51513215-14226046-Problema01.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA
Tomo I de Problemario de Estadística
INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO
Semestre 2009 – I
INTRODUCCION
El presente trabajo consta de un conjunto de problemas y
ejercicios de Estadística propuestos y resueltos.
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I

Semestre 2009 – I
1. Conviertase la distribución obtenida en el ejercicio anterior en una distribución
acumulada “menor que” y bosquéjese su ojiva
* DESARROLLO
INTERVALO CONTEO Fi Fi
15.9 – 19.0 ||| 3 3
20.0 – 24.9 |||| |||| |||| 15 18
25.0 – 29.9 |||| |||| |||| |||| |||| 24 42
30.0 – 34.9 |||| |||| || 12 54
35.0 – 39.9 |||| | 6 60
60 177
OJIVA "MENOR QUE"
0
10
20
30
40
50
60
15 20 25 30 35 40
LS
Fi
2. Las marcas de clase de una distribución de lecturas de temperatura (dadas al
grado Celsius más cercano ) son 16, 25, 24, 43, 52 y 61. Calcúlese:
(a) las fronteras de clase;
(b) los limites de clase.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
Tenemos que : TIC = X’2 - X’1 = 9
y sabemos también que :
TIC TIC
LSi = X’i + ---------- , L Ii = X’i - ---------
2 2
Luego tenemos :
TIC 9
L Ii = X’i - -------  L Ii = 16 - -------- = 11.50
2 2
TIC 9
LSi = X’i + -------  LS1 = 16 + ------- = 20.5
2 2
(a) Según lo anteriormente hallado, los limites de clase son :
11.5 - 20.5
20.5 - 29.5
29.5 - 38.5
38.5 - 47.5
47.5 - 56.5
56.5 - 65.5
(b) Para calcular la primera frontera redondeamos por exceso el primer limite encontrado, y sí seguimos
sucesivamente con este criterio obtenemos:
12 - 21
22 - 30
31 - 39
40 - 48
49 - 57
58 - 66

Semestre 2009 – I
3. En un estudio de dos semanas sobre la productividad de los trabajadores, se
obtuvieron los siguientes datos sobre el número total de piezas aceptables que
produjeron los trabajadores:
65 36 49 84 79 56 28 43 67 36
43 78 37 40 68 72 55 62 22 82
88 50 60 56 57 46 39 57 73 65
59 48 76 74 70 51 40 75 56 45
35 62 52 63 32 80 64 53 74 34
76 60 48 55 51 54 45 44 35 51
21 35 61 45 33 61 77 60 85 68
45 53 34 67 42 69 52 68 52 47
62 65 55 61 73 50 53 59 41 54
41 74 82 58 26 35 47 50 38 70
Agrúpense estos datos en una distribución que tenga las clases 20-29, 30-39,
40-49, 50-59, 60-69, 70-79 y 80-89.
* DESARROLLO
INTERVALO CONTEO fi Fi hi Hi
20 - 29 |||| 4 4 0.04 0.04
30 - 39 |||| |||| ||| 13 17 0.13 0.17
40 - 49 |||| |||| |||| ||| 18 35 0.18 0.35
50 - 59 |||| |||| |||| |||| |||| 25 60 0.25 0.60
60 - 69 |||| |||| |||| |||| 20 80 0.20 0.80
70 - 79 |||| |||| |||| 14 94 0.14 0.94
80 - 89 |||| | 6 100 0.06 1.00
100 1.00
4. Conviértase la distribución obtenida en el ejercicio 3 en una distribución
porcentual acumulada “menor que” y dibújese su ojiva.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
 Con la tabla del ejercicio 3, hacemos la ojiva, para una distribución
porcentual acumulada (Hi) :
OJIVA "menor que" DE DISTRIBUCION
PORCENTUAL ACUMULADA (Hi)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
20 30 40 50 60 70 80 90
Limites de intervalo de clase
Frecuencia
acumulada
relativa
del
intervalo
de
clase
5. Los siguientes datos son el número de accidentes automovilísticos que ocurren
en 60 cruces más transitadas en cierta ciudad en un fin de semana de diciembre:
0 2 5 0 1 4 1 0 2 1
5 0 1 3 0 0 2 1 3 1
1 4 0 2 4 1 2 4 0 4
3 5 0 1 3 6 4 2 0 2
0 2 3 0 4 2 5 1 1 2
2 1 6 5 0 3 3 0 0 4
Agrúpense estos datos en una distribución de frecuencia que muestre qué tan a
menudo ocurre cada uno de los valores y dibújese un diagrama de barras.
* DESARROLLO
# de accidentes fin de
semana
CONTEO fi Fi
0 |||| |||| |||| 15 15
1 |||| |||| || 12 27

Semestre 2009 – I
2 |||| |||| | 11 38
3 |||| || 7 45
4 |||| ||| 8 53
5 |||| 5 58
6 || 2 60
60 267
0
2
4
6
0 2 4 6 8 10 12 14 16
VECES QUE OCURREN
0
2
4
6
NUMERO
DE
ACCIDENTES
ACCIDENTES AUTOMOVILISTICOS QUE
OCURREN UN FIN DE SEMANA DE DICIEMBRE
6. Conviértase la distribución obtenida en el ejercicio 2.14 en una distribución
acumulada “o mayor” y dibújese su ojiva.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
OJIVA "O MAYOR" DE ACCIDENTES
AUTOMOVILISTICOS QUE OCURREN EN UN FIN
DE SEMANA DE DICIEMBRE
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5 6 7
NUMERO DE ACCIDENTES
Fi
"mayor
que"
7. Las distribuciones categóricas a menudo se presentan gráficamente por medio
de gráficas circulares en las que un círculo se divide en sectores proporcionales a
las frecuencias (o porcentajes) con que los datos están distribuidos entre las
categorías. Dibújese un diagrama de este tipo para representar los siguientes datos
obtenidos en un estudio en el cual a 40 conductores se les pidió juzgar la
maniobrabilidad de cierto automóvil como muy buena, buena, adecuada, excelente
y malisima
* DESARROLLO
DATO
CUALITATIVO
CONTEO Fi hi
Muy Buena |||| |||| 10 0.2
Buena |||| |||| |||| |||| 20 0.5
Adecuada |||| | 06 0.15

Semestre 2009 – I
Excelente ||| 03 0.07
Malisima | 01 0.08
40 1.00
MANIOBRABILIDAD DE CIERTO AUTOMOVIL
MUY BUENA
25%
BUENA
49%
ADECUADA
15%
EXCELENTE
8%
MALISIMA
3%
8. El pictograma de la figura 3 intenta ilustrar el hecho de que el ingreso per cápita
en Estados Unidos se duplicó de $6 000 en 1977 a $12 000 en 1986 ¿Comunica
en el pictograma una impresión “adecuada” del cambio real? Si no es así,
establece cómo podría ser modificado.
* DESARROLLO
 El pictograma de la figura, no presenta adecuadamente el cambio real
obtenido, porque a simple vista las figuras no dan la impresión de que el area
de una de ellas sea el doble de la otra.
Podriamos modificarlo empleando un diagrama en el cual co mparemos areas,
así :

Semestre 2009 – I
1977 1986
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
INGRESO
EN
DOLARES
1977 1986
AÑOS
INGRESO PER CAPITA EN EE.UU.
9. Los siguientes datos provienen de la producción diaria de un pozo petrolero (en
barriles): 214, 203, 226, 198, 243, 225, 207, 203, 208, 200, 217, 202, 208, 212,
205 y 220. Constrúyase un diagrama de tallos y hojas con etiquetas en tallo 19*,
20*, ……., y 24*.
* DESARROLLO
Ordenando los datos para facilitar el trabajo :
198, 200, 202, 203, 203, 205, 207, 208, 208, 212, 214, 217, 220, 225, 226, 243
19 · 8
20 * 0 2 3 3
20 · 5 7 8 8
21 * 2 4
21 · 7
22 * 0
22 · 5 6
24 * 3

Semestre 2009 – I
10. Los siguientes datos provienen de las lecturas del flujo máximo anual de un río
en m3
/s: 405, 335, 419, 267, 370, 391, 612, 383, 434, 462, 288, 317, 540, 295 y
508. Constrúyase un diagrama de tallos y hojas con hojas de dos digitos.
* DESARROLLO
Ordenando los datos para hacer un buen trabajo :
267, 288, 295, 317, 335, 370, 383, 391, 405, 419, 434, 462, 508, 540, 612
200* 67 88 95
300* 17 35 70 83 91
400* 05 19 34 62
500* 08 40
600* 12
11. Lístense los datos que corresponden a los siguientes diagrama de tallos y
hojas:
(a) 1* 3 2 5 7 1 4 8
(b) 23 4 0 0 1 6
(c) 2* 35 18 57 03
(d) 3.2 1 7 4 4 3
* DESARROLLO
Los datos que corresponden son :
(a) 13, 12, 15, 17, 11, 14, 18

Semestre 2009 – I
(b) 234, 230, 230, 231, 236
(c) 235, 218, 257, 203
(d) 3.21, 3.27, 3.24, 3.24, 3.23
12. Si se quiere construir un diagrama de tallos y hojas con más tallos de los que
ordinariamente deberían haber, se podría utilizar * como sustituto de 0, 1, 2, 3 y 4
* como sustituto de 5, 6, 7, 8 y 9. Se obtendría así el diagrama de doble tallo
para las lecturas de humedad.
* DESARROLLO
Como son muchos datos lo haremos directamente, así :
2 * 1 2
2 6 8
3 * 4 2 3 4
3 5 6 5 7 5 9 5 8 6
4 * 3 1 0 2 0 3 4 1
4 5 8 9 8 5 6 5 7 5 7
5 * 0 3 2 1 1 4 0 2 3 3 0 2 1 4
5 9 5 6 5 8 7 6 5 7 9 6
6 * 2 2 0 0 1 3 1 1 4 2 0
6 5 5 7 8 9 8 7 5 8
7 * 4 4 0 3 2 3 4 0
7 6 8 6 9 7 5
8 * 2 4 0 2
8 8 5
13. Si de desea construir un diagrama de tallos y hojas equivalente a una
distribución de intervalo de clase 2, se puede usar * como sustituto de 0 y 1, t en

Semestre 2009 – I
lugar de 2 y 3, ƒ para 4 y 5, s para 6 y 7, y * en lugar de 8 y 9. El diagrama de
tallos y hojas resultante se denomina diagrama de cinco tallos.
(a) Los siguientes datos son los coeficientes intelectuales (CI) de 20 aspirantes
a un programa de ingeniería para no graduados : 109, 111, 106, 106, 125,
112, 115, 109, 107, 109, 108, 110, 112, 104, 110, 112, 128, 106, 111 y 108.
(b) El siguiente esquema es parte de un diagrama de cinco tallos :
53ƒ 5 4 4 4 5 4
53s 6 7 6 6
53* 9 8
54 * 1
* DESARROLLO
Sustitutos * ∏ 0 y 1
t ∏ 2 y 3
f ∏ 4 y 5
s ∏ 6 y 7
∏ 8 y 9
(a) Ordenamos los 20 datos : 104, 106, 106, 106, 107, 108, 108, 109, 109, 109, 110, 110, 111, 111, 112,
112, 112, 115, 125, 128
10f 4
10s 6 6 6 7
10· 8 8 9 9 9
11* 0 0 1 1
11t 2 2 2
11f 5 5
11· 8
12f 5

Semestre 2009 – I
12· 8
(b) Las mediciones correspondientes son:
534, 534, 534, 534, 535, 536, 536, 536, 537, 538, 539, 541.
14. Los siguientes datos son los números de torsiones requeridas para 12 barras de
cierta aleación: 33, 24, 39, 48, 26, 35, 38, 54, 23, 34, 29 y 37. Calcúlese
(a) la media y la mediana
* DESARROLLO
Ordenando la tabla : 23, 24, 26, 29, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 48, 54
(a) Hallamos la mediana:
23 + 24 + 26 + 29 + 33 + 34 + 35 + 37 + 38 + 39 + 48 + 54 420
X = ---------------------------------------------------------------------------- = --------- = 35
12 12
(b) La mediana es la medida de algún dato de la muestra que la divide a esta en la mitad de datos a la
derecha y la mitad de datos a la izquierda
23, 24, 26, 29, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 48, 54
34 + 35
Luego : Me = --------------- = 34.5
2
15. En relación con el ejercicio anterior, encuéntrese s utilizando
(a) la fórmula que define s.
(b) la fórmula de cálculo para s.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
(a) Se sabe que s (desviación estandar) es obtener la raiz cuadrada de la s2
,
(varianza) que a su vez es la media de las desviaciones al cuadrado con relación
a X (media), así :
(23-35)2
+ (24-35)2
+ …. + (54-35)2
946
s2
= ------------------------------------------------ = ------------- = 78.83
12 12
entonces : s = 8.88
529 + 576 + 676 + 841 + 1089 + 1156 + 1225 + 1369 + 1444 + 1521 + 2304 + 2916
(b) s2
= [ --------------------------------------------------------------------------------------------------------- ] …..…
12
23 + 24 + 26 + 29 + 33 + 34 + 35 + 37 + 38 + 39 + 48 + 54
-- [ ----------------------------------------------------------------------------- ]2
12
15646 420
s2
= [ -----------] - [ -------------- ]2
= 1303.83 - 1225 = 78.83
12 12
entonces : s = 8.88
16. Si el salario medio anual pagado a los ejecutivos de tres empresas de
ingeniería es de $125 000, ¿ puede alguno de ellos recibir $ 400 000?
* DESARROLLO
Se sabe que X = $ 125 000 y n = 3
Aplicando propiedades de la media : 125 000 x 3 = $ 375 000
Este resultado nos afirma que ningún ejecutivo de la empresa puede ganar $ 400 000.
17. Por error un profesor borró la calificación que obtuvo uno de sus diez alumnos.
Si los otro nueve consiguieron las calificaciones de 43, 66, 74, 90, 40, 52, 70, 78 y

Semestre 2009 – I
92 y si la media de los diez estudiantes es de 67, ¿qué calificación borró el
profesor?
* DESARROLLO
Aplicando la definición de media tendremos:
X = 43 + 64 + 74 + 90 + 40 + 52 + 70 + 78 + 92 + x
----------------------------------------------------------
10
Como:
605 + x
X = 67 = -----------
10
Luego : 605 + x = 670 , Entonces : x = 75
18. Los siguientes datos son el número de minutos que en 15 días laborales una
persona tiene que esperar el autobús que la llevará a su trabajo: 10, 1, 13, 9, 5, 9,
2, 10, 3, 8, 6, 17, 2, 10 y 15. Encuéntrese :
(a) la media
(b) la mediana
* DESARROLLO
Ordenando los datos: 1, 2, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 13, 15, 17
(a) La media :
1 + 2 + 2 + 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 9 + 10 + 10 + 10 + 13 + 15 + 17 120
X = ------------------------------------------------------------------------------- = -------- = 8
15 15

Semestre 2009 – I
(b) La mediana:
Como son 15 datos la mediana estará en el lugar ( 15+1 ) / 2 = 8° LUGAR en este caso, Me = 9
19. En relación con el ejercicio anterior, calculese s2
cuando:
(a) la fórmula que define s2
(b) la fórmula de cálculo para s2
* DESARROLLO
( 1 - 8 )2
+ ( 2 - 8 )2
+ ………….. + ( 17 - 8 )2
(a) S2
= -------------------------------------------------------------- =
15
49 + 36 + 36 + 25 + 9 + 4 + 0 + 1 + 1 + 4 + 4 + 4 + 25 + 49 + 81 328
S2
= ------------------------------------------------------------------------------------- = -------- = 21.87
15 15
1 + 4 + 4 + 9 + 25 + 36 + 64 + 81 + 81 + 100 + 100 + 100 + 169 + 235 + 289 (8)2
(b) S2
= ------------------------------------------------------------------------------------------------ --
15
S2
= 85.87 - 64 = 21.87
20. Los registros muestran que en Hermosillo, Sonora, la temperatura máxima
diaria normal cada mes es, respectivamente, de 65, 69, 74, 84, 93, 102, 105, 102,
98, 88, 74 y 66 grados Fahrenheit. Verifequese que la media de estos datos es de
85 y crítiquese la afirmación de que, en Hermosillo, la temperatura máxima diaria
promedio de 85 grados Fahrenheit es muy confortable.
* DESARROLLO
Hallamos la media de la temperatura máxima en Hermosillo:

Semestre 2009 – I
65 + 69 + 74 + 84 + 93 + 102 + 105 + 102 + 98 + 88 + 74 + 66 1020
X = ------------------------------------------------------------------------------ = ---------- = 85°F
12 12
* Decir que la temperatura media en Hermosillo es de 85 °F es confortable, que quiere decir que una
temperatura en la cual complace a la mayoria de habitantes de Hermosillo.
21. En relación con al ejercicio anterior, calcúlese la media y la mediana de los
datos de producción diaria de un pozo de petróleo.
* DESARROLLO
(a) Ordenando los datos : 198, 200, 202, 203, 203, 205, 207, 208, 208, 212, 214, 217, 220, 225, 226,
243
Calculando la media: n = 16
198 + 200 + 202 + 203 + 203 + 205 + 207 + 208 + 208 + 212 + 214 + 217 + 220 + 225 + 226 + 243
X = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
16
3391
X = ---------- = 211.94
16
(b) Como son 16 datos la mediana será :
16 8° + 9° 208 + 208
Lugar ------ = 8 ° LUGAR Me = -------------- = -------------- = 208
2 2 2
22. Con respecto al ejercicio anterior, encuéntrese la desviación estándar del flujo
máximo anual del rio.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
Ordenando los datos tenemos:
267, 288, 295, 317, 335, 370, 383, 391, 405, 419, 434, 462, 508, 540, 612
En primer lugar hallamos la media :
267 + 288 + 295 + 317 + 335 + 370 + 383 + 391 + 405 + 419 + 434 + 462 + 508 + 540 + 612
X = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
15
X = 401.73
n S2
= (267 - X )2
+ ( 288 - X)2
+ ( 295 - X)2
+ …………….. + ( 612 - X )2
nS2
= 18152.17 + 12934.51 + 11391.29 + 7179.17 + 4452.89 + 1006.79 + 350.81 + 115.13 + 10.69 +
298.25 + 1041.35 + 3632.47 + 11293.31 +19118.59 + 44213.47
nS2
= 135,190.89
135,190.89
S2
= ---------------- = 9,012.726  S = 94.935
15
23. Para las cuatro observaciones 9, 7 15 y 5,
(a) calcúlese las desviaciones (xi – x) y compruébese que sumen cero;
(b) calcúlese la varianza y la desviación estándar
Sean X1
= 9
X2
= 7
X3
= 15
X4
= 5
* DESARROLLO
(a) Calculamos las desviaciones, respetando el signo :
∑ (Xi - X) = ( 9 - 9 ) + ( 7 - 9 ) + ( 15 - 9 ) + ( 5 - 9 ) = 0 - 2 + 6 - 4 = 0

Semestre 2009 – I
(b) Calculamos la Varianza:
∑ (Xi - X)2
( 9 - 9 )2
+ ( 7 - 9 )2
+ ( 15 - 9 )2
+ ( 5 - 9 )2
S2
= ----------------- = ----------------------------------------------------- = 14
n 4
24.En relación con el ejercicio, calcúlese X y S.
* DESARROLLO
Los datos son los siguientes :
166 + 141 + 136 + 153 + 170 + 162 + 155 + 146 + 183 + 157 + 148 + 132 + 160 + 175 + 150
X = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
15
2334
X = --------- = 155.6
15
Para hallar la desviación estandar, hallamos S2
∑ (Xi - X)2
(166 - X )2
+ ( 141 - X )2
+ ………………+ ( 150 - X )2
S2
= ----------------- = ------------------------------------------------------------------------
n 15
nS2
=108.16 + 213.16 + 384.16 + 6.76 + 207.36 + 40.96 + 0.36 + 92.16 + 750.76 + 1.96 + 57.76 +
556.96 + 19.36 + 376.36 + 31.36
n S2
=2 847.6
S2
= ( 2847.6 ) / 15 =189.84
entonces: S= 13.78
25.calcular la media y la varianza de las resistencias a la ruptura.
* DESARROLLO
Para hallar la media y variancia de estos datos agrupados:
INTERVALO Xi’ fi

Semestre 2009 – I
15.0 - 19.9 17.45 3
20.0 - 24.9 22.45 15
25.0 - 29.9 27.45 24
30.0 - 34.9 32.45 12
35.0 - 39.9 37.45 6
60
La media se hallaria:
(17.45 x 3 ) + ( 22.45 x 15 ) + …………………….. + ( 37.45 x 6 ) 1662
X = ------------- ----------------------------------------------------------------------- = -------- = 27.7
60 60
La variancia se hallaria:
( 17.452
x 3 ) + ….. + ( 37.452
x 6 ) [ ( 17.45 x 3 ) + ... + ( 37.45 x 6 )]2
S2
= ------------------------------------------- - -------------------------------------------
60 - 1 60 ( 60 - 1 )
S2
= 26.63
26. Empléese la distribución obtenida en el ejercicio 10, para encontrar la media y
la desviación estándar de los tiempos de ignición. Determínese también el
coeficiente de variación.
* DESARROLLO
En la tabla tenemos 80 datos; por lo tanto emplearemos k = 1 + 3.3 log (n)
k = 1 + 3.3 log (80) = 7.28 7
Xmax = 12.80
Xmin = 1.20
RECORRIDO : 12.80 - 1.20 = 11.6
INTERVALO : C = ( 11.6 ) / 7 = 1.7

Semestre 2009 – I
INTERVALOS fi Xi’
1.20 - 2.89 20 2.05
2.90 - 4.59 16 3.75
4.60 - 6.29 18 5.45
6.30 - 7.99 14 7.15
8.00 - 9.69 7 8.85
9.70 - 11.39 3 10.55
11.40 - 13.09 2 12.25
80
Hallamos la media :
( 20 x 2.5 ) + (16 x 3.75 ) + …………….+ (2 x 12.25)
X = ----------------------------------------------------------------------- = 5.21
80
80 ( 2825.75 ) - ( 417.30 )2
S2
= -------------------------------------- = 8.21
80.79
entonces S = 2.86
Hallemos : Coeficiente de Variación : (S / X) x 100%
2.86
C.V. = ---------- x 100 % = 54.89 %
5.21
27. Utilícese la distribución obtenida en el ejercicio, para determinar el coeficiente
de variación de los datos de productividad.
Copiamos fielmente la distribución del ejercicio:
INTERVALO Xi’ fi Fi hi Hi
20 - 29 24.5 4 4 0.04 0.04
30 - 39 34.5 13 17 0.13 0.17
40 - 49 44.5 18 35 0.18 0.35
50 - 59 54.5 25 60 0.25 0.60
60 - 69 64.5 20 80 0.20 0.80
70 - 79 74.5 14 94 0.14 0.94

Semestre 2009 – I
80 - 89 84.5 6 100 0.06 1.00
100 1.00
Para hallar C.V. necesitamos la media y la desviación estandar :
( 4 x 24.5 ) + ( 13 x 34.5 ) + ……………..+ ( 6 x 84.5 )
X = ---------------------------------------------------------------------------- = 55.5
100
100 x ( 331,525 ) - (5550)2
S2
= ---------------------------------------- = 237.37
100 x 99
entonces : S = 15.41
15.41
C.V. = ----------- x 100 % = 27.77
55.5
28. En tres años recientes, el precio del cobre fue de 69.6, 66.8 y de 66.3
centavos por libra, y el precio del carbón bituminoso fue de 19.43, 19.82 y de
22.40 dólares por tonelada corta. ¿Cuál de estos dos conjuntos de precios es
relativamente más variable?
Dato 1 : 69.6, 66.8, 66.3
Dato 2 : 19.43, 19.82, 22.40
* DESARROLLO
Comparemos los C.V. de las dos medidas :
69.6 + 66.8 + 66.3
X1 = ---------------------------- = 67.57
3
19.43 + 19.82 + 22.40
X2 = --------------------------------- = 20.55

Semestre 2009 – I
3
( 69.6 - 67.57 )2
+ ( 66.8 - 67.57 )2
+ ( 66.3 - 67.57 )2
S1
2
= ------------------------------------------------------------------------------------------
= 6.3267
3
S1 = 2.52
( 19.43 - 20.55 )2
+ ( 19.82 - 20.55 )2
+ ( 22.40 - 20.55 )2
S2
2
= -------------------------------------------------------------------------- = 1.7366
3
S2 = 1.32
Hallando C.V. para cada uno de ellos
2.52
C.V1 = ------------ x 100 % = 3.73 % Para el cobre
67.57
1.32
C.V2 = ------------ x 100 % = 6.42 % Para el carbón
20.55
29. Para calcular la mediana de una distribución obtenida de n observaciones,
primero se detrmina la clase en que la mediana debe caer. Después en la fracción
(n/2)-k/j de dicho intervalo, y para obtener la mediana se multiplica esta fracción
por el intervalo de clase y se suma el resultado a la frontera de clase más pequeña
de la clase en la que la mediana deba caer. Este método se basa en la suposición
de que las observaciones en cada clase se “dispersan uniformemente” a través del
intervalode clase; a ello se debe que contamos n/2 observaciones en lugar de
n+1/2. A manera de ejemplo, se hace referencia a la distribución de los datos de la
emisión del óxido de azufre. Puesto que n=80, puede verse que la mediana debe
estar en la clase 17.0 - 20.09 y como j=25, k =27, se sigue que la mediana es
16.95+(40-27)/25 * 4 = 19.03
(a) Encuéntrese la mediana de la distribución de los datos sobre ausentismo.

Semestre 2009 – I
(b) Utilicese la distribución obtenida en el ejercicio para calcular la mediana de
las resistencias a la ruptura agrupadas.
(c) Con la distribución obtenida en el ejercicio 3 encuéntrese la mediana de los
tiempos de ignición agrupados.
* DESARROLLO
(a)
INTERVALO Fi Fi
5.0 - 8.9 3 3
9.0 - 12.9 10 13
13.0 - 16.9 14 27
17.0 - 20.9 25 52 Clase mediana
21.0 - 24.9 17 69
25.0 - 28.9 9 78
29.0 - 32.9 2 80
j = 25
k = 27
TIC = 4
40 - 27
Me = 17 + 4 [ -------------- ] = 19.08
25
(b)Copiamos la tabla de frecuencias
INTERVALO Fi Fi
15.0 - 19.9 3 3
20.0 - 24.9 15 18
25.0 - 29.9 24 42 Clase Mediana
30.0 - 34.9 12 54
35.0 - 39.9 6 60
60
n = 60 / 2 = 30
j = 24
k = 18

Semestre 2009 – I
TIC = 5
Luego :
30 -18
Me = 25 + 5 [ ----------] = 27.5
24
( c ) Copiamos la tabla de frecuencia del ejercicio 3
INTERVALOS Fi Fi
1.20 - 2.89 20 20
2.90 - 4.59 16 36
4.60 - 6.29 18 54 Clase Mediana
6.30 - 7.99 14 68
8.00 - 9.69 7 75
9.70 - 11.39 3 78
11.40 - 13.09 2 80
n = 80
n / 2 = 40
j = 18
k = 36
Xi = 4.60
TIC = 1.70
40 - 36
Me = 4.60 + 1.70 [ --------------] = 4.98
18
30.Para cada una de las siguientes distribuciones decídase si es posible calcular la
media y/o mediana. Explíquense las respuestas.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
(a)
GRADOS Fi Fi
40 – 49 5 5
50 –59 18 23
60 –69 27 50 Clase Mediana
70 –79 15 65
80 –89 6 71
71
n = 71
n / 2 = 35. 5
TIC = 10
Xi = 60
k =23
j =27
35.5 - 23
 Me = 60 + 10 [ ----------------] = 64.63
27
(b)
INTERVALOS fi Fi
< 90 3 3
90 – 99 14 17
100 - 109 22 39 Clase Mediana
110 - 119 19 58
119 > 7 65
65
n = 65
n / 2 = 32.5
TIC = 10
Xi = 100
k = 17
j = 22

Semestre 2009 – I
32.5 - 17
Me = 100 + 10 [ ----------------] = 107.05
22
31 El supervisor de un grupo de 20 obreros pide la opinión de dos de
ellos(seleccionados al azar) sobre las nuevas disposiciones de seguridad en la
construcción. Si 12 están a favor de las nuevas disposiciones y los ocho restantes
en contra. ¿ Cuál es la probabilidad de que ambos trabajadores elegidos por el
supervisor estén en contra de las nuevas dispociones ? .
* DESARROLLO
Soponiendo probabilidades iguales para cada elección de dos de ellos (seleccionados al azar), la
probabilidad de que el primer obrero seleccionado esté en contra de las nuevas disposiciones de
seguridad es 8/20, y la probabilidad de que el segundo obrero se pronuncie contra las nuevas
disposiciones, dado que el primero opinó en contra de ellas, es 7/19. Por consiguiente, la
probabilidad buscada es 8/20 * 7/19 = 14/95.
32 ¿ Cuál es la probabilidad de obtener dos veces el mismo lado en dos
lanzaminetos de una moneda balanceada ?.
* DESARROLLO
En vista de que la probabilidad de que caiga un lado es 1/2 en cada lanzamineto y los dos son
independientes, la probabilidad es 1/2 * 1/2 = 1/4.
33 Dos caras se extraen al zar de un paquete ordinario de 52 naipes. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener dos ases si la primera carta es reemplazada antes de
extraer la segunda ?.
* DESARROLLO
Dado que hay cuatro ases entre las 52 cartas, obtenemos 4/52 * 4/52 = 1/169.
34 Sea A el evento que consiste en que la materia prima está disponible y B el
evento que consiste en que el tiempo de maquinado es menor que una hra. Si p(A)
= 0.8 y p(B) = 0.7, asigna una probabilidad al evento A ∩ B.

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
P(A ∩ B) = P(A)*P(B) = (0.8)*(0.7) = 0.56.
35 Cuatro veces se arroja un lado de un dado legal, ¿ Cuál es la probabilidad de no
obtener un 6 en ninguna de las cuatro ocasiones ?.
* DESARROLLO
La probabilidad es 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = 625/1296.
36 Los cuatro ayundantes de una gasolineria deben limpiar el parabrisas de los
autos de los clientes. Juan, quien atiende el 20% de todos los autos, no cumple su
cometido una vez cada 20 autos; Tomás quien atiende el 60% de los autos, no
limpia el prabrisas una vez cada 10 autos; Jorge quien atiende al 15% de ellos, no
cumple su cometido una vez cada 10 autos; y Pedro quien atiende al 5% de los
autos, no limpia el prabrisas una vez cada 20 autos. Si un cliente se queja de que
su parabrisas no fue lavado, ¿ Cuál es la probabilidad de que su auto lo haya
atendido Juan ?.
* DESARROLLO
(0.20)(0.05)
P(B1 A) = ---------------------------------------------------------------------------
(0.20)(0.05) + (0.60)(0.10) + (0.15)(0.10)+ (0.05)(0.05)
P(B1 A) = 0.114.
37 ¿ Cuál es la esperanza matemática si se puede ganar $8 cuando una modela
balanceada case del lado A ?.
* DESARROLLO
La probabilidad del lado A es 1/2 y la esperanza matemática es 8* 1/2 = $4.

Semestre 2009 – I
38 ¿ Cuál es la esperanza matemática si se compra 1 entre 1000 boletos prar una
rifa con un premio de $500 ?.
* DESARROLLO
La probabilidad de ganar el premio es de 1/1000 y la esperanza matemática es 500* 1/1000 =
$0.50
39. ¿ Cuántos números pares de tres dígitos pueden formarse con los dígitos 1, 2,
5, 6 y 9, si cada uno de llos pude utilizarse sólo una vez ?.
* DESARROLLO
Dado que el número debe ser par, se tienen únicamente n1 = 2 posibilidades para la posición de
las unidades. Para cad una de estas últimas se tienen n2 = 4 posibilidades para la posición de las
centenas y entoces n3 = 3 posibilidades para la posición de las decenas. Por lo tanto se pueden
formar un total de
n1 n2 n3 = (2)(4)(3) = 24
números pares de tres dígitos.
40. Se sacan dos boletos de la lotería, entre 20 posibles, para el primero y el
segundo premios. Encuéntrese el número de puntos muestrales en el espacio S.
* DESARROLLO
El número total de puntos muestrales es:
20!
20P2 = ------------ = 380.
(20 – 2)!
41. ¿ En cuántas formas puede una sucursal local de la American Chemical Society
progrmar a 3 conferencias en 3 diferentes congresos, si los primeros están
disponibles en cualquier de 5 fechas posibles ?.
* DESARROLLO
El numero total de programadores posibles es:

Semestre 2009 – I
5!
5P3 = ------------ = 60.
(5 – 3)!
42. ¿ en cuántas formas diferentes pueden acomodarse 3 focos rojos, 4 amarillos y
2 azules en un árbol de navidad con 9 receptáculos ?.
* DESARROLLO
El número total de arreglos diferentes es:
9!
----------- = 1260
3! 4! 2!
43.¿ En cuántas formas diferentes pueden siete científicos acomodarse en una
habitación triple y dos habitaciones dobles en un hotel ?.
* DESARROLLO
El número total de particiones posibles sería:
7!
---------- = 210
3! 2! 2!
44. Encuéntrese el número de cómites que pueden formarse con 4 químicos y 3
físicos y comprendan 2 químicos y 1 físico.
* DESARROLLO
El numero de formas de seleccionar 2 químicos de 4 posibles es:
4!
4C2 = ------------ = 60.
2! 2!
El número de formas de seleccionar 1 físico de 3 posibles es:

Semestre 2009 – I
3!
3C1 = ------------ = 60.
2! 1!
Al utilizar la regla de la multiplicación se forman
(6)(3) = 18
comités con 2 químicos y 1 físico.
45. La probabilidad de que Paula apruebe matemáticas es de 2/3 y la de que
apruebe inglés es de de 4/9. Si la probabilidad de que apruebe ambos cursos es de
¼, ¿ Cuál es la probabilidad de que Paula apruebe al menos uno de ellos ?.
* DESARROLLO
P(M ∪ E) = P(M) + P(E) – P(M ∩ E)
= 2/3 + 4/9 – 1/4
= 31/36.
46. Si las probabilidades de que una persona, al comprar un nuevo automóvil,
seleccione el color verde, blanco, rojo o azul, son , respectivamente, 0.09, 0.15,
0.21 y 0.23 ¿ Cuál es la probabilidad de un comprador dado adquiera un automóvil
en uno de esos colores ?.
* DESARROLLO
P(G ∪ W ∪ R ∪ B) = P(G) + P(W) + P(R) + P(B)
= 0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23
= 0.68
47. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par
de dados ?.
* DESARROLLO
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Semestre 2009 – I
= 1/6 + 1/18
= 2/9
48. La probabilidad de que un vuelo de programación regular despeque a tiempo
es P(D) = 0.83; la de que llegue a tiempo es P(A) = 0.82; y la de que despeque y
llegue a tiempo P(D ∩ A) = 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión llegue
a tiempo dado que despegó a tiempo.
* DESARROLLO
La probabilidad de que el avión llegue a la hora prevista dado que partió a tiempo es:
P(D ∩ A)
P(A D) = -----------------
P(D)
= 0.78 / 0.83
= 0.94.
49. La probabilidad de que un vuelo de programación regular despeque a tiempo
es P(D) = 0.83; la de que llegue a tiempo es P(A) = 0.82; y la de que despeque y
llegue a tiempo P(D ∩ A) = 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión
despegue a tiempo dado que llegó a tiempo.
* DESARROLLO
La probabilidad de que el salga a la hora prevista dado que llegó a tiempo es:
P(D ∩ A)
P(D A) = -----------------
P(A)
= 0.78 / 0.82
= 0.95.
50. Un par de dados se lanza dos veces. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener
totales de 7 y 11 ?.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
Sea A1, A2, B1 y B2 respectivos eventos independientes de que ocurra un 7 en el primer
lanzamiento, un 7 en el segundo, un 11 en el primero y un 11 en el segundo. Lo que interesa es
la probabilidad de la unión de los eventos excluyentes A1 ∩ B2 y B1 ∩ A2; Por lo tanto:
P[(A1 ∩ B2) ∪ (B1 ∩ A2)] = P(A1 ∩ B2) + P(B1 ∩ A2)
= 1/6 * 1/18 + 1/18 * 1/6
= 1/54.
51. ¿ Cuántas palabras distintas pueden formarse con las letras de la palabra
CASACAS ?.
* DESARROLLO
Vemos que se tienen una permutación donde se repiten las letras C (2 veces); A(3 veces) y S(2
veces).
Luego: n=7elementos; nc= 2C; nA= 3ª; nS= 2S
Se logra:
7!
Pr
=------------ = 210 palabras
2! 3! 2!
52. Si extraemos 3 cartas de una baraja de 48 cartas. ¿ De cuántas maneras se
puede hacer esta selección ?.
* DESARROLLO
Esto corresponde a combinaciones de 48 cartas tomadas de 3 en 3
48!
48C3 = --------------- = 17296 combinaciones
3!(48-3)!
53. Un estudiantes tiene que elegir un idioma y una asignatura entre 5 idiomas y 4
asignaturas. Hallar el número de formas distintas en que puede hacerlo.

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
Pude elegir el idioma de 5 maneras y, por cada una de ellas, hay 4 formas de elegir la asignatura.
Por lo tanto pude hacerlo de 5*4 = 20 maneras
54. ¿ De cuántas formas se pueden repartir dos premios entre 10 personas
sabiendo que ambos premios no se pueden conceder a una misma persona ?.
* DESARROLLO
El primer premio se puede reaprtir de 10 formas diferentes y, una vez concedido, el segundo se
puede repartir de 9 formas, ya que ambos no se pueden conceder a la misma persona.
Por lo tanto, se puede hacer de 10* 9 = 90 formas distintas.
55. ¿ De cuántas formas se pueden repartir dos premios entre 10 personas
sabiendo que ambos premios se pueden conceder a una misma persona ?.
* DESARROLLO
El primer premio se puede repartir de 10 formas diferentes y el segundo de otras 10, ya que
amos se pueden conceder a la misma persona.
Por lo tanto, se puede hacer de 10* 10 = 100 formas distintas.
56. ¿ De cuántas maneras se pueden introducir 5 cartas en 3 buzones ?.
* DESARROLLO
Cada una de las 5 cartas se pueden introducir en cualquiera de los tres buzones.
En consecuencia, se puede efectuar de 3* 3 * 3 * 3 * 3 = 243 maneras.
57. Hay 4 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente y 2 para
secretario. ¿ De cuántas maneras se pueden ocupar estos tres puestos ?.
* DESARROLLO
Un presidente se puede elegir de 4, un vicepresidente de 6 y un secretario de 2 formas distintas.

Semestre 2009 – I
En consecuencia, se podrán ocupar de 4* 6* 2 = 48 formas distintas.
58. ¿ De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en una fila ?.
* DESARROLLO
La primera persona puede ocupar un de los 5 puestos y, una vez que se ha situado en uno de
ellos, la segunda puede ocupar uno de los 4 restantes, etc.. Por lo tanto, se podrán colocar de
5* 4* 3* 2* 1 = 120 maneras distintas.
59. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar 7 libros sobre una estantería?.
* DESARROLLO
Número de formas = número de permutaciones de 7 libros.= 5040 maneras.
60. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar en una fila 5 hombres y 4 mujeres de
forma que estás ocupen los lugares pares ?.
* DESARROLLO
Los hombres se pueden situar de P5 maneras y las mujeres de P4 formas. Cada una de las
colocaciones de los hombres se puede asociar con una de las mujeres.
Luego se podrá efectuar de P5 * P4 = 120 * 24 = 2880 maneras.
61. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar 7 cuadros diferentes en una fila
sabiendo que uno de ellos debe de estar en el centro ?.
* DESARROLLO
Como un cuadro en cuestión debe situarse en el centro, solo quedan 6 cuadros para colocarlos
en la fila.
Por lo tanto, se puden hacer de P6= 6! = 720 maneras.
62. Del problema anterior desarrollar si ahora nos piden que uno de ellos debe
estar en uno de los extremos.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
Una vez colocado el cuadro en uno de los dos extremos, los otros 6 se pueden disponer de P6
maneras.
En consecuencia, se pueden hacer de 2 * P6 = 1 440 maneras.
63.¿ De cuántas maneras se pueden colocar 9 libros diferentes sobre la estantería
de forma que 3 de ellos estén siempre juntos ?.
* DESARROLLO
Los libros en cuestión se pueden colocar, entre ellos, de P3 formas. Como los libros han de estar
siempre juntos, se puede considerar como uno solo. Así, pues, es como si tuviéramos 7 libros, el
anterior más los 6 restantes, y éstos se pueden colocar de P7 formas.
Por lo tanto, se puede hacer de P3 * P7 = 3! * 7! = 30 240 formas.
64. Del problema enterior nos piden ahora hallar que 3 de ellos no estén siempre
juntos.
* DESARROLLO
El número de maneras en que se pueden colocar 9 libros sobre una estantería, sin poner
condición alguna, es de 9! = 362 880 maneras .
65. Sobre una estantería se tiene que colocar 6 libros distintos de biología, 5 de
química y 2 de física, de forma que los de cada materia estén juntos. Hallar el
número de formas en que se puede hacer.
* DESARROLLO
Los libros de biología se pueden disponer entre sí de 6! maneras, los de química de 5!, los de
física 2! Y los tres grupos de 3! maneras.
Por lo tanto, se pueden colocar de 6! * 5! * 2! * 3! = 1 036 800 maneras.
66. Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dígitos
pudiendo éstos repetirse.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
La cifra puede ser uno cualquiera de 9 dígitos(todo, excepto 0). Cada una de las otras cifras
pueden ser uno cualquiera de los 10 dígitos.
Números formados = 9 * 10 * 10 * 10 * 10 = 90 000 número.
pudiendo éstos repetirse. ¿ Cuántos de estos números empienza por 40 ?.
* DESARROLLO
Las dos primeras cifras están formadas por el número 40. Las otras tres pueden ser cualquiera
de los 10 dígitos.
Números formados = 1 * 10 * 10 * 10 = 1 000 números.
pudiendo éstos repetirse. ¿ Cuántos son pares ?.
* DESARROLLO
La primera cifra puede ser uno cualquiera de 9 dígitos y la última uno de 5 números, 0, 2, 4, 6,
8. Cada una de las otras tres cifras pueden ser cualquiera de los 10 dígitos.
Números pares = 9 * 10 * 10 * 10 * 5 = 45 000 números.
pudiendo éstos repetirse. ¿ Cuántos son divisibles po 5 ?.
* DESARROLLO
La primera cifra puede ser uno cualquiera de 9 dígitos, y la última pueden ser 2 números, el 0 y
el 5, y las otras cifras 3 cifras uno cualquiera de los 10 dígitos.
Números divisibles por 5 = 9 * 10 * 10 * 10 * 2 = 18 000 números.
70. ¿ Cuántos números comprendidos entre 3 000 y 5 000 se pueden formar con
los 7 dígitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, si cada uno no se puede repetir en cada número ?.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
Como los números comprendidos entre 3 000 y 5 000, constarán de 4 cifras. La primera puede
ser el 3 o el 4. Los seis dígitos restantes se pueden colocar en los otros tres lugares de 6P3
maneras.
Números formados = 2 * 6P3 = 240 números.
71. Entre 11 novelas y 3 diccionarios se seleccionan 4 novelas y 1 diccionario y se
colocan en una estantería de forma que el diccionario esté en el medio. Hallar el
número de formas en que esto se puede llevar a cabo.
* DESARROLLO
Las probabilidades de seleccionar un diccionario son 3 y el número de variaciones de 11 novelas
tomadas de 4 en 4 es 11P4 .
Por lo tanto, se puede hacer 3 * 11P4 = 23 760 formas.
72. Hallar el número de palabras que se pueden formar con las letras de la palabra
COOPERADOR tomadas todas a la vez.
* DESARROLLO
La palabra COOPERADOR consta de 10 letras: 3 “o”, 2 “r” y 5 diferentes.
10!
Número de palabras = --------- = 302 400.
3! 2!
73. Hallar el número de palabras que se pueden formar con las letras de la palabra
COOPERADOR tomadas todas a la vez. ¿ Cuántas de estas palabras tienen juntan
las tres “o” y cuantas empiezan por los dos “r” ?.
* DESARROLLO
(a) Considerando los tres “o” como una sola letra, tendremos 8 letras, de las cuales dos son “r”.
8!
Número de palabras = ------ = 20 160
2!

Semestre 2009 – I
(b) El número de palabras que se pueden formar con las 8 letras restantes, de las cuales hay tres
“o”, es 8! / 3! = 6 720.
74. Hallar el número de palabras diferentes de 5 letras que se pueden formar con
las letras de la palabra EMPUJADO, si cada letra no se emplea más de una vez.
* DESARROLLO
Número de palabras = permutaciones de 8 elementos tomados de 5 en 5
= 8P5 = 6 720 palabras.
75. Del problema anterior nos piden el número de palabras diferentes si cada letra
se puede repetir(no necesitan tener significado)
* DESARROLLO
Número de palabras = 8 * 8 * 8 * 8 * 8 = 32 768 palabras.
76. Hallar los números que se pueden formar con los 4 de los 5 dígitos 1, 2, 3, 4,
5. Si éstos no se pueden repetir en cada número.
* DESARROLLO
Números formados = 5P4 = 5 * 4 * 3 * 2 = 120 números.
77. Se dispone de 3 ejemplares de 4 libros diferentes. ¿ De cuántas maneras se
pueden colocar en una estantería ?.
* DESARROLLO
Hay 3 * 4 = 12 libros, de los cuales cada uno está repetido 3 veces.
12!
Número de formas = --------------- = 369 600
3! 3! 3! 3!
78. ¿ De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa
redonda
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
Supongamos que una de ellas se sienta en un lugar cualquiera. Las 4 personas
restantes se pueden sentar de 4! Formas.
Por lo tanto, hay 4! = 24 maneras de disponer a 5 personas alrededor de una mesa circular.
79. ¿ De cuántas maneras se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa
redonda de forma que dos de ellas estén siempre juntas ?.
* DESARROLLO
Consideremos a las personas dterminadas como una sola, Como hay 21 maneras de disponer a 2
personas entre sí y 6! Formas de colocar a 7 personas alrededor de una mesa circular, el número
pedido será = 2! 6! = 1 440.
80. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar 4 hombres y 4 mujeres alrededor de
una mesa redonda de manera que cada mujer esté entre dos hombres ?.
* DESARROLLO
Supongamos, en primer lugar, que se sientan los hombres. Estos se pueden colocar de 3!
maneras distintas y las mujeres 4! formas.
Por lo tanto, el número pedido es = 3! * 4! = 144.
81. ¿ Cuántas pulseras se pueden hacer ensartando en un hilo 9 cuentas de colores
distintos ?.
* DESARROLLO
El número de formas en que se pueden disponer las cuentas en las cuentas en la pulsera es igual
a 8!, sin embargo, la mitad se deduce de otra mitad girando la pulsera.
Por lo tanto, se pueden formar 1/2(8!) = 20 160 pulseras diferentes.
82. ¿ Cuántos grupos de 4 alumno se puede formar con 17 alumnos aventajados
para representar a un colegio en un concurso de preguntas de matemáticas ?.
* DESARROLLO
Números de grupos = números de combinaciones de 17 alumnos tomados de 4 en 4.

Semestre 2009 – I
17 * 16 * 15 * 14
17C4= -------------------------- = 2 380 grupos de 4 alumnos
1 * 2 * 3 * 4
83. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 5 idiomas de entre 8 ?.
* DESARROLLO
Números de formas = números de combinaciones de 8 idiomas tomados de 5 en 5.
8 * 7 * 6
8C5= 8C3= ----------------- = 56 formas.
1 * 2 * 3
84. ¿ De cuántas formas se pueden repartir 12 libros entre dos personas, A y B, de
manera que a uno le toque 9 y al otro 3 ?.
* DESARROLLO
En cada una de las divisiones de los 12 libros en 9 y 3, A recibe 9 y B recibe 3, o bien A recibe 3
y B recibe 9.
Por lo tanto, el número de formas es = 2 * 12C9 = 2 * 12C3 = 440 formas.
85. Determinar el número de triángulos diferentes que se pueden formar uniendo
los sies vértices de un éxagono.
* DESARROLLO
Número de triángulos = números de combinaciones de 6 puntos tomados de 3 en 3.
6 * 5 * 4
6C3 = ------------- = 20 triángulos.
1 * 2 * 3
86. ¿ Cuántos ángulos menores de 180° forman 12 semirectas que se cortan en un
punto sabiendo que ninguna de ellas puede estar en prolongación de cualquiera de
las otras ?.
* DESARROLLO
Número de ángulos = número de combinaciones de 12 elementos tomados de 2 en 2.

Semestre 2009 – I
12* 11
12C2 = ----------- = 66 ángulos
1 * 2
87. ¿ Cuántas diagonales tiene un octagono ?.
* DESARROLLO
Número de rectas = número de combinaciones de 8 puntos tomados de 2 en 2 = 8C2 = 28.
Como 8 de estas 28 rectas son los lados del octágono, el número de diagonales = 20.
88. ¿ Cuántos paralelogramos se pueden formar al cortar un sistema de 7 rectas
paralelas por otro sistema de 4 rectas paralelas ?.
* DESARROLLO
Cada una de las combinaciones de 4 rectas tomadas de 2 en 2 forman un paralelogramo al cortar
a cada una de las combinaciones de 7 rectas tomadas de 2 en 2.
Número de pralelogramos = 4C2 * 7C2 = 126 paralelogramos.
89. ¿ Cuántas grupos de 7 miembros se pueden formar con 6 químicos y 5
biólogos de manera que en cada uno se encuentren 4 químicos ?.
* DESARROLLO
Cada grupo de 4 químicos de los 6 se puede asociar con cada uno de 3 biólogos de los 5.
Por lo tanto, el número de grupos es = 6C4 * 5C3 = 150.
90. ¿ Cuántas palabras de 5 letras se pueden formar con 8 consonantes y 4
vocales, de manera que cada una conste de 3 consonantes y 2 vocales ?.
* DESARROLLO
Las # consonantes distintas se pueden elegir de 8C3 maneras, las 2 vocales de 4C2 formas y las 5
letras sistintas (3 consonantes y 2 vocales) se pueden disponer entre ellas de P5 = 5! Formas.

