Este documento presenta un manual de repaso para el examen de admisión universitaria (College Board) en matemáticas, específicamente en álgebra. El manual cubre conceptos básicos de álgebra como variables, términos, expresiones y polinomios. También cubre clasificación de polinomios, evaluación de polinomios, suma y resta de polinomios, y leyes de exponentes. Incluye ejemplos y ejercicios de práctica para cada tema.
Este documento presenta una serie de ejercicios de resolución de inecuaciones de primer grado y representación de conjuntos solución en la recta real. Incluye ejercicios explicativos y propuestos para resolver en clase y de tarea. Algunos ejercicios implican situaciones reales como el peso de una camioneta o la edad de una persona.
Este documento presenta las soluciones a un examen de matemáticas de 1o de ESO sobre álgebra. Contiene 9 problemas con sus respectivas soluciones. Cada problema presenta datos, planteamiento y resolución. Se pide relacionar enunciados con expresiones algebraicas, hallar valores numéricos de expresiones, resolver ecuaciones derivadas de problemas word y comprobar resultados. El examen evalúa conceptos básicos de álgebra como variables, ecuaciones, expresiones algebraicas y su resolución en diferentes contextos.
Este documento muestra una introduccion a la Topologia Matematica con ejemplos de rompecabezas topologicos. Ademas de informacion introductoria con ejemplos de la Teoria de Grafos y la Teoria de Nudos; las cuales son dos ramas de la Topologia.
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios de inecuaciones lineales, cuadráticas y polinómicas. En cada ejercicio se resuelve la inecuación dada y se indica el conjunto solución correspondiente. Los pasos incluyen simplificar términos, calcular el mínimo común múltiplo, factorizar y ubicar las raíces en la recta real.
1) El documento contiene ejercicios de matemáticas sobre números enteros, fracciones y decimales para 2o de ESO.
2) Incluye ejercicios para representar números en una recta numérica, calcular visitantes en un museo, determinar quién ganó un juego, calcular amplitud térmica, operaciones con números enteros y valores absolutos.
3) También presenta ejercicios para expresar números como fracciones equivalentes, reducir fracciones a común denominador, ordenar fracciones, realizar operaciones con fracciones de distinto denominador
El documento contiene la enunciación verbal y expresión algebraica de diferentes expresiones. También incluye problemas para resolver expresiones algebraicas y sucesiones numéricas, así como problemas geométricos sobre el número de caras pintadas de cubos pequeños que forman un cubo grande.
El documento explica la definición y el cálculo de la razón de cambio entre dos variables, así como su interpretación geométrica como la pendiente de una recta. También analiza casos especiales como cuando la razón de cambio es nula o no está definida, y provee ejemplos para ilustrar cómo expresar verbalmente la razón de cambio. Finalmente, relaciona la razón de cambio con las ecuaciones de rectas.
Este documento contiene 35 preguntas de opción múltiple sobre conceptos de cálculo como derivadas, límites, puntos críticos y asíntotas. Las preguntas abarcan temas como reglas de derivación, interpretación gráfica de derivadas primeras y segundas, cálculo de límites, identificación de máximos y mínimos locales, y propiedades de funciones.
Este documento presenta una serie de ejercicios de resolución de inecuaciones de primer grado y representación de conjuntos solución en la recta real. Incluye ejercicios explicativos y propuestos para resolver en clase y de tarea. Algunos ejercicios implican situaciones reales como el peso de una camioneta o la edad de una persona.
Este documento presenta las soluciones a un examen de matemáticas de 1o de ESO sobre álgebra. Contiene 9 problemas con sus respectivas soluciones. Cada problema presenta datos, planteamiento y resolución. Se pide relacionar enunciados con expresiones algebraicas, hallar valores numéricos de expresiones, resolver ecuaciones derivadas de problemas word y comprobar resultados. El examen evalúa conceptos básicos de álgebra como variables, ecuaciones, expresiones algebraicas y su resolución en diferentes contextos.
Este documento muestra una introduccion a la Topologia Matematica con ejemplos de rompecabezas topologicos. Ademas de informacion introductoria con ejemplos de la Teoria de Grafos y la Teoria de Nudos; las cuales son dos ramas de la Topologia.
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios de inecuaciones lineales, cuadráticas y polinómicas. En cada ejercicio se resuelve la inecuación dada y se indica el conjunto solución correspondiente. Los pasos incluyen simplificar términos, calcular el mínimo común múltiplo, factorizar y ubicar las raíces en la recta real.
1) El documento contiene ejercicios de matemáticas sobre números enteros, fracciones y decimales para 2o de ESO.
2) Incluye ejercicios para representar números en una recta numérica, calcular visitantes en un museo, determinar quién ganó un juego, calcular amplitud térmica, operaciones con números enteros y valores absolutos.
3) También presenta ejercicios para expresar números como fracciones equivalentes, reducir fracciones a común denominador, ordenar fracciones, realizar operaciones con fracciones de distinto denominador
El documento contiene la enunciación verbal y expresión algebraica de diferentes expresiones. También incluye problemas para resolver expresiones algebraicas y sucesiones numéricas, así como problemas geométricos sobre el número de caras pintadas de cubos pequeños que forman un cubo grande.
El documento explica la definición y el cálculo de la razón de cambio entre dos variables, así como su interpretación geométrica como la pendiente de una recta. También analiza casos especiales como cuando la razón de cambio es nula o no está definida, y provee ejemplos para ilustrar cómo expresar verbalmente la razón de cambio. Finalmente, relaciona la razón de cambio con las ecuaciones de rectas.
Este documento contiene 35 preguntas de opción múltiple sobre conceptos de cálculo como derivadas, límites, puntos críticos y asíntotas. Las preguntas abarcan temas como reglas de derivación, interpretación gráfica de derivadas primeras y segundas, cálculo de límites, identificación de máximos y mínimos locales, y propiedades de funciones.
El documento explica la resolución de ecuaciones de primer grado, incluyendo ecuaciones sencillas, con paréntesis y denominadores. Define términos como identidad, ecuación, incógnita y describe los pasos para resolver ecuaciones como cambiar signos, hacer operaciones y despejar la incógnita. Incluye ejemplos y ejercicios para practicar la resolución de diferentes tipos de ecuaciones de primer grado.
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones lineales, y proporciona ejemplos. Luego, describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2, como el método gráfico, eliminación y igualación. Finalmente, incluye ejercicios de resolución de sistemas usando estos métodos.
Polynomial for class 10 by G R Ahmed TGT (Maths) at K V KhanaparaMD. G R Ahmed
Let's think step by step:
1) For x2 + 2x + 5 to be a factor of x4 + px2 + q, when we divide x4 + px2 + q by x2 + 2x + 5, the remainder should be 0.
2) Dividing x4 + px2 + q by x2 + 2x + 5, the quotient will be x2 and the remainder will be p - 5.
3) For the remainder to be 0, we must have p - 5 = 0.
Therefore, p = 5
4) Putting p = 5 in the original expression, we get:
x4 + 5x2 + q
5) Comparing the constant
Dokumen tersebut berisi 20 soal logaritma beserta pilihan jawabannya. Soal-soal tersebut mencakup materi dasar logaritma seperti sifat-sifat, operasi dasar, dan penggunaan logaritma untuk menyelesaikan persamaan.
Este documento describe desigualdades e inecuaciones. Explica las propiedades de las desigualdades, tipos de intervalos, cómo resolver inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones. Los aprendizajes esperados incluyen aplicar propiedades de desigualdades, representar soluciones de inecuaciones con intervalos y resolver sistemas de inecuaciones con una incógnita.
Presentación aborda el temad e los grados de las expresiones algebraicas: grado absoluto y grados relativos. Se explica a través de ejemplos interactivos y se proponen ejercicios.
Este documento presenta los conceptos básicos de la trigonometría. Explica las definiciones de las funciones trigonométricas directas e inversas utilizando un triángulo rectángulo como ejemplo. También describe cómo resolver triángulos rectángulos aplicando el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas. Finalmente, proporciona tablas con los valores notables de las funciones trigonométricas y gráficas que ilustran su comportamiento.
Brahmagupta fue un importante matemático y astrónomo indio del siglo VII que realizó contribuciones fundamentales como la introducción del concepto de cero y los números negativos, y desarrollos en áreas como la ecuación cuadrática, la trigonometría y la teoría de números. Algunos de sus descubrimientos, como el uso de métodos algebraicos para problemas astronómicos y la fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico, aún se utilizan hoy en día.
Este documento presenta la resolución de varias ecuaciones y inecuaciones de primer y segundo grado. Incluye ejercicios de ecuaciones de primer grado como ax + b = cx + d, ecuaciones cuadráticas como ax^2 + bx + c = 0 y sistemas de inecuaciones como a < bx. Explica los pasos para simplificar, factorizar y resolver cada tipo de ecuación y encontrar el conjunto de soluciones de las inecuaciones.
Dokumen tersebut merupakan catatan kuliah tentang Teori Bilangan (MX 127) yang mencakup beberapa bab seperti aksioma dasar bilangan bulat, bukti dengan induksi, keterbagian, kongruensi, faktorisasi, algoritma Euclid, dan fungsi-fungsi bilangan teoritik."
guia de ejercicios de matematica del cbcapuntescbc
Este documento contiene 6 prácticas de matemática que cubren temas como números reales, funciones, límites, derivadas e integrales. Cada práctica incluye ejercicios resueltos sobre los conceptos matemáticos tratados y ejercicios adicionales para la práctica. También incluye evaluaciones parciales y final.
The document discusses various methods for solving quadratic equations, including factoring, square root method, completing the square, and the quadratic formula. It also defines terms related to quadratic equations like discriminant, complex numbers, and pure and complete quadratic equations. The objectives are for students to learn to solve different types of quadratic equations and problems using these various methods and concepts.
Makalah ini membahas sistem bilangan bulat, termasuk pengertian bilangan bulat, sifat-sifat sistem bilangan bulat seperti tertutup, komutatif, asosiatif, dan distributif, serta penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat.
The document provides examples and step-by-step instructions for multiplying fractions, including multiplying fractions with numerators greater than 1, mixed numbers, and fractions of fractions. It emphasizes that to multiply fractions, one should multiply the numerators and multiply the denominators. The document concludes by asking the reader to assess their ability to multiply different types of fractions.
Este documento es una guía de matemáticas sobre términos semejantes para estudiantes. Contiene 7 preguntas de selección múltiple sobre reducción de términos, 3 problemas para resolver, y 3 expresiones algebraicas para reducir. El objetivo es ayudar a los estudiantes a practicar conceptos como términos semejantes, adición y sustracción de polinomios, y factorización.
Este documento proporciona instrucciones y ejemplos para sumar y restar polinomios en álgebra. Explica que los términos deben ser semejantes para poder sumarlos o restarlos, y que los términos semejantes son aquellos con las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. Proporciona ejemplos de cómo sumar y restar polinomios paso a paso, así como también una sección de práctica con ejercicios para que los estudiantes apliquen los conceptos.
El documento resume conceptos clave sobre expresiones algebraicas. Explica que una expresión algebraica es el resultado de aplicar operaciones a variables y coeficientes. Define términos semejantes y cómo reducir expresiones. Describe tipos de expresiones como monomios, polinomios, binomios y trinomios. Explica cómo calcular el grado de un polinomio y realizar operaciones como adición, sustracción y multiplicación con expresiones algebraicas. Finalmente, cubre conceptos como productos notables y factorización de polinomios.
El documento explica la resolución de ecuaciones de primer grado, incluyendo ecuaciones sencillas, con paréntesis y denominadores. Define términos como identidad, ecuación, incógnita y describe los pasos para resolver ecuaciones como cambiar signos, hacer operaciones y despejar la incógnita. Incluye ejemplos y ejercicios para practicar la resolución de diferentes tipos de ecuaciones de primer grado.
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica qué son las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones lineales, y proporciona ejemplos. Luego, describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2, como el método gráfico, eliminación y igualación. Finalmente, incluye ejercicios de resolución de sistemas usando estos métodos.
Polynomial for class 10 by G R Ahmed TGT (Maths) at K V KhanaparaMD. G R Ahmed
Let's think step by step:
1) For x2 + 2x + 5 to be a factor of x4 + px2 + q, when we divide x4 + px2 + q by x2 + 2x + 5, the remainder should be 0.
2) Dividing x4 + px2 + q by x2 + 2x + 5, the quotient will be x2 and the remainder will be p - 5.
3) For the remainder to be 0, we must have p - 5 = 0.
Therefore, p = 5
4) Putting p = 5 in the original expression, we get:
x4 + 5x2 + q
5) Comparing the constant
Dokumen tersebut berisi 20 soal logaritma beserta pilihan jawabannya. Soal-soal tersebut mencakup materi dasar logaritma seperti sifat-sifat, operasi dasar, dan penggunaan logaritma untuk menyelesaikan persamaan.
Este documento describe desigualdades e inecuaciones. Explica las propiedades de las desigualdades, tipos de intervalos, cómo resolver inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones. Los aprendizajes esperados incluyen aplicar propiedades de desigualdades, representar soluciones de inecuaciones con intervalos y resolver sistemas de inecuaciones con una incógnita.
Presentación aborda el temad e los grados de las expresiones algebraicas: grado absoluto y grados relativos. Se explica a través de ejemplos interactivos y se proponen ejercicios.
Este documento presenta los conceptos básicos de la trigonometría. Explica las definiciones de las funciones trigonométricas directas e inversas utilizando un triángulo rectángulo como ejemplo. También describe cómo resolver triángulos rectángulos aplicando el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas. Finalmente, proporciona tablas con los valores notables de las funciones trigonométricas y gráficas que ilustran su comportamiento.
Brahmagupta fue un importante matemático y astrónomo indio del siglo VII que realizó contribuciones fundamentales como la introducción del concepto de cero y los números negativos, y desarrollos en áreas como la ecuación cuadrática, la trigonometría y la teoría de números. Algunos de sus descubrimientos, como el uso de métodos algebraicos para problemas astronómicos y la fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico, aún se utilizan hoy en día.
Este documento presenta la resolución de varias ecuaciones y inecuaciones de primer y segundo grado. Incluye ejercicios de ecuaciones de primer grado como ax + b = cx + d, ecuaciones cuadráticas como ax^2 + bx + c = 0 y sistemas de inecuaciones como a < bx. Explica los pasos para simplificar, factorizar y resolver cada tipo de ecuación y encontrar el conjunto de soluciones de las inecuaciones.
Dokumen tersebut merupakan catatan kuliah tentang Teori Bilangan (MX 127) yang mencakup beberapa bab seperti aksioma dasar bilangan bulat, bukti dengan induksi, keterbagian, kongruensi, faktorisasi, algoritma Euclid, dan fungsi-fungsi bilangan teoritik."
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Este documento contiene 6 prácticas de matemática que cubren temas como números reales, funciones, límites, derivadas e integrales. Cada práctica incluye ejercicios resueltos sobre los conceptos matemáticos tratados y ejercicios adicionales para la práctica. También incluye evaluaciones parciales y final.
The document discusses various methods for solving quadratic equations, including factoring, square root method, completing the square, and the quadratic formula. It also defines terms related to quadratic equations like discriminant, complex numbers, and pure and complete quadratic equations. The objectives are for students to learn to solve different types of quadratic equations and problems using these various methods and concepts.
Makalah ini membahas sistem bilangan bulat, termasuk pengertian bilangan bulat, sifat-sifat sistem bilangan bulat seperti tertutup, komutatif, asosiatif, dan distributif, serta penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat.
The document provides examples and step-by-step instructions for multiplying fractions, including multiplying fractions with numerators greater than 1, mixed numbers, and fractions of fractions. It emphasizes that to multiply fractions, one should multiply the numerators and multiply the denominators. The document concludes by asking the reader to assess their ability to multiply different types of fractions.
Este documento es una guía de matemáticas sobre términos semejantes para estudiantes. Contiene 7 preguntas de selección múltiple sobre reducción de términos, 3 problemas para resolver, y 3 expresiones algebraicas para reducir. El objetivo es ayudar a los estudiantes a practicar conceptos como términos semejantes, adición y sustracción de polinomios, y factorización.
Este documento proporciona instrucciones y ejemplos para sumar y restar polinomios en álgebra. Explica que los términos deben ser semejantes para poder sumarlos o restarlos, y que los términos semejantes son aquellos con las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. Proporciona ejemplos de cómo sumar y restar polinomios paso a paso, así como también una sección de práctica con ejercicios para que los estudiantes apliquen los conceptos.
El documento resume conceptos clave sobre expresiones algebraicas. Explica que una expresión algebraica es el resultado de aplicar operaciones a variables y coeficientes. Define términos semejantes y cómo reducir expresiones. Describe tipos de expresiones como monomios, polinomios, binomios y trinomios. Explica cómo calcular el grado de un polinomio y realizar operaciones como adición, sustracción y multiplicación con expresiones algebraicas. Finalmente, cubre conceptos como productos notables y factorización de polinomios.
1) El documento presenta un repaso sobre factorización en álgebra, incluyendo factor común, factorización por grupos, diferencia de cuadrados, diferencia de cubos, suma de cubos, y factorización de trinomios.
2) Se proveen ejemplos detallados de cada tipo de factorización con explicaciones paso a paso.
3) El documento concluye con una sección de práctica que contiene ejercicios de factorización para que los estudiantes apliquen los conceptos aprendidos.
Este documento presenta información sobre operaciones con polinomios. Explica términos como coeficiente numérico, variable, término, expresión, monomio, binomio y polinomio. Luego cubre cómo evaluar expresiones algebraicas, sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios, dando ejemplos para cada operación. Finalmente, proporciona enlaces a videos de YouTube para obtener más información sobre cómo realizar estas operaciones con polinomios.
Este documento introduce los conceptos de polinomios, incluyendo su definición como expresiones algebraicas donde los exponentes de la variable son enteros no negativos. Explica cómo calcular sumas, restas y productos de polinomios, y que el grado de un polinomio producto es la suma de los grados de los factores. También presenta ejemplos para ilustrar estas operaciones con polinomios.
Este documento presenta información sobre álgebra, incluyendo factorización, fracciones algebraicas y ecuaciones lineales. Explica métodos para factorizar expresiones, realizar operaciones con fracciones algebraicas y resolver ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones. También incluye ejemplos resueltos de cada tema.
El documento presenta información sobre Mahatma Natalie Sánchez Bencomo, alumna del Centro de Educación Artística. Se proporciona su nombre completo y el nombre de la institución educativa a la que asiste.
Este documento contiene la información personal de una alumna en un centro de educación artística, incluyendo su nombre completo, Mahatma Natalie Sánchez Bencomo.
Este documento proporciona instrucciones sobre cómo factorizar diferentes tipos de expresiones algebraicas, incluyendo: factor común, factorización por grupos, diferencia de cuadrados, diferencia de cubos, suma de cubos, trinomios y trinomios cuadrados perfectos. Incluye ejemplos detallados de cada método y una sección de práctica al final.
El documento proporciona información sobre el álgebra. Explica que el álgebra es la rama de las matemáticas que emplea números, letras y signos para generalizar las operaciones aritméticas. Además, señala que su término proviene del latín y significa reducción. Por último, menciona algunas aplicaciones históricas del álgebra, como la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas por los antiguos babilonios y egipcios.
Este documento presenta una guía de ejercicios sobre operaciones con polinomios. Incluye determinar el grado y ordenar polinomios, realizar operaciones con monomios como sumar, restar y multiplicar, sumar y restar polinomios, calcular valores numéricos, dividir polinomios y verificar resultados usando el teorema del resto.
Este documento presenta información sobre expresiones algebraicas, incluyendo definiciones, operaciones como suma, resta, multiplicación y división, y ejemplos resueltos. Explica que las letras representan cantidades desconocidas y que al sustituir valores numéricos en las expresiones se puede obtener un valor numérico. Cubre temas como productos notables, factorización y radicación de expresiones algebraicas.
El documento presenta conceptos básicos de álgebra, incluyendo términos algebraicos, expresiones algebraicas, grado de polinomios, valoración de expresiones, términos semejantes y multiplicación. Define términos como monomio, binomio, trinomio y polinomio. Explica cómo determinar el grado de una expresión, valorar variables en una expresión, reducir términos semejantes y los pasos para multiplicar expresiones algebraicas.
Informe de matematica ( expresiones algebraicas)anamariawyatt1
En la siguiente presentación se observaran diferentes conceptos y ejemplos de las expresiones algebraicas, como lo son suma, resta, multiplicacion, division, valor numerico, productos notables y factorizacion.
espero sea de ayuda la informacion suministrada
Este documento explica conceptos básicos de álgebra como monomios, binomios, trinomios, polinomios, sumas, restas, productos y cocientes de expresiones algebraicas. Define términos como coeficiente, variable, grado de un monomio o polinomio, y explica cómo realizar operaciones con expresiones algebraicas como sumar o multiplicar monomios y polinomios. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto.
I. Este documento explica los conceptos básicos de la multiplicación de monomios y polinomios, incluyendo las leyes de signos, exponentes y la propiedad distributiva. II. Se proporcionan ejemplos detallados de cómo multiplicar monomios, monomios por polinomios, y polinomios por monomios. III. También incluye ejercicios de aplicación para practicar estas multiplicaciones.
El documento presenta 18 ejercicios sobre polinomios. Los ejercicios incluyen identificar polinomios, sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios, factorizar polinomios, resolver ecuaciones polinómicas, y expresar fracciones como sumas de fracciones simples.
Este documento trata sobre productos notables y factorización. Explica los productos de binomios conjugados, el cuadrado de un binomio, y el cubo de un binomio. También cubre cómo factorizar una diferencia de cuadrados y un trinomio cuadrado perfecto. Finalmente, proporciona ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra, incluyendo definiciones de expresiones algebraicas, términos algebraicos, clasificación de expresiones, operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división, y métodos para factorizar y simplificar expresiones como productos notables y el uso del mínimo común múltiplo y máximo común divisor. También explica cómo escribir situaciones matemáticas y resolver divisiones de polinomios usando la regla de Ruffini.
Este documento proporciona información sobre diferentes métodos para factorizar polinomios, incluyendo: factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, trinomio incompleto, trinomio de la forma x2 + bx + c, suma y diferencia de cubos, y factorización por evaluación. Explica los pasos para aplicar cada método y proporciona ejemplos para ilustrarlos.
Este plan de proyecto tiene como objetivo concientizar sobre la protección de los recursos naturales de Puerto Rico que se ven afectados por el cambio climático. Los estudiantes de cuarto grado crearán un video y una propuesta de investigación sobre cómo mejorar el ambiente local para ayudar a los animales. El proyecto se llevará a cabo del 14 de octubre al 8 de diciembre de 2016 e incluirá instrucción sobre habilidades de investigación, uso de tecnología y trabajo en equipo.
El documento describe las estrategias exitosas implementadas en la Escuela Juan Ramón Jiménez para abordar los pilares del Modelo de Transformación Escolar. Se destacan estrategias como el desarrollo de líderes a través de la capacitación de maestros, el uso de datos para la toma de decisiones, y la creación de comités de padres, disciplina y planificación para apoyar la transformación escolar. Los resultados incluyen mejoras en el rendimiento académico, asistencia y participación de padres.
El documento presenta el programa de actividades para la Semana de las Ciencias. Del lunes al viernes se llevarán a cabo diferentes eventos como la entrega de recordatorios, montaje de proyectos, exposición de carteles, evaluación de proyectos, photo booth, y una feria científica con premiación.
El resumen presenta los resultados promedio obtenidos por los estudiantes de 8vo grado de la escuela JRJ y a nivel isla en Puerto Rico en las diferentes áreas de matemáticas en la prueba PPAA del 2014. Los estudiantes de JRJ obtuvieron los porcientos promedio más altos en Numeración y Operación y los más bajos en Análisis de Datos y Probabilidad, mientras que a nivel isla, los estudiantes obtuvieron el porciento promedio más alto en Numeración y Operación y el más bajo en Geometr
El documento presenta los resultados promedio por estándar y los resultados obtenidos por el estudiante JRJ en cuatro áreas de matemáticas en la prueba PPAA 2014 para 7mo grado. Los resultados muestran que el estudiante JRJ obtuvo puntajes por debajo del promedio en todas las áreas excepto en Geometría.
El documento presenta los resultados promedio obtenidos en la prueba PPAA 2014 de 8vo grado de inglés para tres áreas: comunicación auditiva, comunicación escrita y comprensión de lectura. Los estudiantes de la escuela JRJ obtuvieron puntajes promedio más bajos que el estándar a nivel isla en las tres áreas evaluadas.
El estudiante JRJ obtuvo puntajes por debajo del promedio en comunicación auditiva, comunicación escrita y comprensión lectora en la prueba PPAA 2014 de 7mo grado de inglés, con mayores deficiencias en comprensión lectora.
Los resultados de las pruebas PPAA 2014 para el 7mo grado de español muestran que los estudiantes de la escuela JRJ obtuvieron un promedio más alto en Comunicación Escrita (50.44% vs. 44.94%) y Comprensión Lectora (41.62% vs. 36.4%) que el promedio a nivel isla.
El documento presenta los resultados de las pruebas estandarizadas de Español, Matemáticas, Inglés y Ciencias de los grados 7mo a 11vo de la Escuela Juan Ramón Jiménez para los años 2013-14 y 2014-15. En general, hubo una ligera mejora en los niveles proficientes y avanzados, y una disminución en los niveles pre-básicos y básicos. Sin embargo, los resultados variaron entre las diferentes asignaturas y grados escolares.
Los resultados de las pruebas PPAA 2014 para el 8vo grado de español muestran que el promedio de comunicación escrita y comprensión lectora para los estudiantes de la escuela JRJ fue menor que el promedio a nivel isla. El porcentaje promedio de comunicación escrita fue 37.72% para JRJ versus 47.97% a nivel isla, y el porcentaje promedio de comprensión lectora fue 39.79% para JRJ frente a 50.79% a nivel isla.
