6 act 6

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA -UNAD
Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería
Matemáticas Especiales -299010
Actividad. No. 6 Colaborativo 1
ACTIVIDAD 6 - TRABAJO COLABORATIVO 1
MATEMÁTICAS ESPECIALES
PRESENTADO POR
GRUPO 299010-6
TUTOR
MIGUEL MONTES MONTAÑO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLÓGICAS E INGENIERÍAS - ECBTI
SEPTIEMBRE DE 2014

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INTRODUCCIÓN
La constante interacción en el foro por parte de los integrantes del grupo
colaborativo, desarrollando las actividades requeridas y despejando las dudas que
se puedan presentar, genera beneficios como el aumentar los conocimientos acerca
de los temas estudiados en el primer módulo del curso, siendo una gran herramienta
en el fortalecimiento del sentido de nuestro autoaprendizaje y del concepto del
aprendizaje colaborativo
A través del desarrollo de esta actividad se pretende que se trabaje en base a las
temáticas estudiadas en la Unidad 1 del Módulo del Curso, afianzar los conceptos
aprendidos mediante la realización práctica de ejercicios y la resolución de
problemas matemáticos sobre temas básicos y fundamentales de esta materia
Por esto el desarrollo de estas actividades basadas en el reconocimiento que se ha
hecho acerca de los temas curso impulsan y estimulan a los estudiantes a aplicar la
temática aprendida en el curso para el desarrollo de las actividades estudiantiles,
personales y profesionales.

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Fase 1. Referente histórico de la transformada de Laplace.
La unidad uno del curso de Matemáticas especiales comienza dándonos un
recuento histórico acerca de Pierre Simón Laplace donde nos indican acerca de sus
orígenes humildes y como gracias a su esfuerzo, dedicación y grandes habilidades
matemáticas llega a ser nombrado profesor en la escuela militar de París llegando
incluso a ser profesor de Napoleón Bonaparte y ser miembro de la Academia de
Ciencia y en 1795, miembro de la cátedra de matemáticas del Nuevo Instituto de las
Ciencias y las Artes y posteriormente a publicar obras como Teoría analítica de las
probabilidades y en 1814 su Ensayo filosófico sobre la probabilidad, también es
recordado como un adelantado en el estudio de los fenómenos celestes.
La unidad uno continua presentándonos información acerca de la definición del
modelo de Laplace, y como a partir de los estudios de Euler quien empezó a buscar
una solución para las ecuaciones diferenciales, Laplace encontró la llave siguiente,
utilizando integrales en forma de transformaciones de ecuaciones diferenciales, que
simplemente era la forma de la solución, y encontró que la ecuación transformada
era fácil de resolver, incluso más que la original.
Continuando con la Unidad, nos presenta información acerca de la utilidad de la
transformada de Laplace, en la solución de ecuaciones integrales y sistemas de
ecuaciones diferenciales así como en la obtención de algunas interesantes
integrales; también nos presenta conceptos importantes tales como: la
transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede
ser divergente, y existen funciones para las cuales no existe dicha transformada,
incluso hay funciones discontinuas que pueden tener transformada.
La Unidad uno en su capítulo uno nos presenta información acerca de los principios
de transformadas de Laplace, teoremas que aplican con su demostración, sus
propiedades, el capítulo dos nos hable de la transformada inversa de Laplace, sus
principios, linealidad y el capítulo tres trata acerca del teorema de traslación,

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funciones periódicas, impulso unitario, delta de Dirac y la aplicación de la
transformada para su solución.
Fase 2. Transferencia de los temas de la unidad.
En esta parte, el grupo de trabajo debe resolver los ejercicios propuestos de forma
analítica, y después, comprobar los resultados analíticos con los resultados que
arroje el software. Deben anexar en el trabajo final las evidencias del software.
Calcule la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
DESARROLLO
a) 𝒇( 𝒕) = 𝒆−𝒕
ℒ{𝑒−𝑡
} = ℒ{𝑒−𝑡
} Se aplica Transformada de Laplace a los dos lados
Utilizamos el primer teorema de traslación
ℒ{𝑒−𝑡
} = ℒ{𝑡} 𝑠→𝑠−(−1)
ℒ{𝑒−𝑡
} = (
1!
𝑠1+1)
𝑠→𝑠+1
Acorde a la tabla de T.L. ℒ{𝑒 𝑛
} = (
𝑛!
𝑠 𝑛+1)
ℒ{𝑒−𝑡
} = (
1!
𝑠2 )
𝑠→𝑠+1
ℒ{𝑒−𝑡
} =
1
(𝑠 + 1)2
Comprobación con Matlab