Semestre 2009 – I
Por lo tanto, el número de palabras es = 8C3 * 4C2 * 5! = 40 320.
91. De una caja que contiene 3 bolas rojas, 2 blancas y 4 azules se extrae una bola
al zar. Hallar la probabilidad p de que sea roja.
* DESARROLLO
casos favorables (3 bolas rojas)
p= ------------------------------------------------ = 1/3
casos posibles ( 3 + 2 + 4 bolas)
92. del ejercicio anterior hallar la probabilidad p en caso que no sea roja y sea
blanca.
* DESARROLLO
(a) p = 1 – 1/3 = 2/3.
(b) p = 2/9.
93. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras; otra bolsa contiene 3 bolas
blancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa. Determinar la probalidad “p”
de que las dos sean blancas y que las dos sean negras.
* DESARROLLO
(a) p = (4/(4+2)) * (3/(3+5)) = 1/4
(b) p = (2/(4+2)) * (5/(3+5)) = 5/24
94. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras; otra bolsa contiene 3 bolas
blancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa. Determinar la probalidad “p”
de que una sea blanca y otra negra.
* DESARROLLO
La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda negra
4/6 * 5/6 = 5/12.
La probabilidad de que la primera bola sea negra y la segunda blanca
2/6 * 3/6 = 1/8.

Semestre 2009 – I
Por lo tanto la probabilidad pedida es: 5/12 + 1/8 = 13/24.
95. La posibilidades que tiene una persona de que le toque un premio de 50 000
pts son de 23 contra 2. Hallar su esperanza matemática.
* DESARROLLO
Esperanza = probabilidad de que le toque * valor del premio = 2/25 * 50 000 = 4 000 pts.
96. En una caja hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Si se extraen dos al azar, ¿ cuál
es la probabilidad “p” de obtener dos números impares ?.
* DESARROLLO
Hay 5 números impares y 4 números pares.
5C2
p = -------- = 5/18
9C2
97. En una caja hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Si se extraen dos al azar, ¿ cuál
es la probabilidad “p” de obtener dos números pares ?.
* DESARROLLO
Hay 5 números impares y 4 números pares.
4C2
p = ---------- = 1/6
9C2
98. La probabilidad de que cierta persona viva 25 años más es de 3/7 y la
probabilidad de que viva su 25 años más es 4/5. Hallar la probabilidad de que,
dentro de 25 años vivan los dos.
* DESARROLLO
La probabilidad de que vivan los dos es 3/7 * 4/5 = 12 /35.

Semestre 2009 – I
99. Once libros, de los cuales 5 son de ingeniería, 4 de matemáticas y 2 de
química, se coloca al zaar en una estantería. Hallar la probabilidad “p” de que los
libros de cad materia estén todos juntos.
* DESARROLLO
Cuando los libros de cada materia estén juntos los de ingeniería se pueden disponer de 5!
maneras, los de matemáticas de 4!, los de química de 2! y los tres grupos de 3! maneras
distintas.
casos favorables (5! 4! 3! 2!)
p= ---------------------------------------- = 1/1155
casos posibles (11!)
100. Hallar la probabilidad p de que de los 5 hijos de una familia haya por lo
menos 2 niños y 1 niña. Se supone que la probabilidad de nacer niño o niña es 1/2.
* DESARROLLO
Los tres casos favorables son 2 niños, 3 niñas; 3 niños, 3 niñas; 4 niños, 1 niña.
p= (1/2)5
(5C2 + 5C3 + 5C4) = 25/32
101. Los siguientes datos son los puntajes obtenidos por 50 estudiantes en un
exámen de Estadistica general.
33 , 35 , 35 , 39 , 41 , 41 , 42 , 45 , 47 , 48
50 , 52 , 53 , 54 , 55 , 55 , 57 , 59 , 60 , 60
61 , 64 , 65 , 65 , 65 , 66 , 66 , 66 , 67 , 68
69 , 71 , 73 , 73 , 74 , 74 , 76 , 77 , 77 , 78
80 , 81 , 84 , 85 , 85 , 88 , 89 , 91 , 94 , 97
Clasificar estos datos convenientemente en intervalos de clase de la misma amplitud y construir
los gráficos respectivos.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
a) Rango =R=97-33=64
b) K=1+3.22 log(50)= 1+3.22(1.699)=6.47
redondeando al entero inmediato mayor se tiene k=7
(Si usamos k=√n , tenemos k=√50= 7)
c) Amplitud de clase =C=R/k=64/7=9,14
Aproximando 9,14 a un entero mayor tenemos C=10
Para facilitar el conteo de las frecuencias ,tomaremos como el limite de la primera
clase igual a 30. Así, la tabla de distribución de frecuencias sera :
CLASES Marca de clase fi Fi hi Hi
[30 , 40>
[40 , 50>
[50 , 60>
[60 , 70>
[70 , 80>
[80 , 90>
[90 , 100>
35
45
55
65
75
85
95
4
6
8
13
9
7
3
4
10
18
31
40
47
50
0.08
0.12
0.16
0.26
0.18
0.14
0.06
0.18
0.20
0.36
0.62
0.80
0.94
1
TOTAL 50 1
Histograma y poligono de frecuencia:
0.0260
0.0280
0.0080

Semestre 2009 – I
0.0040
0.0020
30 40 50 60 70 80 90 100
50
47
40
31
18
10
4
30 40 50 60 70 80 90 100
102. Dada la siguiente distribución de empresas según el número de empleados se
pide :
a) Determinarel porcentaje de empresas que tiene número de empleados entre 50
y 90 .
b) Determinar el porcentaje de empresas con número de empleados inferior a 35.
Número de empleados Frecuencia(fi)
[0,10>
[10.20>
[20,30>
[30,40>
[40,60>
[60,80>
[80,100>
[100,140>
[140,180>
[180,260>
5
20
35
40
50
30
20
20
15
15

Semestre 2009 – I
TOTAL 250
* DESARROLLO
Haciendo la distribución de frecuencias tenemos:
Numero de
empleados
fi Amplitud
Ci
hi Densidad
(hi/ci)
100*hi%
[0,10>
[10,20>
[20,30>
[30,40>
[40,60>
[60,80>
[80,100>
[100,140>
[140,180>
[180,260>
5
20
35
40
50
30
20
20
15
15
10
10
10
10
20
20
20
40
40
80
0.02
0.08
0.14
0.16
0.20
0.12
0.08
0.08
0.06
0.06
0.0020
0.0080
0.0140
0.0160
0.0100
0.0060
0.0040
0.0020
0.0015
0.0008
2%
8%
14%
16%
20%
12%
8%
8%
6%
6%
TOTAL 250 - - 100%
a) Para obtener una mejor aproximación del porcentaje de empresas que tienen
número de empleados entre 50 y 90, se usa la interpolación de la siguiente
manera.
40 50 60 80 90 100

Semestre 2009 – I
20% 12% 8%
Sea P el porcentaje de empresas que tienen número de empleados entre 50 y 90
entonces.
P=(60-50)/(60-40).20% + 12% + (90-80)/100-80).8%
P=10% + 12% + 4% =26%
Por tanto el 26% de empresas tienen número de empleados entre 50 y 90.
b) De igual forma que en el caso anterior tenemos:
0 10 20 30 35 40
2% 8% 14% 16%
p1=Porcentaje de empresas con número de empleados inferior a 35.
= 2% + 8% + 14% + [(35-30)/(40-30)].16% = 24% + 8% = 32%
Luego, el 32% de empresas tienen número de empleados inferior a 35.

Semestre 2009 – I
103. Una determinada especie de animales mamíferos tiene en cada cría un
número variable de hijos .Se observa durante un año la cría de 35 familias,
anotandose el número de hijos obtenido por las familias en dicha cría .
Numero de
hijos
xi
Numero de
familias fi
hi 100 x hi Hi
0
1
2
3
4
6
2
3
10
10
5
5
0.0571
0.0857
0.2857
0.2857
0.1429
0.1429
5.71%
8.57%
28.57%
28.57%
14.29%
14.29%
0.0571
0.1428
0.4285
0.7142
0.8571
1
TOTAL 35 1 100%
Hallar la función de distribución acumulada de esta tabla y trazar su grafica.
* DESARROLLO
Tenemos:
0.0000 , si x<0
0.0571 , si 0≤x<1
0.1428 , si 1≤x<3

Semestre 2009 – I
F35(x)= 0.4285 , si 2≤x<3
0.7142 , si 3≤x<4
0.8571 , si 4≤x<6
1.0000 , si x ≥6
La gráfica es:
Υ
1
0.8571
0.7142
0.4285
0.1428
0.0571
1 2 3 4 5 6 Χ
104. Determinar la media de la distribución:
Ingreso familiar
(en soles)
[2,4> [4,6> [6,8> [8,10> [10,12>
N° de familias 5 10 14 8 3

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
En este caso, los intervalos de clase son representados por sus marcas de clase. Por tanto
tenemos:
Clases fi Marcas de clase Fi.xi
[2,4>
[4,6>
[6,8>
[8,10>
[10,12>
5
10
14
8
3
3
5
7
9
11
15
50
98
72
33
TOTAL 40 268
X = Σ fi.xi = 268 = 6.7
n 4
El ingreso
promedio del grupo de 40 familias es de S/. 6.7
105. En una empresa donde los salarios tienen una media de S/.100,000 el
sindicato solicita que cada salario X, se transforme en Y, mediante la siguiente
relación:
Y=2.5X+100
El directorio acoge parcialmente la petición rebajando los salarios propuestos por
el sindicato en un 10%, lo que es aceptado. Se pide calcular la media aritmética de
la nueva distribución de salarios.

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
Tenemos
X=100,000
Si y = 2.5X+100  Y= 2.5X + 100 = 2.5(100,000) + 100
= 250,100
Por tanto el salario que solicita el sindicato es Y =250,100
El salario propuesto por el directorio es:
Z = Y – 10% Y =0.9Y  Z= 0.9 Y= (0.9)(250,100) = 225,090
Luego la media de la nueva distribución de salarios es 225,090.
106. Calcular la media de la siguiente distribución de frecuencias.
Alturas
cm
60 62 64 65 66 67 68 70 71 72 73 76
N°
plantas
1 1 1 1 2 2 5 1 1 2 1 1
* DESARROLLO
Tomando el origen de trabajo igual a 68 tenemos:
xi fi di fi.di
60
62
64
65
66
67
1
1
1
1
2
2
-8
-6
-4
-3
-2
-1
-8
-6
-4
-3
-4
-2

Semestre 2009 – I
68
69
70
71
72
73
76
5
1
1
2
1
1
1
0
1
2
3
4
5
8
-27/26
1
2
6
4
5
8
TOTAL 20 -1
di = xi - 68
X = origen + Σfidi
n
= 68 + (-1/20) = 67.95
∴ X = 67.95 cm
107. Una distribución de frecuencias sobre notas de estudiantes de Estadística,
Matemática I; presenta las frecuencias relativas h3 y h5 borrosas .Si se sabe que
la media fue de 7.9. Determinar la mediana de la distribución :
Notas de estudiantes N° de estudiantes
Frecuencia relativa (hi)
[0.5 , 2.5>
[2.5 , 4.5>
[4.5 , 6.5>
[6.5 , 8.5>
[8.5 , 10.5>
[10.5 , 12.5>
[12.5 , 14.5>
114 ó más
0.02
0.10
0.16
0.10
0.02
0
Solución:

Semestre 2009 – I
Usando la formula para la media (X) en términos de las frescuencias relativa
tenemos:
K K
X = Σ hi.xi = 7.9 , donde Σ hi =1
i=1 i=1
Completando la distribución de frecuencias se tiene:
Clases hi Marca de clase xi hi.xi hi
[0.5 , 2.5>
[2,5 , 4.5>
[4.5 , 6.5>
[6.5 , 8.5>
[8.5 , 10.5>
[10.5 , 12.5>
[12.5 , 14.5>
14.5 o más
0.02
0.10
h3
0.16
h5
0.10
0.02
0
1.5
3.5
5.5
7.5
9.5
11.5
13.5
-
0.03
0.35
5.5h3
1.20
9.5h5
1.15
0.27
-
0.02
0.12
0.32
0.48
0.88
0.98
1
-
TOTAL 1
Luego tenemos :
Σ hi = 1  0.02 + 0.10 + h3 + 0.16 + h3 + 0.10 + 0.02 = 1
 h3 + h5 =0.60 (4)
k
Σ hi.xi =7.9  0.03 + 5.5h3 + 1.20 + 9.5 h5 + 1.15 + 0.27 = 79
i=1
 5.5h3 + 9.5h5 = 4.9 (5)
Resolviendo las ecuaciones (4) y (5) obtenemos
h3 = 0.2 y h5 = 0.4
Reemplazando los datos en la fórmula
X= l med + (1/2 – Hk-1) Cmed
(Hk -Hk-1)
tenemos:

Semestre 2009 – I
X = 8.5 + [(1/23+0.48)/(0.88-0.48)].2 =8.5 + 0.10 = 8.6
108. Dada la siguiente distribución, determinar los cuartiles Q1 y Q3.
Intervalos
de clase
[6,16> [16,26> [26,36> [36,46> [46,56>
Fi 8 20 25 10 5
* DESARROLLO
Determinando las frecuencias acumuladas tenemos:
Clases fi Fi
[6,16>
[16,26>
[26,36>
[36,46>
[46,56>
8
20
25
10
5
8
28  clase que contiene a Q1
53  clase que contiene a Q3
63
68
TOTAL 68=n
Primer paso.- n/4 = 64/4 =17vo ; 3N/4=51vo
Segundo paso.- Por las frecuencias acumuladas identificamos las clases que
contienen a
Q1 y Q3.

Semestre 2009 – I
Como F1= 8< n/4 = 17 <28 = F2 entonces el intervalo de clase que contiene a Q1
y Q3.
tenemos:
Q1= 16 + [(17-8)/28-8)].10
= 16 + 4.5 =20.5
Q3= 26 + [(51-28)/(53-28)].10
=26 + 9.2=35.2
De acuerdo a estos resultados, podemos afirmar que, en esta distribución tenemos:
25% 25% 25% 25%
Q1=20.5 Q2=28.4 Q3=35.2
109.Supongamos que la distribución de las edades de 80 alumnos de la Facultad
de Ingeniería Industrial de la Universidad de Lima es dado por:
Clases Fi Fi hi Hi
[15,18>
[18,21>
5
------------------
------------------
------------------
------------------
0.5875
------------------
------------------

Semestre 2009 – I
[21,24>
[24,27>
[27,30>
------------------
------------------
------------------
------------------
------------------
------------------
------------------
------------------
0.0375
0.925
------------------
------------------
TOTAL 80
Se pide:
a) Completar la tabla.
b) Interpretar f3,f4,h2 y H4.
c) Estime la edad que es excedido por el 75% de los estudiantes.
d) Halle la edad que supera a las edades de 75% de estudiantes.
* DESARROLLO
a) Completando la distribución de frecuencias tenemos:
Clases fi Fi hi Hi
[15,18>
[18,21>
[21,24>
[24,27>
[27,30>
5
47
22
3
3
5
52
74
77
80
0.0625
0.5875
0.275
0.0375
0.0375
0.0625
0.65
0.925 clase que contiene a Q1
0.9625 clase que contiene a Q3
1

Semestre 2009 – I
TOTAL 80=n
b) f3 = 22: Hay 22 estudiantes en la muestra que tienen entre 21 años y menos de
24 años.
F4 =77: Hay 77 estudiantes que tienen menos de 27 años.
h2 =0.5875: 58.75% de estudiantes tienen edades mayores o iguales a 18 años y
menos
de 21 años.
H4 =0.9625 : 96.25% de los estudiantes tienen menos de 27 años.
c) En este caso debemos calcular el primer cuartil (Q1). Aplicando la formula
tenemos:
Q1=18 + [(20-5)/(52-5)].3
= 18 + 0.957 = 18.957
Por tanto la edad que es excedido por el 75% de los estudiantes es 18.957.
d) La edad que supera a las edades de 75% de los estudiantes , corresponde al
valor del
tercer cuartil.Aplicando la fórmula se tiene:
Q3 = 21 + [(60-52)/(74-52)].3
= 21 + 1.091 = 22.091
Luego la edad que supera a las edades de 75% de estudiantes es 22.091.

Semestre 2009 – I
110. Determinar el 4to decil y el 72vo percentil de la siguiente distribución de
frecuencias.
Intervalos fi Fi
[40,50>
[50,60>
[60,70>
[70,80>
[80,90>
[90,100>
8
20
30
40
10
2
8
28
58  Clase de D4
98  Clase de P72
108
110
TOTAL 110
* DESARROLLO
Calculo de D4 Calculo de P72
1er paso:
i.n = 4 × 110 = 44 i.n = 72 × 110 = 79.2
10 10 100 100
2do paso:
Se identifica la clase de D4 y P72 por medio de la columna de las frecuencias
acumuladas ,esto es:

Semestre 2009 – I
F2 = 28< 44 < 58 =F3 y F3= 58 < 79.2 <98 =F4
3er paso: Para D4 tenemos:
D4 = l D4 + (4n/10)– Hk-1 . C D4 = 60 + [ (44-28)/(58-28)].10
(Fk-Fk-1)
= 60 + 5.33 = 65.33
Para P72 se tiene
P72 = l P72+ (72n/100)– Fk-1 .C P72 = 70 + [ (79.2-58)/(98-58)].10
(Fk-Fk-1)
= 70 + 5.3 = 75.3
Por tanto, en esta distribución , el valor 65.33 divide la muestra en dos partes: una
parte con 40% de los elementos y la otra con 60% de elementos. El valor 75.3
indica que 72% de la distribución está debajo de él y 28% superior a él.
111. Una empresa decide hacer un reajuste entre sus empleados. La clasificación
se lleva a cabo mediante la aplicación de un test que arroja las siguientes
puntuaciones:
Puntuaciones N° de empleados
[0,30> 94

Semestre 2009 – I
[30,50>
[50,70>
[70,90>
[90,100>
140
160
98
8
La planificación optima de la empresa exige que el 65% sean administrativos, el
20% jefes de sección,el 10% jefes de departamento y
el 5% inspectores según sea la puntuación obtenida. Se pide calcular la puntuación
máxima para ser administrativo, jefe de sección y jefe de departamento.
* DESARROLLO
Según los datos tenemos :
Porcentaje Porcentaje acumulado
Administrativos...................................... 65%.............................65%
Jefe de sección........................................ 20%.............................85%
Jefe de departamento.............................. 10%.............................95%
Inspectores.............................................. 5%...............................100%
Por tanto, tendremos que hallar los percentiles 65 , 85 , y 95.
Los calculos que necesitamos son:

Semestre 2009 – I
Clases fi Fi
[0,30>
[30,50>
[50,70>
[70,90>
[90,100>
94
140
160
98
8
94
234
394  Clase de P65
492  Clase de P85 y
P95
500
TOTAL 500
1er Paso:
Para P65 : i.n = 65(500) = 325
100 100
Para P85 : i.n = 85(500) = 425
100 100
Para P95 : i.n = 95(500) = 475|
100 100
2do paso : Aplicando las formulas correspondientes tenemos:
65(500) - 234
P65 = 50 + 100 .20 = 50 + 11.37 = 61.37

Semestre 2009 – I
394 – 234
85(500) - 394
P85 =70+ 100 .20 = 70 + 16.53 = 86.53
492 – 394
Por tanto la puntuación máxima para ser administrativo es 61.37, para jefe de
sección 76.33 y para jefe de departamento es 86.53.
112. Las cifras dadas en la tabla adjunta corresponden a miligramos de
hidroxiprolina absorbidos por un gramo de masa intestinal analizados en distintos
pacientes:
Mgr hidroxiprolina 77.3 61.2 82.4 75.9 61 70.2 65
Número de pacientes 3 10 15 13 8 5 2
Se pide:
a) ¿Cuantos pacientes fueron examinados?
b) Calcular la media geométrica de la distribución.
c) ¿Cuál es la moda?
* DESARROLLO
a) el número de pacientes examinados es: n = Σ fi =56
i=1
b) Para obtener la media geométrica conviene hacer los cálculos en la siguiente
tabla:

Semestre 2009 – I
Xi fi log xi fi log xi
61
61.2
65
70.2
75.9
77.3
82.4
8
10
2
5
13
3
15
1.785
1.787
1.813
1.846
1.880
1.888
1.916
14.2800
17.8700
3.6260
9.2300
24.4400
5.6640
28.7400
TOTAL 56 12.915 103.8500
Aplicando la formula respectiva tenemos :
7
Σ fi log10 xi
log10 G = i=1 = 103.8500 =1.8545
n 56
Luego: G= Antilog(1.8545) = 71.5
c) La moda para esta distribución es:

Semestre 2009 – I
X = Mo = 82.4
113. La siguiente distribución muestra las notas finales en probabilidad y
estadistica, obtenida por 50 estudiantes de la Facultad de Ingeniería Industrial de
la Universidad San Martín de Porres.
Intervalos [0,2> [2,4> [4,6> [6,8> [8,10> [10,12> [12,14> [14,16> [16,18>
N° de
estudiantes
1 2 2 3 6 12 10 8 4
[18,20]
2
Hallar la desviación media con respecto a la media aritmética.
* DESARROLLO
Completando la distribución de frecuencias tenemos:
Intervalos
de clase
fi Marca de clase
(xi)
fi .xi |xi - x| fi |xi – x|

Semestre 2009 – I
[0.2>
[2,4>
[4,6>
[6,8>
[8,10>
[10,12>
[12,14>
[14,16>
[16,18>
[18,20>
1
2
2
3
6
12
10
8
4
2
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
1
6
10
21
54
132
130
120
68
38
10.6
8.6
6.6
4.6
2.6
0.6
1.4
3.4
5.4
7.4
10.6
17.2
13.2
13.8
15.6
7.2
14.0
27.2
21.6
14.8
TOTAL 50 580 155.2
Se tiene:
x = Σf2xi = 11.6 ; D(x) = 155.2 = 3.104
n M 50
114. Calcular la varianza y la desviación estándar y la desviación estandar de la
siguiente distribución muestral.
xi 5 7 8 9 11
fi 2 3 5 4 2
* DESARROLLO
Completando la distribución de frecuencias temnemos:

Semestre 2009 – I
Xi fi fi.xi fi..xi²
5
7
8
9
11
2
3
5
4
2
10
21
40
36
22
50
147
320
324
242
TOTAL 16 129 1083
Aplicando las formulas respectivas se tiene :
k
Σ fi.xi
X = 129 = 8.1
16
S² = 1/5 [1083 – 1049.76]= 1/15[33.24] = 2.22
Entonces S = 1.49

Semestre 2009 – I
116. Los pesos en gramos (aproximados hasta 0.01 gramos) de 70 comprimidos
fabricados automáticamente por una máquina están representados en la siguiente
tabla.
Intervalos Frecuencias acumuladas (fi)
[1.475 , 1.525>
[1.525 , 1.575>
[1.575 , 1.625>
[1.625 , 1.675>
[1.675 , 1.725>
[1.725 , 1.775>
[1.775 , 1.825>
[1.825 , 1.875>
[1.875 , 1.925>
[1.925 , 1.975>
1
4
12
26
49
61
68
69
69
70
Se pide:
a) Calcular la media.
b) Calcular la desviación estándar.
c) Calcular el porcentaje de productos entre X=1.55 y X + 1.55
* DESARROLLO
Sean O = 1.7 (marca de clase del intervalo con más alta frecuencia9

Semestre 2009 – I
ui = (Xi – O)/c , C = 0.05
Para tener todos los cálculos ordenados es conveniente formar la siguiente tabla:
Intervalos fi Marca de
clase
ui fi. ui fi. ui²
[1.475 , 1.525>
[1.525 , 1.575>
[1.575 , 1.625>
[1.625 , 1.675>
[1.675 , 1.725>
[1.725 , 1.775>
[1.775 , 1.825>
[1.825 , 1.875>
[1.875 , 1.925>
[1.925 , 1.975>
1
3
8
14
23
12
7
1
0
1
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
1.8
1.85
1.9
1.95
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4
-9
-16
-14
0
12
14
3
0
5
16
27
32
14
0
12
28
9
0
25
TOTAL 70 -9 163
Sustituyendo los totales de columnas en las fórmulas tenemos:
a) X = O + C Σfi.ui /n = 1.7 + 0.05(-9/70) = 1.6936
b) S² = C ² [ Σ fi.ui – n(U) ² ] = (0.05) ² [ 163- 70(-9/70) ²]
n-1 69}
= 0.005864

Semestre 2009 – I
Luego : S= √(0.005864) = 0.07658
c) Calculo de X – 1.5S y X + 1.5S
X = 1.5S = 1.6936 – 1.5(0.07658) = 1.57873
X = 1.5S = 1.6936 + 1.5(0.07658) = 1.80847
Par calcular el porcentaje de productos que tiene sus pesos entre 1.57873 y
1.80847 y primero interpolamos de la siguiente manera :
1.575 1.625 1.675 1.725 1.775 1.825
1.57873 1.80847
8 14 23 12 7
Sea N= número de productos que tienen sus pesos entre X – 1.5S y X + 1.5S
Entonces :
N = 1.625-1.57873 *8 + 14 + 23 + 12 + 1.808447 – 1.775 .7 = 61
0.05 0.05
Por tanto, el porcentaje de productos que tienen sus pesos entre X = 1.55 y X+
1.5S es:

Semestre 2009 – I
P = 61 × 100 = 87.143 %
70
117. En una clinica Infantil se han ido anotando, durante un mes, el número de
metros que el niño anda, seguido y sin caerse, el primer día que comienza a
caminar.Obteniéndose así la tabla de Información adjunta.
Número de
niños
2 6 10 5 10 3 2 2
Número de
metros
1 2 3 4 5 6 7 8
Se pide:
a) Momentos respecto al origen de primero, segundo y tercer orden.
b) Momentos centrales de orden primero y tercero.
* DESARROLLO
Para hallar los momentos hacemos los cálculos en la siguiente tabla:
Xi fi fi.xi fi.xi² fi.xi³ fi(xi – x) fi(xi – x)
³
1
2
3
2
6
10
2
12
30
2
24
90
2
48
270
-6.10
-12.30
-10.50
-56.745
-51.690
-11.576

Semestre 2009 – I
4
5
6
7
8
5
10
3
2
2
20
50
18
14
16
80
250
108
98
128
320
1,250
648
686
1,024
-0.25
9.50
5.85
5.90
7.90
-0.001
8.573
22.244
51.344
123.259
TOTA
L
40 162 780 4,248 0 85.41
Sustituyendo los totales de las columnas en las fórmulas tenemos:
a) Momentos con respecto al origen:
M1 = Σfi.xi² = 162/40 = 4.05
n
M2 = Σfi.xi² = 780/40 = 19.5
n
M3 = Σfi.xi³ = 4,248/40 = 106.2
n

Semestre 2009 – I
b) Momentos respecto a la media
M1 = Σfi(xi – x) = 0/40 = 0
n
M1 = Σfi(xi – X) = 85.41/40 = 2.135
n
118. ¿ De cuantas maneras diferentes se pueden sentar 8 personas en una banca,
con capacidad para 5 personas ?
* DESARROLLO
Como n =8 y K=5 , el número total de maneras diferentes que pueden sentarse 8
peronas en una banca , con capacidad para 5 personas es:
8
A 5 = 8! = 8! = 8(7)(6)(5)(4) = 6720
(8-5)! 3!

