Aplicación e importancia de La transformada de Laplace y Series de Fourier en la Ingeniería de Telecomunicaciones.

1. Proyecto de Aplicación de La transformada de
Laplace y Series de Fourier en la Ingeniería de
Telecomunicaciones
Asignatura: Matemática IV. SAIA “D”.
Profesora: Marleny Carrero de Parra
Alumno: Valentino Raffaele Crocetta.
C:I: 10.144.294. Julio de 2013.

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Índice
Índice………………………………………………………………..……………..2.
Introducción…………………………………………………..…………………3.
Antecedentes…………………….……………………………..……………...4.
Definición de Series de Fourier………………………..……………….8.
Teorema de Dirichlet………………………………..………………………9.
Forma compacta de la serie de Fourier……….……..…………..10.
Forma exponencial de la serie de Fourier…………...………….10.
Formulación moderna de serie de Fourier……..……….………11.
Definición de Transformada de Fourier………..…………...……12.
Propiedades básicas de Fourier…………..………………….……...13.
Interpretación geométrica de Fourier…………….………….…..15.
Transformada de Laplace…………………………………..…………..16.
Propiedades de la transformada de Laplace……….…..……..16.
Tabla de las transformadas de Laplace más comunes......18.
Anexos………………………………………………………………….…..…….19.
Conclusiones……………………………………………….……….…….……21.
Bibliografía……………………………………………….…….………..…….23.

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Introducción
El presente proyecto de aplicación ha sido realizado con la finalidad de demostrar
nuestros conocimientos de acuerdo al aprendizaje adquirido en la asignatura de
Matemática IV, en lo referente a laaplicación e importancia de La transformada de Laplace
y Series de Fourier en la Ingeniería de Telecomunicaciones. También sirve de aporte como
material de apoyo para otros estudiantes o material de consulta para quien lo requiera.
Los números complejos son una herramienta básica de cálculo. Son especialmente
útiles para trabajar con funciones sinusoidales, y por eso se hace uso constante de ellos
siempre que representamos una señal electromagnética por medio de dichas funciones, y
no hay que olvidar que ese es el propósito básico de los Métodos de Fourier. La
Transformada de Fourier Discreta, es una herramienta fundamental en el tratamiento
digital de señales, ésta toma valores complejos. Las transformadasde Fourier y de Laplace
son funciones complejas. La transformada z, al igual que otras transformadas de uso
frecuente, se definen como una serie de números complejos. La función
exponencialcompleja desempeña un papel fundamental en el estudio de los sistemas LTI
(sistemas linealesinvariantes en el tiempo) y también en la teoría de las ecuaciones
diferenciales lineales.
La meta de todo esto, es aprender acerca del diseño de sistemas de
Telecomunicaciones, donde todos los métodos son concernientes a encontrar la salida de
un sistema para una entrada determinada. La convolución puede ser pensada como un
método de fuerza bruta para lograr esto, mientras que los otros métodos convierten la
señal desde el dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, donde calcular la salida es
mucho más fácil.
Antecedentes

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La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático francés
Pierre Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la probabilidad. En 1744,
Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales de la forma:
Como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y pronto
abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, también investigó
ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en un trabajo sobre
funciones de densidad de probabilidad de la forma:
Que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace.
Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y
siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de
Ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el
problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones
Pierre Simon Laplace, nació el 28 de
marzo de 1749 en París, falleció el 5
de marzo de 1827; Fue un
astrónomo, físico y matemático
francés que inventó y desarrolló la
transformada de Laplace y la
ecuación de Laplace. Expuso una
teoría sobre la formación del Sol y
del sistema solar a partir de una
nebulosa o remolino de polvo y gas.
Esta "Hipótesis nebular" permanece
en nuestros días como el
fundamento básico de toda la teoría
de la formación estelar.

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dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una
integral de la forma:
Análoga a la transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación
diferencial en una ecuación algebraica, de la que buscó su solución. Planteó alguna de las
principales propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoció que el método
de Joseph Fourier para resolver por medio de series de Fourier la ecuación de difusión
podría relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones
periódicas.
Pese al logro, las transformadas de Laplace, pronto cayeron en un relativo olvido,
al haber sido presentadas en el campo de la probabilidad, y ser tratadas sobre todo como
objetos matemáticos meramente teóricos.
La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría subyacente
surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones
diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el ingeniero inglés Oliver Heaviside
(1850-1925) descubrió que los operadores diferenciales podían tratarse analíticamente
como variables algebraicas. De acuerdo con el "cálculo operacional", si se tiene una
ecuación diferencial de la forma:
Donde D es el operador diferencial, esto es, entonces la solución general a
dicha ecuación es de la forma:
Heaviside observó que si se trataba al operador D como una variable algebraica,
era posible alcanzar igualmente la solución de toda ecuación pareja a la de arriba. En
efecto, según la solución general, se cumple que:
Entonces, si se considera una ecuación diferencial de segundo orden como la
siguiente:

