
-0.005
0.000
0.005
0.010
0.015
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
Velocity distribution v z(r) m/s
Pipe
radius
r
,
m
n=0.20
n=0.33
n=0.50
n=1.00
1 ( 1)
( ) 1
1 2
n n n
z
nR pR r
v r
n mL R

 

   
 
 
   
 
    
 

67.  
1/2 1/2
1
2
16
Régimen Laminar:
Re
Régimen Turbulento: 4log Re 0.4
1 3
6
Re
1 2
2
PL
PL
PL PL PL
n
n n
PL
n
f
f f
n
D v
n
n K
n





 

 
 
 


 
 
 
Factor de fricción

68. Factor de fricción (Otras correlaciones)

69. Ejemplo CORREGIR
Para una pulpa homogénea de magnetita que no sedimenta calcular, mediante el
modelo de potencia, el factor de fricción cuyos parámetros son F=12 dinas-
segundos/cm2, y ley de potencia 0,2, si las condiciones de escurrimiento son:
Densidad de la pulpa 1600 kg/m3, velocidad de escurrimiento 1.5 m/s en una
tubería cilíndrica de 101 mm de diámetro interior
 
1/2 1/2
1
2
4log Re 0.4
1 3
6
Re
1 2
2
PL PL PL
n
n n
PL
n
f f
n
D v
n
n K
n




 

 
 
 


 
 
 
D [m] 0,101
v [m/s] 1,5
ρ [kg/m3] 1600
K 1,2
n 0,2
Re 3.956
f 0,01
f-ecuación=0 13,6

70. TRANSPORTE DE PULPA EN CANALES

71. • Se usa en zonas montañosas donde están emplazadas las
empresas mineras para aprovechar la gravedad.
• En flujo en canales no se conoce el área de flujo de
antemano debido a la superficie libre.
• Consideraremos un flujo homogéneo
 
, ( ), ( ), ( ) %
Q h x b x x x
  
El transporte de pulpa en canales

72. Recomendaciones:
• El flujo es turbulento para velocidades sobre 0.8
m/s.
• La concentración y viscosidad no tienen influencia
sobre la velocidad, pero la tienen en la velocidad
límite de transporte.
• La pérdida de carga se puede calcular mediante
los mismos métodos que para el fluidos
newtonianos.
• La pendiente es importante en el flujo. Pequeñas
pendientes (=0.3%) requiere velocidades de
transporte mayores a 1.2 m/s.
• Para relaves de cobre se recomienda velocidades
de 1.5 m/s.

73. • Si se agrega agua a un flujo desarrollado de alto % de
sólido (>45%) en canales con pequeña inclinación, las
partículas sedimentarán.
• Para remover el lecho que se forma no se debe
agregar mas agua, sino que se debe aumentar la
velocidad del flujo (aumentar el caudal).
• En canales con alta pendiente (= 0.6%) y alto % de
sólidos (>45%) no se depositarán partículas si se
agrega agua.
• Canales con pendientes del orden de = 0.9% no se
embancarán nunca incluso con flujos lentos.

74. Balance Macroscópico
2 1
2 2 1 1 1 2
1 2
;
Q Q
A v Av A A
v v

 

 
Convective force ody force Surface force
0
0 sen
S V S
B
w
w
dA dV dA
AL LP
g AL LP
 
 
  
 

 
 
  
vv n g T n
g i
Balance de momentum
Donde S es la superficie mojada, L la longitud, P el
perímetro mojado y w el esfuerzo en la pared del
canal.
b
h

75.  
1
w
S
dA
S
  
 E
T n i
Donde i es el vector unitario en la dirección del flujo.
Para un canal rectangular  
2 , y 2
S L b h a bh P b h
    
  2 2
Friction
factor
Dimensionless
Dimensionless
body force
wall shear stress
2
1 3
4 8 sen
1 2
cross sectional area
donde
Wetted perimeter
Factor de fricción de Fanning : 116
w h
x x
h
h
g R
f
v v
bh
R
P
f
R
 


 


