Este documento presenta la función exponencial y logarítmica. Explica que la función exponencial se usa para modelar el crecimiento exponencial en biología, economía y física. Define la función exponencial como f(t) = b^t donde b es la base y t es la variable. También cubre el decrecimiento exponencial y la vida media en desintegración radiactiva.

1. 163Álgebraytrigonometría
6Funciones
exponencial y
logarítmica
Capítulo6
Módulo14
La función exponencial
Módulo15
La función logarítmica
Módulo16
Ecuaciones exponenciales
y logarítmicas
Ejercicios
Capítulo 6, módulos 14 al 16
Presentación
Casi todas las funciones definidas hasta ahora han sido funciones algebraicas, es
decir, funciones definidas mediante operaciones algebraicas básicas sobre varia-
bles y constantes. En este capítulo se estudiarán dos nuevos tipos de funciones,
que son la exponencial y la logarítmica.
El crecimiento de ciertas especies, en biología, se puede modelar mediante funcio-
nes exponenciales. Estas funciones también se usan para describir interés com-
puesto, en economía, y fenómenos de desintegración radiactiva en física y química.
La frase «crecimiento exponencial» describe una serie de fenómenos que tienen
que ver con el uso de la energía, la población, la explotación del subsuelo y otros
temas.
Paralela a la función exponencial, se estudiará la inversa de esta función, que no es
mas que la función logarítmica. En particular, se va a definir en qué consiste el
logaritmo de un número y se demostrarán las principales propiedades de los
logaritmos.
El crecimiento de muchas especies es exponencial.
Contenido breve

2. 164

3. 165Álgebraytrigonometría
Introducción
En este módulo se definirá una función de la forma t
y Ca con C > 0 y a > 1, que
se llama función exponencial creciente. Más adelante se definirá una función similar
con 0 < a < 1, que se utilizará para modelar problemas de desintegración radiactiva
y declinación exponencial.
Objetivos
1. Definir en qué consiste el crecimiento exponencial.
2. Definir la función exponencial.
3. Conocer diversas aplicaciones en las que interviene la función exponencial.
Preguntas básicas
1. ¿Qué es crecimiento exponencial y decrecimiento exponencial?
2. ¿En qué consiste la declinación exponencial?
3. ¿En qué consiste el tiempo de vida media?
Contenido
14.1 Crecimiento exponencial. La función exponencial
14.1.1 Consideraciones preliminares
14.1.2 La función exponencial
14.1.3 Declinación exponencial
Vea el módulo 14 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/
AlgebraTrigonometria/
14
La función exponencial
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
Agustin Louis Cauchy fue pionero en el análisis y la teoría
de permutación de grupos. También investigó la
convergencia y la divergencia de las series infinitas,
ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y
física matemática.
Cauchy trabajó como un ingeniero militar y en 1810 llegó
a Cherbourg a colaborar junto a Napoleón en la invasión a
Inglaterra. En 1813 retornó a París y luego fue persuadido
por Laplace y Lagrange para convertirse en un devoto de
las matemáticas.
AugustinLouisCauchyocupódiversospuestosenlaFacultad
de Ciencias de París, el Colegio de Francia y la Escuela
Politécnica. En 1814 publicó la memoria de la integral
definidaquellegóaserlabasedelateoríadelasfunciones
complejas. Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal
adquirióbasessólidas.
Numerosos términos matemáticos llevan su nombre: el
teorema integral de Cauchy, la teoría de las funciones
complejas, las ecuaciones de Cauchy-Riemann y las
secuenciasdeCauchy.

4. 166
Capítulo6:Funcionesexponencialylogarítmica
14.1 Crecimiento exponencial. La función exponencial
14.1.1 Consideraciones preliminares
Muchos organismos simples se reproducen por división celular. Se puede pensar
en una célula que cada día se replica, tal que al día siguiente hay dos células y así
sucesivamente. Si se supone que inicialmente, en el día cero, hay 50 células y se
hace una tabla que tenga en cuenta las condiciones anotadas anteriormente, se
tendrá (tabla 14.1):
Tabla 14.1. Crecimiento exponencial de una población bacteriana
Si se denota por

5. f t el número de células que existen en el día t, la tabla parece
sugerir una expresión general para

6. ,f t teniendo en cuenta que:
0
1
2
3
4
5
6
50 50 2
100 50 2
200 50 2
400 50 2
800 50 2
1600 50 2
3200 50 2
u
u
u
u
u
u
u
O sea que, utilizando razonamientos intuitivos, se tiene una expresión para el creci-
miento poblacional de estas células que viene dada por

8. 50 · 2t
f t , donde t
es una variable que se mide en días.
La fórmula

10. 50 2t
f t u no es más que un modelo de crecimiento poblacional,
que aporta una buena aproximación al crecimiento de organismos simples siempre y
cuando la población inicial no sea muy grande. Hay que hacer notar, además, que el
crecimiento poblacional es un proceso continuo y que por tanto no ocurre a inter-
valos unitarios de tiempos precisos, es decir, no es un proceso discreto. Este tipo de
crecimiento, ejemplificado anteriormente, se llama crecimiento exponencial.
Existen muchos casos de crecimiento exponencial, como por ejemplo la ganancia de
dinero por interés compuesto. Supóngase que se depositan $100.000 en una corpo-
ración de ahorro y vivienda al 6% de interés compuesto cada año. Lo que ocurre en
los primeros años con el dinero ahorrado se escribe en la tabla 14.2.
2 3 4 5 6
200 400 800 1.600 3.200
t
f(t)
0
50
1
100

11. 167Álgebraytrigonometría
Módulo14:Lafunciónexponencial
Escuche Historia de Cauchy en
su multimedia de Álgebra y
trigonometría
Después de un año el banco añade intereses de 0.06 100.000 $6.000u a los
$100.000 iniciales, dando un total de $106.000. Se observa que

12. 106.000 100.000 1.06 .u
Durante el segundo año, los $106.000 ganan el 6% de interés y al final del año se
tendrá: