El documento describe el modelo logístico para modelar el crecimiento de una población de insectos a través del tiempo. La ecuación logística discreta (Pn+1 = kPn(1 - Pn)) define una sucesión que mide el tamaño de la población en cada generación. Este modelo discreto es preferible para poblaciones de insectos donde la reproducción y muerte ocurren periódicamente. Mediante modelización con MATLAB, se ha demostrado que la sucesión logística actúa como un modelo de bifurcaciones que muestra comportamiento caótico.

1. 
Resumen-- Una secuencia que surge en la ecología como un
modelo de crecimiento de la población está definida por la
ecuación logística en diferencia: Pn+1 = kPn(1 - Pn), donde Pn, mide
el tamaño de la población de la enésima generación de una sola
especie.
La forma de esta sucesión es similar a la ecuación diferencial
logística: dP/dt = kP(1 - P/k). El modelo discreto -con sucesiones
en lugar de una función continua- es preferible para modelar las
poblaciones de insectos, donde el apareamiento y la muerte se
presentan de una manera periódica.
Por medio de una modelización con MATLAB, se ha logrado que
la sucesión logística actúe como un modelo con bifurcaciones que
muestran el comportamiento de un sistema caótico.
Palabras clave. Ecuación logística, sistema caótico, bifurcación.
Abstract. A sequence that arises in ecology as a model for
population growth is defined by the logistic difference equation:
Pn+1 = kPn(1 – Pn), where Pn, measures the size of the population of
the nth generation of a single species.
The form of this sequence is similar to the logistic differential
equation: dP/dt = kP(1 – P/k). The discrete model –with sequences
instead of continuous function– is preferable for modeling insect
populations, where mating and death occur in a periodic fashion.
By means of the modeling with MATLAB, it has been that the
logistic sequence acts as a model with bifurcations that show the
behavior of a chaotic system.
KeyWords: Logistic equation, chaotic system, bifurcation.
1 INTRODUCCIÓN
En el transcurso de muchos años, en el estudio que varias
ciencias han hecho de diferentes fenómenos se han hallado
situaciones que no ha sido posible describir de manera
satisfactoria. Por ejemplo, en el caso de la meteorología: un
problema importante es poder predecir el clima, no sólo del
día siguiente, sino en una semana, un mes, o un año después.
Sin embargo, a pesar de que esta ciencia se ha desarrollado
con celeridad y muchos científicos han trabajado en ella
durante más de un siglo, esta clase de predicciones no han
podido llevarse a cabo de manera satisfactoria [3].
H.Pabón, Docente de la Universidad De Cundinamarca, Ingeniería de
Sistemas, Fusagasugá, Colombia.
hipa2450@yahoo.com
Se puede mencionar el fenómeno de la turbulencia en física.
Cuando un fluido se mueve a lo largo de un tubo, en
determinadas condiciones, el fluido lo hace de manera muy
tranquila y regular. Se dice entonces que el flujo es laminar y
que sus propiedades han podido ser determinadas. Sin
embargo, en otras circunstancias, el flujo se vuelve turbulento:
empiezan a aparecer primero pequeños remolinos, después
remolinos más y más grandes y el movimiento del fluido se
vuelve muy irregular. Se dice que el flujo ha entrado en
turbulencia. Este efecto no se había podido entender en más de
cien años de estudio de la hidrodinámica [3].
Tampoco se han podido entender en economía los motivos por
los cuales en cierto momento el índice de la Bolsa de Valores
empieza a subir y luego baja. En diferentes ocasiones parece
ser un fenómeno del azar.
Los anteriores casos ilustran algunos de los problemas que
habían quedado sin solución. Sin embargo, con el
advenimiento de la Teoría del Caos se han podido entender
diferentes aspectos de estos fenómenos, antes incomprensibles
[3].
Algo importantísimo, común a diferentes fenómenos, es la
posibilidad de que se puedan hacer predicciones. Por ejemplo,
si dado que hoy está lloviendo, sería bueno predecir si lloverá
mañana o si lloverá un día después. Es decir, una cuestión
interesante es poder predecir lo que ocurrirá en el futuro, si se
sabe cuál es la situación actual.