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Esta puede reescribirse en para resaltar el operador D como:
Heaviside propuso despejar y y tratar a D algebraicamente, en cuyo caso se tendría
que:
Sustituyendo las fracciones en D por la expresión integral de las mismas arriba
presentada, se llega a la solución de la ecuación diferencial:
Heaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de
la física y la ingeniería hizo que pronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de
Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las críticas de algunos matemáticos puristas que
los rechazaron, argumentando que los resultados de Heaviside, no podían surgir de tal
forma. No obstante, el éxito del método hizo que pronto fuera adoptado por ingenieros y
físicos de todo el mundo, de manera que, al final atrajo la atención de cierto número de
matemáticos, tratando de justificar el método de manera rigurosa. Tras varias décadas de
intentos, se descubrió que la Transformada descubierta por Laplace hacía un siglo no sólo
ofrecía un fundamento teórico al método de cálculo operacional de Heaviside, sino que
además ofrecía una alternativa mucho más sistemática a tales métodos.
En general, la transformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales con condiciones iniciales en el origen. Una de sus ventajas más
significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y
división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones
polinómicas, mucho más fáciles de resolver.
Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirtió en una
herramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de los
campos donde ha sido aplicada con más éxito. De tal manera que, el estudio de la
transformada de Laplace, se hace indispensable en el campo de la ingeniería de
Telecomunicaciones.

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Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una
función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la
herramienta matemática básica del análisis de Fourier, empleado para analizar funciones
periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de
funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con
frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph
Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que
estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y
1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una
herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación
incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y
compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de tele-comunicaciones, y
a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se
puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al
uso de un analizador de espectros.
Las series de Fourier tienen la forma:
Jean Baptiste Joseph Fourier, nació el 21
de marzo de 1768 en Auxerre, falleció el
16 de mayo de 1830 en París; Fue un
matemático y físico francés conocido por
sus trabajos sobre la descomposición de
funciones periódicas en series trigo-
nométricas convergentes llamadas Series
de Fourier, método con el cual consiguió
resolver la ecuación del calor. La trans-
formada de Fourier recibe su nombre en
su honor. Fue el primero en dar una
explicación científica al efecto inver-
nadero. Se le dedicó un asteroide que
lleva su nombre y que fue descubierto en
1992.

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Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función
Las primeras cuatro aproximaciones para una función periódica escalonada.
Definición de Series de Fourier:
Si , es una función (o señal) periódica y su período es , la serie de Fourier
asociada a , es:

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Donde , y , son los coeficientes de Fourier que toman los valores:
Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma
compleja:
Los coeficientes ahora serían:
Otra forma de definir la serie de Fourier es:
Dónde:
Siendo :
A esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie trigonométrica de Fourier.
Teorema de Dirichlet:
Teorema de Dirichlet o Convergencia a una función periódica:
Supongamos que f(x) es una función periódica, continua a trozos y acotada, que en
un periodo tiene un número finito de máximos y mínimos locales y un número finito de
discontinuidades, de período 2p. Sean:

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Entonces la serie converge a:
En donde:
Forma compacta de la serie de Fourier:
En ocasiones es más útil conocer la amplitud y la fase en términos cosenoidales en
lugar de amplitudes cosenoidales y senoidal.
Otra forma de expresar la compleja forma de la serie de Fourier es:
Donde:
Forma exponencial de la serie de Fourier:
Por la identidad de Euler para la exponencial compleja, operando adecuadamente,
si:
La serie de Fourier se puede expresar como la suma de dos series:
En forma más compacta:

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Estas ecuaciones solo son válidas cuando el periodo con
Otra forma de expresar la forma compleja de la serie de Fourier es:
Donde:
Formulación moderna deserie de Fourier:
Realmente el desarrollo en serie de Fourier se hace para funciones de cuadrado
integrable, es decir, para funciones que cumplan que:
El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo se
denota con Este conjunto, tiene definido un producto interno dado por:
que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, que todas las
funciones de puedan desarrollarse en series de Fourier. Así,el conjunto de
funciones exponenciales es una base ortonormal del espacio
El desarrollo de Fourier se puede expresar como:

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Donde: son los coeficientes del desarrollo de Fourier.
Por último, la identidad de Parseval dice que dada una función de cuadrado
integrable y los coeficientes de Fourier se verifica que:
En lenguaje técnico, podríamos decir que hay una isometría entre el espacio de
funciones de cuadrado integrable y el espacio de sucesiones lineales indexadas en los
enteros cuyos términos tienen cuadrados sumables.
Definición deTransformada de Fourier:
La Transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una
función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda
auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que
finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que
pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias
contenidas en todos los tiempos en que existió la señal; es decir, en la transformada de
Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función.
Sea f una función Lebesgue integrable:
La transformada de Fourier de f es la función:
Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una
estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F(f) es una función acotada.
Además por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que F(f) es
continua.
La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:

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La única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier
inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de
Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a
esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación
de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la
aplicación de la Varianza para cada función.
Propiedades básicas de Fourier:
La transformada de Fourier es una aplicación lineal:
Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable f:
1.- Cambio de escala:
2.- Traslación:
3.- Traslación en la variable transformada:
4.- Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables:
5.- Derivada de la transformada: Si f y t → f(t) son integrables, la transformada de
Fourier F(f) es diferenciable:
Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o integración por
partes.