Semestre 2009 – I
119. Un omnibus parte de su paradero inicial con 6 personas a bordo y se detiene
en 10 paraderos diferentes .¿De cuántas maneras pueden bajar las 6 personas en
los 10 paraderos , si en un paradero pueden bajar cualquier numero de personas?
* DESARROLLO
La primera persona puede bajar en cualquiera de los 10 paraderos, la segunda lo
mismo y la sexta de igual forma, entonces el número total de maneras es:
10
( AR)6 = 106
= 1’000,000
119. Se proyecta presentar 6 conferencistas en una reunión de padres de familia y
profesores de un colegio.¿ El moderador del programa desea saber de cuántas
maneras diferentes se pueden situar en el escenario los 6 conferencistas en fila?
Solución: El numero total de maneras de situar los 6 conferencistas en fila en el
escenario es:
P6 = 6! = 720
120. En una sección de Matematica I hay 6 hombres y 4 mujeres .Cuando un
examen se realiza los estudiantes son listados de acuerdo al puntaje obtenido

Semestre 2009 – I
(mayor a menor). Supongamos además que ningún estudiante obtiene el mismo
puntaje.
a)¿ Cuántos listados diferentes se deben hacer?
b) Si los hombres son ordenados entre ellos mismos y las mujeres entre ellas
mismas, ¿Cuántos listados diferentes se deben hacer?
* DESARROLLO
a) El número total de lisrados diferentes es:
P10 =10! = 3’628,800
b) Como los hombres pueden ordenarse entre ellos mismos de P = 6! = 720
maneras y las mujeres entre ellas mismas de P = 4! = 24 maneras .Entonces el
número de listados pedido será:
(6!)(4!) = 17,280
121. El señor Edwin Meza tiene 6 libros diferentes de Matemática, 2 de
Estadística y 4 de Química y desea colocarlos en un estante.
a) ¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse, si los libros de cada materia
deben
estar juntos?
b) ¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse, si solo los libros de
química deben estar juntos.

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
a) Los libros de Matemática pueden ordenarse de P = 6! maneras, los libros de
Estadistica
de Estadística de P = 2! maneras, los libros de Química de P= 4! maneras y los
3 grupos
de libros de P = 3! = 6 maneras.
Por tanto el número total de ordenaciones pedido es:
(6!)(2!)(4!)(3!) = 207,360
b) Considerando los libros de Química como un solo libro, tenemos 9 libros que
pueden
ordenarse de P = 9! maneras. En todos los grupos los libros de Química están
juntos, pero pueden ordenarse entre ellos de P = 4! = 24 maneras. Entonces el
número total de ordenaciones pedido es:
(9!)(4!) = 8’709,120
122.¿De cuantas formas pueden sentarse los 12 miembros del consejo de facultad
de la facultad de Ingenieria Industrial alrededor de una mesa circular si:
a) Pueden sentarse de cualquier forma,
b) dos miembros determinados deben estar uno al lado del otro?
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
a) Considerando uno de los miembros sentado en cualquier parte alrededor de la
mesa, entonces los 11 miembros restantes, pueden sentarse de P11 =11! maneras.
Luego, el número total de maneras distintas que pueden sentarse los 12 miembros
alrededor de la mesa es:
P11 = 11! = 39?916,800
b) Considerando las dos personas que han de ir juntas como una sola. Entonces
hay 11 personas para sentarse en círculo que lo pueden hacer de 10! maneras. Las
dos personas consideradas como una sola pueden a su vez ordenarse entre sí de 2!
maneras. Por tanto, el número de ordenaciones de 12 miembros del consejo de
facultad alrededor de una mesa circular con 2 miembros determinados sentados
juntos es:
(10!)(2!) = 3’628,800.
123. ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden formar usando
las letras MEMMER?
* DESARROLLO
Tenemos:
n= 6 letras ; n1= 3 letras M ; n2 =2 letras E y n3 = 1 letras R. Entonces, hay
P6 3,2,1
= 6! = 60 permutaciones distintas de las letras MEMER.
3! 2! 1!

Semestre 2009 – I
125. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden ordenar 3 bolas blancas, 4 rojas y
4 negras en una fila, si las bolas de igual color no se distiguen entre sí?
* DESARROLLO
Se pueden ordenar de
P11
3,4,4
= 11! = 11,550 maneras distintas.
3! 4! 4!
126. Un tubo de televisor se puede adquirir en 7 fabricadas ¿De cuántas
maneras se pueden escoger 4 de las siete fábricas?
* DESARROLLO
El número total de maneras de escoger 4 fabricas de 7 es
7C2 = 7! = 7 6 5 = 35
4!.3! 6
128. ¿De cuántas formas pueden 10 objetos dividirse en dos grupos de 4 y 6
objetos respectivamente?
* DESARROLLO
Esto es lo mismo que el número de ordenaciones de 10 objetos de los cuales 4
objetos son iguales y los otros 6 también son iguales entre sí.
10C4 = 10!/(4!×6!) = (10×9×8×7)/4! = 210

Semestre 2009 – I
129. De un total de 5 matemáticos y 7 físicos, se forma un comite de 2
matemáticos y 3 físicos .¿De cuántas formas puede formarse, si (a) puede
pertenecer a él cualquier matemático y físico, (b) un físico determinado debe
pertenecer al comité, (c) dos matemáticos determinados no pueden estar en el
comité?
* DESARROLLO
Solución:
(a) matemáticos de un total de 5 pueden elegirse de 5C2 formas.
3 físicos de un total de 7 pueden elegirse de 7C3 formas
Número total de seleccionados posibles = 5C2×7C3 = 10×35 = 350
(b)2 matemáticos de un total de 5 pueden elegirse de 5C2 formas.
2 físicos restantes de un total de 6 pueden elegirse de 6C2 formas
Número total de selecciones posibles = 5C2×6C2 = 10×15 = 150
(c) 2 matemáticos de un total de 3 pueden elegirse de 3C2 formas.
3 físicos de un total de 7 dan 7C3 formas.
Número total de selecciones posibles = 3C2×7C3 = 3×35 = 105.
130. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de fisica y dos
diferentes de química se colocan en un estante. ¿De cuantas formas distintas es
posible ordenarlos si (a) los libros de cada asignatura deben estar todos juntos, (b)
solamente los libros de matemática deben estar juntos?
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
(a) los libros de matemáticas pueden ordenarse entre ellos de 4P4 = 4! formas los
libros de física 6P6 = 3! formas.
Entonces el número de ordenaciones pedido será = 4!×6!×2!×3! = 207 360
(b) Considerar los cuatro libros de matemáticas como un solo libro. Entonces se
tienen 9 libros que pueden ordenarse de 9P9 =9! formas. En todos estos casos los
libros de mátematicas están juntos. Pero los libros de matemática pueden
ordenarse entre ellos de 4P4 = 4! formas.
Entonces el número de ordenaciones pedido será = 9!×4! = 8’709,120
132. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las
bolas de igual color no se distinguen entre sí ¿de cuántas formas posibles pueden
ordenarse?
* DESARROLLO
Multiplicando N por por 5!2!3!, se obtiene el número de ordenaciones de 10 bolas
si todas ellas fuesen distintas, es decir, 10!
Entonces (5!2!3!)N = 10! y N = 10!/(5!2!3!)
133. Se extraen 5 cartas de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de
extraer (a) 4 ases , (b) 4 ases y un rey, (c) 3 dieces y 2 jotas, (d) un 9, 10, jota,
reina, rey en cualquier orden, (e) 3 de un palo y 2 de otro, (f) al menos 1 as.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
(a) P(4 ases) = [(4C4)(48C1)]/52C5 ] = 1/54 145
(b) P(4 ases y 1 rey) = (4C4)(4C1)/52C5 = 1/649 740
(c ) P(3 dieces y 2 jotas) = (4C3)(4C2)/52C5 = 1/108 290
(d) P(nueve, diez, jota, reina, rey) = (4C1)(4C2)(4C1)(4C1)(4C1)/52C5 = 64/162 435
(e) P(3 de un palo, 2 de otro) = [(4×13C3)(3×13C2)]/52C5 = 429/4165 puesto que hay
4 formas de escoger el primer palo y 3 formas de escoger el segundo.
(f) p(ningún as) = 48C5/52C 5 = 35 673/54 145.
Luego P(al menos un as) = 1- (35 673)/54 145 = 18 472/54 145
135. Determinar la probabilidad de tres seis en 5 lanzamientos de un dado
honrado.
* DESARROLLO
Represéntense los lanzamientos del dado por cinco espaciós---------.Cada espacio
tendrá los sucesos 6 o no 6(6’). Por ejemplo, tres 6 y dos no 6 pueden ocurrir
como 666’66’ ó 66’66´6, etc.
Así la probabilidad del resultado 666’66’ es
P(666’66’) = P(6)P(6)P(6’)P(6)P(6’) = (1/6)×(1/6)×(5/6)×(1/6)×(5/6)
= (1/6)3
(5/6)2
Puesto que suponemos que los sucesos son independientes. Análogamente
P= (1/6)3
(5/6)2

Semestre 2009 – I
para todos los otros resultados en los cuales ocurren tres 6 y dos no 6. Pero hay
5C3 =10 de estos sucesos y son mutuamente excluyentes. Por tanto la probabilidad
pedida es
P(666’ ó 66’66’6 ó ....) = 5C3(1/6)3
(5/6)2
= 5!/(3!2!)(1/6)3
(5/6)2
= 125/3888
136. Una caja contiene 5 bolas rojas y 4 blancas. Se extraen dos
bolas sucesivamente de la caja sin reemplazamiento y se observa que la segunda
es blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera también sea blanca?
* DESARROLLO
P(B1/B2) = [P(B13B2)]/P(B2) = [(4/9)(3/8)]/(4/9) = 3/8
137. Las probabilidades de que un esposo y una esposa estén vivos
dentro de 20 años están dadas por 0.8 y 0.9 respectivamente. Hallar la
probabilidad de que en 20 años (a) ambos vivan; (b) ninguno viva; (c) al menos
uno viva.
* DESARROLLO
Sean T, M los sucesos que el esposo y la esposa , respectivamente, estén vivos en
20 años. Entonces P(T) =0.8 , P(M) = 0.9. Suponemos que T y M con sucesos
independientes, lo cual puede ser o no razonable.
(a) P(ambos viven) = P(T3M) = P(T)P(M) = (0.8)(0.9) = 0.72
(b)P(ninguno viva) = P(T’3M’) = P(T’)P(M’) = (0.2)(0.1) = 0.02
(c) P(a1 menos uno viva) = 1- P(ninguno viva) = 1 – 0.02 = 0.98

Semestre 2009 – I
138. Con 7 consonantes y 5 vocales diferentes, ¿Cuántas palabras
pueden formarse, que consten de 4 consonantes y 3 vocales? No es necesario que
las palabras tengan significado.
* DESARROLLO
Las 4 consonantes pueden elegirse de 7C4 formas, las 3 vocales de 5C3 formas y
las 7 letras resultantes (4 consonantes, 3 vocales) pueden ordenarse entre sí de
7P7 = 7! formas.
Entonces:
El número de palabras es 7C4×5C3×7! = 35×10×5040 = 1 764 000
140. A y B juegan lanzando alternativamente un par de dados. Quien obtenga
primero un total de 7 gana el juego. Hallar la probabilidad de que (a) quien lanza
primero los dados gane, (b) quien lanza segundo los dados gane.
* DESARROLLO
a) La probabilidad de obtener 7 en un solo lanzamiento de una pareja de dados,
supuestamente honrados, es 1/6. Si suponemos que A es el primero en lanzar
entonces funcionará en cualquieera de los casos siguientes mutuamente
excluyentes con las probabilidades asociadas indicadas:
(1) A gana en el 1er. lanzamiento. Probabilidad = 1/6.

Semestre 2009 – I
(2) A pierde en el 1er lanzamiento, luego pierde B, luego gana A .
Probabilidad = (5/6)(5/6)(1/6).
(3) A pierde en el 1er. lanzamiento, pierde B, pierde A, pierde B, gana A.
Probabilidad = (5/6) (5/6) (5/6) (5/6) (1/6)
Así la probabilidad de que A gane es
(1/6)+(5/6)(5/6)(1/6) + (5/6) (5/6) (6/5) (5/6) (1/6) + ......
= 1/6[1 + (5/6)2
+ (5/6)4
+.....] = (1/6)/[1-(5/6)2
] = 6/11
donde hemos utilizado el resultado 6 del Apéndice A con x = (5/6)2
b) Análogamente la probabilidad de que B gane el juego es:
(5/6) (1/6) + (5/6) (5/6) (5/6) (1/6) + .....= (5/6) (1/6)[ [1 + (5/6)2
+ (5/6)4
+.....] = [5/36]/[1 – (5/6)2
] = 5/11
Así iríamos 6 a 5 a que el primero que lance gane. Nótese que la probabilidad de
un empate es cero ya que
(6/11) + (5/11) = 1
Esto sería verdadero se el juego fuera limitado.
141. ¿De cuántas formas pueden sentarse 7 personas alrededor de una mesa, si (a)
pueden sentarse de cualquier forma, (b) si dos personas determinadas no deben
estar una al lado de la otra?
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
(a) Considérese una de ellas sentada en cualquier parte. Entonces las 6 restantes
pueden sentarse de 6! = 720 formas, que es el total de casos que se dan en la
ordenación de 7 personas en un círculo.
(b) Considérense las dos personas que no han de ir juntas como una sola. Entonces
hay 6 personas para sentarse en circulo, que lo pueden hacer de 5! formas. Pero
las dos personas consideradas como una sola pueden ordenarse entre sí de 2!
formas. Así pues, el número de ordenaciones de 6 personas sentadas alrededor de
una mesa con 2 determinadas de ellas sentadas juntas es de 5!×2! = 240.}
Entonces, mediante (a), se tiene el número total de formas en que 6 personas
pueden sentarse alrededor de una mesa, de modo que dos de ellas no estén
sentadas juntas es 720 – 240 = 480 formas.
142. Hallar la probabilidad de obtener al menos un 4 en dos lanzamientos de un
dado honrado.
* DESARROLLO
Sea A1 = suceso “4 en el primer lanzamiento” y A2 = suceso “4 en el segundo
lanzamiento” y A2 = suceso “4 en el segundo lanzamiento” .
A14
A2 = suceso “4 en el primer lanzamiento o 4 en el segundo lanzamiento o
ambos”
= suceso 2 al menos un 4”
Los sucesos A1 y A2 son mutuamente excluyentes, pero son independientes. Por
tanto, por (10) y (21)
P(A14
A2) = P(A1) + P(A2) – P(A13A2)
= P(A1) + P(A2) – P(A1)P(A2)

Semestre 2009 – I
= 1/6 + 1/6 – (1/6)(1/6) = 11/36
143. ¿Cuántos grupos de 2 hombres y 3 mujeres se pueden formar con 5 hombres
y 7 mujeres?
* DESARROLLO
Como hay 5C2 posibles grupos de 2 hombres y 5C3 posibles grupos de 3
mujeres, entonces hay:
5 4 7 6 5 = 350 posibles grupos de 2 hombres y 3 mujeres
2 1 3 2 1
144. De un conjunto de 8 hombres y 7 mujeres.¿ Cuantos comités de 10 miembros
se pueden formar si cada uno de ellos debe contener cuando menos 5 mujeres?
* DESARROLLO
Las condiciones del problema se cumple si el comité consta de:
(a) 5 hombres y 5 mujeres, que se pueden seleccionar de C(8 a 5) C(7 a 5) maneras .
(b) 4 hombres y 6 mujeres, que se pueden elegir de C(8 a 4) × (7 a 6) maneras
(c) 3 hombres y 7 mujeres, que se pueden elegir de C(8 a 3) ×C (7 a 7) maneras y cada
una de estas elecciones son mutuamente excluyentes. Por tanto, aplicando el
principio de adición, el número total de comités posibles es

Semestre 2009 – I
[8!/( 5! ×3!)] × [7!/(5! ×2!)] + [8!/(4! × 4!)] × [7!/(6!)] + [8!/(3! ×5!)] ×[7!/(7!)]
= 1,722
145. Supongase que el entrenador de la selección peruana de Voley desea formar
su alineación compuesta de 4 jugadoras veteranas y 2 juveniles, ¿Cuántas
alineaciones puede formar con 6 veteranas y 6 juveniles, si todas ellas pueden
jugar en cualquier posición?
* DESARROLLO
Como hay para hacer de 6 a 4 combinaciones posibles para hallar grupos de 4
veteranas y combinaciones de 6 a 2 para los posibles grupos de juveniles, entonces
un
6 6
equipo se puede seleccionar de C4 × C2 maneras. Por tanto el número total de
posibles alineaciones es :
[6!/(4!×2!)] × [6!/(2!×4!)] × 6! = 162,000
146. Cada pieza de un dominó es marcado por dos números. Las piezas son
simétricas de modo que el par de números no es ordenado. ¿Cuántas piezas
diferentes de dominó pueden construirse usando los números 1,2,......,n?

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
Como cada pieza del domino se puede marcar con dos números repetidos,
entonces el número total de piezas de dominó que se pueden construir es
(n+2-1)! = n(n+1)
(n-1)!2! 2
147. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden colocar 11
jugadores de fútbol en una fila de modo que el arquero y el defensa central, en
particular, no quede uno al lado del otro?
* DESARROLLO
Tenemos 10 jugadores sin el arquero. Estos se pueden ordenar de 10! maneras
diferentes. En cada ordenación de 10 jugadores, el arquero puede en 9 lugares
diferentes sin estar al lado del defensa central. Entonces la solución seria:
9×10! = 32’659,200
149. Un muchacho tiene 4 monedas cada una de distinto valor
¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cuatro monedas?
* DESARROLLO
El muchacho puede formar grupos de una moneda, grupos de 2, grupos de 3 y
grupos de 4. Entonces, el número total de sumas diferentes de dinero que puede
formar el muchacho es

Semestre 2009 – I
[4!/(1! ×3!)]+[4!/(3! ×1!)]+[4!/(4! ×0!) =15 = 2 4
– 1
En general, para cualquier número entero positivo n se tiene
n n n
C1 + C2 +...........+ C n = 2n
- 1
150. De cuantas maneras diferentes se pueden izar cinco banderas de colores
diferentes en 8 mástiles colocados en fila, si se pueden izar cualquier número de
ellas en cada mástil?
* DESARROLLO
La primera bandera puede ser izada en cualquiera de los 8 mastiles. Entonces este
mastil queda dividido en dos partes y por tanto, existen ahora 8+1=9 posiciones
posibles para la tercera bandera y así sucesivamente. Así, el número total de
maneras diferentes de izar las banderas es
8(9)(10)(11)(12) = 95,040
151. Tres muchachas María, Magna y Maritza, compiten en un concurso de
belleza. Los premios solamente son otorgados a las que ocupan el primero y
segundo lugar.
(a) Liste los elementos del espacio muestral correspondiente al experimento.
“Elegir a las dos ganadoras” .
(b) Defina como subconjuntos, los eventos:
A: María gana el concurso de belleza

Semestre 2009 – I
B: María gana el segundo lugar
C: Maritza y Magna ganan los premios
* DESARROLLO
a) El espacio muestral asociado a este experimento es
Ω = {(María, Magna), (María, Maritza),(Magna, María), (Magna,
Maritza),
(Maritza, Magna) , (Maritza, María)]}
b) Los eventos son los subconjuntos
A: {(María, Magna), (María, Maritza)}
B: {(Maritza, maria), (Magna, María)}
C: {(Magna, Maritza), (Maritza, Magna)}
152. Un experimento consiste en lanzar 2 dados y observar los números que
aparecen en las caras superiores.
a) Liste los elementos del espacio muestral Ω
b) Liste los elementos del evento a: la suma de los números es 5
c) Listte los elementos del evento B: la suma de los números es 12
d) Liste los elementos del evento C: el producto de los números es 24
e) Liste los elementos del evento d: la suma de los números es divisible por 7.
* DESARROLLO
a) el espacio muestral asociado a este experimento es:

Semestre 2009 – I
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
Ω = (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
los eventos pedidos son:
b) A = { (1,4), (4,1), (2,3), (3,2) }
c) B = { (6,6) }
d) C ={ (6, 4), (4,6) }
e) D ={ (1,6), (6,1), (3,4), (4,3) }
153. Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que parece
en la cara superior sean los eventos.
A: Observar un número impar
B: Observar un número mayor o igual a 4.
Liste los elementos del evento A B
* DESARROLLO
Tenemos:
Ω = { 1,2,3,4,5,6}
A = { 1,3,5} , B:{4,5,6}
Entonces la unión de estos eventos es
A B = { el número que resulta es impar o es mayor o igual a 4}
= {1,3,4,5,6}

Semestre 2009 – I
154. En el Hipodromo de Monterrico, 4 caballos A,B,C y D compiten en una
carrera; A tiene 2 veces más probabilidad de ganar que B , B tiene 2 veces ás
probabilidad de ganar que C y C tiene 2 veces más probabilidad de ganar que C y
C tiene 2 veces más probabilidad de ganar que D.
a) ¿Cuáles son las probabilidades de victoria de cada uno de los caballos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que B o C gané?
* DESARROLLO
El espacio muestral asociado a este experimento es
Ω = { gana A, gana B, gana C, gana D}
Es claro que para describir este experimento no usaremos el modelo
equiprobable.
Sean los eventos ω1 : gana el caballo A
ω2 : gana el caballo B
ω3 : gana el caballo C
ω4 : gana el caballo D
a) Supongamos que P(ω4) = P, entonces tenemos:
i) P(ω3) = 2P(ω4) = 2P, P(ω2) = 2P(ω3) = 4P y
P(ω1) = 2P(ω2) = 8p
ii) ω1 4
ω3 4
ω4 = Ω y ωi 3 ωj = ∅ , i ≠j , i, j = 1,2,3,4
Luego aplicando el axioma 2 y 3 se tiene

Semestre 2009 – I
P(ω1 4
ω2 4
ω4) = P(Ω) = 1
P(ω1) + P(ω2) + P(ω3) + P(ω4) = 1
8p + 4p + 2p + p =1
De donde se obtiene p = 1
15
por tanto, tenemos:
P(ω1) = 8/15 , P(ω2) = 4/15 , P(ω3) = 2/15 , P(ω4) = 1/15
b) En este caso tenemos
P(ω2 4ω3) = P(ω2) + p(ω3) = (4/15) + (2/15) + (6/15)
156. Una caja contiene 24 focos de luz de los cuales 4 son defectuosos. Si una
persona extrae 10 focos de la caja al azar, y una segunda persona toma el resto de
los 14 focos . ¿Cuál es la probabilidad de que los 4 focos defectuosos sea
obtenidos por la misma persona?
* DESARROLLO
Tomando combinaciones 20C6 y 20C10 sobre todas las opciones posibles que
viene a ser 24C10.
20C6 + 20C10 = 20!/(6!×14!) + 20!/(10!×10!) = 2.94624
24C10. 24!/(10!×14!)