Hace no más de veinte años que se ha desarrollado una
novedosa forma de abordar este tipo de situaciones. Resulta,
que muchos fenómenos completamente distintos, como la
turbulencia, el clima, el índice de la bolsa de valores, las
señales electrónicas, ciertas reacciones químicas y muchas
situaciones más, tienen comportamientos que, vistos desde
perspectivas apropiadas, son muy parecidos. Debido a este
hecho, se tratará un caso muy especial para ilustrar el
fenómeno del así llamado caos. Se va a considerar un
problema importante en ecología, a saber: cómo evoluciona en
el transcurso del tiempo una población determinada, por
ejemplo de insectos. Si se conoce el número de individuos este
ciclo de reproducción, cabe preguntar: ¿Cuántos insectos
habrá el próximo periodo, el siguiente, y subsiguientes? [3]
2 FENÓMENO LINEAL
En el desarrollo de este trabajo, se desea encontrar un modelo
que exprese el crecimiento de una población de insectos según
las observaciones hechas por un investigador anotadas en la
siguiente tabla (Tabla 1).
Modelamiento De Un Sistema Dinámico Caótico Con
Matlab: La Ecuación Logística
H. Pabón
ENGI Revista Electrónica De La Facultad De Ingeniería Vol. 1 No. 1 Julio Año 1 ISSN 2256-5612

2. Tabla 1. Observación de número de insectos durante cuatro
periodos (años)
Fuente: el autor
Si se puede descubrir la relación anterior (Tabla 1), entonces
aplicándola para un determinado periodo n se podrá conocer la
población de insectos en cualquier periodo futuro. En
matemáticas, una regla de este tipo se llama función. ¿De qué
depende dicha función? Pues, debería hacerlo de las
consideraciones en que vive la población. No dará lo mismo si
se trata de un lugar desértico o de una selva o de si la
población dispone de muchos alimentos o más bien son
escasos. Es decir, de alguna manera en la función tiene que
aparecer esta información. Además, la población que vaya a
haber el periodo siguiente dependerá de la población que
existe este en este período. Encontrar esta función se llama
hacer o construir el modelo [11].
La función más sencilla es la siguiente. Supóngase que la
población en el año 2005 empezó con 10000 insectos y que en
2006 transcurrido un año se observó una población de 12000
insectos, y así en los demás períodos, hasta el año 2008 como
se ve en la Tabla 1.
Utilizando regresión lineal con MATLAB se obtienen los
siguientes resultados [9].
>> x=[5 6 7 8]; % años 2005, 2006, 2007 y 2008
>> y=[10 12 14.4 17.28]; % observaciones de los años 2005,
2006, 2007 y 2008 en miles
>> p1=polyfit(x,y,1) % obtiene coeficientes de función lineal
p1 = 2.4240 -2.3360 % coeficientes de la función lineal
>> y1=2.4240*x-2.3360 % función lineal
y1 = 9.7840 12.2080 14.6320 17.0560 % función lineal
calculada para los cuatro años o periodos
>> p2=polyfit(x,y,2) % obtiene coeficientes de función
cuadrática
p2 = 0.2200 -0.4360 6.6840 % coeficientes de función
cuadrática
>> y2=0.2200.*x.^2-0.4360.*x+6.6840 % función cuadrática
y2 = 10.0040 11.9880 14.4120 17.2760 % función
cuadrática calculada para los cuatro años
>> plot(x,y1,'-*',x,y2,'-o',x,y,'o'), grid % grafica la función
lineal, cuadrática y los valores observados
Fig. 1. Funciones lineal y cuadrática para la población de
insectos entre los años 2005 y 2008
Se ha podido representar la información contenida en las
expresiones y1 (lineal) y y2 (cuadrática) de manera gráfica.
