Este documento presenta 6 ejercicios de álgebra para ser respondidos en una hoja de lectura óptica. Los ejercicios cubren temas como la eliminación de Gauss, bases de matrices, autovalores, aplicaciones lineales e imágenes, sistemas de ecuaciones y formas bilineales. También incluye un problema sobre subespacios suplementarios ortogonales en el espacio vectorial de polinomios. Se proveen soluciones detalladas a cada ejercicio y al problema.

1. ´Algebra. (I. Electr´onica)-Modelo A-Febrero-2012
Ejercicios 1 a 6: Deben ser contestados en hoja de lectura ´optica. Cada respuesta correcta suma
1pto, incorrecta resta 0.33ptos, las dobles marcas o en blanco ni suman ni restan.
Problema: Se corregir´a s´olo si la nota obtenida en los 6 ejercicios tipo test es superior a 2,3ptos.
Ejercicio 1 El m´etodo de eliminaci´on gaussiana (para resoluci´on de sistemas de ecua-
ciones) termina cuando la matriz ampliada A|B: A) Tiene tantos escalones como filas;
B) Es escalonada; C) Es escalonada y sus pivotes est´an normalizados; D) Ninguna de
las anteriores.
Ejercicio 2 El conjunto A =
1 0
0 1
,
0 1
1 0
,
1 0
1 1
,
0 1
1 1
verifica:
A) No es base del conjunto de matrices cuadradas de orden dos; B) Las coordenadas
de la matriz de filas (5, −2), (−2, 5) respecto a A son (5, −2, 0, 0); C) Las coordenadas
de la matriz de filas (5, −2), (−2, 5) respecto a A son (5, −2); D) Ninguna de ellas.
Ejercicio 3 Si en MAXIMA se introduce A como la matriz de filas (−1, 3, 0), (0, −1, 0),
(0, 2, −1), y al aplicar la instrucci´on ‘‘eigenvectors(A);’’ se obtiene
‘‘[[[-1],[3]],[[[1,0,0],[0,0,1]]]]’’, podemos deducir que: A) La matriz no
es diagonalizable; B) Sus autovalores son −1 y 3; C) Que la matriz de Jordan tiene tres
bloques; D) Ninguno de los anteriores.
Ejercicio 4 La imagen de la aplicaci´on lineal f : R3
→ R2
definida por f(1, 0, 0) =
(1, 0), f(0, 1, 0) = (1, 1) y f(0, 0, 1) = (3, 2) es: A) (1, 0) ; B) (0, 1) ; C) (1, 0), (0, 1) ;
D) Ninguna de las anteriores.
Ejercicio 5 Al utilizar el m´etodo de m´ınimos cuadrados para buscar soluciones apro-
ximadas del sistema de ecuaciones x1 = 1; x1 = 0; x2 = −5, se obtiene como soluci´on
aproximada: A) (1, −5); B) (1
2, −5) C) No existe por ser un sistema incompatible;
D) Ninguna de ellas.
Ejercicio 6 Las matrices asociadas a una forma bilineal en distintas bases son: A)
Congruentes; B) Semejantes; C) Ortogonales; D) Ninguna de las anteriores.
Problema
En el espacio vectorial real de los polinomios reales de grado menor que tres con el pro-
ducto escalar u(x) • v(x) =
1
0 u(x)v(x)dx, se pide:
A)(2ptos.) Si U =< (x2
) >, explicar qu´e significa decir que U⊥
es un subespacio suple-
mentario ortogonal a U.
B)(2ptos.) Encontrar una base de U⊥
.