Semestre 2009 – I
157. Supongamos que un comité de 12 personas es seleccionado al azar de un
grupo de 100 personas .Determine la probabilidad de que 2 personas A y B en
particular sean seleccionadas.
* DESARROLLO
98C10 = 98!/(10!×88!)
100C12 100!/(12!×88!)
158. Dado 20 personas .¿Cuál es la probabilidad de que entre los 12 meses del
año hay 4 meses que contienen cada uno 2 cumpleaños y 4 meses que contienen
cada uno 3 cumpleaños?
* DESARROLLO
12C4 × 8C4 [20!/(2!4
×3!4
)] = [12!/(4!×8!)]×[8!/(4!×4!)]× [20!/(2!4
×3!4
)]
(12!)20
(12!)20
159. Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 negras. Dos jugadoras A y B retiran las
bolas de la urna en forma consecutiva hasta extraer una bola roja. Encontrar la
probabilidad de que A seleccione primero a la bola roja.

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
= 3/10 + (7×6×3)/(10×9×8) + (7×6×5×4×3)/(10×9×8×7×6)
+(7×6×5×4×3×2×3)/(10×9×8×7×6×5×4) = 0.58333 .
160. Una urna A contiene 3 bolas rojas y 3 negras, mientras que la urna B contiene
4 bolas rojas y 6 negras. Si una bola es extraída aleatoriamente de cada urna.
¿Cuál es la probabilidad de que las bolas sean del mismo color?
* DESARROLLO
Tenemos que la probabilidad en la primera urna es de 1/2 para cada color
Rpta. 1/2
161. Un closet contiene 10 pares de zapatos. Si 8 zapatos son seleccionados
aleatoriamente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no hay ningún par completo en este grupo?
* DESARROLLO
(10C8)28
= [10!/(8!×2!)] × 28
= 0.0914503453
(20C8) [20!/(8!×12!)]
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hay exactamente un par completo?
Solución:

Semestre 2009 – I
10C1×9C6×26
= [10!/(1!×9!)] ×[9!/(6!×4!)] × 26
= 0.106692
20C8 20!/(8!×12!)
162. Con 7 consonantes y 5 vocales diferentes. ¿Cuántas palabras pueden
formarse, que consten de 4 consonantes y 3 vocales? No es necesario que las
palabras tengan significado.
* DESARROLLO
Las 4 consonantes pueden elgirse de 7C4 formas, las 3 vocales de 5C3 formnas y las
7 letras resultantes (4 consonantes, 3 vocales) pueden ordenarse entre sí de 7C7 =
7! formas. Entonces:
El número de palabras es 7C4×5C3×7! = 35×10×5040 = 1 764 000
164. En un almacén hay 12 artículos de los cuales 4 son defectuosos; si se extraen
2 artículos, calcule la probabilidad de que:
a) Ambos artículos son defectuosos,
b) Ambos artículos no son defectuosos
c) por lo menos uno es defectuoso
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
Ω = {(a1, a2)/ ai = artículo defectuoso o no defectuoso i = 1,2}
El número total de pares de artículos extraídos de 12 artículos es igual a
(12!/(2!×10!))= 66; esto indica que el espacio muestral tiene 66 elementos
simples.
a) Sea el evento A: los 2 artículos selecciones son defectuosos .El número total de
manerasde obtener 2 artículos defectuosos de un total de 4 es (4!/2!×2!) = 6 ,
luego A tiene 6 elementos.
Por tanto P(A) = (número de elementos de A)/(número de elementos de Ω) =
6/66 =1/11
b) Sea el evento B: los dos artículos seleccionados no son defectuosos. El número
de maneras de obtener 2 artículos no defectuosos de un total de 8 es (8!/(2! ×
6!)) = 28 , luego B tiene 28 elementos.
Entonces P(B) = 28/66 = 14/33
c) Sea el evento C: por lo menos uno de los dos artículos seleccionados es
defectuoso.Luego C es el evento complementario de B, esto es, C = BC
.
Por tanto P(C) = P(BC
) = 1 - P(B) = 1 – (14/33) = (19/33)
165. Consideremos el problema de seleccionar 2 candidatos para un cierto empleo
de un grupo de 5 personas, supongamos que los candidatos están clasificados de
acuerdo a su competencia como primero en competencia (1), segundo en

Semestre 2009 – I
competencia (2), tercero en competencia (3), cuarto en competencia (4) y quinto
en competencia (5). Estas categorias son de hecho desconocido por el empleador.
a) Cuál es la probabilidad de que el empleador seleccione al mejor y uno de los
dos peores candidatos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleador seleccione uno de los dos
mejores candidatos?
* DESARROLLO
El espacio muestral asociado a este experimento es el conjunto de pares ordenados
en la que la primera primera componente denota al primer candidato
seleccionado y la segunda componente al segundo candidato, esto es
Ω = {(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}
a) Sea el evento A: “el empleador selecciona el mejor y uno de los peores
candidatos “, luego los eventos simples favorables s A son:
A = {(1,4),(1,5)}
Luego, P(A) = (número de elementos de A)/(número de elementos de Ω) = 2/10
=1/5
b) Sea el evento B: “el empleador selecciona al menos uno de los 2 mejores
candidatos”.
Entonces, los eventos simples favorables a 6 son:

Semestre 2009 – I
B = {(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)}
Por tanto P(B) = (número de elementos de B)/(número de elementos de Ω) = 7/10
166. Ocho parejas de casados se encuentran en un salón .Si se escogen 2 personas
al azar, hallar la probabilidad de que:
a) sean esposos
b) una mujer y el otro hombre
Si se escogen 4 personas al azar, hallar la probabilidad de que
c) se escojan 2 parejas de casados
d) ninguna de las personas son casados
* DESARROLLO
Podemos escoger una pareja de 16 personas de
16C2 = 16!/(2!×14!) =120
maneras, así el número de elementos del espacio muestral asociado a este
experimento es 120.
a) Sea el evento A: pareja seleccionada son esposos. Como hay 8 parejas de
casados, entonces el número de elementos del evento A es 8, luego
P(A) = 8/120 = 1/15 = 0.067
b) Sea el evento B: pareja seleccionada está compuesta por una mujer y un

Semestre 2009 – I
un hombre, entonces es número de elementos de B es 8×8 =64 , Luego
P(B) = 64/120 =0.533
Podemos escoger 4 personas de 16 de C(16 a 4) =16!/(4!×12!)=1820 maneras,
entonces el espacio muestral asociado a este experimento tiene 1820
eventos simples.
c) Sea el evento C: las 2 parejas seleccionadas son casados, como hay 8 parejas
de casados, entonces el número de elementos del evento C es
8C2 = 8!/(2! ×6!) = 28
Luego, P(C) = 28/1820 = 0.0154
d) Sea el evento D: las 4 personas seleccionadas provienen de 4 parejas
diferentes.
seleccionar 4 personas que provienen de 4 parejas diferentes , consiste en
elegir 4 parejas distintas de los 8 y luego seleccionar una persona de cada una
de las 4 parejas seleccionadas.Así, el número total de maneras de escoger 4
personas que provienen de 4 parejas diferentes es:
8!/(4! ×4!) ×2×2×2×2 = 1120
esto es, el número de elementos del evento D es 1120.Luego tenemos :
P(D) = 1120/1820 =0.615
167. Tres alumnos A, B y C se matriculan al azar en el curso de Mátematica II que
tiene 4 secciones númeradas con 401,402,403, y 404, pudiendo matricularse los 3
alumnos en una misma sección.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos se matricule en 2 secciones?

Semestre 2009 – I
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos se matriculan en 2 secciones?
* DESARROLLO
Como los tres alumnos se pueden matricular en la misma sección, entonces el
alumno A puede matricularse en cualquiera de de las 4 secciones , de 4 formas
diferentes ; de manera similar el alumno B puede matricularse en cualquiera de las
4 secciones, de 4 formas distintas ; el alumno C también puede matricularse en
cualquiera de las 4 secciones, igualmente de 4 formas distintas. Luego el número
total de maneras en la que los 3 alumnos pueden matricularse en las 4 secciones
es:
4×4×4 = 64
Así el número de elementos del espaci muestral asociado a este experimento es 64
a) Sea el evento A: ninguno de los 3 alumnos se matriculanen la sección 404.
Decir que ninguno de los 3 alumnos se matriculan en la sección 404 es equivalente
a que los 3 alumnos se matriculan en las secciones restantes, y esto se puede hacer
de 33
= 27 maneras. Luego
P(A)= 27/64 = 0.422
b) Sea el evento B: ninguno de los 3 alumnos se matriculan en 2 secciones. Decir
que los alumnos no se matriculan en 2 secciones cualesquiera es equivalente a que
ellos se matriculan en las 2 secciones restantes que se puede elegir de C(4 a 2) =
6 y déspues de haber elegido estas secciones, el alumno A puede matricularse en
cualquiera de las 2 secciones elegidas, de 2 maneras distintas ; similarmente el
alumno B puede matricularse de 2 maneras distintas y lo mismo el alumno C

Semestre 2009 – I
puede matricularse de 2 maneras distintas. Luego el número total de maneras en la
que los 3 alumnos pueden matricularse en las 2 secciones elegidas es
6×23
= 48
Por tanto,
P(B) = 48/64 =0.75
169. Un hombre tiene 20 llaves de las cuales, exactamente una abre la cerradura ;
él prueba las llaves una en cada vez, escogiendo al azar en cada tentativa una de
las llaves que no ha sido probada. Determinar la probabilidad que la llave que abre
la cerradura sea escogida en la sexta tentativa.
* DESARROLLO
Sea el evento A: el hombre selecciona la llave correcta en la sexta tentativa.
Entonces se tiene:
1ra llave no habre la cerradura 19/20
2da llave no abre 18/19
3ra llave no abre 17/18
4ta llave no abre 16/17
5ta lave no abre 15/16
6ta llave abre 1/15
P(A) = (19/20) × (18/19) × (17/18) × (16/17) × (15/16) × (1/15) = 1/20

Semestre 2009 – I
170. Si Edwin tiene 3 billetes de una loteria que vendió 1,000 billetes y existen 5
premios. ¿Cuál es la probabilidad de que Edwin gane por lo menos un premio?.
* DESARROLLO
El experimento consiste en seleccionar 5 billetes premiados de 1,000. Entonces el
númerop de elmentos del espacio mestral asociado a este experimento es
C(1000 a 5) = 8.2502912 × 1012
Sean los eventos A: Edwin gana por lo menos unpremio
AC
:Edwin no gana ningún premio
Sí Edwin no gana ningún premio, entonces los 5 billetes premiados se escogerán
de 1,000 – 3 = 997 billetes y esto se pude hacer de
C(997 a 5)= 8.1270318× 1012
maneras
Luego P(AC
) = C(997 a 5)/C(1000 a 5) = 0.985
Por tanto P(A) = 1 – 0.985 = 0.015
171. Cierta familia tiene 3 hijos, y sabemos que al menos deos de ellos son niñas.
Suponiendo que los nacimientos de niños y niñas son igualmente probables. y
suponiendo además que el sexo del hijo mayor no afecta en ningún modo al sexo
del hijo menor, calcule la probabilidad de que la familia tenga 3 niñas.
* DESARROLLO
Ω = {MMM, MMH, HMM, MHH, HMH, HHM,HHH}
donde M= mujer y H= hombre
Sean los eventos A: la familia tiene 3 niñas

Semestre 2009 – I
B: la familia tiene por lo menos dos niñas
Luego los elementos de los eventos A y B son:
A={MMM} , B={MMM, MMH,MHM, HMM } , A3B = {MMM}
Por lo tanto, la probabilidad condicional de que la familia tenga 3 niñas desde que
tiene por lo menos dos niñas será:
P(A/B) = P(A3B) = 1/8 = 1/4
P(B) 4/8
172. La siguiente tabla presenta la clasificación de 356 estudiantes que la
Universidad de Lima, de acuerdo a su especialidad y precedencia.
Especialidad
Procedencia
Ingenieria
Industrial
Administració
n
Economía Derecho Total
Limeño(L) 100 40 50 20 210
Provinciano(P1 ) 20 60 50 10 140
Extrangero(Q) 5 0 1 0 6
Total 125 100 101 30 356
Sea el evento E: elegir al azar un estudiante del grupo .
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante no pertenezca a la facultad
Industrial y no sea extranjero?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante no pertenezca a la Facultad de
Ingenieria Industrial dado que es limeño?

Semestre 2009 – I
c) ¿Cuál es la probabilidad deque el estudiante sea de la Facultad de Economía
dado que es provinciano?
* DESARROLLO
Sean los eventos
I: El estudiante elegido pertenece a la facultad de Ing. Industrial
E: El estudiante elegido pertenece a la Facultad de Economía
A: El estudiante elegido pertenece a la facultad de Administración
L: El estudiante elegido es limeño
P1: El estudiante elegido es proivinciano
Q: El estudiante elegido es extranjero
Luego, de acuerdo a la tabla tenemos
P(1) = 125/356 , P(E) = 101/356 , P(A) = 100/356 , P(L) = 210/356
P[P1] = 140/356 , P(Q) = 6/356
Por tanto, las probabilidades pedidas son:
a) P[IC
3 QC
] = 1 – P[(IC
3 QC
)C
] =1 – P(I 4
Q)
= 1 – { P(1) + P(Q) - P(I 3 Q) }
= 1 – {(125/356) + (6/356) – (5/356)}
b) P[IC/L] = 1 – P[I/L] = 1 – [P(I 3 L)/P(L)]
= 1 – 100/356 = 1 – (100/210) = 11/21 = 0.524
210/356
c) P[(E4
A)/P1] = P(E/P1) + P(A/P1) – P[E 3 A/P1]
0

Semestre 2009 – I
= P(E3P1 ) + P(A3P1 ) = 50/140 + 60/140 = 0.785
P[P1 ] P[P1]
173. Uno de los clubes universitarios femeninos está compuesto por las siguientes
asociadas : 15 rubias de ojos azules, 8 rubias de ojos castaños , 9 morenas de ojos
azules, 12 morenas de ojos castaños , 4 pelirrojas de ojos azules y 2 pelirrojas de
ojos castaños. Supongamos que usted ha conseguido una cita con una de las
chicas, sin conocerla, y está lloviendo cuando se encuentra usted con ella. Su
cabello está completamente cubierto , pero sin embargo sus chispeantes ojos
azules le dan la bienvenida ,¿cuál es la probabilidad de que sea rubia?
* DESARROLLO
La información contenida en el enunciado de este problema, lo resumimos como
sigue:
Color de ojos Rubia Morena Pelirroja Total
Ojos azules 15 9 4 28
Ojos castaños 8 12 2 22
Total 23 21 6 50
Sean los eventos A: la chica es rubia
B: la chica es de ojos azules
Luego tenemos
P(A/B) = P(A 3 B) = 15/50 = 0.536
P(B) 28/50

Semestre 2009 – I
175. Una urna contiene 10 bolas blancas, 5 bolas amarillas y 10 negras. Una bola
es extraída al azar de la urna, y luego se observa que no es bola negra. ¿Cuál es la
probabilidad de que sea amarilla?
* DESARROLLO
Sean los eventos
A: la bola seleccionada es amarilla
B: la bola seleccionada es negra.
Luego tenemos
P(A/BC ) = P(A3 BC) = P(A) = 5/25 = 1
P(BC ) P(BC ) 15/25 3
177. Una urna contiene 20 bolas idénticas de las cuales 8 son negras 7 rojas y 5
blancas. Se extraen 4 bolas de la urna sin reemplazamiento. Encontrar la
probabilidad de que la primera bola es negra, la segunda roja, la tercera blanca y la
cuarta negra.
* DESARROLLO
Sean los eventos
A1: La primera bola seleccionada es negra

Semestre 2009 – I
A2: La segunda bola seleccionada es roja—
A3: La tercera bola seleccionada es blanca
A4: La cuarta bola seleccionada es negra
Entonces se tiene:
P(A1 3 A2 3 A3 3 A4) = P(A1
) P(A2/A1) P(A2/A1 3 A2) P( A4/A1 3 A2 3 A3)
usando los datos del problema tenemos
P(A1) = 8/20, P(A2/A1) = 7/19 , P(A3/A1 3 A2) = 5/18, P(A4/A1 3 A2 3 A3) =7/17
Así la probabilidad requerida es
P(A1 3A23 A3 3 A4) = (8/20)(7/19)(5/18)(7/17) = 0.01684
178. María está indecisa con relación a que sí se matricula en el curso de
Economía I o el curso de Química I. Aunque ella realmente prefiere matricularse
en Química, estima que su probabilidad de aprobar el curso de Economía I es ½,
mientras que su probabilidad de aprobar el curso de Química I es 1/3. Si María
decide matricularse en uno de estos cursos mediante el lanzamiento de una
moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que ella apruebe el curso de Química?
* DESARROLLO
Sean los eventos
A: María se matricula en el curso de Química

Semestre 2009 – I
B: María aprueba el curso de Química
Entonces la probabilidad deseada es P(A3B), y se calcula usando el teorema 10 de
la siguiente manera:
P(A3B) = P(A) P(B/A) = (1/2)(1/3) = 1/6
179. Supongamos que se lanza un dado 5 veces. Determinar la probabilidad de
que no aparezca ningún seis en los cinco lanzamientos.
* DESARROLLO
Sean los eventos
Ei: no aparece seis en el lanzamiento número i , i=1,2,3,4,5.
E: no aparece ningún seis en los cinco lanzamientos
supongamos que los 5 lanzamientos son independientes unos de otros , esto es,
eventos Ei
i = 1,2,3,4,5 son independientes . Además
E = E1 3 E2 3 E3
Luego tenemos
P(E) = P(E1 3 E2 3 E3 3 E4 3 E5) = P(E1).P(E2).....P(E5) = (5/6)5.
180. Sean A, B y C eventos mutuamente independientes tal que

Semestre 2009 – I
P(A4
B) = 1/12 , P(A4
C) = 1/15 y P(AC
3BC
3CC
) = 2/5
Hallar (A 4
B 4
C).
* DESARROLLO
Como los eventos A, B y C son mutuamente excluyentes independientes, tambien
lo son AC, BC, CC. Luego tenemos
a) P(A3B) = P(A)P(B) = 1/12 (1)
b) P(A3C) = P(A)P(C) = 1/15 (2)
c) 2/5 = P(AC 3 BC 3 CC) = P(AC) P(BC) P(CC) = (1 – P(A))(1 – P(B)(1 – P(C))
=13/12 – P(B) – P(A) – 13/12 P(C) + P(B) P(C) + 1/15
de donde se obtiene
P(B) + P(A) + 13/12P(C) – P(B)P(C) =3/4 (3)
Reemplazando
P(B) = 1/12P(A) y P(C) = 1/(15P(A) en (3) y realizando operaciones se
obtiene:
180[P(A)]3 – 135[P(A)]2 + 28P(A) – 1 = 0
Resolviendo la ecuación de tercer grado en P(A) obtenemos
P(A) = 1/3 o P(A) = 0.372 o P(A) = 0.045
Tomando P(A) = 1/3 tenemos P(B) =1/4. P(C) = 1/5 y

Semestre 2009 – I
P(A4
B4
C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A3C) – P(B3C) + P(A3B3C)
= P(A) + P(B) + P(C) + P(A) P(B) – P(A)P(C) – P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)
= 1/3 + 1/4 + 1/5 –1/12 – 1/15 – 1/20 + 1/60 = 3/5
De la misma manera podemos calcular P(A4
B4
C) para los otros valores de P(A).
181. La probabilidad de que un hombre viva 10 años más es 1/4 y la probabilidad
de que su esposa viva 10 años más es 1/3 . Hallar la probabilidad de que:
a) ambos vivan 10 años más
b) al menos uno viva al cabo de 10 años
c) ninguno viva al cabo de 10 años
d) solamente la esposa viva al cabo de 10 años
* DESARROLLO
Sean los eventos
A: el hombre vive 10 años más
B: la esposa vive 10 años más
Los eventos A y B son independientes, pues los años que vive el hombre no
depende de lo que viva su esposa. Luego tenemos:
a) P(A3B) = P(A)P(B) = 1/4 . 1/3 = 1/12

Semestre 2009 – I
b) P(A4
B) = P[a1 menos uno viva al cabo de 10 años]
= P(A) + P(B) - P(A3B)
= P(A) + P(B) - P(A)P(B) = 1/4 + 1/3 – 1/12 = 1/2
c) P(AC
3BC
) = P[ de que ninguno viva al cabo de 10años ]
= P(AC
)P(BC
) = 3/4 . 2/3 = 1/2
d) P(AC
3B) = P(AC
)P(B) = 3/4×1/3×1/4
182. Se conoce que un paciente responde a un tratamiento de una enfermedad con
probabilidad 0.8. Si 3 pacientes son tratados en una manera independiente,
encontrar la probabilidad que al menos uno responda al tratamiento.
* DESARROLLO
Sean los eventos
A: al menos uno del los pacientes responde al tratamiento
B1: el primer paciente no responde al tratamiento
B2: el segundo paciente no responde al tratamiento
B3: el tercer paciente no responde al tratamiento
AC
: ningún paciente responde al tratamiento
Entonces se tiene que AC
= B1 3 B2 3 B3

Semestre 2009 – I
Por tanto.
P(A) = 1 – P(B13B23B3)
= 1 – P(B1).P(B2).P(B3) = 1- (0.2)3
= 0.992
183. Al observar una linea de servicio de una clinica local vemos que la
probabilidad de una nueva llegada para un caso de emergencia es p. Encontrar la
probabilidad que el K-ésimo paciente es el primer caso de emergencia(suponga
que las condiciones de llegada de pacientes representan eventos independientes).
* DESARROLLO
Sean los eventos
Ei: el i-ésimo paciente es el primer caso de emergencia, i = 1,2,.....
Ai: i-ésimo paciente que llega no corresponde a un caso de emergencia i = 1,2,....
Luego tenemos Ek =A13A2 ..... Ak-13 (cAk)
Así la probabilidad requerida es:
P(Ek) =P[A13A23..............3Ak-13(cAk)
= P(A1)P(A2)......P(Ak-1)×P(cAk) = (1 – P)k-1
×P

Semestre 2009 – I
185. Un experimento consiste en una sucesión infinita de ensayos independientes.
Cada ensayo resulta en un éxito con probabilidad p y en un fracaso con
probabilidad 1-p.
a)¿Cuál es la probabilidad que al menos ocurra un éxito en los primeros n
ensayos?
b)¿Cuál es la probabilidad de que exactamente k éxitos ocurran en los primeros n
ensayos?
c)¿Cuál es la probabilidad de que todos los ensayos resulten en éxitos ?
* DESARROLLO
a) A fin de calcular la probabilidad de que al menos ocurra un éxito en los
primeros n ensayos, es conveniente primero calcular la probabilidad del evento
complementario ,que es, no no ocurre ningún éxito en los primeros n ensayos
Sea el evento Fi: ocurre fracaso en el i-ésimo ensayo.
A: ocurre al menos un éxito en los primeros n ensayos . Entonces la
probabilidad de que ocurra ningún éxito en los primeros n ensayos es
P[Fi3F23.......3Fn] = P(F1)....P(Fn) (Por independencia de eventos)
= (1 - P)n
Luego :
P(A) = 1 – P(AC
) = 1 – (1 – P)n
b) Sea el evento Ei: ocurre éxito en el i – ésimo ensayo.