En las abscisas se miden los valores del periodo n, y en el otro
eje (ordenadas) los valores de y1 y y2 en Fig. 1. Debido a que
la gráfica de la función y1 es una línea recta se dice que dicha
función es lineal o que el fenómeno está representado por un
modelo lineal.
Por lo que se acaba de hacer, se puede observar que si se
conoce la función, entonces es posible determinar con
precisión la población en cualquier período futuro, lo cual se
llama extrapolación. Con MATLAB se ejecutan las siguientes
instrucciones [9]:
>> polyval(p1,15) % evalúa la función lineal en el año 2015
ans = 34.0240
>> polyval(p2,15) % evalúa la función cuadrática en el año
2015
ans = 49.6440
Se observa que hay una diferencia para este ciclo de más de
15000 insectos, que es una diferencia considerable. Se puede
notar también que la función cuadrática describe mejor el
fenómeno ya que coincide en todos los puntos dados, con los
valores observados como se ve en la Fig. 1, de manera que
posiblemente el modelo lineal no sea el más adecuado para
representar dicho fenómeno.
5 5.5 6 6.5 7 7.5 8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Nº AÑO Nº INSECTOS INCREMENTO TOTAL
0 2005 10000 2000 12000
1 2006 12000 2400 14400
2 2007 14400 2880 17280
3 2008 17280 3456 20736
MODELAMIENTO DE UN SISTEMA DINÁMICO CAÓTICO CON MATLAB: LA ECUACIÓN LOGÍSTICA

3. Fig. 2. La población de insectos y1 determinada para el
período dado.
Una consecuencia de la aplicación de esta función es que, al
transcurrir el tiempo, la población crecerá de manera
indefinida, llegará un momento en que sería tan grande que el
número de individuos de la especie no cabría en el planeta
Tierra. Está claro que un modelo como el que se acaba de
presentar -lineal o cuadrático- no puede describir de manera
correcta las variaciones reales de una población. Si esta crece
mucho, llegará un momento en que los alimentos escaseen y
no alcancen para todos los individuos y, por tanto, la
población empezará a decrecer. Este efecto debe considerarse,
por lo que la función dada en mención se deberá modificar
para que tome en cuenta que una población puede crecer, pero
hasta cierto límite, más allá del cual deberá reducirse. Por otro
lado, si la población es pequeña, entonces tendrá mucho
alimento disponible y crecerá aceleradamente.
3 FENÓMENO NO LINEAL
Las consideraciones anteriores significan que la Fig. 2 deberá
ser reemplazada por otra en la que para valores pequeños de p,
o sea de la población, la curva ascienda, mientras que para
valores muy grandes de p la curva descienda. Esta gráfica se
deberá ver como se muestra en la Fig. 3. Para que la curva
descienda, necesariamente tendrá un máximo, es decir, la
curva deberá tener la forma de una parábola invertida. El
lector se dará cuenta de que esta curva ya no es una línea
recta. Por tanto, a esta situación se le llama no lineal.
La construcción de modelos matemáticos para describir la
dinámica de una población puede ser valiosa, tanto para
predecir el comportamiento de la población durante períodos
de tiempo largos o cortos, como para ver el resultado de
manipulaciones artificiales de la población, y para descubrir
principios biológicos que pueden ser hasta ahora
desconocidos.
A fin de tratar de predecir el futuro de poblaciones se puede
introducir una función matemática que permite calcular la
población de insectos en cierto período, a partir de la existente
en el período anterior de forma secuencial discreta como debe
ser. Para tal caso se tiene:
Pn+1 = kPn (1)
Donde Pn+1 es la población del próximo período y Pn es la
población actual o del período n. También, k representa la tasa
de crecimiento y el subíndice n representa la iteración n-ésima
de la función o la generación de turno n-ésimo.
Por ejemplo, al cabo del primer período (2005), la población
de insectos se ha incrementado en un 20%, o sea la población
ahora es de 12,000 insectos que se obtiene de multiplicar la
población inicial P0 por k = 1.2. Para el período siguiente
(2006), se toma de la misma manera, multiplicando 12000 por
1.2 y al cabo del segundo período (2007) se tiene una
población de insectos de 14400 y así sucesivamente.
