Este documento presenta 6 ejercicios de álgebra para ser respondidos en una hoja de lectura óptica. Cada respuesta correcta suma 1 punto, mientras que las incorrectas restan 0.33 puntos. Solo se corregirá la prueba si la nota obtenida en los 6 ejercicios es superior a 2.3 puntos. Los ejercicios cubren temas como ecuaciones paramétricas y cartesianas, matrices, espacios vectoriales y formas cuadráticas. Al final, se pide determinar las ecuaciones de la intersección de dos subesp

1. ´Algebra. (I. Electr´onica)-Modelo B-Febrero-2011
Ejercicios 1 a 6: Deben ser contestados en hoja de lectura ´optica. Cada respuesta correcta suma
1pto, incorrecta resta 0.33ptos, las dobles marcas o en blanco ni suman ni restan.
Problema: Se corregir´a s´olo si la nota obtenida en los 6 ejercicios tipo test es superior a 2,3ptos.
Ejercicio 1 Unas ecuaciones cartesianas asociadas a las ecuaciones param´etricas
x1 = α − β, x2 = 2 − α − β, x3 = 1 + 2β + α y x4 = α + β son: A) x1 + 3x2 − 2x3 = 8 y
x2 − x4 = 2; B) x1 + 3x2 + 2x3 = 8 y x2 + x4 = 2; C) x1 + 3x2 + 2x3 = 8, x2 + x4 = 2 y
x1 + x3 = 1; D) Ninguna de las anteriores.
Soluci´on Ejercicio 1 La soluci´on correcta es B.
V´ease el Ejemplo 1.28 de “´Algebra para ingenieros”
Ejercicio 2 Si A, B ∈ M3×4 verifican ai,j = i+2j y bi,j = 2i−j, las matrices A+2B
y −2A + B son: A) Inversas; B) Diagonales; C) Sim´etricas y opuestas; D) Ninguna de
las anteriores.
Soluci´on Ejercicio 2 La soluci´on correcta es D.
V´ease el Ejercicio 67 de “Ejercicios resueltos de MATEM´ATICAS-I”.
Ejercicio 3 Si (1, 1, b), (a, 2, −1) y (3, 1, 1) son las filas de la matriz A, existe A−1
:
A) Para a = 1 y ∀b; B) Para b = 1 y ∀a; C) Nunca; D) Ninguna de las anteriores.
Soluci´on Ejercicio 3 La soluci´on correcta es B.
V´ease el Ejercicio 113 de “Ejercicios resueltos de MATEM´ATICAS-I”.
Ejercicio 4 La dimensi´on del n´ucleo de la aplicaci´on lineal f : R3
→ R2
definida por
f(1, 0, 0) = (1, 0), f(0, 1, 0) = (1, 1) y f(0, 0, 1) = (3, 2) es: A) 1; B) 2; C) 3; D)
Ninguna de las anteriores.
La soluci´on correcta es A
V´ease el Ejemplo 3.14 de “´Algebra para ingenieros”.
Ejercicio 5 Un valor propio es estrictamente dominante si verifica: A) Tiene mul-
tiplicidad mayor que cualquier otro valor propio; B) Es el mayor de los autovalores;
C) Es el autovalor que tiene mayor valor absoluto; D) Ninguna de las anteriores.
Soluci´on Ejercicio 5
La opci´on cierta es C.

2. V´ease el M´etodo de las potencias, cap´ıtulo 4 de “´Algebra para ingenieros”.
Ejercicio 6 La forma cuadr´atica Q(x1, x2, x3) = x2
1 +2x2
2 +2x2
3 +2x2
3 +4x2x3 es: A)
Definida positiva; B) Semidefinida negativa; C) Semidefinida positiva; D) Ninguna
de las anteriores.
Soluci´on ejercicio 6 La soluci´on correcta es A.
Los tres autovalores son positivos: 1, 2 y 4.
Problema
Dados los subespacios de U = {(x1, x2, x3): x1 + x3 = 0} y V = {(x1, x2, x3): x1 = x2 =
x3} de R3
, se pide:
A)(2ptos.) Unas ecuaciones cartesianas y param´etricas de U ∩ V .
B)(2ptos.) Explicar qu´e son subespacios suplementarios y comprobar si U y V lo son.
Soluci´on problema
A) (2pts.)
Ecuaciones cartesianas de U: x1 + x3 = 0.
Ecuaciones param´etricas de U:


x1
x2
x3

 = α


1
0
−1

 + β


0
1
0

.
Dimensi´on de U: Dos.
Ecuaciones cartesianas de V : x1 = x2 = x3.
Ecuaciones param´etricas de V :


x1
x2
x3

 = δ


1
1
1

.
Dimensi´on de U: Uno.
Ecuaciones cartesianas de U ∩ V : x1 = x2 = x3 y x1 = −x3, cuya ´unica soluci´on es
x1 = x2 = x3 = 0.
Dimensi´on de U ∩ V : Cero. B)(2ptos.)
V´ease teor´ıa Definici´on 2.14.
Aplicando la f´ormula de Grassmann se obtiene: Dimensi´on de U + V : Tres.
Como U + V = R3
y U ∩ V = 0, la suma es suma directa y los subespacios son suple-
mentarios.