This document discusses building achievement in Title 1 schools by fostering growth mindsets. It introduces 7 key mindsets and provides tools and strategies for changing mindsets. The mindsets discussed are: gratitude, optimism, understanding that mindsets can change, seeing teachers as the single greatest determinant of student success, having a "no excuses" attitude, and a sense of urgency around improving outcomes for at-risk students. Research is presented showing the impacts of poverty and stress on the brain and academic performance. Strategies are aimed at helping teachers take ownership of student outcomes and empowering students through emphasizing effort and growth over fixed traits.
The document discusses the benefits of exercise for mental health. Regular physical activity can help reduce anxiety and depression and improve mood and cognitive functioning. Exercise causes chemical changes in the brain that may help protect against mental illness and improve symptoms.
The document provides an overview of Dr. Douglas Reeves, founder of Creative Leadership Solutions. It discusses his background, accomplishments, and work focusing on leadership and organizational effectiveness. Dr. Reeves is the author of over 30 books and 80 articles on these topics. He provides keynote speeches, proprietary research, and executive coaching to organizations worldwide.
1. The document discusses how the leadership system in a school is the key determinant of its success. It outlines five keys to an effective leadership system: strong professional relationships, a focus on student needs, shared decision-making power, an improvement process, and sustaining ongoing progress.
2. Intrinsic motivation throughout the staff is important for maximizing school performance. An effective leadership system provides this by involving staff in decisions and goal-setting.
3. Specific strategies are presented for implementing each of the five keys, like establishing shared values, prioritizing student needs, delegating decision authority, using improvement teams, and regularly evaluating goals. Changing a school's leadership system is necessary to realize its full potential.
The document summarizes the goals and objectives achieved over 14 years at the Doyon School through their consensus-driven improvement process. Some of the major goals included establishing a set of shared working values to build positive relationships among staff, increasing consistency in curriculum and instruction between grades and classrooms, and maintaining a focus on developing and assessing high quality curriculum aligned to state standards. The process of setting goals and reviewing them annually helped transform the school culture from one of individual priorities to a collaborative, student-centered approach.
Este documento presenta un calendario de cuatro eventos para padres sobre temas relacionados con la seguridad en Internet, el liderazgo y el ejercicio de la autoridad parental en el contexto de la transformación de la escuela.
Este documento ofrece varias maneras en que los padres pueden ayudar al éxito escolar de sus hijos, como participar activamente en el aprendizaje de los niños, desarrollar una colaboración fuerte con los maestros, asistir a reuniones de padres y maestros, supervisar las tareas escolares, y mantener una actitud positiva hacia la educación.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
1. Escuela de Educación Continua
Repaso para la Prueba de Evaluación
y Admisión Universitaria
(College Board)
MATEMÁTICAS
Parte VI. Álgebra
2. Este manual es propiedad de la Escuela de Educación Continua
de la Universidad Metropolitana. El mismo no puede ser
reproducido parcial ni totalmente sin la autorización expresa de la
Decana Asociada de la Escuela de Educación Continua de la
Universidad Metropolitana.
®Escuela de Educación Continua de UMET, agosto de 2006
3. Álgebra
I. Conceptos Básicos
A. Definiciones
1) Una constante – es un símbolo cuyo valor no cambia.
2) Una variable – es un símbolo que toma valores diferentes.
3) Término- es una parte de una expresión algebraica. Tiene coeficientes
numéricos y coeficientes literales mejor conocidos como variables. Un
término está separado de otro término por operaciones de suma y/o resta.
4) Una expresión algebraica consiste de números y letras unidos por signos
de operaciones y símbolos de agrupación.
5) Polinomio – es una expresión algebraica el cual involucra operaciones
de suma, resta y multiplicación y sus exponentes son enteros y
positivos.
II. Clasificación
Los polinomios se clasifican de acuerdo a la cantidad de términos.
Monomios (1) Binomios (2) Trinomios (3) Polinomios (4 ó más)
X X+2 3X2 + X –9 4Y4 – Y2 + 8Y – 8
3 3x - 4 4Y4 – Y2 + 8Y 3X3 + X –9XY +8Y +9
3x Y2 – 3Z2 N2 –3 N - 2 N4 – N3 + N2 –N +7
7abcdefghijklmno Y2 – 3Z2 3X2 Y2 + XY –9 3X4 + X3 –9X2Y +8XY3 +9
4. A cada término de un polinomio se le asigna un grado que es igual a la suma de los
exponentes de las variables que contiene el término mayor.
Término Grado
8X 1
9XY 2
-5X3Y 4
32 0
7R2ST3 6
2X3YZ + X2Y2Z2 + XYZ - 2Y +10 6
Práctica 16 Clasifica los siguientes como monomio, binomio, trinomio y polinomio
e identifica el grado.