Fue P. Verhulst (1804–1849), matemático y biólogo belga
quien, en 1845, interesado en cómo describir
matemáticamente el crecimiento demográfico, introdujo un
nuevo e ingenioso término (1–Pn) a la ecuación anterior y dio
origen a una nueva ecuación hoy conocida como la ecuación
logística [11].
Pn+1 = kPn (1–Pn) (2)
Donde Pn+1 representa la población del siguiente periodo (o
año); Pn representa la población del período actual (o en
mención) y k la tasa de natalidad.
Pn es una medida del tamaño de la población de la n-ésima
generación de una sola especie de insectos. Con el propósito
de que los números sean manejables, Pn es una fracción del
tamaño máximo de la población, de modo que 0  Pn  1. Para
elaborar un modelo de la población de insectos, es preferible
el modelo discreto, con sucesiones como (2), en vez de
funciones continuas como en la Fig. 2.
La anterior sucesión representa un modelo matemático para
predecir a largo plazo el comportamiento de una población de
tal manera que dependa de la totalidad del ambiente. Este
término (1–Pn), vuelve no lineal a la sucesión y deja que se
afecte por las consecuencias de estar en un medio cerrado. En
el lado derecho de la sucesión, los términos Pn y (1–Pn), son
contrarios en la forma cómo actúan, pues el primero intenta
expandir la población mientras que el segundo intenta
reducirla (Fig. 3)[11].
Los valores de la población para 20 períodos consecutivos
son:
Tabla 2. Valores de la población de insectos para 25 períodos
consecutivos con k = 2.5 y P0 = 0.7
0.7000 0.5250 0.6234 0.5869 0.6061
0.5968 0.6016 0.5992 0.6004 0.5998
0.6001 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000
0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000
Fuente: el autor
5 10 15 20
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
periodos
milesdeinsectos
PABÓN

4. Fig. 3. Modificación del modelo de la Fig. 2. La población no
puede crecer indefinidamente.
Esta sucesión implica que, dado el valor de la población en el
presente período Pn, se obtendrá el valor Pn+1 de la población
para el periodo siguiente. Por conveniencia se han tomado Pn y
Pn+1 como la fracción entre los valores cero y uno, por tanto 0
 Pn  1 . El valor 0 representa la extinción de la población y
el valor 1 el valor máximo posible de la población.
Estos resultados muestran que a partir de cierto momento la
población llega a un valor que ya no cambia con el tiempo. En
este caso, la población llega al valor de 0.6000 y se estabiliza.
En el caso que se acaba de tratar, se empezó con la población
inicial de Pn = 0.7 y se terminó con 0.6000. Si en lugar de
haber empezado con 0.7 se hubiera empezado con el valor
inicial de Pn = 0.25 (para el mismo valor de k = 2.5), siguiendo
el mismo procedimiento iterativo se habrían obtenido los
siguientes valores:
Tabla 3. Valores de la población de insectos para 20 periodos
consecutivos con k = 2.5 y P0 = 0.25
0.2500 0.4688 0.6226 0.5874 0.6059
0.5970 0.6015 0.5992 0.6004 0.5998
0.6001 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000
0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000
Fuente: el autorSe llega al mismo valor final de 0.6000.
O sea, si se empieza con otra condición inicial se llega al
mismo valor final. Así se comience con el valor que sea, para
este caso de k = 2.5, siempre se llegará al mismo resultado
final de 0.6000.
Este resultado indica varias cosas acerca de la sucesión de la
Tabla 3. En primer lugar, la población no crece
indefinidamente por más iteraciones que se hagan. En segundo
lugar, después de algunos períodos se alcanza un valor que
NO depende de cuál haya sido el valor de la población
escogido inicialmente. Es decir, el valor 0.6000 no depende de
la condición inicial. Se logra así una población estacionaria: la
misma, período tras período [11].