Semestre 2009 – I
Entonces una sucesión particular de los primeros n resultados conteniendo k
exitos y
n = k fracasos es
{ Ei......,Ek, Fi, F2....., Fn-k}
Por independencia de ensayos, la probabilidad de ocurrencia de esta sucesión es
P[E13E23.....3Ek3F13....3Fn-k] = Pk
(1-p)n-k
Como hay kCn = n!/k!(n-k)! de tales sucesiones, entonces la probabilidad pedida
es:
P[de exactamente k éxitos en los primeros n ensayos] = (nCk)Pk
(1-p)n-k
(c)Por independencia de eventos, la probabilidad de que todos los primeros n
ensayos sean éxitos es dado por
P[E13.....3En] = Pn
Por tanto, la probabilidad pedida P[∞3i-1 Ei] es dado por
P[ ∞3i=1 Ei ] = limn∞ P[ n3i=1 Ei ] = limn∞ pn =
= 0 si p<1
1 si p = 1

Semestre 2009 – I
186. Consideremos los datos de la siguiente tabla .
Urnas
Colores
1 2 3
Negras
Blancas
Rojas
3
1
5
4
3
2
2
4
3
Total 9 9 9
Sea el experimento E: escoger una urna al azar y de ella extraer una bola al
azar.¿Cuál es la probabilidad de escoger la urna 3, sabiendo que la bola extraida
es blanca?
* DESARROLLO
Sean los eventos
B: la bola extraida es blanca
B1: la urna elegida es la urna 1

Semestre 2009 – I
4
2 : la urna elegida es la urna 2
4
3: la urna elegida es la urna 3
De acuerdo a los datos de la tabla dada tenemos
P(4
1) = 1/3 , P(4
2) = 1/3 ; P(4
3) =1/3
P(B/4
1) = 1/9, P(B/4
2) = 3/9 , P(B/4
3) = 4/9
Aplicando la formula de Bayes, la probabilidad pedida es:
P(4
3/B) = P(4
3 3 B)/P(B)
= P(4
3)P(B/U3)
P(U1)P(B/U1) + P(U2)P(B/4
2) + P(4
3)(P(B/4
3)
= (1/3)×(4/9) = 1/2 = 0.5
1/3×(1/9) + 1/3(3/9) + 1/3×(4/9)
187. El dado A tiene 4 caras rojas y 2 caras blancas, y el dado B tiene 2 caras
rojas y 4 caras blancas. Una moneda es lanzada una sola vez. Si el resultado es
cara se usa el dado A para continuar el juego; si sale sello se debe usar el dado B.
a) Hallar la probabilidad de que resulte cara roja en el primer lanzamiento.
b) Dado que en los dos primeros lanzamientos resultan caras rojas .¿Cuál es la
probabilidad de obtener cara roja en el tercer lanzamiento?

Semestre 2009 – I
c) Si lo primeros 3 lanzamientos resultan en caras rojas .¿Cuál es la probabilidad
de que se éste utilizando el dado A?
* DESARROLLO
Sean los eventos
C: sale cara en la moneda
S: sale sello en la moneda
R: Sale cara roja en el dado
B: sale cara blanca en el dado
a) Sea el evento D1 : sale cara roja en el primer lanzamiento del dado. El diagrama
del árbol de probabilidad que que visualiza este problema es:
Se lanza lado A
R
C P(R/C) = 4/6
P(C) = 1/2 B
R
P(S) =1/2 S P(R/S) = 2/6
Se lanza lado B B

Semestre 2009 – I
En este caso el evento D1 está formado por la unión de las CR y SR, esto es D1 =
CR 4
SR
y como estos eventos son mutuamente excluyente tenemos
P(D1) = P(CR) + P(SR) = P(C) P(R/C) + P(S) P(R/S) = 1/2×(4/6) + 1/2×(2/6) = ½
b) Sean los eventos
D2: Sale cara roja en el segundo lanzamiento del dado
D3: Sale cara roja en el tercer lanzamiento del dado
De acuerdo al enunciado del problema se quiere calcular P(D3/D1 y D2).
La ocurrencia simultánea de los eventos D1 y D2 es:
D1D2 = CRR 4
SRR
Luego P(D1D2) = P(C) P(R/C) P(R/C) + P(S) P(R/S) P(R/S)
= 1/2×(4/6)×(4/6) + 1/2×(2/6)×(2/6) = 5/18
En forma análoga, la ocurrencia simultánea de los eventos D1, D2 y D3 es
D1D2D3 = CRRR 4
SRRR
Luego se tiene
P(D1D2D3 ) = P(C) P(R/C) P(R/C) P(R/C) + P(S) P(R/S) P(R/S) P(R/S)
= 1/2(4/6)(4/6)(4/6) + 1/2(2/6)(2/6)(2/6) = 3/18

Semestre 2009 – I
Por tanto.
P(D3/D1 y D2) = P(D1D2D3)/P(D1D2) = (3/18)/(5/18) = 3/5
c) Sea el evento D: se utilizó el dado A en el juego, entonces tenemos:
P(D/D1D2D3) = P(DD1D2D3)/P(D1D2D3) =
[1/2(1/4)(4/6)(4/6)]/(3/18) = 8/9
189. Al responder una pregunta de alternativas múltiples un estudiante o bien
conoce la respuesta o él reponde adivinando . Sea p la probabilidad de que el
estudiante conoce la respuesta y 1-p la probabilidad de que responda adivinando.
Supongamos que el estudiante que responde adivinando la pregunta tiene una
probabilidad de 1/m de responder correcta, donde m es el número de alternativas
de la pregunta. ¿Cuál es la probabilidad condicional de que el estudiante conoce
la respuestra de la pregunta, dado que el estudiante responde correctamente?
* DESARROLLO
Sean los eventos
A: el estudiante responde la pregunta correctamente
B: el estudiante realmente conoce la respuesta
BC
: el estudinate no conoce la respuesta

Semestre 2009 – I
Estos eventos son representados por el sgte diagrama de Venn
B B BC
A
De la figura tenemos
A = (A3B) 4
(A3BC
)
Aplicando la formula de Bayes se tiene:
P(B/A) = P(B3A)/P(A) = P(B) P(A/B)/ P(B) P(A/B) + P(BC
) P(A/BC
)
= p.1/[p + 1/m(1 – p)] = mp/[1 + (m – 1)p]
190. Un banco ha estimado, por experiencias anteriores, que la probabilidad de
que una persona falle en los pagos de un préstamo personal es de 0.2. También ha
estimado que el 30% de los préstamos no pagados a tiempo se han hecho para
financiar viajes de vacaciones y el 70% de los prestamos pagados a tiempo se han
hecho para financiar viajes de vacaciones . Se pide calcular.
a) Probabilidad de que un préstamo que se haya hecho para financiar un viaje de
vacaciones no se paque a tiempo.

Semestre 2009 – I
b) Probabilidad de que si el préstamo para propósitos distintos a viajes de
vacaciones sea pagado a tiempo.
* DESARROLLO
A: la persona falla en los pagos de su préstamo personal
AC: la persona no falla en los pagos de su préstamo personal
B: la persona recibe un préstamo para financiar viajes de vacaciones
De acuerdo al enunciado tenemos:
P(A) = 0.2 , P(AC
) = 0.8
P(B/A) = 0.3 ; P(B/AC
) = 0.7 y A U AC
= Ω
a) Aplicando la formula de Bayes, tenemos
P(A/B) = [(0.2)(0.3)]/[(0.2)(0.3) + (0.8)(0.7) = 0.097
b) En este caso se desea calcular P(AC
/BC
), según las propiedades de probabilidad
condicional tenemos
P(BC
/AC
) = 1 – P(B/AC
) = 1 – 0.7 =0.3
P(BC
/A) =1 – P(B/A) = 1 – 0.3 = 0.7
Por tanto , P(AC
/BC
) = [(0.8)(0.3)]/[(0.2)(0.7) + (0.8)(0.3)] = 0.632
192. Una compañía de Seguros opina que la población limeña puede ser dividida
en dos clases: aquellas personas propensos a accidentes y aquellos que no son

Semestre 2009 – I
propensos. Sus estadísticas muestran que una persona propenso a accidente tendrá
un accidente alguna vez dentro de un periodo de un año con probabilidad 0.4,
mientras sus probabilidades decrecen a 0.2 para una persona que no es propenso a
accidentes. Si suponemos que 30% de la población limeña es propenso a
accidentes, se pide:
a) Calcular la probabilidad de que una persona que compra una nueva póliza de
seguros tiene un accidente dentro del año de vigencia de su póliza.
b) Suponiendo que el nuevo poseedor de una póliza de seguros tiene un accidente
dentro del año de vigencia de su póliza, ¿cuál es la probabilidad de que él este
propenso a un accidente?.
* DESARROLLO
Sean los eventos
B: la persona que tiene una póliza de seguros tiene un accidente dentro del año de
vigencia de su póliza.
A: La persona que tiene una póliza de seguros es propenso a accidentes
a) De acuerdo al enunciado del problema tenemos:
i) P(A) = 0.3 , P(AC
) = 0.7 , P(B/A) = 0.4 , P(B/AC
) = 0.2
ii) B = (B3A) 4
(B3AC
)
Aplicando el teorema de probabilidad total, la probabilidad total, la
probabilidad pedida es: P(B) = P(A) P(B/A) + P(AC
) P(B/AC
)
= (0.3)(0.4) + (0.7)(0.2) = 0.26

Semestre 2009 – I
b) La probabilidad pedida es P(A/B)
P(A/B) = P(A3B)/P(B) = [P(A) P(B/A)]/P(B) = [(0.3)(0.4)]/0.26 = 0.462
193. Supongamos que hay 5 personas en una habitación. ¿Cuál es la probabilidad
de que por lo menos 2 personas tengan cumpleaños en común?
* DESARROLLO
Sean los eventos
E: por lo menos 2 personas tienen cumpleaños en común.
EC
: todas las personas tienen cumpleaños en diferentes días del año.
Supongamos que los nacimientos de personas son independientes unos de otros. El
número total de maneras de que las 5 personas puedan celebrar sus cumpleaños en
cualquier día del año es (365)5
El número total de maneras de que las 5 personas tienen cumpleaños en diferentes
días del año es
(365!)/(365-5)! = 365!/360!
Por tanto, P(E) = 1 – P(EC
) = 1 – [365!/(360!×(365)5
)
= 1 – 0.9729 = 0.0271

Semestre 2009 – I
195. Una caja contiene 9 etiquetas numeradas consecutivamente del 1 al 9 si se
extraen 2 de estas etiquetas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus
numeros sean 10?
* DESARROLLO
~ ={(1,2), (1,3),..............(2, 1)..(2, 3)...........(8, 9)}
H = pares ordenados de numeros que sumados dan 10
H = {(1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6)}
P(H) = 4/(9/2) = 4/32 = 1/9
197. Supóngase un juego con un dado. En este juego el jugador gana $20 si
obtiene 2, $40 si obtiene 4, pierde $30 si obtiene 6; en tanto que ni pierde ni gana
si obtiene otro resultado. Hallar la suma esperada de dinero ganado.
* DESARROLLO
Sea X la variable aleatoria que representa la cantidad de dinero ganada en
cualquier lanzamiento . Las posibles cantidades de dinero ganado cuando el dado
resulta 1,2,...., 6 son x1, x2,....,x6 respectivamente con probabilidades F(x1),
F(x2),.....,F(x6). Así el valor esperado o esperanza es
E(X) = (0)(1/6) + (20)(1/6) + (0)(1/6) + (40)(1/6) + (0)(1/6) + (-30)(1/6) = 5
se deduce que el jugador puede esperar una ganancia de $5. Por tanto en un juego
honrado es de esperarse pagar $5 por jugar.

Semestre 2009 – I
198. En una loteria hay 200 premios de $150, 20 premios de $750 y 5 premios de
$3000 Suponer que se colocan a la venta 10 000 boletos.¿Cuál es le precio justo
que se debe pagar por un boleto.
* DESARROLLO
x(pesos) 150 750 3000 0
P(X = x) 0.02 0.002 0.0005 0.9775
E(X) = (150)(0.02) + 750(0.002) + 3000(0.0005) + (0)(0.9775) = 6.00
El precio justo para pagar es 6 pesos.
199.Hallar la esperanza de la suma de puntos al lanzar un par de dados honrados.
* DESARROLLO
Sean X, Y los puntos que aparecen sobre los dos dados. Tenemos
E(X) = E(Y) = 1(1/6) + 2(1/6) + .....+ 6(1/6) = 7/2
Entonces por E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 7
201. Una empresa presta servicios de transporte público con 4 líneas al distrito de
Breña , de modo que : el 20% de los omnibus cubren el servicio de la linea 1, el
40% cubren el servicio de la linea 2, el 30% cubren el servicio de la linea 3 y el

Semestre 2009 – I
10% cubren el servicio de la linea 4. Se sabe la probabilidad de que, diariamente,
un ómnibus se averíe es :
Del 3% en la linea 1 Del 4% en la linea 3
Del 2% en la linea 2 Del 1% en la linea 4
Se pide:
a) La probabilidad de que, en un día, un omnibús sufra avería
b) Sabiendo que un ómnibus ha sufrido una avería en un día determinado,
¿Cuál es la probabilidad de que preste servicio en la linea 3?
* DESARROLLO
a) Sean los eventos:
A: Un ómnibus sufre avería en un día determinado, cualquiera que sea la línea en
la que presta el servicio.
B1:
Un ómnibus presta servicio en la linea i, i = 1, 2 , 3, 4
Tenemos:
i)B1 4
B2 4
B3 = Ω (ómnibus que prestan servicios en el distrito de Breña)
ii) Bi 3 Bj = φ , ∀i ≠ j, esto es, si un ómnibus presta servicios en la línea
i no lo hace en la línea j.

Semestre 2009 – I
iii) (A3B1) 4
(A4
B2) 4
(AUB3) 4
(A4
B4)
Luego aplicando el teorema de probabilidad total, se tiene
P(A) = P(B1) P(A/B1) + P(B2) P(A/B2) + P(B3) P(A/B3) + P(B4) P(A/B4)
Por otro lado, de acuerdo al enunciado del problema tenemos :
P(B1) = 0.02 , P(B2) = 0.04 , P(B3) = 0.03 , P(B4) = 0.1
P(A/B1) = 0.03 , P(A/B2) = 0.02 , P(A/B3) = 0.04 , P(A/B4) = 0.01
Por tanto,
P(A) = (0.2)(0.03) + (0.4)(0.02) + (0.3)(0.04) + (0.1)(0.01) = 0.027
b) P(B3/A) = [P(B3) P(A/B3)] / [ i=1Σ4
P(B1) P(A/B1) ] = [(0.3)(0.04)] / 0.027 =
0.444
202.En Lima, la probabilidad que llueva el día primero de Julio es de 0.5. y la
probabilidad que llueva los dos primeros días es 0.40. Dado que llovió el día
primero Cual es la probabilidad que llueva el día siguiente?
* DESARROLLO
A: “llovió el primer día de Julio” B: “Llueve el segundo día de Julio”
P[A] + 0.50 y P[A∩B] = 0.40
Usando la definición de probabilidad condicional se tiene:

Semestre 2009 – I
P[A/B]= P[A∩B] = 0.40 = 0.80
P[A] 0.50
203. En una Universidad de 10000 estudiantes y 1000 profesores, el 10% de
profesores son de izquierda y el 90% de derecha, mientras que en los estudiantes
este porcentaje es al contrario. Se selecciona al azar un miembro de la Universidad
y se encuentra que es de derecha, ¿Cuál es la probabilidad que se haya
seleccionado un estudiante? ¿Un profesor?.
* DESARROLLO
El espacio muestral de toda la comunidad universitaria es de 10000 + 1000 = 11000
D: Un Integrante de derecha. E: El integrante es un estudiante.
# de estudiantes de derecha = 1000 # de profesores de derecha = 900
a) P[E/D] = P[ED]
P[D]

Semestre 2009 – I
Luego:
1000
11000
1900
11000
= 10
19
b) P[E/D] = P[ED]
P[D]
Luego:
900
11000
1900
11000
= 9
19
204.Cierta Universidad en su información en su primer año de funcionamiento
tiene tres curricula: Ciencia, Administración e Ingeniería.
Se selecciona un estudiante aleatoriamente del grupo. Si se sabe que el estudiante
es hombre, ¿Cuál es la probabilidad de que este en Ciencias? ¿Cuál es la
probabilidad que este en Ingeniería? Cuál es la probabilidad que el estudiante este
matriculado Administración?. Si se sabe que el estudiante es mujer ¿Cuál es la
probabilidad de que este en Ciencias? ¿Cuál es la probabilidad que este en

Semestre 2009 – I
Ingeniería? Cuál es la probabilidad que el estudiante este matriculado
Administración?.
La clasificación de los alumnos por su sexo, es como sigue:
Ciencia Administración Ingeniería Total
Hombres 250 350 200 800
Mujeres 100 50 50 200
Total 350 400 250 1000
* DESARROLLO
Definimos los siguientes eventos:
B1: “El estudiante seleccionado es hombre”
B2: “El estudiante seleccionado es mujer”
A1: “El estudiante sigue ciencias”
A2: “El estudiante está matriculado es administración”
A3: “El estudiante está matriculado en Administración”
P[A1/B1] = 250 = 5
800 16
P[A2/B1] = 350 = 7
800 16
P[A3/B1] = 20 = 1
800 4
P[A1/B2] = 100 = 1
200 2
P[A2/B2] = 50 = 1
200 4
P[A3/B2] = 50 1

Semestre 2009 – I
200 4
205.En una Universidad el 70% de los estudiantes son de ciencias y el 30% de
letras; de los estudiantes de ciencias el 60% son varones y de los de letras son
varones el 49%. Si se elige aleatoriamente un estudiante, calcular la probabilidad
que: ¿Sea un estudiante varón.? ¿Sea un estudiante varón, Si es de ciencias? ¿Sea
un estudiante de ciencias, si es varón? ¿Sea un estudiante de ciencias y varón?.
* DESARROLLO
A: “Estudiante elegido es de ciencias”. B: “El estudiante elegido es varón”.
Varones Mujeres Total
Ciencias 42% 28% 70%
Letras 12% 18% 30%
Total 54% 46% 100%
P[B] = 0.54
P[A/B]= P[A∩B] = 0.42 = 3
P[A] 0.70 5
P[A/B]= P[A∩B] = 0.42 = 7
P[B] 0.54 9
P[A∩B] = 0.42
206.Un hombre tiene dos carros viejos, a y b; ellos tienen problemas para arrancar
en las mañanas frías. La probabilidad que ambos arrancan es de 0.1; la
probabilidad que arranca b y a no es de 0.2; la probabilidad de que ninguno

Semestre 2009 – I
arranca es de 0.4. Hallar la probabilidad que: ¿El carro a arranque? ¿Arranque a,
dado que arranco b? ¿Arranca b, dado que a no arranco?.
* DESARROLLO
A: “El carro a arranca”.
B: “El carro b arranca”
P[A∩B] = 0.1
P[A∩B] = 0.2
P[A∩B] = 0.4
A = (A∩B) ∩ (A∩B)
P[A] = P[(A∩B) ∪ (A∩B)]
P[(A∩B) ∪ (A∩B) ]
0.2 + 0.4 = 0.6
Ya que los eventos A∩B y A∩B son mutuamente excluyentes Luego:
P[A] = 1 - P[A]
1 - 0.6 = 0.4
A B
A∩B
A

Semestre 2009 – I
Debemos calcular antes P[B]. Observe que B = (A∩B) ∪ (A∩B), P[B] = (A∩B) ∪ (A∩B) =
(A∩B) + (A∩B) = 0.1 + 0.2 = 0.3 ya que los eventos A∩B y A∩B son mutuamente
excluyentes. Entonces:
P[A/B]= P[A∩B] = 0.1 = 1
P[B] 0.3 3
P[B/A]= P[A∩B] = 0.2 = 1
P[A] 0.6 = 3
207. De una urna que contiene 12 bolas, de las cuales ocho son blancas, se extrae
una muestra de tamaño cuatro, con reemplazo (sin reemplazo). Encuentre la
probabilidad de que la bola observada en la tercera extracción haya sido blanca,
dado que la muestra contiene exactamente tres bolas blancas.
* DESARROLLO
A: “La muestra contiene exactamente tres bolas”
B: “La bola extraída en la tercera extracción haya sido blanca”

Semestre 2009 – I
P[A/B]= P[A∩B]
P[A]
En el caso de muestreo de reemplazo…
n = N(Ω) = (12)4
NA = 4C3 x 83
x 4, entonces:
P[A] = 4C3 x 83
x 4,
1 (12)4
Los eventos de A∩B son de la forma bbbb’
Entonces varían las dos blancas y la diferencia de color que ocurre de 3C2 formas. Luego:
A∩B = n
3C2 x 83
x 4, entonces:
P[A∩B] = 3C2 x 83
x 4
(12)4
por lo tanto,
3C2 x 83
x 4
P[A/B]= (12)4
= 3C2 = 3
4C3 x 83
x 4 4C3 4
(12)4
En el caso del muestreo sin reemplazo…
n = N(Ω) = 12P4 y nA = 4C3 x 8P3 x 4, entonces:
fijo

Semestre 2009 – I
P[A] = 4C3 x 8P3 x 4
12P4
Los elementos de A∩B tienen la forma bbbb’, es decir 3C2 formas de variar. Es decir nA∩B=
4C3 x 8P3 x 4
Luego:
P[A∩B] = 3C2 x 8P3 x 4
12P4
por lo tanto:
3C2 x 8P3 x 4
P[A/B]= 12P4 = 3C2 = 3
4C3 x 8P3 x 4 4C3 4
12P4
208.La probabilidad que un edificio termine a tiempo es de 17/20, la probabilidad
que no haya huelga es 3/4, y la probabilidad que la construcción se termine a
tiempo dado que no hubo huelga es de 14/15; la probabilidad que haya huelga y no
se termine la construcción a tiempo es de 1/10 ¿Cuál es la probabilidad que?: La
construcción se termine a tiempo y no haya huelga; No haya huelga dado que la
construcción se termino a tiempo; La construcción no se termina a tiempo si hubo
huelga; La construcción no se termina a tiempo si no hubo huelga.
* DESARROLLO
A: “La construcción se termina a tiempo”
B: “No hay huelga”
fijo

Semestre 2009 – I
Del enunciado del problema tenemos:
P[A] = 17 P[B] = 3
20 4
P[A/B]= 14 P[A∩B] = 1
15 10
a) P[A∩B]
Sabemos que: P[A/B]= P[A∩B], donde 14 = P[A∩B]
P[A] 15 3 / 4
Luego:
P[A∩B] = 3 x 14 = 7
4 15 10
P[A/B]= P[A∩B] = 7/10 = 14
P[A] 17/20 17
P[A/B] = P[A∩B] = 1/10 = 4 = 2
P[B] 1 - ¾ 10 5
P[A/B] = P[A∩B] = P[B] - P[A∩B] = 1 - P[A∩B]
P[B] P[B] P[B]
1 - P[A/B] = 1 - 14 = 1
15 15

Semestre 2009 – I
209. Se retira una carta roja de una baraja de 52 cartas; Se extraen 13 cartas.
Calcular la probabilidad de que todas sean de un mismo color, ellas sean negras.
* DESARROLLO
Como se retira una carta roja, entonces queda 51 cartas, (25 rojas y 26 negras) por lo tanto, el
espacio muestral tiene 51C13 elementos:
R: “Obtener las cartas rojas”
N: “Obtener las cartas negras”
E: “Las trece cartas son del mismo color”
E = R∪N, se pide:
P[N/E] = P[E∩N] = P[N∩(R∪N)] = P[N]
P[E] P[E] P[E]
además : P[N] = 26C13 ,entonces:
51C13
P[E] = P[R] + P[N] = 25C13 +26C13
51C13
luego:
26C13
P[N/E] = 51C13
25C13 +26C13
51C13
= 26C13 = 26 = 2
25C13 + 26C13 13 + 26 3

Semestre 2009 – I
210. Una urna contiene 6 bolas negras y 5 blancas; se extraen al azar
sucesivamente y sin reposición dos bolas, ¿cuál es la probabilidad que las dos
resulten blancas? (sin reposición)
* DESARROLLO
A1: “La primera resulto blanca”
A2: “la segunda resulto blanca”
E: “Las dos bolas resultan blancas”
P[E] = P[A1∩A2]
Es decir, E es la intersección de los dos eventos y la ocurrencia de A1 influye en la de A2.
P[E] = P[A1] P[A2/A1]
P[A] = 5/11
después de que a ocurrido el evento A1, quedan dos bolas de las cuales 4 son blancas, luego:
P[A2/A1] = 4/10
por lo tanto:
P[E] = P[A1] P[A2/A1]
= 5/11 x 4/10 = 2/11
211. En un sistema de alarma, la probabilidad que se produzca un peligro es de
0.10. Si éste se produce, la probabilidad que la alarma funcione es de 0.95. La

Semestre 2009 – I
probabilidad que funcione la alarma sin haber habido peligro es de 0.30.
Determinar la probabilidad que haya un peligro y la alarma no funcione.
* DESARROLLO
P: “Hay peligro”
F: “La alarma funciona”, entonces:
PF: “Haya peligro y la alarma no funcione”.
P[PF] = P[P] P[F/P]
P[P] = 0.10. si ocurre el evento P, P[F/P] = 0.95 pero
P[F/P] = 1 - 0.95 = 0.05
por lo tanto, P[PF] = (0.10) (0.05) = 0.005
213. Dos establos A y B tienen 1000 cabezas de vacuno cada uno. Existe una
epidemia que afecta a los cascos y la boca del ganado. La proporción del ganados
afectados con 1/5 y 1/4 respectivamente (por establo).
Se escoge un ganado al azar.
¿Cuál es la probabilidad que el ganado escogido viene del rancho A y tiene
afección a los cascos y la boca?
* DESARROLLO
A: “El ganado escogido es el rancho A”
B: “El ganado escogido es del rancho B”
E: “El ganado tiene afección al casco y la boca”

Semestre 2009 – I
Debemos calcular
P[A∩E] = P[A] P[E/A]
= 1000 1
2000 5
= 1
10
215. Un lote de 100 fusibles contiene 2 fusibles defectuosos. Si se prueban los
fusibles uno por uno, ¿cuál es la probabilidad que el último fusible defectuoso sea
detectado en la tercera prueba?
* DESARROLLO
Dij: “el i-esimo defectuoso se obtuvo en la j-esima extracción, i = 1,2; j = 1,2,3”
Bij: “El i-esimo bueno se obtuvo en la j-esima extracción i = 1,2; j = 1,2,3”
E: “ El ultimo fusible defectuoso es detectado en la tercera prueba”
E = D11 B12 D23 ∪ B11 D12 D23
P[E] = P[D11 B12 D23] + P[B11 D12 D23]
= P[D11] P[B12/D11] P[D23/D11B12] + P[B11] P[D12/B11]
P[D23/B11D12]
1= 2 98 1 + 98 2 1
100 99 98 100 99 98
= 1 / 2475

Semestre 2009 – I
216. Un lote de 100 lámparas contiene piezas 10 defectuosas. Si se selecciona 3
lámparas aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad que solo una sea defectuosa?
* DESARROLLO
D: “Se selecciona una lámpara defectuosa”
N: “Se selecciona una lámpara no defectuosa”
A: “Solo una sea defectuosa de las tres extraídas”
A = NND ∪ NDN ∪ DNN
P[A] = P[NND] + P[NDN] + P[DNN]
= 90 89 10 + 90 10 89 + 10 90 89
100 99 98 100 99 98 100 99 98
= 267
1078
218. En un cajón hay 80 tubos buenos y 20 malos; en un segundo cajón, el 30%
son malos y en un tercero el 25% son malos. Se sabe que el número de tubos del
tercer cajón son el triple de los que hay en el segundo y en total hay 260 tubos. Se
mezclan los tubos de las tres cajas.
Al extraer, al azar, un tubo; calcular la probabilidad que sea malo, si se sabe que
pertenece al segundo cajón.
b) Al extraer, al azar, 2 tubos; calcule la probabilidad que el primero y el segundo
sea malo.

