1. 163Álgebraytrigonometría
6Funciones
exponencial y
logarítmica
Capítulo6
Módulo14
La función exponencial
Módulo15
La función logarítmica
Módulo16
Ecuaciones exponenciales
y logarítmicas
Ejercicios
Capítulo 6, módulos 14 al 16
Presentación
Casi todas las funciones definidas hasta ahora han sido funciones algebraicas, es
decir, funciones definidas mediante operaciones algebraicas básicas sobre varia-
bles y constantes. En este capítulo se estudiarán dos nuevos tipos de funciones,
que son la exponencial y la logarítmica.
El crecimiento de ciertas especies, en biología, se puede modelar mediante funcio-
nes exponenciales. Estas funciones también se usan para describir interés com-
puesto, en economía, y fenómenos de desintegración radiactiva en física y química.
La frase «crecimiento exponencial» describe una serie de fenómenos que tienen
que ver con el uso de la energía, la población, la explotación del subsuelo y otros
temas.
Paralela a la función exponencial, se estudiará la inversa de esta función, que no es
mas que la función logarítmica. En particular, se va a definir en qué consiste el
logaritmo de un número y se demostrarán las principales propiedades de los
logaritmos.
El crecimiento de muchas especies es exponencial.
Contenido breve

2. 164

3. 165Álgebraytrigonometría
Introducción
En este módulo se definirá una función de la forma t
y Ca con C > 0 y a > 1, que
se llama función exponencial creciente. Más adelante se definirá una función similar
con 0 < a < 1, que se utilizará para modelar problemas de desintegración radiactiva
y declinación exponencial.
Objetivos
1. Definir en qué consiste el crecimiento exponencial.
2. Definir la función exponencial.
3. Conocer diversas aplicaciones en las que interviene la función exponencial.
Preguntas básicas
1. ¿Qué es crecimiento exponencial y decrecimiento exponencial?
2. ¿En qué consiste la declinación exponencial?
3. ¿En qué consiste el tiempo de vida media?
Contenido
14.1 Crecimiento exponencial. La función exponencial
14.1.1 Consideraciones preliminares
14.1.2 La función exponencial
14.1.3 Declinación exponencial
Vea el módulo 14 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/
AlgebraTrigonometria/
14
La función exponencial
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Agustin Louis Cauchy fue pionero en el análisis y la teoría
de permutación de grupos. También investigó la
convergencia y la divergencia de las series infinitas,
ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y
física matemática.
Cauchy trabajó como un ingeniero militar y en 1810 llegó
a Cherbourg a colaborar junto a Napoleón en la invasión a
Inglaterra. En 1813 retornó a París y luego fue persuadido
por Laplace y Lagrange para convertirse en un devoto de
las matemáticas.
AugustinLouisCauchyocupódiversospuestosenlaFacultad
de Ciencias de París, el Colegio de Francia y la Escuela
Politécnica. En 1814 publicó la memoria de la integral
definidaquellegóaserlabasedelateoríadelasfunciones
complejas. Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal
adquirióbasessólidas.
Numerosos términos matemáticos llevan su nombre: el
teorema integral de Cauchy, la teoría de las funciones
complejas, las ecuaciones de Cauchy-Riemann y las
secuenciasdeCauchy.

4. 166
Capítulo6:Funcionesexponencialylogarítmica
14.1 Crecimiento exponencial. La función exponencial
14.1.1 Consideraciones preliminares
Muchos organismos simples se reproducen por división celular. Se puede pensar
en una célula que cada día se replica, tal que al día siguiente hay dos células y así
sucesivamente. Si se supone que inicialmente, en el día cero, hay 50 células y se
hace una tabla que tenga en cuenta las condiciones anotadas anteriormente, se
tendrá (tabla 14.1):
Tabla 14.1. Crecimiento exponencial de una población bacteriana
Si se denota por

5. f t el número de células que existen en el día t, la tabla parece
sugerir una expresión general para

6. ,f t teniendo en cuenta que:
0
1
2
3
4
5
6
50 50 2
100 50 2
200 50 2
400 50 2
800 50 2
1600 50 2
3200 50 2
u
u
u
u
u
u
u
O sea que, utilizando razonamientos intuitivos, se tiene una expresión para el creci-
miento poblacional de estas células que viene dada por

8. 50 · 2t
f t , donde t
es una variable que se mide en días.
La fórmula

10. 50 2t
f t u no es más que un modelo de crecimiento poblacional,
que aporta una buena aproximación al crecimiento de organismos simples siempre y
cuando la población inicial no sea muy grande. Hay que hacer notar, además, que el
crecimiento poblacional es un proceso continuo y que por tanto no ocurre a inter-
valos unitarios de tiempos precisos, es decir, no es un proceso discreto. Este tipo de
crecimiento, ejemplificado anteriormente, se llama crecimiento exponencial.
Existen muchos casos de crecimiento exponencial, como por ejemplo la ganancia de
dinero por interés compuesto. Supóngase que se depositan $100.000 en una corpo-
ración de ahorro y vivienda al 6% de interés compuesto cada año. Lo que ocurre en
los primeros años con el dinero ahorrado se escribe en la tabla 14.2.
2 3 4 5 6
200 400 800 1.600 3.200
t
f(t)
0
50
1
100

11. 167Álgebraytrigonometría
Módulo14:Lafunciónexponencial
Escuche Historia de Cauchy en
su multimedia de Álgebra y
trigonometría
Después de un año el banco añade intereses de 0.06 100.000 $6.000u a los
$100.000 iniciales, dando un total de $106.000. Se observa que

12. 106.000 100.000 1.06 .u
Durante el segundo año, los $106.000 ganan el 6% de interés y al final del año se
tendrá:

18. 2
106.000 0.06 106.000 106.000 1.06
100.000 1.06 1.06
100.000 1.06
112.360.
Continuando de esta manera, el capital, que se denotará por ( )C t , crecerá a

20. 3
100.000 1.06u al final del tercer año. Por tanto, una expresión para el valor
capital depositado, después de t años, viene dada por

22. 100.000 1.06
t
C t u .
Funciones como las descritas en los dos ejemplos anteriores se llaman funciones
exponenciales y se definen a continuación.
14.1.2 La función exponencial
Una función exponencial es una expresión de la forma siguiente:

23. ,t
f t b 0,b ! b z 1.
Donde b es una constante denominada base y el exponente t es una variable. El
dominio de la función es el conjunto de los números reales. El rango de la función
es el conjunto de los números reales positivos.
La gráfica de la función exponencial, en el caso de b 1, es la que se muestra en la
figura 14.1. Como puede observarse, la función es creciente y por tanto es una
función 1 a 1. A medida que el valor de la variable independiente se hace más
negativa, el valor de la función se acerca a cero, tomando valores positivos, pero
nunca llega a ser cero. Se dice entonces que la recta y = 0 es una asíntota horizontal
de la función.
Tabla 14.2. Crecimiento exponencial. Interés compuesto.
t
Capital
0
100.000 106.000 112.360 119.101.60 126.247.70
1 2 3 4

24. 168
Capítulo6:Funcionesexponencialylogarítmica
Figura 14.1. La función exponencial f(t) = bt
, b 1
Figura 14.2. La función exponencial f(t) = bt
, 0 b 1
t
y
1
t
y
1
Escuche Modelos de crecimiento
en su multimedia de Àlgebra y
trigonometría
Consideraciones similares se pueden hacer cuando se hace un análisis de la gráfica
de la función

25. t
f t b cuando 0 b 1. La gráfica de la función, en el caso de que
0 b 1, es la siguiente (figura 14.2):
De las gráficas anteriores se puede notar que la función exponencial, o bien es
creciente, o bien es decreciente. Por consiguiente, esta función es 1 a 1 y tiene
sentido definir su función inversa; ésta se definirá en la siguiente sección.
Ejemplo1
Grafique

26. 2t
f t para 3 3.t d d
Solución
Si se hace una tabla con algunos valores de t en ese intervalo, se tendrá (tabla 14.3):

27. 169Álgebraytrigonometría
Módulo14:Lafunciónexponencial
Tabla 14.3. Valores de t y f(t)
Figura 14.3.
Por tanto, su gráfica es (figura 14.3):
Con frecuencia se utiliza, como base de la función exponencial, el número irracional
e y se define la función

28. .t
f t e En cursos de cálculo, en particular cuando se
estudie el concepto de límite, se mostrará que e está dado por la expresión
1
1
n
n
§ ·
¨ ¸
© ¹
cuando n se hace arbitrariamente grande.
14.1.3 Declinación exponencial
En el mundo real ocurren fenómenos de decrecimiento exponencial, que pueden ser
modelados mediante la función

29. ,t
f t cb con c 0 y 0 b 1. Por ejemplo,
algunos elementos radiactivos, como el uranio, se desintegran siguiendo el modelo
exponencial citado anteriormente.
En esta sección es importante el concepto de vida media, que se define como el
tiempo requerido para que la mitad de una sustancia radiactiva presente en un
tiempo inicial se desintegre. Esta importante propiedad se utiliza para calcular la
edad de objetos antiguos como fósiles, utilizando el hecho de que el carbono 12
presente en los seres vivos se renueva constantemente y la relación entre el carbo-
no y su isótopo, el carbono 14, permanece constante. Después de la muerte, este
isótopo deja de renovarse; se sabe que la vida media del carbono 14 es de 5.730
años.Así, si un fósil posee sólo la mitad del carbono 14 presente en los seres vivos,
quiere decir que ese fósil tiene una antigüedad aproximada de 5.730 años.
1
x
y
1 2 3
2
123
1
2
t
f(t)
3
8
21
42
0
1
321
1
8
1
4
1
2

30. 170
Capítulo6:Funcionesexponencialylogarítmica
Ejemplo2
Si una cantidad P de dinero se invierte a 6% de interés compuesto anual, y si se
supone que no se realiza ningún retiro, ¿en cuánto tiempo se duplicará el capital?
Solución
Al final del primer año el capital acumulado será:

31. 0.06
1 0.06 .
C P P
P
Al final del segundo año el capital será:

36. 2
1 0.06 0.06 1 0.06
1 0.06 1 0.06
1 0.06 .
C P P
P
P
Siguiendo con el análisis anterior, al cabo de n años el capital será

37. 1.06 .
n
C P
Para encontrar el tiempo en que se duplica el dinero, se reemplaza C en la ecuación

38. 1.06
n
C P por 2P y se resuelve para n.

40. 2 1.06 ,
2 1.06 .
n
n
P P
Usando una calculadora científica se obtiene que 12n | años.
Ejemplo3
Si la cantidad P del ejemplo anterior se invierte al 6% de interés compuesto anual
liquidado cada cuatrimestre, y si se supone que no se realiza ningún retiro, ¿en
cuánto tiempo se duplicará el capital?
Solución
En este caso, 6% de interés anual equivale al 2% cada cuatrimestre. Para encontrar
el número de cuatrimestres necesarios para que se duplique el dinero, se reemplaza
C en la ecuación

41. 1.02
n
C P por 2P y se resuelve para n.

42. 171Álgebraytrigonometría
Módulo14:Lafunciónexponencial

44. 2 1.02 ,
2 1.02 .
n
n
P P
Usando una calculadora científica se obtiene que 35.n | Por tanto, 35 cuatrimestres
equivalen a 11 años y 8 meses.
Se concluye, entonces, que es más rentable colocar dinero a interés compuesto
pagadero en intervalos de tiempo pequeños.
Ejemplo4
Se invierte una suma de 1.000 dólares a una tasa de interés del 12% anual. Determine
los montos de la cuenta después de 3 años si el interés se calcula anualmente,
semestralmente, trimestralmente, mensualmente y diariamente.
Solución
Como se ha deducido en los ejemplos anteriores, el capital C resultante después de
n periodos compuestos viene dado por la fórmula:
1 ,
nt
r
c p
n
§ ·
¨ ¸
© ¹
donde
c = monto después de t años.
p = capital inicial.
r = tasa de interés anual.
n = veces que se calcula el interés al año.
t = número de años.
En nuestro caso se tiene que:
P = $1.000, r = 0, 12 y t = 3
Periodos de composición n Monto después de 3 años
2 3
0.12
1.000 1 1.418.52
2
u
§ ·
¨ ¸
© ¹
1 3
0.12
1.000 1 1.404.93
1
u
§ ·
¨ ¸
© ¹
Anual
Semestral
Trimestral
Mensual
Diario 365
12
4
2
1
4 3
0.12
1.000 1 1.425.76
4
u
§ ·
¨ ¸
© ¹
12 3
0.12
1.000 1 1.430.77
12
u
§ ·
¨ ¸
© ¹
365 3
0.12
1.000 1 1.433.24
365
u
§ ·
¨ ¸
© ¹