Si se vuelve a repetir este procedimiento pero para otro valor
de k en (2) se obtendrá otro valor final. Por ejemplo, si se usa
para k el valor de 2.7, el valor final que se obtiene es 0.6296.
Nótese que para k = 2.5 se obtuvo como valor final 0.6000
Tabla 4. Para k = 2.7 y Po = 0.7 se obtiene como valor final
0.6296
0.7000 0.5670 0.6629 0.6034 0.6431
0.6173 0.6378 0.6237 0.6337 0.6267
0.6316 0.6282 0.6306 0.6289 0.6301
0.6293 0.6299 0.6295 0.6297 0.6295
0.6297 0.6296 0.6297 0.6296 0.6296
0.6296 0.6296 0.6296 0.6296 0.6296
Fuente: El autor
Fig. 4. Representación gráfica de los valores de la tabla 4.
A medida que k aumenta de valor, el valor final también
aumenta su valor. Tómese otro valor extremo, para k pequeño,
por ejemplo 0.4. Si se empieza con un valor de población de
0.3, entonces los valores de la población que se van
obteniendo son los siguientes:
Tabla 5. Valores iniciales de k = 0.4 y Po = 0.3
0.3000 0.0840 0.0308 0.0119 0.0047
0.0019 0.0007 0.0003 0.0001 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
Fuente: el autor
El valor final al que se llega es cero. ¡La población se
extingue! De hecho, para los valores de k menores o iguales
que 1, la población se extingue con el tiempo, sin importar
cuál sea su valor inicial.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.52
0.54
0.56
0.58
0.6
0.62
0.64
0.66
0.68
0.7
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.56
0.58
0.6
0.62
0.64
0.66
0.68
0.7
MODELAMIENTO DE UN SISTEMA DINÁMICO CAÓTICO CON MATLAB: LA ECUACIÓN LOGÍSTICA

5. Figura 5. Representación gráfica de la tabla 5
Ahora tómese el extremo de valores grandes de k. Por
ejemplo, se puede usar para k el valor 3.3 y el inicial de la
población de 0.6. Así se obtienen los siguientes valores:
Tabla 6. Valores iniciales de k = 3.3 y Po = 0.6
0.6000 0.7920
0.5436 0.8187
0.4898 0.8247
0.4772 0.8233
0.4801 0.8237
0.4792 0.8236
0.4795 0.8236
0.4794 0.8236
0.4794 0.8236
Fuente: el autor
Fig. 6. Representación gráfica de los valores de la Tabla 6
Ahora no se obtiene un solo valor final que se vaya repitiendo
período tras período, sino que tiene dos tendencias que se
observan claramente en Tabla 6: los valores 0.8236 y 0.4794.
Es decir, ahora la población en un período tendrá el valor de
0.4794 y el período siguiente el de 0.8236 y así
sucesivamente. Esto significa que ahora se tienen dos
tendencias finales posibles y que el valor 0.4794 se alcanza no
cada período sino cada dos períodos. Lo mismo ocurre con el
otro valor de 0.8236. Es decir, el ciclo ahora dobló su valor de
un período a dos, o sea, aparece ahora una secuencialidad de
dos períodos. Nótese que los valores 0.8236 y 0.4794 no
dependen del valor inicial que se escogió para P0. Si en lugar
de 0.6 se hubiera tomado otro valor, se llegaría a los mismos
valores finales 0.8236 y 0.4794; esto siempre y cuando se
mantenga el mismo valor de k, o sea 3.3. Se dice entonces que
se está en condiciones de período dos.
Para el valor de k = 3.5, con la condición inicial de P0 = 0.6 se
obtienen, después de varias iteraciones, no dos valores finales
sino cuatro, ver Tabla 7 [11].
Tabla 7. Valores iniciales de k = 3.5 y Po = 0.6
0.6000 0.8400 0.4704 0.8719
0.3908 0.8333 0.4862 0.8743
0.3846 0.8284 0.4976 0.8750
0.3829 0.8270 0.5008 0.8750
0.3828 0.8269 0.5009 0.8750
0.3828 0.8269 0.5009 0.8750
0.3828 0.8269 0.5009 0.8750
Fuente: El autor
Estos cuatro valores se van repitiendo, en el orden dado.
