Este documento resume conceptos básicos sobre sucesiones, incluyendo sucesiones aritméticas y geométricas. Define sucesiones y proporciona ejemplos. Explica la notación de sumatoria y cómo expresar sumas usando esta notación. Brevemente describe el teorema del binomio y la inducción matemática.

1. Sucesiones-Progresiones
Sucesiones.- Sucesiones aritméticas.-
Sucesiones geométricas.-Sucesiones
geométricas infinitas.- Inducción
matemática.- Teorema del binomio

2. Conceptos Básicos.
• Sucesión.- Es una función cuyo dominio es el
conjunto de los números enteros positivos. Al
tratar con sucesiones, usamos letras con
subíndices para representar a los términos. Ej: a1,
a2 , an , primero, segundo y término enésimo.
• Una segunda forma de definir una sucesión es
asignando un valor al primer término(o primeros
términos), y especificando el n-ésimo término
por una fórmula o ecuación que involucre uno o
más de los términos que le preceden.

3. Ejemplos de Sucesiones
• Escribir los primeros
seis términos de la
siguiente sucesión.
{an} = n – 1
n
a1 = 0
a2 = 1/2
a3 = 2/3
a4 = 3/4
a5 = 4/5
a6 = 5/6
• Escribir los primeros cinco
términos de la siguiente
sucesión.
u1 = 1, u2 = 1, un+2 = un+ un+1
u1 = 1; u2 = 1; u3 = u1+ u2 =2
u4 = u2 + u3 = 1 + 2 = 3
u5 = u3 + u4 = 2 + 3 = 5
• Esta sucesión se llama
Sucesión de Fibonacci, y
los términos de esta
sucesión son llamados
números de Fibonacci.

4. Notación de Sumatoria
• Con frecuencia es importante poder determinar la
suma de los primeros n términos de una sucesión
{an }, es decir,
a1 + a2 + a3 +………..an
Sin embargo, en lugar de escribir todos los
términos, introducimos una forma más concisa
de expresar esta suma, llamada notación de
sumatoria.
Usando ésta notación: a1+ a2 + a3+…+an = n
k =1 ak

5. Ejemplos en notación de sumatoria
• Expresar cada suma usando la notación de sumatoria.
a) 12 + 22 + 32 +………+ n2
b) 1 + 1/2 +1/4 +1/8 + ……+ 1/(2n - 1)
En el primer literal la suma tiene n términos, cada uno de
la forma k2, inicia en k = 1 y termina en
k = n. De este modo,
12 + 22 + 32 +………+ n2 = n
k=1 k2
En el segundo literal la sucesión tiene n términos, cada uno
de la forma 1/(2k – 1), inicia en k = 1 y termina en k = n.
Por lo tanto.
1 + 1/2 +1/4 +1/8 + ……+ 1/(2n - 1) = n
k=1 1/(2k – 1).
El índice de la sumatoria no siempre necesita empezar en 1
ni terminar en n.

6. Para Reflexionar
• Una colonia de conejos empieza con una
pareja de conejos maduros, la cual procreará
una pareja de descendientes (un macho y
una hembra) cada mes. Suponga que todos
los conejos maduran en un mes y procrean
una pareja de descendientes (un macho y
una hembra) después de 2 meses. Si ningún
conejo muere. Cuántas parejas de conejos
maduros habrá dentro de 7 meses?
• Rp: 21

7. Sucesión Aritmética
• Cuando la diferencia entre términos consecutivos
de una sucesión siempre es el mismo número, la
sucesión es llamada aritmética. Por lo tanto:
an = a + ( n – 1)r
Nomenclatura:
an = término enésimo o último término
a = primer término de la progresión.
n = número de términos.
r = razón o diferencia.

8. Observaciones
• De acuerdo a la ecuación an = a + ( n – 1)r; se deduce:
a3 = a + 2r ; a6 = a + 5r y así sucesivamente.
• Para hallar un medio aritmético (interpolar) se necesita
el valor de la razón.
• Para determinar la suma de términos de una progresión
aritmética, podemos utilizar:
Sn = (an + a ) n o Sn = [2a + (n – 1 )r]n
2 2
Dada la siguiente sucesión: 1.3.5.7.9.11.13.
Observamos que: la suma del primero y el séptimo, al
igual que la suma del segundo y el sexto término, al
igual que la suma del tercero y el quinto término es 14,
siendo el término central la mitad de éste valor.

9. Problemas de Progresión Aritmética
• Un piso de mosaico de cerámica está disenado en forma
de trapecio regular, con 20 pies de ancho en la base y 10
pies de ancho en la parte superior. Los mosaicos de 12
por 12 pulgadas, serán colocados de modo que cada fila
sucesiva tenga un mosaico menos que la anterior.
Cuántos mosaicos se necesitarán? Rp: 165.
• Una pelota rueda por un plano inclinado, partiendo del
reposo, de forma que en el primer segundo recorre 3 cm,
en el segundo 5 cm, en el tercero 7 cm, etc. Hallar el
tiempo que tardará en recorrer 120 cm. Rp:10seg.
• El primer término de una progresión aritmética es 4 y el
último 34. Sabiendo que la suma de sus términos es 247,
hallar el número de términos y la razón. Rp: 13 y 5/2

10. Progresión Geométrica
• Cuando el cociente entre los términos
consecutivos es el mismo número, se llama
progresión geométrica.
an = ar (n – 1)
Nomenclatura:
an = término enésimo o último término
a = primer término de la progresión.
n = número de términos.
r = razón o cociente.