Donde  el el coeficiente de rugosidad del canal.
b
h

76. Type of channel of uniform cross section 1 6
, ft
 1 6
, m

Sides and bottom lined with wood 0.009 0.0074
Neat cement plaster; Smoothest pipes 0.010 0.0082
Cement plaster; Smooth iron pipes 0.011 0.0090
Un-planed timber evenly laid; Ordinary iron pipes 0.012 0.098
Best brick work; Well-laid sewer pipes 0.013 0.0170
Average brick work; Foul iron pipes 0.015 0.0123
Good rubble masonry; Concrete laid in rough form 0.017 0.0139
Coeficiente de fricción en canales

77. 2
1 3 2
4 3
2
8 sen
116
8 sen
116
h
h x
h
g R
f
R v
g R
Q bh
 


 

Caudal Q
Altura de la pulpa h 2
3 5
2 2 4
1 116
( 2 )
8 sen
h
bh
R
P
Q
h b h
b g



 
 
 
   
 
 
 
 
Velocidad para evitar sedimentación:
 
 
0.342 0.386
0.5
85 99
85
85
0.6505 8 1
4
L s
h
d d
v g d
R d
 
   
     
   

78. Balance de energía Mecánica
 
 
 
 
 
     
2
2
2
cos
3 3
2 2 1 1 2 2
1 2
1 2
Con cos ; presión
( ) cos ; altura de presión
1 2 1 2 cos
S
x v
S S S
x v
S S S
g h dS
v dA dA dA E
v dA p dA dA E
p g h z
g x z
v A v A g h v A
  
 
 
 
  
    
 
  
   

 
 
 
 
   
  
  
v n
v n v T n v n
v n v n v n
 
 
 
 
 
2 1 1 1
3 3
2 2 1 1 2 2 1 1
2 1
1 2
1 2
cos
Como: , ,
; Altura de fricción
Como sen y
sen ;pérdida de carga
v
v
Q
v
f v
f
h v A E
v A v A v A v A
g v S E
E gQ
L h E gQ
h L
 
  
  
   

  
 
  
  
  


79. Problema 3.12
Un flujo uniforme de relave de cobre escurre por un canal de
concreto de 0.9m de ancho y ángulo de 1°. Si el agua tiene 0.50 m
de altura, calcule la velocidad y caudal del relave.
1 6
4 3 4 3
2 4 3 2 4 3
3
Concreto: 0.0139 m
8 sen ( ) 8 9.8 sen(1 / 180) (0.9 0.5)
0.9 0.5
116 ( 2 ) 116 0.0139 (0.9 2 0.5)
1.347 m s
1.346
2.99 m s
0.9 0.5
g bh
Q bh
b h
Q
v
b h

 


    
   
   

  
 

80. Ejemplo 3.13
Un canal de concreto de 0.9 m de ancho, 1 m de altura
y pendiente de 1°, lleva agua a razón de 1.346 m3/s.
Calcular la altura del agua en el canal. Usando solver
de Excel:
2
3 2 5
5
2 2
4
3 4
2 2
1 116 1
( 2 ) (0.9 2 )
8 sen 0.9
116 0.0139 1.346
8 9.8 sen(1.0 /180)
0.236 m
Q
h b h h
b g

 
      
   
 
 
 
   
 
   
    
   
 
 


81. .
Problema 3.14
Diseñar un canal de sección rectangular para transportar un flujo
de 0.3 m3/s de relave de cobre. El canal debe tener una pendiente
de y razón de altura a ancho de . Usando el
Solver de Excel:
tan 0.0157
  0.5
h d 
2
3
5
2 2
4
2 5
3 4
2 2
1 116
( 2 )
8 sen
0.5
( 2 )
0.5
0.275 m
0.551 m
0.5
116 0.0139 0.3
8 9.8 sen(1.02 /180)
Q
h b h
b g
h
h
h
h
b



  
    

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 

82. Problema 4
Un canal de concreto liso de 4.572 m de ancho y pendiente de
0.001 lleva un caudal de 1.0m3/s. Determinar el esfuerzo en la
pared por unidad de longitud del canal. Usando solver de Excel:
2
3 5
2 2 4
1 116
( 2 )
8 sen
2 5
3 4
2 2
1 116 0.0139 0.3 )
(4.572 2 ) (
4.572 8 9.8 sen(0.001 /180)
0.182 m
sen (2 ) 1000 9.81 0.001 (2 0.182 4.572)
5.2 Pa
2 4.572 2 0.182
w
Q
h b h
b g
h
g h b
L b h



  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
    
  
 
 

     
  
  
m

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