2. Ejercicio 1 El m´etodo de eliminaci´on gaussiana (para resoluci´on de sistemas de ecua-
ciones) termina cuando la matriz ampliada A|B: A) Tiene tantos escalones como filas;
B) Es escalonada; C) Es escalonada y sus pivotes est´an normalizados; D) Ninguna de
las anteriores.
Soluci´on Ejercicio 1 La soluci´on correcta es C.
V´ease la p´agina 39 de “´Algebra para ingenieros”.
Ejercicio 2 El conjunto A =
1 0
0 1
,
0 1
1 0
,
1 0
1 1
,
0 1
1 1
verifica:
A) No es base del conjunto de matrices cuadradas de orden dos; B) Las coordenadas
de la matriz de filas (5, −2), (−2, 5) respecto a A son (5, −2, 0, 0); C) Las coordenadas
de la matriz de filas (5, −2), (−2, 5) respecto a A son (5, −2); D) Ninguna de ellas.
Soluci´on Ejercicio 2 La soluci´on correcta es B.
El conjunto de matrices A es una base del conjunto de matrices cuadradas de orden dos
que tiene dimensi´on 4.
Cualquier vector de ese espacio tiene 4 coordenadas respecto a cualquier base.
En este caso:
5 −2
−2 5
= 5
1 0
0 1
− 2
0 1
1 0
+ 0
1 0
1 1
+ 0
0 1
1 1
.
Con MAXIMA est´a resuelto en Ejercicio-2-A-feb-12.wxm.
Ejercicio 3 Si en MAXIMA se introduce A como la matriz de filas (−1, 3, 0), (0, −1, 0),
(0, 2, −1), y al aplicar la instrucci´on ‘‘eigenvectors(A);’’ se obtiene
‘‘[[[-1],[3]],[[[1,0,0],[0,0,1]]]]’’, podemos deducir que: A) La matriz no
es diagonalizable; B) Sus autovalores son −1 y 3; C) Que la matriz de Jordan tiene tres
bloques; D) Ninguno de los anteriores.
Soluci´on Ejercicio 3
La soluci´on correcta es A.
Tiene un solo valor propio, con multiplicidad algebraica tres, que genera un subespacio
propio de multiplicidad geom´etrica dos.
El ejercicio, resuelto por la v´ıa tradicional, es el ejemplo 4.19 de ”´Algebra para
ingenieros”.
Con MAXIMA est´a resuelto en Ejercicio-3-A-feb-12.wxm.
Ejercicio 4 La imagen de la aplicaci´on lineal f : R3
→ R2
definida por f(1, 0, 0) =
(1, 0), f(0, 1, 0) = (1, 1) y f(0, 0, 1) = (3, 2) es: A) (1, 0) ; B) (0, 1) ; C) (1, 0), (0, 1) ;
D) Ninguna de las anteriores.
Soluci´on Ejercicio 4 La opci´on cierta es C.

3. V´ease el ejemplo 3.10 de“´Algebra para ingenieros”.
Ejercicio 5 Al utilizar el m´etodo de m´ınimos cuadrados para buscar soluciones apro-
ximadas del sistema de ecuaciones x1 = 1; x1 = 0; x2 = −5, se obtiene como soluci´on
aproximada: A) (1, −5); B) (1
2, −5) C) No existe por ser un sistema incompatible;
D) Ninguna de ellas.
Soluci´on ejercicio 5 La soluci´on correcta es B.
V´ease el ejemplo 5.37 de “´Algebra para ingenieros”. En el texto hay una errata en
el sistema a resolver, pero es evidente y no induce ning´un tipo de error.
Ejercicio 6 Las matrices asociadas a una forma bilineal en distintas bases son: A)
Congruentes; B) Semejantes; C) Ortogonales; D) Ninguna de las anteriores.
Soluci´on Ejercicio 6 La soluci´on correcta es A.
V´ease el teorema 6.1 de “´Algebra para Ingenieros”.
Problema
En el espacio vectorial real de los polinomios reales de grado menor que tres con el pro-
ducto escalar u(x) • v(x) =
1
0 u(x)v(x)dx, se pide:
A)(2ptos.) Si U =< x2
>, explicar qu´e significa decir que U⊥
es un subespacio suple-
mentario ortogonal a U.
B)(2ptos.) Encontrar una base de U⊥
.
Soluci´on problema
A) V´ease la definici´on 5.10 de “´Algebra para ingenieros”.
B) Para resolver este ejercicio seguiremos las mismas pautas que en el ejemplo 5.22 de
“´Algebra para ingenieros”.
Ortogonalidad: Se trata de buscar la relaci´on entre los coeficientes a, b, c para que
se verifique
1
0 (ax2
+ bx + c)x2
dx = 0.
La relaci´on obtenida es 12a + 15b + 20c = 0.
Los vectores del subespacio generado cuando la relaci´on entre los coeficientes es
12a + 15b + 20c = 0 son de la forma ((−15b−20c
12 )x2
+ bx + c).
Para cada par de valores de los par´ametros b y c se obtiene un vector del subespacio.
Para los pares b = 1, c = 0 y b = 0, c = 1, quitando fracciones, se obtiene la base
{(−5x2
+ 4x), (−5x2
+ 3)}.
Son suplementarios: Falta comprobar que son suplementarios, es decir, que la
matriz formada por los coeficientes de los vectores de una base de U y otra base de
U⊥
tiene rango 3.

4. Est´a resuelto utilizando MAXIMA en el fichero problema-A-12.wxm.