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
X: el número de tubos del segundo cajón
100 + X + 3X = 260
X = 40
donde X = 40 y 3X = 120
primera: 80 buenos 20 malos.
segunda: 28 buenos 12 malos.
tercera: 90 buenos 30 malos.
a) D: “Obtener un tubo defectuoso”
C: “El tubo pertenece al segundo cajón”
luego:
P[D/C]= P[AC] = 12/260 = 12
P[C] 40/260 = 40
b) “Obtener el primer y segundo tubo defectuosos”, Entonces.
D = D1D2
P[D] = P[D1] P[D2/D1] = 62 61 = 3782
260 259 67340
219. Una caja contiene 7 tarjetas marcadas “sin premios” y 5 “con premio”. En un
concurso, dos personas A y B, extraen tarjetas de la caja en forma alternada hasta
que una de ellas saca una marcada con el “premio mayor”. Si A selecciona la

Semestre 2009 – I
tarjeta en primer lugar, ¿Cuál es la probabilidad que extraiga una con “premio
mayor”?
* DESARROLLO
Ai: “El jugador A obtiene la tarjeta con el premio mayor en su i-esima jugada”
Bj: “El jugador B obtiene la tarjeta con el premio mayor en su j-esima jugada”
Ap: “El jugador A extrae una tarjeta con premio mayor”.
Ap = A1 ∪ A1B1A2 ∪ A1B1A2B2A3 ∪ A1B1A2B2A1B3A4
luego:
P[Ap] = P[A1] + P[A1B1A2] + P[A1B1A2B2A3] + P[A1B1A2B2A1B3A4]
= 5 + 7 6 5 + 7 6 5 4 5 + 7 6 5 4 3 2
5
12 12 11 10 12 11 10 9 8 12 11 10 9 8 7 6
= 62
99
220. Una urna contiene 10 bolas, 5 marcadas con la letra B, Dos jugadores A y B
juegan de la siguiente forma: comienza el jugador A extrayendo una bola y a
continuación, y así alternadamente. las extracciones se hacen sin reposición. gana
el primer jugador que extraiga una bola con su letra (A una bola A y B una bola
B).
¿Cuál es la probabilidad que el jugador A gane? ¿Cuál de b?

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
GA: “gana el jugador A”
GB: “gana el jugador B”
AK: “En la k-esima extracción se obtiene una bola marcado con A”
BK: “En la k-ésima extracción se obtiene una bola marcada con B”
P[GA] = 5 + 5 5 4 + 5 5 4 4 3 + 5 5 4 4 3 3 2 + 5 5 4 4 3 3 2 2 1
10 10 9 8 10 9 8 7 6 10 9 8 7 6 5 4 10 9 8 7 6 5 4 3 2
= 175
252
P[GB] = 5 4 + 5 5 4 3 + 5 5 4 4 3 2 + 5 5 4 4 3 3 2 1
10 9 10 9 8 7 10 9 8 7 6 5 10 9 8 7 6 5 4 3
= 76
252
221. Se tienen tres monedas juntas. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado
sean dos caras ó dos sellos?
* DESARROLLO
Número total de eventos = 8
casos de dos sellos = 3
Casos de dos caras = 3
SSS CCC
SSC CCS
SCS CSC
CSS SCC

Semestre 2009 – I
3 + 3 = 6
8 8 8
= 3
4
222. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona que salga sea una mujer,
de una casa donde hay 6 mujeres y cuatro hombre? ¿Y cuál de que sea hombre?
* DESARROLLO
Total de eventos = 10
A: “Primera sea mujer”
B: “Primero sea hombre”
P[A] = 6 = 3
10 5
P[B] = 4 = 2
10 5
223. En el aula de un colegio hay 12 niños y 4 niñas, si se escogen 3 estudiantes al
azar ¿cuál es la probabilidad de que sean niñas?
* DESARROLLO
Ai: “Salga una niña” donde i = 1,2,3

Semestre 2009 – I
P[A] = P[A1] P[A2/A1] P[A3/(A1∩A2)]
= 4 3 2
16 15 14
= 1
140
224. En una caja que contiene 5 bolas cremas, 4 rojas y 3 verdes, se extrae al
azar una de ellas. Hallar la probabilidad que la bola extraída no sea roja
* DESARROLLO
V: “Salga verde”
C: “Salga crema”
R: “no salga roja”
P[R] = P[V] ∪ P[C]
= P[V] + P[C]
= 3 + 5
12 12
= 2
3
225. Se lanzan dos dados a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un
porcentaje de por lo menos 6?
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
Número de casos favorables = 26
A: “Que salga un número mayor que seis”
P[A] = 26
36
= 13
18
227. Una caja contiene 100 focos entre los cuales hay 10 defectuosos. ¿Cuál es
la probabilidad de que al sacar una muestra de tres focos los tres sean
defectuosos?
* DESARROLLO
Total de casos = 100
Número de focos defectuosos = 10
Fi: “Salga un foco defectuoso” i = 1,2,3
P[F] = P[F1] P[F2/F1] P[F3/(F1 ∪F2)]
= 10 9 8
100 99 98
= 2
2695
228. Cuál es la probabilidad de obtener la suma de 6 ó 10 en el lanzamiento de
dos dados
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
Casos suma 6 = 5
Casos suma 10 = 3
A: “que salga un 6”
B: “que salga un 10”
P[AB] = P[A] ∪ P[B]
= 5 + 3
36 36
= 2
9
229. Si se lanzan dos dados y el resultado es seis ¿Cuál es la probabilidad que el
resultado se halla obtenido mediante un dos en cada dado.
* DESARROLLO
Casos en total = 5
Casos favorables = 2
A: “ El resultado salió por un dos”
P[A] = 2
5
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12
1 5
2 4
3 3
4 2
5 1

Semestre 2009 – I
Se lanzan un par de dados ¿Cuál es la probabilidad de que no aparesca un número impar de
puntos en cada dado?
Total de casos = 36
Número de casos favorables: 9
A: “Que salgan todos pares”
P[A] = 9
36
= 1
4
231. En una urna se tienen fichas numeradas del 1 al 15; se extraen dos fichas al
azar. ¿Cuál es la probabilidad de que una ficha tenga número par y la otra ficha
número impar?
* DESARROLLO
Total de casos = 15
casos de números pares = 7
casos de números impares = 8
A: “que el número salga par”
B: “que ql número salga impar”
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6

Semestre 2009 – I
P[AB] = P[A] P[B/A] ∪ P[B] P[A/B]
P[AB] = 8 7 + 7 8
15 14 15 14
= 8
15
232. Se lanza 5 veces un dado ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco caras
que aparezcas sean diferentes entre si?
* DESARROLLO
Ci: “una cara del dado” i = 1,2,3,4,5
P[C] = P[C1] P[C2/C1] P[C3/(C1∩C2)] P[C4/(C1∩C2∩C3)] P[C5/(C1∩C2∩C3∩C4)]
P[C] = 6 5 4 3 2
6 6 6 6 6
= 6!
65
= 5
324
233. Una bolsa contiene 8 bolas azules, 5 blancas y 9 rojas. Si se extraen tres
bolas al azar. Hallar la probabilidad de sacar dos azules y una roja.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
total de eventos = 22
caso de azules = 8
caso de blancas = 5
caso de rojas = 9
Ai: “salga una bola azul” i = 1,2
B: “salga una bola roja”
P[AB] = P[A1] P[A2/A1] P[B/(A1 ∪ A2)]
P[AB] = 8 7 9
22 21 20
P[AB] = 3
55
235. Se lanza un dado y se sabe que el resultado es un número par. ¿cuál es la
probabilidad que ese número sea divisible por tres?
total de eventos = 2,4,6 = 3
caso divisible pro 3 = 1
T: “divisible por tres”
P[T] = 1
3
236. De un mazo de 52 cartas, se extraen 6 naipes sin mirar. ¿cuál es la
probabilidad que los tres sean del mismo palo?
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
caso corazones = 13
caso cocos = 13
caso tréboles = 13
caso espadas = 13
Ci “que sean palo de corazones”
Ki “que sean palo de cacos”
Ti “que sean palo de tréboles” donde i = 1,2,3
Ei “que sean palo de espadas”
P[CKTE] = P[C1] P[C2/C1] P[C3/(C1 ∩ C2) ∪
P[K1] P[K2/K1] P[K3/(K1 ∩ K2) ∪
C1] P[T2/T1] P[T3/(T1 ∩ T2) ∪
C1] P[E2/E1] P[E3/(E1 ∩ E2)
P[CKTE] = P[C1] P[C2/C1] P[C3/(C1 ∩ C2) +
P[K1] P[K2/K1] P[K3/(K1 ∩ K2) +
P[T1] P[T2/T1] P[T3/(T1 ∩ T2) +
P[E1] P[E2/E1] P[E3/(E1 ∩ E2)
P[CKTE] = 13 12 11 +
52 51 50
13 12 11 +
52 51 50
13 12 11 +
52 51 50
13 12 11
52 51 50
P[CKTE] = 22

Semestre 2009 – I
255
238. En un concurso de participan 7 mujeres y 8 hombre. Si deben haber dos
ganadores ¿cuál es la probabilidad de que los ganadores sea una pareja mixta?
* DESARROLLO
casos de mujeres = 7
casos de hombres = 8
H: “ganador hombre”
M: “ganadora mujer”
P[HM] = P[H] P[M/H] ∪ P[M] P[H/M]
= P[H] P[M/H] + P[M] P[H/M]
= 8 7 + 7 8
15 14 15 14
= 8
15
239. Se lanzan dos dados al mismo tiempo. ¿cuál es la probabilidad de obtener
una suma de valores que sea 11 ó 7?
* DESARROLLO
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12

Semestre 2009 – I
casos de 7 = 6
casos de 11 = 2
S: “que salga 7”
O: “que salga 11”
P[SO] = P[S] ∪ P[O]
P[SO] = 6 + 2
36 36
P[SO] = 2
9
240. De ocho pañuelos rojos, 5 pañuelos blancos, y cuatro pañuelos negros ¿cuál
es la probabilidad de que el grupo esté compuesto por 6 pañuelos rojos, 3 tres
pañuelos blancos y 2 pañuelos negros?
* DESARROLLO
P: “grupo deseado de 11 pañuelos”
P[P] = 8C6 3C5 4C2
17C11
P[P] = 28 10 6
12376
P[P] = 30
221

Semestre 2009 – I
241. Se lanzan al aire 4 monedas. ¿cuál es la probabilidad de obtener cuatro
caras ó por lo menos dos sellos?
* DESARROLLO
C: “cara”
S: “sello”
caso de caras = 1
caso de sellos = 11
S: “que salga sello”
C: “que salga cara”
P[CS] = P[C] ∪ P[S]
P[CS] = 1 + 11
16 16
= 3
4
242. ¿Cuál es la probabilidad que una familia de 4 hijos, hayan tres niños y una
niña a la vez?
* DESARROLLO
CCCC CSCC SCCC SSCC
CCCS CSCS SCCS SSCS
CCSC CSSC SCSC SSSC
CCSS CSSS SCSS SSSS

Semestre 2009 – I
M: “que sea niño”
N: “que sea niña”
P[MN] = 4
16
P[MN] = 1
4
243. Si se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de
valores que sea 9?
* DESARROLLO
casos a favor = 4
A: “que salga un nueve”
P[A] = 4
36
P[A] = 1
9
244. Una urna contiene 12 bolas rojas, 6 bolas blancas y 8 bolas negras, sin
mirar ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja?
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12
NNNN NMNN MNNN MMNN
NNNM NMNM MNNM MMNM
NNMN NMMN MNMN MMMN
NNMM NMMM MNMM MMMM

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
casos de bolas rojas = 12
R: “que salga una bola roja”
P[R] = 12
26
= 6
13
245. En una caja se tienen 5 bolas azules, 3 bolas blancas y dos bolas negras.
¿Cuál es la probabilidad que al extraer una bola al azar esta sea blanca o negra?
* DESARROLLO
caso de blancas = 3
caso de negras = 2
B: “que salga una bola blanca”
N: “que salga una bola negra”
P[BN] = P[B] + P[N]
P[BN] = 3 + 2
10 10
P[BN] = 1

Semestre 2009 – I
2
247. En una ánfora se depositan 4 fichas rojas y 2 fichas azules, en otra ánfora se
colocan 5 fichas azules y 3 fichas rojas. Se extraen una ficha de cada ánfora. ¿Cuál
es la probabilidad de que una sea roja y otra sea azul?
* DESARROLLO
total de eventos en ánfora 1 = 6
total de eventos en ánfora 2 = 8
A: “que salga una ficha azul”
R: “que salga una ficha roja”
P[AR] = P[A] P[R/A] + P[R] P[A/R]
P[AR] = 2 4 + 3 5
6 5 8 7
P[AR] = 13
24
248. Se colocan al azar una fila de 6 bolas rojas y 4 blancas. Hallar la
probabilidad de que las 2 bolas centrales sean del mismo color.
* DESARROLLO
casos bolas rojas = 6
casos bolas blancas = 4
Ri: “que salga roja” i =1,2
Bi: “que salga blanca”

Semestre 2009 – I
P[RB] = P[R1] P[R2/R1] ∪ P[B1] P[B2/B1]
P[RB] = P[R1] P[R2/R1] + P[B1] P[B2/B1]
P[RB] = 6 5 + 4 3
10 9 10 9
P[RB] = 7
15
249. Si se tiene un solo dado, se lanza dos veces consecutivas. Calcule la
probabilidad de que al sumar los resultados obtenidos, estos sumen cinco.
* DESARROLLO
casos de cinco = 4
C: “que sumen cinco”
P[C] = 4
36
P[C] = 1
9
251. Al lanzar un dado dos veces consecutivas. Cuál será la probabilidad de
obtener un solo tres.
* DESARROLLO
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12

Semestre 2009 – I
total de casos = 36
casos a favor = 11
T: “que salga un tres”
P[T] = 11
36
= 5
8
252. En una caja se disponen 9 bolas numeradas del uno al nueve si se extraen
dos bolas al azar:
¿Cuál es la probabilidad de obtener dos números primos?
¿Cuál es la probabilidad de obtener dos números impares?
* DESARROLLO
casos primos = 4
casos impares = 5
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6

Semestre 2009 – I
Pi: “que salga un número primo” i = 1,2
Ii: “que salga un número impar” i = 1,2
a) P[P] = P[P1] P[P2/P1]
P[P] = 4 3
9 8
P[P] = 1
12
b) P[I] = P[I1] P[I2/I1]
P[I] = 5 4
9 8
= 5
18
253. En un lote de 10 artículos hay tres defectuosos. Si se toma al azar tres
artículos uno tras otro. ¿cuál es la probabilidad de que los tres artículos sean
buenos?
* DESARROLLO
casos a favor = 7
Si: “que salga un articulo no defectuoso” i = 1,2,3
P[S] = P[S1] P[S2/S1] P[S3/(S1∩S2)]

Semestre 2009 – I
P[S] = 7 6 5
10 9 8
P[S] = 7
24
255. Si se lanzan tres monedas al aire ¿Cuál es la probabilidad de que el
resultado en las tres sean iguales?
* DESARROLLO
casos a favor = 2
I: “que salgan igual”
P[I] = 2
8
P[I] = 1
4
356. Si se lanzan dos monedas al aire calcular la probabilidad de :
a) Salga exactamente una cara
b) Salga por lo menos una cara
* DESARROLLO
total de casos = 4
SSS CCC
SSC CCS
SCS CSC
CSS SCC

Semestre 2009 – I
casos una cara = 2
casos al menos una cara = 3
C: “ que salga una cara”
K: “ salga por lo menos una cara”
P[C] = 2
4
1
2
P[K]= 3
4
357. Un grupo de estudios esta conformado por 11 niños y 7 niñas. Si se
escogen cuatro estudiantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean
niños?
* DESARROLLO
número de niños = 11
Ni: “que salga un niño” y = 1,2,3,4
P[N] = 11 10 9 8
18 17 16 15
P[N] = 11
102
CC SS
CS SC

Semestre 2009 – I
259. Si se quiere seleccionar un comité de 5 personas a partir de un grupo de 7
peruanos, 4 chilenos y 3 argentinos. ¿Que probabilidad habría de que el comité
este compuesto por dos peruanos, 2 chilenos y 1 argentino.
* DESARROLLO
P[C] = 7C2 4C2 3C1
14C5
P[C] = 7! 4! 3!
2! 5! 2! 2! 1! 2!
14!
9! 5!
P[C] = 27
143
260. Si se lanzan al aire cuatro monedas. Cuál es la probabilidad de obtener
cuatro caras o 2 sellos
* DESARROLLO
casos de cuatro caras = 1
casos de 2 sellos = 6
CCCC CSCC SCCC SSCC
CCCS CSCS SCCS SSCS
CCSC CSSC SCSC SSSC
CCSS CSSS SCSS SSSS

Semestre 2009 – I
C: “que salga cara”
S: “que salga sello”
P[CS] = P[C] ∪ P[S]
P[CS] = 1 + 6
16 16
P[CS] = 7
16
261. Si una baraja de 52 cartas se sacan tres naipes. Determinar la probabilidad
“p” de que todos sean ases:
* DESARROLLO
total de casos = 52
total de casos a favor = 4
pi: “que sean ases” i = 1,2,3
P[p] = P[p1] P[p2/p1] P[p3/p1∩ p2]
P[p] = 4 3 2
52 51 50
P[P] = 1
5525

Semestre 2009 – I
262. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia de 3 hijos, hayan 2 niños y una
niña a la vez?
* DESARROLLO
total de casos = 8
casos a favor = 3
N = niño
M = niña
P[MN] = 3
8
263. La probabilidad que tienen un alumno de aprobar matemáticas es 2/3, la
probabilidad que tiene este mismo alumno de aprobar física es de 4/9. Si la
probabilidad de este alumno de aprobar por lo menos uno de los cursos es 4/5.
¿Cuál es la probabilidad de aprobar ambos cursos?
* DESARROLLO
2/3 aprobar matemáticas
4/9 aprobar física
NNN MNN
NNM MNM
NMN MMN
NMM MMM
X
M 2/3
F 4/9
4/9 - X

Semestre 2009 – I
P[M∪F] = 4/5
P[M] + P[F] - P[X] = 4/5
2/3 + 4/9 - X = 4/5
2/3 + 4/9 - 4/5 = X
X = 14/45
265. Hallar la probabilidad de hacer una triada de más de 15 en un tiro con tres
dados.
* DESARROLLO
casos a favor = 10
C: “que salga mayor que 15”
3 4 5 6 7 8 9 10 11
4 5 6 7 8 9 10 11 12
5 6 7 8 9 10 11 12 13
6 7 8 9 10 11 12 13 14
7 8 9 10 11 12 13 14 15
8 9 10 11 12 13 14 15 16
9 10 11 12 13 14 15 16 17
10 11 12 13 14 15 16 17 18

Semestre 2009 – I
P[C] = 10
63
P[C] = 5
108
266. En una caja oscura hay cuatro bolas blancas, cinco rojas y siete negras.
¿Cuál es la probabilidad de extraer al azar una bola blanca y cuál de una roja?
* DESARROLLO
casos bolas blancas = 4
casos bolas rojas = 5
B: “que salga una bola blanca”
R: “que salga una bola roja”
P[B] = 4
16
P[B] = 1
4
P[R] = 5
16
267. De un juego de naipes. ¿cuál es la probabilidad de extraer al azar un as?
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
casos a favor = 4
A: “que salga un as”
P[A] = 4
52
P[A] = 1
13
268. Se lanzan dos dados simultáneamente, ¿Cuál es la probabilidad de obtener
como resultado dos ases?
* DESARROLLO
casos a favor 1
A: “que salgan dos ases”
P[A] = 1
36
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6

Semestre 2009 – I
269. En una caja hay cinco pares de guantes blancos, cinco pares marrones y
cinco pares negros; ¿Cuál es la probabilidad de extraer al azar un guante
izquierdo?
* DESARROLLO
casos izquierdo = 15
I: “que salga izquierdo”
P[I] = 15
30
P[I] = 1
2
271. Si se lanzan tres monedas al aire, ¿Cuál es la probabilidad de obtener como
resultado dos sellos?
* DESARROLLO
casos a favor =
A: “que salga sellos”
P[A] = 3
8
SSS CCC
SSC CCS
SCS CSC
CSS SCC

Semestre 2009 – I
272. En un guardarropa oscuro hay cinco polos marrones, seis polos azules y
ocho polos naranjas. ¿cuál es la probabilidad de que al extraer al azar se obtenga
un polo marrón y a continuación un polo naranja, dado que el primero fue marrón?
* DESARROLLO
polos marrones = 5
polos naranjas = 8
M: “que salga marrón”
N: “que salga naranja”
P[MN] = P[M] P[N/M]
P[MN] = 5 8
19 18
P[MN] = 20
271
273. En un juego de naipes. ¿cuál es la probabilidad de que al sacar
arbitrariamente una carta se obtenga una figura?
* DESARROLLO
cantidad de figuras =12
F: “que salga una figura”
P[F] = 12
52

Semestre 2009 – I
P[F] = 3
13
274. Si se lanzan tres monedas al aire, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un
resultado de dos caras y un sello?
* DESARROLLO
casos a favor = 3
C: “que salgan dos caras”
P[C] = 3
8
275. Si se lanzan dos dados simultáneamente, ¿Cuál es la probabilidad de obtener
como resultado los dos iguales?
* DESARROLLO
SSS CCC
SSC CCS
SCS CSC
CSS SCC

Semestre 2009 – I
casos a favor = 6
I: “que los resultados sean iguales”
P[I] = 6
36
P[I] = 1
6
276. En un cajón hay 3 pañuelos blancos, 7 pañuelos negros y 5 pañuelos de
varios colores. Cuál es la probabilidad de obtener un pañuelo de colores?
* DESARROLLO
casos a favor = 5
C: “que salga un pañuelo de colores”
P[C] = 5
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6