Ahora esta secuencia corresponde al período 4 como se
muestra en Fig. 7.
Fig. 7. Representación gráfica de los valores de la Tabla 7.
Si se sigue aumentando el valor de k, se obtienen ocho valores
finales. Para k = 3.55 por ejemplo, éstos se muestran en la
Tabla 8 [11].
Tabla 8. Valores iniciales de k = 3.55 y Po = 0.6
0.600
0
0.852
0
0.447
6
0.877
8
0.380
9
0.837
1
0.484
0
0.886
6
0.356
9
0.814
8
0.535
6
0.883
0
0.366
8
0.824
5
0.513
8
0.886
8
0.356
3
0.814
2
0.537
1
0.882
6
0.367
8
0.825
4
0.511
5
0.887
0
0.355
7
0.813
6
0.538
3
0.882
3
0.368
7
0.826
3
0.509
5
0.887
2
0.355
3
0.813
2
0.539
3
0.882
0
0.369
4
0.826
9
0.508
0
0.887
3
0.355
1
0.812
9
0.539
8
0.881
9
0.369
8
0.827
4
0.507
1
0.887
3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
PABÓN

6. 0.354
9
0.812
8
0.540
2
0.881
8
0.370
1
0.827
6
0.506
5
0.887
3
0.354
9
0.812
7
0.540
3
0.881
7
0.370
2
0.827
7
0.506
3
0.887
4
0.354
8
0.812
7
0.540
4
0.881
7
0.370
3
0.827
8
0.506
1
0.887
4
0.354
8
0.812
7
0.540
4
0.881
7
0.370
3
0.827
8
0.506
1
0.887
4
Fuente: El autor
Esta situación corresponde al período 8 como se muestra en
Fig. 8. Para k = 3.651, ahora los valores finales serán 16, que
ya no se anotarán (ejercicio para el lector). Al seguir
aumentando k se obtienen, sucesivamente, 32, 64, 128, ...
tendencias finales.
Si ahora se escoge para k el valor de 3.6, resulta que por más
iteraciones que se hagan no se llega a un valor final, en el
sentido de que este valor (o valores) se repita como en los
casos mencionados anteriormente. Ahora se encuentra una
sucesión de números que no se repiten y que tienen toda la
apariencia de una sucesión escogida al azar. Si se cambia la
condición inicial, pero se mantiene el valor de k = 3.6, se
obtiene otra sucesión con números distintos a los anteriores y
que tampoco adquiere valores finales que se repiten
constantemente.
Fig. 8. Representación de los valores de la Tabla 8.
Estos resultados pueden observarse haciendo la siguiente
gráfica (Fig. 9). En el eje horizontal se medirán los valores de
k; en el eje vertical se medirá(n) el (los) valor(es) final(es) que
se obtenga(n) para el correspondiente valor de k. Así:
Tabla 9. Valores iniciales de Pn = 0.6; k varía entre 0.1 y 4.06
0.1 0.0000 0.2 0.0000 0.3 0.0000 0.4 0.0000
0.5 0.0000 0.6 0.0000 0.7 0.0000 0.8 0.0000
0.9 0.0000 1.0 0.0000 1.1 0.0909 1.2 0.1666
1.3 0.2308 1.4 0.2857 1.5 0.3333 1.6 0.3750
1.7 0.4118 1.8 0.4444 1.9 0.4737 2.0 0.5000
2.1 0.5238 2.2 0.5454 2.3 0.5652 2.4 0.5830
2.5 0.6000 2.6 0.6154 2.7 0.6296 2.8 0.6429
2.9 0.6552 3.0 0.6502 3.0 0.6823 3.1 0.5580
3.1 0.7646 3.2 0.5130 3.2 0.7995 3.3 0.4794
3.3 0.8236 3.4 0.4520 3.4 0.8422 3.5 0.3828
3.5 0.5009 3.5 0.8269 3.5 0.8750 3.55 0.3548
3.55 0.3703 3.55 0.5405 3.55 0.8127 3.55 0.8278
3.55 0.8817 3.55 0.8874 3.56 8 val. 3.57 16 val.