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En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones f, g en la recta se define
de la manera siguiente:
Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado
de los resultados como el que sigue: Si f y g son funciones absolutamente integrables, la
convolución también es integrable, y vale la igualdad:
También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable
transformada:
Pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de
Fourier.
Tabla de transformadas básicas
En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo diferente de
siendo frecuente en ingeniería el uso de un factor unidad en la transformada directa
y un factor de en la transformada inversa. A continuación se lista una tabla de
funciones y sus transformadas de Fourier con un factor unidad. Si se desea utilizar otro
factor, sólo debe multiplicar la segunda columna por ese factor.
Función Transformada
(Función unitaria de Heaviside)

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Interpretación geométricade Fourier:
Definido el producto escalar entre funciones de la siguiente manera:

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La transformada de Fourier se puede entender como el producto escalar entre la
función x(t) y la exponencial compleja evaluado sobre todo el rango de frecuencias
f. Por la interpretación usual del producto escalar, en aquellas frecuencias en las que la
transformada tiene un valor mayor, más parecido tiene x(t) con una exponencial
compleja.
Transformada de Laplace:
La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones
diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números
positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:
Siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una
distribución con una singularidad en 0, la definición es:
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la
versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define
como sigue:
La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s
> a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
es llamado el operador de la transformada de Laplace.
Propiedades de la transformada de Laplace:
Linealidad:

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Derivación:
Integración:
Dualidad:
Desplazamiento de la frecuencia:
Desplazamiento temporal:
Donde: es la función escalón unitario.
Convolución:
Transformada de Laplace de una función con periodo p:
Condiciones de convergencia:

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(que crece más rápido que ) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya
que: es una función de orden exponencial de ángulos.
Teorema del valor inicial:
Sea una función derivable a trozos y que Entonces :
es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.
Tabla de las transformadas de Laplace más comunes:
La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para
funciones de una sola variable.
Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de
Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término.
Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella denota a la llamada
función de Heaviside o función escalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0
cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor
1/2, aunque esto no tiene relevancia práctica.

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Anexos

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La resolución de estos circuitos puede hacerse con generalizaciones de las leyes de
Kirchoff, pero requiere usualmente métodos matemáticos avanzados, como el de
Transformada de Laplace, para describir los comportamientos transitorios y estacionarios
de los mismos.

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Conclusiones
En la Ingeniería de Telecomunicaciones, La transformada de Fourier se utiliza para
pasar al dominio de la frecuencia una señal para así obtener información que no es
evidente en el dominio temporal. Por ejemplo, es más fácil saber sobre qué ancho de
banda se concentra la energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia.
También sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor facilidad y, por
consiguiente, se usa para el diseño de controladores clásicos de sistemas realimentados si
conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad
espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño de filtros de radio-transistores.
La transformada de Fourier también se utiliza en el ámbito del tratamiento digital
de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una imagen
fotográfica o tomada con una computadora.
El análisis de señales en el dominio de la frecuencia se realiza a través de las series
de Fourier, por cuanto es muy común, reemplazar la variable x por ωt, resultando las
componentes:
Por lo tanto:
La Serie de Fourier tiene aplicaciones en el campo de la Ingeniería de Telecomunicaciones,
tales como:
- Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la
superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de amplitud
variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
- Análisis en el comportamiento armónico de una señal.
- Reforzamiento de señales.
- Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la
señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de
transformadas de Laplace y/o solución en régimen permanente senoidal en el
dominio de la frecuencia.

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- La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente
computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión
del calor, la teoría de placas, etc.

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Bibliografía
http://www.monografias.com/trabajos32/fourier-y-laplace/fourier-y-laplace.shtml
http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace
http://es.wikibooks.org/wiki/Introducci%C3%B3n_a_Se%C3%B1ales,_Sistemas_y_Control#Transfo
rmada_de_Laplace
http://portal.iteso.mx/portal/page/portal/Dependencias/Rectoria/Dependencias/Direccion_Gener
al_Academica/Dependencias/Depto_de_estudios_sociopoliticos_y_juridicos/Programas_academic
os/RN/Programa/ProyectodeAplicacionProfesional
http://www.slideshare.net/reyjo/reynaldo-arenas