Este documento presenta modelos matemáticos para determinar la frecuencia óptima de inspecciones de equipos, considerando la minimización de costos o la maximización de disponibilidad. Incluye ejemplos numéricos y considera cómo factores como la tasa de fallas, costos de inspección, falla y reparación impactan la frecuencia óptima. También presenta un modelo para determinar el programa óptimo de inspecciones para una flota de equipos, maximizando su disponibilidad promedio.

1. Frecuencias para inspecciones Dr. Rodrigo Pascual Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad de Chile http ://www.ing.uchile.cl/ ~rpascual /

2. Se incendia el edificio Diego Portales de Santiago de Chile 6 de marzo de 2006 Santiago , Chile – En la tarde de este domingo (5) un violento incendio afectó el ala oriente del Edificio Diego Portales , destruyendo la estructura en un 40%. El siniestro provocó el derrumbe por derretimiento de la estructura metálica del techo, tras una hora de declarado el fuego, lo que generó alarma pública entre transeúntes, automovilistas y residentes. Sin embargo, no se registraron heridos ni lesionados en el edificio, pues las personas que se encontraban en el interior fueron evacuadas a tiempo. Según los primeros peritajes realizados por el Cuerpo de Bomberos de Santiago , las causas del incendio al parecer provienen de una falla en la red eléctrica y húmeda del inmueble, ambas por faltas de mantención . Esto impidió a los funcionarios, que a esa hora se encontraban en su interior, combatir en primera instancia el fuego, que se tornó incontrolable… Fuente: http://es.wikinews.org/ (accesado mayo’07)

3. the increase in the use of condition monitoring techniques within industry has been so extensive that it perhaps marks the beginning of a new era in maintenance management Fuente:Scarf, P.A., On the application of mathematical models in maintenance, European Journal of Operational Research, 99, 493-506, 1997.

5. Objetivos de inspección determinar estado del equipo. conocidos los síntomas tomar acciones preventivas

6. Modelo I Frecuencia de inspecciones Minimización del costo global Fuente: A.K.S. Jardine, A. Tsang, Maintenance, Replacement and Reliability,Taylor & Francis, 2006.

7. Consideraciones reducir tasa media de fallas inspecciones periódicas. Costo inspecciones por materiales y mano de obra Costo de intervención y posible detención del equipo en horario de producción Costo de falla

8. Historiales de falla y costos ¿tasa media de fallas sensible a inspecciones ? Selección y ajuste de modelo para tasa de fallas Estimación de parámetros de costo y de tiempos Cálculo de costo global esperado , disponibilidad Selección de estrategia si Otros análisis no

9. Definición del problema Parámetros tasa media de fallas  , MTBF = 1 /  ut tiempo para reparación MTTR = 1 /  ut Duración de inspección (y posible intervención) MTTI = 1 / i Costo de falla c f um/u t costo de inspección (y posible interv.) C i,i =c i,i MTTI um costo de intervención de la s reparaciones C i,r =c i,r MTTR um Variable de decisión frecuencia de inspecciones f in s pecciones/ut Objetivo Minimizar el costo global esperado por unidad de tiempo ut: unidad de tiempo um: unidad monetaria

10. Hipótesis tasa media de fallas  función de f frecuencia de inspección f 

11. C osto global/ut

12. C osto de falla por m. correctivo C osto de falla asociado a las inspecciones mismas Si hay detención del equipo en horario de producción

13. Costo de intervención por m. correctivo Correctivo  fallas/ut 1/  ut C i,r =c i,r MTTR um Inspecciones C i,i =c i,i MTTI um f: inspecciones/ut MTTI=1/i ut

14. Costo global por unidad de tiempo Sin costo de falla por inspección

15. Condición para costo global mínimo Obs: implica conocer la sensibilidad de la tasa de fallas c/r a la frecuencia de las inspecciones Historial de fallas e inspecciones

16. Ejemplo  no depende solo de f en general un solo parámetro (k) basta con la condición actual Sin costo falla inspección 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f 

17. Ejemplo 3 fallas/mes cuando 1 inspección / mes. tiempo medio para reparar 1 día. tiempo medio para inspeccionar 8 horas Detiene producción

18. Ejemplo costo de falla 30000 um/mes costo de reparación 250 um/mes costo de inspección ( no interrumpida) 125 um/mes 3 turnos, 8 horas/día, 30 días/mes

19. frecuencia óptima Insp/mes Historiales de falla y costos ¿tasa media de fallas sensible a inspecciones ? Selección y ajuste de modelo para tasa de fallas Estimación de parámetros de costo y de tiempos Cálculo de costo global esperado , disponibilidad Selección de estrategia si Otros análisis no

20. M aximizar la disponibilidad

21. -indisponibilidad- D considera el tiempo de detención asociado a mantención correctiva y el tiempo de detención asociado a las inspecciones: tiempo D+A=1

22. Minimización

23. Análisis de sensibilidad C f =30000 um/mes

24. Costo global mínimo vs Disponibilidad máxima Si el costo de falla domina, ambos criterios coinciden f optima

25. Inspecciones y modos de falla escondidos ...it is not unusual to find that up to 40% of failure modes fall into the hidden category. Furthermore, up to 80% of these failure modes require failure-finding, so up to one third of the tasks generated by comprehensive, correctly applied maintenance strategy development programs are failure finding tasks. J. Moubray, RCM, 1997.

26. Maximizar la disponibilidad de equipos para emergencias

27. Impacto potencial ...More and more failures have serious safety or environmental consequences, at a time when standards in these areas are rising rapidly. In some parts of the world, the point is approaching where organizations either conform to society’s safety and environmental expectations, or they cease to operate. This adds an order of magnitude to our dependence on the integrity of our physical assets... John Moubray, RCM, 1997.

28. Equipos Equipos tales como Generadores Extinguidores de incendios, Armas Repuestos, etc. son guardados para su uso en una emergencia.

29. Modelo f(t) función densidad de probabilidad de falla T i intervalo de tiempo requerido para realizar una inspección –cte- Se asume que tras una inspección el equipo está efectivamente operando .

30. Reparaciones T r intervalo de tiempo requerido para efectuar una reparación o reemplazo. Se asume que tras tal acción, el equipo queda operativo y como nuevo.

31. Objetivo determinar intervalo T entre inspecciones para maximizar d isponibilidad

32. Posibles c iclos de operación inspección T i 0 Ciclo sin falla tiempo inspección T i 0 T r Ciclo con falla tiempo En t=0, Recién inspeccionado o Recién reparado T T

33. Disponibilidad

34. Observación tiempo disponible en un ciclo sin falla T si no se detectan fallas durante la inspección inspección T i 0 Ciclo sin falla tiempo T

35. Ciclo con falla tiempo inspección T i 0 T r Ciclo con falla T MTTF(T)

36. MTTF(T) MTTF -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 t T f(t)

37. Tiempo esperado con disponibilidad por ciclo

38. duración esperada de ciclo Ciclo 2 inspección T i 0 T r Ciclo con falla Ciclo 1 inspección T i 0 Ciclo sin falla

39. Disponibilidad 0

40. Para una distribución normal, En excel: =-1*DISTR.NORM(3;5;1;0)+5*DISTR.NORM(3;5;1;1)

41. Ejemplo Equipo con MTBF distribución normal con media 5 meses y desviación standard 1 mes. T iempo s Inspección : 0.25 meses. Reparar : 0.5 meses.

42. Disponibilidad

43. Disponibilidad esperada

44. Inspecciones mínimas en equipos durmientes Fuente: R. Pascual, El Arte de mantener, Universidad de Chile, 2007.

45. Disponibilidad esperada entre 2 inspecciones cuando tras la primera tiene una edad t 0 Edad inicial t 0 Edad inicial t 0 Ciclo 2 inspección T i 0 T r Ciclo con falla Ciclo 1 inspección T i 0 Ciclo sin falla

46. Weibull

47. Ejercicio Parámetros  =5.6 ut  =3.5 T i =0.25 ut T r =0.5 ut

48. Maple beta:=3.5;eta:=5.6;Ti:=.25;Tr:=.5; t0:=0; f0:=beta/eta*((t+t0)/eta)^(beta-1)*exp(-((t+t0)/eta)^beta)/exp(-(t0/eta)^beta); R0:=exp(-((t+t0)/eta)^beta)/exp(-(t0/eta)^beta); plot(int(R0,t=0..T)/(T+Ti+Tr*(1-exp(-((T+t0)/eta)^beta)/exp(-(t0/eta)^beta)),T=.1…4);

49. Resultado

50. Programa óptimo de inspecciones para una flota de equipos Fuente: A.K.S. Jardine, M.I. Hassounah, An Optimal Vehicle-fleet Inspection Schedule, Journal of the Operational Research Society, 41(9), 791-799, 1990.

51. Resumen Introducción Modelo matemático Estudio de caso Conclusión Frecuencia de inspecciones Disponibilidad

52. Intervalos entre inspecciones de cada tipo T x x x x x x x x x x x x x x x x x

53. Formulación Un bus intervalo básico entre inspecciones Variable de decisión T x (ud) j=4 tipos de inspección Fallas Distancia media entre fallas MDBF=MDBF(T x ) tiempo para reparar tiempo para inspeccionar Objetivo Max A

54. Evidencia Historiales de falla y costos ¿tasa media de fallas sensible a inspecciones ? Selección y ajuste de modelo para tasa de fallas Estimación de parámetros de costo y de tiempos Cálculo de costo global esperado , disponibilidad Selección de estrategia si Otros análisis no

55. A=1-D c -  D i D c =  MTTR D i =f i MTTI i ut:Km T ciclo =16T x

56. Inspecciones MTTR=2.8 horas op. Duración inspecciones A: 6.7 horas op. B: 18.0 C: 18.2 D: 24.5 Bus opera 40000 Km/año 4380 horas/año (12 h/día) Historiales de falla y costos ¿tasa media de fallas sensible a inspecciones ? Selección y ajuste de modelo para tasa de fallas Estimación de parámetros de costo y de tiempos Cálculo de costo global esperado , disponibilidad Selección de estrategia si Otros análisis no

57. No disponibilidad Disponibilidad

58. Resultados Antes 5000 Km Mejor 8000 Km A sube 0.33%. 28785 horas-bus/año, 6 buses 223000 USD/bus/año Costos bajan 1.4 10 6 USD/año.

59. Fluctuaciones en la demanda ventana Duración inspecciones A: 6.7 horas B: 18.0 C: 18.2 D: 24.5 100% 0% 0 5 10 15 20 25 Hora del dia Demanda (u/hora)

60. Inspecciones tienen efecto limitado en el MDBF

61. Resultados Inspección ‘A’ en baja demanda

62. Conclusión Modelo sencillo Apoyo decisiones de mantenimiento Considera Ventanas de oportunidad Efecto limitado de inspecciones en tasa de fallas Historiales de falla y costos ¿tasa media de fallas sensible a inspecciones ? Selección y ajuste de modelo para tasa de fallas Estimación de parámetros de costo y de tiempos Cálculo de costo global esperado , disponibilidad Selección de estrategia si Otros análisis no