3.58 32 val. 3.59 ¿? 3.60 64 3.61 ¿?
3.62 6?!val. 3.63 ¿? 3.64 ¿? 3.65 ¿?
3.66 ¿? 3.67 ¿? 3.68 ¿? 3.69 ¿?
3.70 ¿? 3.71 ¿? 3.72 ¿? 3.73 ¿?
3.74 5?!val. 3.75 ¿? 3.76 ¿? 3.77 ¿?
3.78 ¿? 3.79 ¿? 3.80 ¿? 3.81 ¿?
3.82 ¿? 3.83 3?!val. 3.84 5?!val. 3.85 12?val.
3.86 ¿? 3.87 ¿? 3.88 ¿? 3.89 ¿?
3.90 ¿? 3.92 ¿? 3.93 ¿? 3.94 ¿?
3.95 ¿? 3.96 ¿? 3.97 ¿? 3.98 ¿?
3.99 ¿? 4.00 ¿? 4.01 …. 4.02 ….
4.03 …. 4.04 …. 4.05 …. 4.06 ….
Fig. 8. Modelo de Mandelbrot dado por la sucesión logística
Pn+1 = k Pn(1 - Pn) con el valor inicial P0= (0.1, 0) en el área
rectangular definida por xmin = -2.5, xmax = 4.5, ymin = -
2.5, ymax = 2.5
Fuente: http://www.willamette.edu/~sekino/fractal/gallery.htm
En la Fig. 8 se puede observar que:
- Si 0 < k < 1 entonces Pn converge a 0, o sea hay extinción de
la población.
- Si 1  k <3 entonces Pn converge a 1 – 1/k, y tiende a un
sólo valor estacionario.
- Si 3  k < v entonces Pn eventualmente se vuelve periódico
con periodo 2.
- Si v < k < w entonces Pn eventualmente se vuelve periódico
con un período de la forma 2k
, y cada vez que k crece, el
periodo crece de una forma ordenada de 22
, 23
, 24
, etc. sin
acotamiento; así, de k = 1 hasta cerca de 3.58, el
comportamiento de Pn muestra el fenómeno llamado
bifurcación.
- Si w < k < 4 entonces el comportamiento de Pn llega a ser
caótico y totalmente impredecible como en la Fig. 9.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
MODELAMIENTO DE UN SISTEMA DINÁMICO CAÓTICO CON MATLAB: LA ECUACIÓN LOGÍSTICA

7. Fig. 9. Valores iniciales de k = 3.8 y Pn = 0.8 unidos los
puntos con segmentos de recta.
Como se puede apreciar en la Fig. 10, dentro de la región
caótica aparecen regiones que sí tienen valores fijos. Estas son
las regiones blancas. En efecto, para k alrededor del valor 3.84
aparece una región con valores finales bien determinados.
Ahora se obtienen tres tendencias: 0.1494, 0.4879 y 0.9594.
Al seguir aumentando k hay una bifurcación y por ejemplo,
para k = 3.846, ahora hay seis tendencias finales. Al seguir
aumentando k siguen bifurcaciones, hasta que se llega a una
nueva región caótica [11].
Fig. 10. Valores iniciales de k = 3.84 y Pn = 0.8 señalados los
puntos con asteriscos
Se puede entonces afirmar que al ir aumentando k, se pasa por
los siguientes estadios:
Extinción  Un solo valor final  Secuencial, con
periodicidades de 2n
, n = 1, 2, 3,...  Caótico  Secuencial
con periodicidades 3, 6, ...  caótico  ...
4 CONCLUSIONES
- El modelo matemático lineal de reproducción y muerte de
una especie de insectos bajo condiciones dadas no es el
modelo que describe este fenómeno, porque la población de
insectos crecería en forma lineal y tendería a ser infinita.
