El documento describe los tipos de proyecciones estereográficas y cómo se usan para representar planos geológicos en dos dimensiones. Existen proyecciones equiangular que preservan los ángulos pero distorsionan las distancias, y proyecciones equidistantes que preservan las distancias pero distorsionan los ángulos. La proyección de Schmidt preserva las distancias y se usa comúnmente en geología estructural. El documento explica cómo proyectar un plano geológico usando su línea normal, y cómo represent

1. 1. Introducción:
Proyecciones estereográficas transfieren un objeto de tres dimensiones a una superficie de dos
dimensiones (papel). Durante este proceso matemático se pierde informaciones. Generalmente se
conocen proyecciones cuales traspasan los ángulos correctos pero las distancias salen falso o
distorsionado o proyecciones con las distancias correctas pero con los ángulos incorrectos.
Además existe un gran numero de proyecciones entre los dos extremos. Pero nunca ambos
parámetros salen sin distorsión. El uso más común de proyecciones es por supuesto la topografía y
la cartografía. Una carta es una proyección de la tierra redonda a un plano. Los cartógrafos se
enfrentan con los mismos problemas ya mencionados: La carta aparece distorsionado por sus
ángulos o por sus distancias - o se buscan proyecciones "intermedias" que cometen ambos errores
pero en una forma disminuida..
En la geología, especialmente en la geología estructural y en la cristalografía, se necesitan un
método para visualizar la orientación de los planos geológicos en diagramas. El problema principal
es, que los planos cubren los tres dimensiones (orientación de un plano) y un papel tiene
solamente dos dimensiones. Entonces se usan los proyecciones para reducir un objeto
tridimensional a un grafico (diagrama) de dos dimensiones.
2. Tipos de proyecciones:
Equiangular: Ánguloscorrectos,distanciasfalsas=Redde WULFF
Se usan este proyecciónenlacristalografíaparadefinirlosángulosenuncristal.
Equidistancial:Distanciascorrectas,ángulosfalsos=Red de SCHMIDT
Esta proyecciónsirve parala geologíaestructural porque se puede trabajarestadísticamente.
3. Idea de una proyección:
Para proyectar un plano geológico de tres dimensiones a un papel (de dos dimensiones) se usan la
línea normal del plano. La línea normal de un plano es la línea (imaginaria) perpendicular del
plano. Cada plano entonces tiene su línea normal. Para cada línea normal solamente existe un
plano correspondiente. La línea normal funciona como definición de un plano.
Se usa el hemisferio abajo o sur para ejecutar la proyección. La línea normal del plano de interés
cruza el punto central para choquear con el hemisferio y se proyecta hacia arriba a la superficie
abierta del hemisferio. Este punto se llama polo (π).

2. Entonces toda la información de un plano geológico a respecto de su orientación está adentro de
un punto en la red de SCHMIDT. Cada punto define exactamente la orientación de un plano.
1. Uso de la red:
El uso de la proyección estereográfica en papel "artesanal" todavía tiene algunas ventajas,
especialmente para aprender como funciona, pero con pocos datos (10 o menos) es más rápido en
comparación del uso de un programa computacional. Además algunos programas computacionales
no trabajan como deseado - existen trampas y fácilmente se comete errores. Por eso antes de usar
un programa siempre hay que hacer una comparación de algunos datos procesados en el
computador con los mismos datos procesados en una forma "artesanal" en papel. Sí coinciden
ambos versiones no hay problemas.

3. 1.1 Preparación de la hoja
Para ingresar puntos a la red de Schmidt se necesita la pauta (Original de la red), un papel
transparente (diamante, mantequilla, poliéster etc.) un chinche (no el animal! - de metal con cabeza
plana).