Semestre 2009 – I
15
P[C] = 1
15
277. La compañía ensambladura de automóviles CAR-PERU, se ha presentado a
una licitación, para ensamblar un nuevo automóvil. La probabilidad que CAR-
PERU gane la licitación es de 0.90 si una forma competidora MOTOR ANDINO
no se presenta a ella en tanto que es de 0.20 si MOTOR ANDINO se presenta. El
gerente general de CAR-PERU estima que hay una probabilidad de 0.80 que
MOTOR ANDINO se presente. ¿Cuál es la probabilidad que CAR-PERU gane la
licitación?
* DESARROLLO
E: “la compañía MOTOR ANDINO se presenta a la licitación”
G: “la compañía CAR-PERU gana la licitación”
P[G] = P[EG] + P[EG]
P[G] = P[E] P[G/E] + P[E] P[G/E]
= (0.80) (0.20) + (0.20) (0.90)
= 0.34

Semestre 2009 – I
278. Una compañía de desarrollo urbano esta considerando la posibilidad de
construir un centro comercial en un sector de lima metropolitana, Un elemento
vital en esta consideración es un proyecto de una autopista que une el sector con el
centro de la ciudad. Si el consejo municipal aprueba esta autopista , hay una
probabilidad de 0.90 de que la compañía construya el centro comercial en tanto la
autopista no es aprobada la probabilidad es de solo 0.20. Basándose en la
información disponible, el presidente de la compañía estima que hay un 0.60 que
la autopista sea aprobada. Cuál es la probabilidad de que la compañía construya el
centro comercial?
* DESARROLLO
A: “la autopista es aprobada”
B: “El centro comercial es construido”
P[B] = P[AB] + P[AB]
P[B] = P[A] P[B/A] + P[A] P[B/A]
= 0.60 0.90 + 0.40 0.20
= 0.54 + 0.08
= 0.62
279. En una línea de producción hay dos procesos, A y B. En el proceso A hay
un 20% de defectuosos y en b hay un 25%. En una muestra de 300 productos hay

Semestre 2009 – I
200 de A y 100 de B. Si se extrae un producto al azar, hallar la probabilidad de
que sea defectuoso.
* DESARROLLO
A: “el producto es del proceso A”
B: “el producto es del proceso B”
D: “el producto es defectuoso”
P[D] = P[AD] + P[BD]
P[D] = P[A] P[D/A] + P[B] P[D/B]
P[D] = 2 (0.20) + 1 (0.25)
3 3
P[D] = 65
300
281. En un anfora hay dos pelotas rojas, 3 pelotas azules y 9 pelotas violetas. Si
se extrae al azar cuál es la probabilidad de sacar una pelota de cada color dado
que las dos primeras fueron de colores diferentes.
* DESARROLLO
R: “que salga una roja”
A: “que salga una azul”

Semestre 2009 – I
V: “que salga una violeta”
P[RAV] = P[R] P[A/R] P[V/(A∩R)]
P[RAV] = 2 3 9
14 13 12
P[RAV] = 9
364
282. De un juego de cartas ¿cuál es la probabilidad de extraer al azar un as y a
continuación una figura dado que la primera fue as?
* DESARROLLO
casos de ases = 4
casos de figuras = 12
A: “que salga un as”
F: “que salga una figura”
P[AF] = P[A] P[F/A]
P[AF] = 4 12
52 51
P[AF] = 4
221

Semestre 2009 – I
283. Se lanzan tres monedas al aire, cuál es la probabilidad de que al caer de
como resultado por lo menos dos caras
* DESARROLLO
casos a favor = 4
C: “que salgan por lo menos dos caras”
P[C] = 4
8
P[C] = 1
2
284. Si se lanzan dos dados simultáneamente ¿cuál es la probabilidad de que en el
resultado los dos sean diferentes?
• DESARROLLO
SSS CCC
SSC CCS
SCS CSC
CSS SCC
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6

Semestre 2009 – I
casos a favor = 30
D: “que salgan todos diferentes”
P[D] = 30
36
P[D] = 5
6
285. En un cajon se han introducido 15 pañuelos de los cuales 2 son blancos, 8
azules y 5 de colores ¿Cuál es la probabilidad de que al azar dos pañuelos estos
sean de colores si son con reposición de pañuelos?
* DESARROLLO
total de eventos =15
casos a favor = 5
C: “que salga un pañuelo de color”
P[C] = 5 5
15 15
P[C] = 1
9
286.- En un juego de barajas ¿cuál es la probabilidad de extraer al azar una carta
de color negro?

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
total de casos = 52
casos a favor = 23
N: “que salga una roja”
P[N] = 23
52
P[N] = 1
2
287. Se lanzan dos dados simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de obtener
un resultado una suma de 7?
* DESARROLLO
total de casos = 36
casos a favor = 6
S: “que la suma sea 7”
P[S] = 6
36
P[S] = 1
6
288. Si se lanzan dos dados simultáneaneamente ¿cuál es la probabilidad de que
la suma no exeda a 6?
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
total de casos = 36
casos a favor = 15
M: “que la suma no pase de 6”
P[M] = 15
36
P[M] = 5
12
290. En un laboratorio hay tres jaulas. En la jaula 1 hay dos conejos pardos y tres
blancos, la jaula 3 contiene 4 conejos pardos y dos blancos y la jaula 3 tiene 5
conejos pardos y 5 blancos. se selecciona al azar una jaula. ¿Cuál es la
probabilidad de que el conejo escogido sea blanco?
* DESARROLLO
1: “la jaula 1 es seleccionada”
B: “el conejo elegido es blanco”
P[B] = P[1] P[B/1] ∪ P[2] P[B/2] ∪ P[3] P[B/3]
P[B] = P[1] P[B/1] + P[2] P[B/2] + P[3] P[B/3]
P[B] = 1 3 + 1 2 + 1 5
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12

Semestre 2009 – I
3 5 3 6 3 10
P[B] = 43
90
291. Todos los miembros de un club son médicos o abogados, 40% de los
miembros son médicos mediante el 30% de las mujeres son médicos. El 50% de
los médicos y el 30% de los abogados ganan $ 60000 por año sin embargo
solamente el 20% de las mujeres medico y el 10% de las mujeres abogados gana
más de $60000 por año. Si se escoge aleatoriamente un miembro del club. Cuál
será la probabilidad de que gane más de $60000 por año?
* DESARROLLO
M: “el miembro del club es medico”
A: “el miembro del club es abogado”
G: “el miembro del club gana más de $60000 por año”
P[G] = P[A] P[G/A] + P[M] P[G/M]
= 0.6 0.3 + 0.4 0.5
= 0.38
292. Se conoce que cierta maquina que produce tornillos trabaja correctamente el
90%. Si la maquina no esta trabajando correctamente, el 5% de los tornillos
producidos son defectuosos. Cuando esta trabajando bien solo el 0.5% de los
tornillos son defectuosos. Si se escoge un tornillo aleatoriamente. ¿Cuál es la
probabilidad que sea defectuoso?

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
D: “el tornillo es defectuoso”
M: “la maquina esta funcionando correctamente”
P[D] = P[M] P[D/M] ∪ P[M] P[D/M]
P[D] = P[M] P[D/M] + P[M] P[D/M]
P[D] = (0.9) (0.005) + (0.1) (0.05)
P[D] = 0.0095
293. Una urna contiene 3 bolas rojas y x blancas, se extrae una bola de la urna y
se reemplaza por una del otro color. Se saca urna una de la segunda bola.
Sabiendo de que la probabilidad de que la segunda bola sea roja es de 17/50,
determinar el número de bolas blancas.
* DESARROLLO
R: “la segunda bola es roja”
r: “l bola extraída es roja”
b: “la bola extraída es blanca”
P[R] = P[r] P[r/r] + P[b] P[r/b]
P[R] = 3 2 + x 4
x + 3 x + 3 x + 3 x + 3

Semestre 2009 – I
17 = 4x + 6
50 (x + 3)2
de donde sale que x es igual a 7 bolas blancas
295. Juan escoge al azar uno de los enteros 1,2,3 y luego lanza tantas veces
como indica el número que escogió. Calcular la probabilidad que el puntaje total
obtenido en los lanzamientos sea igual a 5
* DESARROLLO
i: “obtener el entero y” i = 1,2,3
A: “obtener la suma cinco al lanzar el dado”
P[A] = 1 1 + 1 4 + 1 6
3 6 3 36 3 63
P[A] = 1 + 1 + 1
18 27 36
P[A] = 11
108
296. Se tiene una caja de 12 tarros de conserva de las cuales 8 son durazno. Se
extrae la muestra con reemplazo de tamaño 4. Después se selecciona una conserva
de la muestra. Determine la probabilidad que sea de durazno.
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
Mi = “la muestra contiene y tarros conserva de durazno” i = 0,1,2,3,4
D: “la conserva es de durazno”
numero total de eventos = 124
4
P[D] = Σ = P[Mi] P[D/Mi]
i = 1
Calculando Mi y P[D/Mi]
M1 Si la muestra contiene un tarro de durazno
P[M1] = 4P1,3 8 43
124
P[D/M1] = 1
4
P[M2] = 4P2,2 82
42
124
P[D/M2] = 1
2
P[M3] = 4P3,1 83
4
124
P[D/M3] = 3
4
P[M4] = 84
124

Semestre 2009 – I
P[D/M4] = 1
P[D] = 4P1,3 8 43
1 + 4P2,2 82
42
1 + 4P3,1 83
4 3 + 84
1
124
4 124
2 124
4
124
P[D] = 83
+ 6 83
+ 12 83
+ 84
124
124
124
124
P[D] = 2
3
297. En el bolsillo derecho de su casaca Ud. tiene tres monedas de 1 sol y cuatro
de 5 soles, en el bolsillo izquierdo tiene 6 monedas de un sol y tres de 5 soles.
Tome aleatoriamente 5 monedas del bolsillo derecho y pase al izquierdo. Luego
extraiga al azar una moneda del bolsillo izquierdo. determine la probabilidad de
que sean de 1 sol.
* DESARROLLO
Bi = “se pasan i (i = 1,2,3)monedas de un sol del bolsillo derecho a el bolsillo izquierdo”
M: “obtener una moneda de un sol al extraer una del bolsillo izquierdo”
Calculamos ahora P[Bi] y P[M/Bi]
B1: “Se pasa una moneda de 1 sol y 4 de 5 soles”
B1 = 3C1 4C4= 3C1

Semestre 2009 – I
P[B1] = 3C1
7C5
B2: “Se pasan dos monedas de 1 sol y 3 de 5 soles”
B2 = 3C2 4C3
P[B2] = 3C2 4C3
7C5
B3: “Se pasan tres monedas de 1 sol y 2 de 5 soles”
B3 = 3C3 4C2
P[B3] = 3C3 4C2
7C5
Si ocurre B1 el bolsillo izquierdo tendrá 7 monedas de 1 sol.
P[M/B1] = 7
14
Si ocurre B2 en el bolsillo izquierdo hay, 8 monedas de 1 sol
P[M/B2] = 8
14
Si ocurre B3, en el bolsillo izquierdo hay, nueve monedas de 1 sol.
P[M/B3] = 9
14

Semestre 2009 – I
por tanto
P[M] = 3C1 7 + 3C2 4C3 8 + 3C3 4C2 9
7C5 14 7C5 14 7C5 14
P[M] = 0.58
298. Una urna contiene 10 bolas rojas y 8 blancas. se lanza un dado y se extrae
tantas bolsas como indica el número obtenido en el dado. Calcular la probabilidad
que todas las bolas sean blancas.
* DESARROLLO
Bi: “obtener un número i en el dado (i = 1,2,3,4,5,6)”
A: “todas las bolas extraídas son blancas”
6 6 6
P[A] = Σ P[Bi] P[A/Bi] = Σ 1/6 P[A/Bi] = 1/6 Σ P[A/Bi]
i=1 i=1 i=1
Calculo de P[A/Bi]
P[A/B1] = 8C1 10C0
18C1
= 8
18

Semestre 2009 – I
P[A/B2] = 8C2 10C0
18C2
= 8 7
18 17
P[A/B3] = 8C3 10C0
18C3
= 8 7 6
18 17 16
P[A/B4] = 8C4 10C0
18C4
= 8 7 6 5
18 17 16 15
P[A/B5] = 8C5
18C5
= 8 7 6 5 4
18 17 16 15 14
P[A.B6] = 8C6
18C6
= 8 7 6 5 4 3
18 17 16 15 14 13
P[A] = 1 8 (1 + 7 + 7 6 + 7 6 5 + 7 6 5 4 + 7 6 5 4 3)
6 18 17 17 16 17 16 15 17 16 15 14 17 16 15 14 13

Semestre 2009 – I
P[A] = 77
663
299. Una compañía, por experiencias anteriores sabe que de un determinado
número de lotes adquiridos, el 60% no tiene defectos, el 25% tiene solo un
defectuosos, el 10% tiene solo dos defectuosos y el 5% tiene tres defectuosos.
Dicha compañía realiza un plan de muestreo de aceptación de lotes, que consiste
en extraer una muestra de tres artículos (uno después de otro) de cada lote que
desea inspeccionar, se acepta el lote si a lo más se encuentra uno defectuoso en la
muestra. Cada lote contiene 50 artículos. Cada lote contiene 50 artículos ¿cuál es
la probabilidad de aceptar el lote?
* DESARROLLO
D: “articulo defectuoso”
B: “articulo no defectuoso”
B0: “lote que no tiene articulo defectuoso”
B1: “lote que tiene 1 articulo defectuoso”
B2: “lote que tiene 2 artículos defectuosos”
B3: “lote que tiene 3 artículos defectuosos”
A: “acaptar el lote”
P[A] = 1 - P[A]
= 1 - P[B2DDB ∪ B2DBD ∪B2BDD ∪ B3DDD ∪
B3DDB ∪ B3DBD B3BDD]
= 1 - [ (0.1) (3) 2 + (0.05) [ 1 + 3 47
]

Semestre 2009 – I
50 49 50 49 8 50 49
8
= 1 - 1 [ 6 + 142 5 ]
50 49 10 8 100
= 1 - 17
28000
= 27983
28000
300. Se lanza un dado dos veces. El número que muestra la primera vez es el
número de bolas blancas que se colocan en una urna, y el numero obtenido la
segunda vez indica el numero de bolas negras que se colocarán en la misma urna,
se extraerá al azar una bola. Determinar la probabilidad que esta sea blanca.
* DESARROLLO
Aij: “en la urna hay i bolas blancas j negras”
i, j =1,2,3,4,5,6
B: “la bola obtenida es blanca”
P[Aij] = 1
36
6 6

Semestre 2009 – I
P[B] = Σ Σ P[Aij] P[B/Aij];
i=1 J=1
P[B/Aij] = i
i + j
6
P[B] = 1 Σ [ i i i i i i i ]
36 i=1
i + j i + j i + j i + j i + j i + j i + j
P[B] = 1 18
36
P[B] = 1
2

Semestre 2009 – I
A nuestros padres,
quienes nos apoyan

Semestre 2009 – I
para ser grandes profesionales.

Semestre 2009 – I
301. En una caja hay 190 pares de guantes, verdes, 5 pares de guantes amarillo,
y 15 de guantes blancos ¿cuál es la probabilidad si al extraer al azar se saque un
par de verdes usables dado que el primero fue verde izquierdo:
* DESARROLLO
casos de verdes izquierdos = 10
casos de verdes derechos = 10
I: “que salga verde izquierdo”
D: “que salga verde derecho”
P[ID] = P[I] P[D/I]
P[ID] = 10 10
60 59
P[ID] = 5
187
302. Todos los miembros de un club son médicos o abogados, 40% de los
miembros son médicos mediante el 30% de las mujeres son médicos. El 50% de
los médicos y el 30% de los abogados ganan $ 60000 por año sin embargo
solamente el 20% de las mujeres medico y el 10% de las mujeres abogados gana
más de $60000 por año. Si se escoge aleatoriamente un miembro del club. Si se
escoge aleatoriamente una mujer ¿Cuál será la probabilidad de que ella gane más
de $60000 por año?
* DESARROLLO

Semestre 2009 – I
M: “el miembro del club es medico”
F: “el miembro del club es femenino”
G: “el miembro del club gana más de $60000 por año”
P[G/F] = P[M/F] P[G/FM] + P[A/F] P[G/FA]
= 0.3 0.2 + 0.174 0.1
= 0.13
303. Una compañía de desarrollo urbano esta considerando la posibilidad de
construir un centro comercial en un sector de lima metropolitana, Un elemento
vital en esta consideración es un proyecto de una autopista que une el sector con el
centro de la ciudad. Si el consejo municipal aprueba esta autopista , hay una
probabilidad de 0.90 de que la compañía construya el centro comercial en tanto la
autopista no es aprobada la probabilidad es de solo 0.20. Basándose en la
información disponible, el presidente de la compañía estima que hay un 0.60 que
la autopista sea aprobada. Dado que el centro comercial se construyo ¿Cuál es la
probabilidad de que la autopista haya sido aprobada?
* DESARROLLO
A: “la autopista es aprobada”
B: “El centro comercial es construido”
P[B] = 0.62
P[A/B]= P[A] + P[B/A]
P[B]

Semestre 2009 – I
P[B] = 0.60 0.90
0.62
P[B] = 0.87
305. En una línea de producción hay dos procesos, A y B. En el proceso A hay
un 20% de defectuosos y en b hay un 25%. En una muestra de 300 productos hay
200 de A y 100 de B. Si al extraer un producto resulto defectuoso, hallar la
probabilidad de que sea del proceso A.
* DESARROLLO
A: “el producto es del proceso A”
D: “el producto es defectuoso”
P[D] = 65/300
P[A/D]= P[A/D] P[D/A]
P[D]
P[A/D]= 2 (0.20)
3
65
300
P[AD] = 0.615
306. Una urna contiene 6 bolas negras y 5 blancas; se extraen al azar
sucesivamente y sin reposición dos bolas, ¿cuál es la probabilidad que las dos
resulten blancas? (con reposición)

Semestre 2009 – I
* DESARROLLO
A1: “La primera resulto blanca”
A2: “la segunda resulto blanca”
E: “Las dos bolas resultan blancas”
P[A1] = 5
11
Puesto después de que ocurriera A1 se devuelve la bola a la urna, también
P[A2/A1] = 5
11
por lo tanto
P[A1 A2] = 5 5
11 11
= 25
121
307. En un juego de cartas ¿cuál es la probabilidad de obtener una carta menor
que 5?
* DESARROLLO
total de casos = 52
casos a favor = 20

Semestre 2009 – I
M: “que la carta sea menor que cinco”
P[M] = 20
52
P[M] = 5
13
308. Dos establos A y B tienen 1000 cabezas de vacuno cada uno. Existe una
epidemia que afecta a los cascos y la boca del ganado. La proporción del ganados
afectados con 1/5 y 1/4 respectivamente (por establo).
Se escoge un ganado al azar.
Si el 70% de los ganados afectados tienen edad menor que un año, ¿Cuál es
la probabilidad que el ganado escogido venga del rancho B, tiene afección y es
mayor de un año de edad.
* DESARROLLO
A: “El ganado escogido es el rancho A”
B: “El ganado escogido es del rancho B”
E: “El ganado tiene afección al casco y la boca”
Definimos el evento F: la vaca escogida tenga edad mayor de un año, Entonces.
P[B∩E∩F] = P[B] PE/B] P[F/(B∩E)]
= 1000 1 75
2000 4 250

Semestre 2009 – I
= 3
80
309. En un cajón hay 80 tubos buenos y 20 malos; en un segundo cajón, 12 son
los malos y en un tercero 10 son malos. Se mezclan los tubos de las tres cajas. si
se sabe que en total hay 260 tubos y que los malos del segundo son el 30% como
el 25% son del tercero.
Al extraer, al azar, 2 tubos; calcule la probabilidad que el primero y el segundo sea
malo.
* DESARROLLO
primera: 80 buenos 20 malos.
segunda: 28 buenos 12 malos.
tercera: 90 buenos 30 malos.
D: “Obtener un tubo defectuoso”
“Obtener el primer y segundo tubo defectuosos”, Entonces.
D = D1D2
P[D] = P[D1] P[D2/D1] = 62 61 = 3782
260 259 67340
311. Una urna contiene 10 bolas, 5 marcadas con la letra B, Dos jugadores A y B
juegan de la siguiente forma: comienza el jugador A extrayendo una bola y a
continuación, y así alternadamente. las extracciones se hacen sin reposición. gana

Semestre 2009 – I
el primer jugador que extraiga una bola con su letra (A una bola A y B una bola
B).
Cuál es la probabilidad de que no gane ninguno de los dos
* DESARROLLO
GN: “no gana ninguno de los dos jugadores”
No gana ninguno de los dos jugadores cuando A saca todas las marcadas con B y B todas las
marcadas con A, o sea
P[GN] = 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1
10 9 8 7 6 5 4 3 2
P[GN] = 1
252
312. La compañía ensambladura de automóviles CAR-PERU, se ha presentado a
una licitación, para ensamblar un nuevo automóvil. La probabilidad que CAR-
PERU gane la licitación es de 0.90 si una forma competidora MOTOR ANDINO
no se presenta a ella en tanto que es de 0.20 si MOTOR ANDINO se presenta. El
gerente general de CAR-PERU estima que hay una probabilidad de 0.80 que
MOTOR ANDINO se presente. dado que CAR-PERU gano la licitación ¿Cuál es
la probabilidad de que MOTOR ANDINO se halla presentado a ella?
* DESARROLLO
E: “la compañía MOTOR ANDINO se presenta a la licitación”
G: “la compañía CAR-PERU gana la licitación”
P[G] = 0.34

Semestre 2009 – I
P[E/G] = P[E] + P[G/E]
P[G]
P[E/G] = (0.80) (0.20)
0.34
P[E/G] = 8
17
313. En un juego de naipes, ¿Cuál es la probabilidad de una carta roja o negra?
* DESARROLLO
casos de cartas rojas = 23
casos de cartas negras = 23
R: “que salga roja”
N: “que salga negra”
P[RN] = P[R] ∪ P[N]
P[RN] = 26 + 26
52 52
P[RN] = 1

Semestre 2009 – I
314. En una caja oscura hay cuatro bolas negras, cinco rojas y siete blancas.
¿Cuál es la probabilidad de que al extraer al azar dos bolas blancas y una negra
dado que las dos primeras fueron blancas?
* DESARROLLO
total de casos = 16
casos de blancas = 7
casos de negras = 4
B: “que la bola que salga sea blanca”
N: “que la bola que salga sea negra”
P[BN] = 7 6 4
16 15 14
P[BN] = 1
20
316. Si se lanzan tres monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener como
resultado las tres iguales?
* DESARROLLO
total de casos = 8
casos a favor = 2
P: “que salgan los tres resultados iguales”
P[P] = 2
8

Semestre 2009 – I
P[P] = 1
4
317. Si se lanzan tres monedas al aire ¿cuál será la probabilidad de que al caer
den a lo más tres sellos
* DESARROLLO
total de casos = 8
casos a favor = 8
T: “que salgan a los más tres sellos”
P[T] = 8
8
P[T] = 1
318. Demostremos que P[A/B] + P[A/B] = 1. Si P[B] > 0
* DESARROLLO
por la definición de la probabilidad condicional
P[A/B] +P[A/B] = P[A∩B] + P[A ∩B]
P[B] P[B]
= 1 (P[A∩B] + P[A∩B])
SSS CCC
SSC CCS
SCS CSC
CSS SCC
SSS CCC
SSC CCS
SCS CSC
CSS SCC

Semestre 2009 – I
P[B]
= P[B]
P[B]
= 1
319. Demostrar que P[A/B] + P[A/B] = 1
* DESARROLLO
B = (A∩B) ∪ (A∩B)
P[B] = P[(A∩B) ∪ (A∩B)]
Ya que A∩b y A∩B son eventos mutuamente excluyentes.
luego:
1 = P[A∩B] + P[A∩B]

Semestre 2009 – I
P[B] P[B]
1 = P[A/B] + P[A/B]
320. Una urna contiene seis bolas negras y cinco blancas; se extraen al azar
sucesivamente y con reposición ¿cuál es la probabilidad de obtener una bola de
cada color?
* DESARROLLO
A1: “ la primera bola resulto blanca” B1: “la primera bola resulto negra”
A2: “la segunda bola resulto blanca” B2: “la segunda bola resulto negra”
E: “obtener una bola de cada color”
E = A1B2 ∪ B1A2
P[E] = P[A1B1] ∪ P[B1A2]
= 5 6 + 6 5
11 11 11 11
= 60
121

Semestre 2009 – I
BIBLIOGRAFIA
1. Estadistica y otras amenidades matemáticas. Jorge Dias Monto.
2. Probabilidades y Estadística. Murray R. Spiegel.
3. Tópicos de Probabilidades. Máximo Mitacc.
4. Estadística para Administración. Wha Young.
5. Probabilidades y Aplicaciones Estadísticas. Paúl Mayer.
6. Estadística para Ingeníeros. Albert Bowver y Gerald Herberman.
7. Estadística y Probabilidad. Garcia Ore.

Semestre 2009 – I
8. Estadística Aplicada. Bernard Ostle.

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