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b) 𝒇( 𝒕) = 𝒕𝒆−𝟐𝒕
Aplicamos la definición
ℒ ( 𝑡𝑒−2𝑡) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑡𝑒−2𝑡
𝑑𝑡
∞
0
Primer Teorema de translación ℒ ( 𝑡𝑒−2𝑡) = 𝐹(𝑠 − 𝑎)
Acorde a la tabla de T.L. ℒ ( 𝑡 𝑛) =
𝑛!
𝑠 𝑛+1
Se aplica tabla y teorema:
ℒ ( 𝑡𝑒−2𝑡) = 𝐹 ( 𝑠 + 2) =
1
( 𝑠+2)2
Entonces
𝓛 ( 𝒕𝒆−𝟐𝒕) =
𝟏
( 𝒔 + 𝟐) 𝟐

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e) 𝒇( 𝒕) = 𝑪𝒐𝒔𝒉( 𝟒𝒕) 𝒆−𝟐𝒕
Se aplica Transformada de Laplace a los dos lados
ℒ{ 𝐶𝑜𝑠ℎ(4𝑡) 𝑒−2𝑡 } = ℒ{ 𝐶𝑜𝑠ℎ(4𝑡) 𝑒−2𝑡 }
Utilizamos el primer teorema de traslación
ℒ{ 𝐶𝑜𝑠ℎ(4𝑡) 𝑒−2𝑡 } = ℒ{𝐶𝑜𝑠ℎ(4𝑡)} 𝑠→𝑠−(−2)
ℒ{ 𝐶𝑜𝑠ℎ(4𝑡) 𝑒−2𝑡 } = (𝑆/(𝑆^2 − 16)) 𝑆→𝑆+2
Se aplica
ℒ{ 𝐶𝑜𝑠(𝐾𝑡)} =
𝑠
𝑠2 −𝑘2
Entonces
ℒ{ 𝐶𝑜𝑠ℎ(4𝑡) 𝑒−2𝑡} =
𝑠 + 2
(𝑠 + 2)2 − 16
Encuentre la solución de las ecuaciones diferenciales aplicando la
transformada de Laplace:

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DESARROLLO
e) 𝒚′′
− 𝒚′
− 𝒚 = 𝟎 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒚( 𝟎) = 𝟎, 𝒚′( 𝟎) = 𝟐
ℒ{Y′′} − ℒ{Y′} − ℒ{Y} = 0
𝑠2
𝑌( 𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦′(0)− 𝑠𝑌( 𝑠) − 𝑦(0)− 𝑌( 𝑠) = 0
Al Reemplazar cuando 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 2
Tendremos
𝑠2
𝑌( 𝑠) − 2 − 𝑠 𝑦( 𝑠) − 𝑌( 𝑠) = 0
𝑠2
𝑌( 𝑠) − 𝑠 𝑦( 𝑠) − 𝑌( 𝑠) = 2
𝑌( 𝑠)[ 𝑠2
− 𝑠 − 1] = 2
Entonces
𝒀( 𝒔) =
𝟐
𝒔 𝟐 − 𝒔 − 𝟏

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REFERENCIAS
 Vanegas, O, (2012), Módulo del curso Matemáticas especiales, Universidad
Nacional Abierta y a Distancia (UNAD)
 Pargada, M. (s.f.), La transformada de Laplace, recuperado de:
http://www.tecnun.es/asignaturas/metmat/Texto/En_web/Transformada_de_Laplace/Transf
ormada_de_Laplace_1.pdf
 KHMER ELITE, (s.f.), Transformada directa e inversa de Laplace en Matlab
2012, recuperado de:
http://khmertube.khmerelite.ws/index.php/view/oOy0q7xB0CI&searchsub=trans
formada%20directa%20e%20inversa%20de%20laplace%20en%20Matlab2012
#.VBthMBYSl5I
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