4. 2. Ingreso de los planos
Computación:
Hoy día se usa generalmente programas computacionales para realzar trabajos con la proyección
estereográfica. La ventaja es impresionante por eso las proyecciones de la red de Wulff o red de
Schmidt eran unos de los pioneros en el uso de la informática - durante una época donde
realmente era difícil encontrar una aplicación útil para computadores.
El ingreso de los datos no siempre es fácil. Al primero hay que verificar que tipo de datos espere el
programa. Significa puede ser "tipo americano", "medio circulo" o circulo completo. Más encima
hay que verificar la forma de los datos (puede ser por ejemplo 198/34 o 34 - 198). Además hay que
verificar el programa espera datos de 400 o de 360º. Se recomienda de realizar una "marcha
blanca" con algunos tres o cuatro datos para verificar como se quedan y eliminar problemas antes
del ingreso de un set de 2000 datos.
Algunos programas antiguas o versiones antiguas (por ejemplo DIPs 3) necesitan un "editor" es
decir un pequeño programa para ingresar los datos con el formato "txt". Hay que cumplir 100% el
formato pedido por el programa, especialmente el cabezal y el fin. En este caso se recomienda el
uso de un set de datos antiguos - guardando bajo otro nombre - borrando los datos antiguos y
reemplazando con los datos nuevos.

5. El ingreso de los datos tectónicos toma su tiempo. Un buen estudio puede llegar a 4000 y más
datos. La manera más eficiente y seguro es el uso de notaciones con pocos dígitos, por ejemplo la
notación del circulo completo. Un plano corresponde a 2 (dos!) números. La notación tipo
americana pide el ingreso de 5 números o letras.
Red de Schmidt (Falsilla de Schmidt)
Construcción del "Circulo máximo"
1. Idea:
El circulo máximo es la proyección del plano entero a la red de Schmidt. Significa como resultado
sale una línea desde un borde hacia el otro, con una distancia de 180º.
El circulo máximo solamente es una otra manera de proyectar un plano geológico. La ventaja del
circulo máximo al respeto del polo (punto) de una línea normal es: El circulo máximo es más fácil
para interpretar y la base de algunos interpretaciones avanzadas. Las desventaja del circulo
máximo es que la transparencia solamente permite el dibujo de algunos 5 hacia 10 círculos. Con
una cantidad mayor no se ve nada.
Por eso normalmente se ingresan los datos como polo (punto) de la línea normal (véase: línea
normal), después se juntan los elementos en "nubes de puntos" con un promedio - un máximo -
gráfico (Se aplica la red de conteo y isolineas para definir el punto medio de la distribución, el punto
o polo principal) y para estos puntos principales (promedios) se buscan el circulo máximo
correspondiente. Es decir, se busca el "promedio gráfico" de una acumulación de puntos, y
solamente este valor - el promedio se traduce a un circulo máximo.
2. Búsqueda del circulo máximo:
Un plano geológico y la línea normal de este plano tienen una diferencia de 90º a todos lados los
lados. Significa que el punto o polo que sale en la proyección (como resultado de la línea normal)
tiene una distancia de 90º al circulo máximo del mismo plano. La tarea es la búsqueda de una línea
en la proyección estereográfica cual tiene siempre una distancia de 90º hacia al punto / polo.

6. A - C) se gira la transparencia hasta que el polo se ubica encima del eje E -W, puede ser centro - E
o centro - W.
D) se cuenta 90º de distancia a lo largo del eje E -W, traspasando el chinche.
E) Resulta un punto, que sirve como punto de inicio del circulo máximo - el circulo máximo entero
se pauta de la hoja original de la proyección estereográfica.
F) se gira la transparencia a su orientación original (Norte arriba)
G) se saca la pauta original de la proyección.
La ventaja del circulo máximo es su fácil interpretación:
- un circulo máximo recto corresponde a un plano vertical, la orientación en la proyección
corresponde a la orientación en la naturaleza.
- un circulo máximo curvado corresponde a un plano con una cierta inclinación. La curva siempre
marca hacia la dirección de inclinación (en el ejemplo arriba entonces NE).
-la distancia entre el centro (chinche) y curva corresponde al manteo. Significa planos verticales o
subverticales tienen una ubicación muy cercana del centro. Planos casi-horizontales tienen una
curva muy amplia, ubicándose cerca del margen.
- Planos horizontales coinciden con el margen.
Además el circulo máximo es la base de muchos aplicaciones avanzadas - por ejemplo:
a) La intersección de dos círculos máximos corresponde con la línea de intersección en la realidad.
b) Tres planos - entonces tres círculos máximos pueden formar una cuña.
c) Socavones, piques, túneles corresponden a lineaciones - se puede graficar la simetría entre los
labores y elementos tectónicos - para planificar el trayecto más conveniente de los futuros labores.
d) perforaciones y anclajes corresponden también a lineaciones - se puede buscar la manera más
segura y más eficiente de instalar un sistema de anclajes.