45. 172
Capítulo6:Funcionesexponencialylogarítmica
A partir del anterior ejemplo, se observa que el interés pagado aumenta conforme se
incrementa el número n de periodos compuestos. Veamos qué ocurre si n se
incrementa de manera indefinida.
Si hacemos ,
n
m
r
entonces
1
1 1 1 .
r tn r tnt m
rr r
c p p t p
n n m
ª º ª º§ · § · § ·« » « »¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸« »© ¹ © ¹ © ¹« »¬ ¼¬ ¼
En un primer curso de cálculo se estudia que cuando m aumenta, la cantidad
1
1
m
m
§ ·
¨ ¸
© ¹
tiende al número e. Por tanto el monto tiende a c = per t
.
Esta expresión da el monto cuando el interès se compone «a cada instante».
Ejemplo5
Determine el monto después de 3 años si se invierten 1.000 dólares a una tasa de
interés de 12% anual, continuamemnte compuesta.
Solución
En este caso, p = $1.000, r = 0,12 y t = 3.
Por tanto:
C = 1.000 e0.12 x 3
= 1.000 e0.36
= 1.433.33.
Ejemplo6
Una población que experimenta un crecimiento exponencial aumenta de acuerdo
con la fórmula.
m(t) = m0
er t
,
donde
m(t ) = población al tiempo t.
m0
= tamaño inicial de la población.
r = tasa de crecimiento relativo.
t = tiempo.
Si en 1995 la población de la Tierra era de 5.700 millones de personas, calcule la
población en el año 2035 utilizando una tasa relativa de crecimiento:
a. 2% anual.
b. 1.6% anual.

46. 173Álgebraytrigonometría
Módulo14:Lafunciónexponencial
Solución
a. De acuerdo con la fórmula de crecimiento exponencial de la población, se
tiene que m(t)= 5.7 e 0.02 t
, donde m (t) se mide en miles de millones y t se mide
en años a partir de 1995.
m(t) = 5.7 e0.2 x 40
| 12.7.
Por tanto la población estimada será de aproximadamente 12.700 millones
de personas.
b. Para este caso, m(t) = 5.7 e 0,016 t
.
m(t)
x
10.8.
Por tanto la población estimada será de 10.800 millones de personas.
El ejemplo anterior muestra que una pequeña modificación en la tasa relativa de
crecimiento puede, con el transcurso del tiempo, provocar una gran diferencia en el
tamaño de la población.
Ejemplo7
Una cierta raza de conejos fue introducida en una pequeña isla hace 8 años y se
estima que la población actual es de 4.100 conejos con una tasa de crecimiento del
55% anual.
a. ¿Cuál fue el tamaño inicial de la población de conejos?
b. Estime la población dentro de 12 años a partir de ahora.
Solución
a. La fórmula de crecimiento exponencial viene dada por
m(t) = m0
e 0,55t
y se sabe que cuando t = 8, m(8) = 4.100.
Por tanto, 4.100 = m0
e 0,55 x 8
.
m0
= 0,55 8
4.100
,
e u m0 50.|
En consecuencia, se estima que se introdujeron 50 conejos a la isla.
x

47. 174
Capítulo6:Funcionesexponencialylogarítmica
b. Como m0
= 50, la fórmula para el crecimiento de la población viene dada por
n(t) = e0.55t
.
Dentro de 12 años, t = 20 y m(20) = 50 e0.55 x 20
| 2.993.707.
Por tanto se estima que la población de conejos en la isla dentro de 12 años
será de aproximadamente tres millones.