11. Observaciones Generales.
• De acuerdo a la ecuación: an = ar (n – 1) ,se puede
establecer:
a7 = ar 6 ; a10 = ar 9 y así sucesivamente.
• Para determinar medios geométricos se debe conocer el
valor de la razón.
• Se calcula la suma de términos en una progresión
geométrica con las ecuaciones:
Sn = an r – a o Sn = a( r n - 1)
r - 1 r – 1
• En la siguiente progresión: 3.9.27.81.243. Si se
multiplican el primero con el quinto término así como el
segundo con el cuarto término el valor es 729 y el
término central es la raíz cuadrada de dicho producto.

12. Ejercicios de Sucesiones Geométricas
• Joseph vende 120 teléfonos en 4 días. Si cada
día vendió 1/3 de lo que vendió el día anterior,
entonces cuánto vendió el primer día.
• an = ar (n – 1), Sn = a( r n - 1)
r – 1
120 = a[(1/3)4 – 1] ; 120 = a(1/81 –1)
(1/3) – 1 - 2/3
120(-2/3) = a(-80/81); 120 = a(40/27);
a = 81 Rp:81 teléfonos

13. Otras Progresiones
• Progresiones geométricas infintas.- La suma S
de los términos de una progresión geométrica
infinita de razón r, en valor absoluto menor que
la unidad viene dada por: S = a , siendo
| r | < 1 1 - r
• Progresiones armónicas.- Es una sucesión de
números cuyos recrípocos forman una progresión
aritmética.Ejemplo: 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10….. Es
una progresión armónica, ya que 2,4,6,8,10,….
Es una progresión aritmética

14. Problemas de progresiones geométricas
• El primer término de una progresión geométrica es 3 y el
último 48. Sabiendo que cada término es el doble del
anterior, hallar el número de términos y la suma de todos
ellos. Rp 5 y 93.
• En una progresión geométrica el segundo término excede
al primero en 4 unidades y la suma del segundo y el
tercero es 24. Demostrar que es posible encontrar dos
p.g, que satisfagan estas condiciones y hallar la suma de
los cinco primeros términos de cada una de ellas.
Rp: 2,6,18,….S = 242; 4,8,16,…..S = 124
• Se supone que el teorema, o fórmula, es cierto para n =
k, y a continuación, se demuestra que también se verifica
para el siguiente n = k + 1.

15. Inducción Matemática
• El principio matemático de inducción completa
es un procedimiento que sirve para demostrar un
teorema general, o una fórmula, a partir de casos
particulares. Para hacer una demostración por
éste método se procede de la forma siguiente:
• Se comprueba por simple sustitución, que el
teorema propuesto, o fórmula, se verifica para los
primeros valores de n, enteros y positivos.

16. Demostraciones por Inducción
• 1 + 2 + 3 + ……+ n = n( n + 1 )
2
• 12 + 22 + 32 + ……+ n2 = n( n +1)(2n + 1)
6
• 1.3 + 2.32 + 3.33 +..+ n. 3n = (2n –1)3n+1 + 3
4
• 1 + 1 + 1 +…. + 1 = n
1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n + 1

17. Complete el Módulo Concéntrico
Progresiones

18. Teorema del Binomio
• El patrón triangular de Pascal, también aparece cuando
se elevan expresiones “binomiales”a diferentes
potencias.
• (x +y)0 = 1
• (x +y)1 = x + y
• (x +y)2 = x2 + 2 xy + y2
• (x +y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
• Los coeficientes corresponden al triángulo de Pascal,
pero pueden verificarse por medio de cálculos directos
y por las propiedades distributivas, asociativas y
conmutativas del álgebra.

19. El símbolo n
i
• Esta expresión se lee n tomados de i en i. Si
i y n son enteros con 0  i  n, el símbolo
anterior se define como: n!
i! (n – i)!
• En una calculadora el símbolo n
puede estar denotado por i
la tecla nCr o por la tecla Comb.
• Por definición el: 0! y 1! es uno

20. Ecuación del Teorema del Binomio
• Para encontrar un término en particular, podemos
emplear la siguiente ecuación:
n
xn - i y i
i i = términos que preceden
• Ejemplo: Encontrar el coeficiente de y8 en el desarrollo
de (2y + 3)10.
Primero determinamos el lugar que corresponde al
exponente 8 y luego encontramos su coeficiente.
10 (2)8(3)2 = 10!.2 8.9 = 10.9.8! .2 8.9 = 103680
2 2!8! 2.8!

21. Ejercicios.
• Evalúe las siguientes expresiones:
5 7 7 9 50 37
3 3 5 5 48 19
• Desarolle cada expresión usando el teorema.
*(x – 2)6 * (x + 3)4 *( 3x + 2y)7 *( x - 3)8
• Utilice el teorema del binomio para encontrar el
coeficiente o el término indicado.
El coeficiente de x6 en el desarrollo de (x +3) 10
El sexto término en ( 3x + 2)8
El coeficiente de x3 en el desarrollo de (2x + 3)9
El tercer término en (5x – 3y) 12