7. e) reconocimiento de mega-estructuras tectónicas como pliegues: Un circulo máximo no solamente
proyecta un plano, el circulo máximo también puede coincidir con un set de datos tomados en un
pliegue. Para entender pliegues de gran escala - especialmente con eje inclinado ayuda bastante
la proyección estereográfica.
Red de Schmidt (Falsilla de Schmidt)
Intersección de dos planos
Dos planos (no paralelos) se interceptan. La intersección es una lineación - una línea. Un ejemplo
serían los paredes de una sala. La intersección de dos paredes será el rincón. Este rincón se
puede describir como una línea vertical y es el resultado de las dos paredes. En la geología en
algunos casos la intersección de dos planos marca una línea de alta importancia. Por ejemplo la
situación típica en los yacimientos históricos en la Región Atacama (Chile) - la intersección de dos
vetas en el sector Chañarcillo o Tres Puntas eran los sectores más ricos en plata - se llamaba
"cruceros". Hasta hoy día este fenómeno es visible en muchos yacimientos actuales. Véase
Apuntes Depósitos Minerales >>.
Identificación de la intersección:
Los dos planos ya están en la proyección (ejemplo f1 y f2) como polo (x) y como circulo máximo
(figura 3). Lógicamente, donde se cruzan los círculos máximos se "ubica" la intersección. No hay
que olvidar que la palabra "ubicación" se refiere a una orientación en un espacio tres dimensional.
Figura 1: Dos planos se interceptan
y forman una lineación. Lineaciones
tienen igual que planos una
dirección de inclinación y un manteo
solamente se llama trend
(corresponde a la dirección) y
plunge (corresponde al manteo).

8. Figura 2: Los dos planos y la lineación se puede proyectar a la red de Schmidt.
Como la Red de Schmidt originalmente tenía el objetivo de calcular lineaciones todo el
procedimiento de llegar a un número es muy fácil:
1. Lineaciones se ubican como se piensa. Una lineación inclinándose hacía al sur sería un punto
en el sector sur de la proyección. Una lineación vertical sería un punto en el centro. Entonces en el
ejemplo (dibujo 1) f1 y f2 se interceptan en el sector ENE con un manteo bien vertical (muy cerca
del centro).
Para llegar a los valores precisos hay que hacer siguiente maniobra:

9. Figura 3: Situación inicial. f1 y f2 se interceptan en el sector ENE en poca distancia del centro -
significa un manteo alto. Se puede estimar entonces un valor de 80/70
1. Moviendo la transparencia hasta que la intersección se queda encima del eje "Norte - Centro"
2. La "dirección de inclinación" (correcto es la palabra "trend" - por que es una lineación) se toma
en la distancia entre Norte(copia proyección) hacía N(transparencia) en el sentido contrarreloj!
3. El "manteo" (correcto es la palabra "plunge" - por que es una lineación) corresponde a la
distancia entre Norte y intersección (Ejemplo: la flecha azul "mt")

10. Figura 4: Se giró la transparencia hasta que se quedó la intersección justamente encima el eje
Norte - centro. La dirección de la inclinación de la lineación corresponde a la distancia N(pauta
arriba) hasta N transparencia - tomada siempre contrarreloj.