- El modelo matemático de la sucesión logística describe
adecuadamente el ciclo de reproducción y muerte de una
especie de insectos bajo condiciones limitadas de espacio y
alimento.
- Se analizó que si el valor del parámetro k de (2) es
suficientemente pequeño, entonces, sea cual sea el valor
inicial de la población, después de cierto número de
iteraciones se llega a un valor final que ya no cambia al seguir
iterando. Recordando que cada iteración da el valor de la
población un período después, se concluye que si k es
suficientemente pequeño, después de cierto tiempo se llega a
una población final que ya no varía en el transcurso del
tiempo.
- Si k aumenta, ocurre que después de ciertas iteraciones la
cantidad Pn adquiere dos valores. En una iteración adquiere el
primero, y en la siguiente, el segundo, y estos valores suceden
alternadamente. Esto significa que después de cierto tiempo,
en un período la población tiene un valor y al siguiente el
segundo valor. En el tercero la población vuelve a tener el
primer valor, en el cuarto el segundo valor, y así
sucesivamente. Por lo tanto, el primer valor final lo adquiere
la población cada dos períodos; lo mismo ocurre con el
segundo valor, la población lo va adquiriendo cada dos
períodos. Éste es el régimen que se llama periodicidad dos.
- Al seguir aumentando el valor de k se llega a un régimen
final en el que hay cuatro posibles valores finales de la
población, que se van alternando. Por tanto, cada uno de estos
valores se va adquiriendo cada cuatro períodos. Se está en el
caso de la periodicidad cuatro.
- Se puede continuar así, hasta que se llegue al régimen
caótico, en que cada período la población va adquiriendo
cierto valor que ya no se repite.
- Ahora bien, antes de entrar en el régimen caótico, el período
va aumentando de 1 a 2 períodos, de 4 a 8 períodos, etc., a
medida que el valor de k va aumentando. Llega un cierto
momento en que ya no se puede hablar de periodicidad, se ha
entrado en el régimen caótico.
APÉNDICE
Archivo .M de MATLAB, para calcular la convergencia o
divergencia de la sucesión estudiada.
% Laboratorio de Matematicas Especiales con MATLAB
% Tema: sucesiones logísticas
clc
k=input('Entre un valor de k, del intervalo abierto (0,4): ');
disp(' ')
pn=input('Entre el valor de p0, del intervalo cerrado [0,1]: ');
disp(' ')
n=input('¿Cuantos terminos de la sucesion quiere calcular? ');
disp(' ')
x=linspace(1,n,n);
p=ones(size(x));
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
ECUACION LOGISTICA EN DIFERENCIAS
n
Sn
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
ECUACION LOGISTICA EN DIFERENCIAS
n
Sn
PABÓN

8. p(1)=pn;
for i=1:n-1
pn1=k*pn*(1-pn);
p(i+1)=pn1;
pn=pn1;
end
format rat
%p %si se habilita escribe el vector de valores calculados
%plot(x,p,'*');grid %marca asteriscos
plot(x,p,'-o'); grid %habilita linea poligonal con puntos
title('ECUACION LOGISTICA EN DIFERENCIAS')
xlabel('n')
ylabel('Sn')
REFERENCIAS
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Edition, USA: THOMSON. 2003.
[17] Tung, K. K. Topics in Mathematical Modeling. First
Edition, Princeton N. J.: Princeton University Press. 2007.
[18] http://www.villamette.edu/~sekino/fractal/
index.html/#stories En: Stories about Fractal Plotting
[19] http://www.willamette.edu/~sekino/fractal/ gallery.html
AUTOR
Hector Jose Pabón Ángel. Docente Ingeniera de Sistemas,
Universidad de Cundinamarca, Seccional Ubate – Colombia.
hipa2450@yahoo.com
Fecha Recepción: 30 de Noviembre 2011
Fecha Aprobación: 21 de Marzo 2012
MODELAMIENTO DE UN SISTEMA DINÁMICO CAÓTICO CON MATLAB: LA ECUACIÓN LOGÍSTICA