Nombre Grado Polinomio
1) 5X + 2X –1
2) 3X2YZ3 + 3Y + Z
3) 7X6Y
4) X3 + 4X3Y5 + ZN9 – 2
5) 56
6) X
III. Evaluación de polinomios
Ejemplos
1) Si a =1, b = 5, c = -2 2) x = -3 y = 2 z = -1
3ab – c 2xy2 + 3z4 =
3(1) (5) – (-2) 2(-3) (2) 2 + 3(-1) 4
5. 15 – (-2) 2(-3) (4) + 3(1)
=17 -24 + 3
= -21
Pasos
1) Sustituir el valor de las variables
2) Eliminar los exponentes
3) Multiplicar
4) Sumar y/o resta
Práctica 17 Evalúe los siguientes polinomios dados los valores siguientes:
A) X = 2 , Y = -3 y Z =1
1) 3X3 – 2Y2 + 1 =
2) 2Z2 + 3Z3 + Z4 =
3) 5X2Y3Z5 + 3X5Y – Z2 =
4) 2Y3 – 3Y2 + 7 =
5) X3Y2Z4 + X2YZ – Y3Z2 + X2 =
B) Evalúe
1) Si a = 2 y b = 1 , por lo tanto (3a + b)0 =
2) Si x =3.46 y w = 0.346 , por lo tanto x + w =
3) Si a = 7 y b =3 , por lo tanto a b 2 =
6. IV. Suma y resta de polinomios
Por lo general, los polinomios se ordenan escribiendo los exponentes en orden
descendente o en orden ascendente.
Ejemplo:
1) 3X2 – X + 8
2) 5X3Y2 + 2X2Y3 + 4XY + 5 ordenado en x
3) 2X2Y3 + 5X3Y2 + 4XY + 5 ordenado en y
Para poder sumar o restar polinomios, los términos tienen que ser semejantes.
Términos semejantes
Semejantes No semejantes
-3x y 9x -5cxy3 y 9cx3y
6ab2 y -ab2 5x3 y 5y3
5x3y y 8x3 8x2 y 8x
Suma
1) (4x2 – 2x + 3) + ( 5x2 + 6x – 9) = 9x2 + 4x – 6
2) (3x2 – x ) + (8x + 9) = 3x2 + 7x + 9
3) 4x2 – 2x + 3 4) 5x3 + 3x2 + x + 6
+ 5x2 + 6x - 9 + 2x3 – x2 – 8x - 9
9x2 – 4x – 6 7x3 + 2x2 + 9x –3
Resta
Recuerda que restar equivale a sumar por el opuesto del sustraendo.
4 – 3 = 4 + -3
8. 9) ( 7x3 - 4x y + 6y2 ) - ( 8x3 + 9x y – 4y2 ) =
10) 4x3 + 8x2 - x + 1
- x3 + 8x2 - x – 3
11) x2 – 8x + 4
- -x2 + 10x - 5
V. Leyes de exponentes
A. Para un número cualquiera y todos los enteros m y n.
Productos de potencias
Am x An = Am+n
Ejemplos
A5 x A4 = A5+4 = A9
57 x 54 = 57+4 = 511
B. Para un número a cualquiera y todos los enteros m y n.
Una potencia elevada a otra potencia
(Am) n = Am x n
Ejemplos
(A3) 5 = A3 x 5 = A15
(32) 4 = 32 x 4 = A8
C. Para un número a y b cualquiera y todo entero m y n.
Producto de potencias
(A B) n = An B n
(X Y) 3 = X3 Y 3
(2X) 2 = 4X 2
9. D. División elevada a una potencia
n
a an
n
b b b0
5
x x5
y
3
4 43
3
7 7 y 0 y5
E. División (los exponentes se restan)
am
n
a m-n
a b0
x4 a5
2
x 4-2 2
x =x a 53 a 2
x 0 a 3 a 0
Cuando (m) es menor que (n) : m < n
x4 1 1 y 1 1
7 74 3
x 4 41 3
y
x0 x x x 0 y y
Cuando (m) es igual a (n) : m = n
10. x10 1010 43
10
x x 1
0
3
433 40 1
x x0 4
Práctica 19 Leyes de exponentes
Resuelve
4
x2 y3
1) X 3 X 2 Y 0 = 6) 5
x y
2
z7
2) (Y3) 5 = 7) 2
z
3
9t 5 z 4 s 2
3) (A B) = 2
8)
3t 3 z 4 s
4x7 y6
4) [ ( M3 )2 ]3 = 9)
8x 4 y 3
4a 2
5) (7x2y3z)2 = 10)
9b 4
11. VI. Multiplicación de Polinomios
A. Monomios
1) (-3ab2c ) ( -4a2b2c5 ) = 12a3b4c6
2) (3a) (-4 ab) (2bc2) = -24a2 b2c2
B. Monomio por un polinomio
1) a ( x + y ) = ax + ay
2) (-3x ) ( 2x + y – z ) = -6x2 –3xy + 3xz
3) x3 –4x2 + 5x – 8
3x
3x4-12x3 + 15x2 –24x
C. Polinomio por polinomio
1- ( x2 + 5x –2) (3x + 4)
x2 + 5x –2
3x + 4
3x3 + 15x2 – 6x
4x + 20x – 8
3x3 + 19x2 + 14x - 8
Práctica 20 Multiplicación de polinomios
1) (8ab) (-2xy) =
2) (5ab2) ( 2 a - 3b + c) =
3) (x + 3) ( x – 7 ) =
12. 4) 2x ( -4x2 – 8xy – 2x) =
5) ( 4x2 – 7x – 2) ( 2x + 5) =
VII. Productos Especiales
(binomios) (binomios)
A. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
Ejemplos
( x + 5 )2 = x2 + 2(x)(5) + 52 = x2 + 10x + 25
( x - 5 )2 = x2 - 2(x)(5) + 52 = x2 - 10x + 25
B. (a – b) (a + b) = ( a ) 2 - ( b ) 2
Ejemplo
(x – 3) (x + 3) = ( x ) 2 - ( 3 ) 2 = x2 – 9
C. ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Ejemplos
( x + 2 )3 = x3 + 3(x) 2 (2) + 3(x) (2) 2 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8
(binomios) (trinomio)
A. ( a + b ) (a2 - ab + b2) = a3 + b3
Ejemplo
( 2x + 1 ) (4x2 – 2x + 1) = ( 2x3 + 13 ) = 8x3 + 1
13. B. ( a - b ) (a2 + ab + b2) = a3 - b3
Ejemplos
( y - 5 ) ( y2 + 5y + 25 ) = ( y3 - 53 ) = y3 – 125
VIII. División de polinomios
Ejemplos de monomio
12a 2b 3
12a b 4a
2 3
3ab 3
4a
3 2
18a b
3ab 2
6a 2
Ejemplos polinomio por monomio
16 x 4 y 2 8 x 2 y 2 12 xy 3
4 x 3 y 2 xy 3 y 2
4 xy
6ab 3 9a 2b 15ab 4
2b 2 3a 5b 3
3ab
14. Ejemplos polinomio por binomio
x5
x 8 x 15 x 3 x 3 x 8 x 15
2 2
x2 + 3x
-5x +15
-5x +15
0
Práctica 21 División de polinomios
4x 3 5x 2
1)
x
n3 n 2 n
2)
n
30r 3 s 3 24r 2 s 2 18rs
3)
6rs
4) 3a 18a 4 12a 3 6a 2
5) x 2 6 x 8 x 4
6) x 2 10 x x 3 8 x 2
7) x 3 8 2 x
8) 6 y 2 y 2 3 y 2
15. IX Factorización
A. Factor común
Ejemplos 1) 5x + 15 = 5(x + 3)
2) X3 + 3x2 y – x2 = x2 ( x + 3y –1)
3) (x + y) z – (x + y)w = (x + y) (z – w)
B. Factorización por grupo
Ejemplos 1) ax - ay + bx – by = (ax – ay) + (bx – by)
= a(x – y) + b(x – y)
= (a + b) (x – y)
2) mx + 1 – m – x = (mx – m) + (1 – x)
= m(x – 1) + (-1) (x – 1)
= (m – 1) (x –1)
C. Diferencia de Cuadrados
Ejemplos 1) ( a2 – b2 ) = (a – b) (a + b)
2) x2 – 4 = x2 – 22 = (x – 2) (x + 2)
3) x2 - 25 = x2 – 52 = (x – 5) ( x + 5)
D. Diferencias de cubos
Ejemplos
1) a3 – b3 = ( a – b) ( a2 + ab + 2)
2) x3 – 8 = x3 – 23 = (x – 2 ) ( x2 + 2x + 22) = ( x – 2) ( x2 + 2x + 4)
16. 3) 27 x3 – 1 = 33 x3 – 1 = ( 3x – 1) ( 32 x2 + 3 x + 12) = ( 3x –1 ) ( 9x2 + 3x + 1)
E. Suma de cubos
Ejemplos
1) a3 + b3 = ( a + b) ( a2 - ab + b 2)
2) x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2 ) ( x2 - 2x + 22) = ( x + 2) ( x2 - 2x + 4)
3) 27 x3 + 1 = 33 x3 + 1 = ( 3x + 1) ( 32 x2 - 3 x + 12) = ( 3x +1 ) ( 9x2 - 3x + 1)
Nota que se aplica la misma regla que en la diferencia de cubos excepto por el signo.
F. Factorización de trinomios
1. Trinomios del tipo x2 + bx + c
Ejemplos
a) x 2+ 5x – 6 = (x + 6) ( x – 1)
b) y2 - 5y – 6 = ( y –6) ( y + 1)
c) x –3x + 2 = ( x – 1) ( x – 2)
2. Trinomios del tipo ax2 + bx + c
Ejemplos
1a) 2x2 + 6x – 20 = Obsérvese, primeramente, que podemos extraer de cada
término el factor común 2. Luego, 2x2 + 6x – 20 = 2(x2 + 3x – 10) =2(x + 5) (x
– 2). Nótese que los tres factores son irreducibles y que su producto es 2x2 + 6x
– 20 .
b) 6x2 + x –2 para factorizarlo comenzamos determinando factores de 6(-2)
= -12 que sumen 1. Es evidente que estos factores son 4 y –3.
17. Luego tenemos que
6x2 + x –2 = 6x2 + 4x –3x – 2
= 2x ( 3x+2) + (3x +2) (-1)
= (3x+ 2) ( 2x + 1)
c) 14x2 + x – 3 Para factorizarlo determinamos factores de 14(-3) = -42
que sumen 1. Claramente 7 y –6 son tales números.
Luego 14x2 + x – 3 = 14x2 +7x -6x – 3
= 7x ( 2x+ 1) + (-3) (2x+1)
= (2x+1) (7x-3)
3. Trinomio cuadrado perfecto
Ejemplos a) a2 + 2ab + b2 = ( a + b) ( a + b) = ( a + b ) 2
b) x2 + 10x + 25 = ( x + 5) ( x + 5) = ( x + 5)2
c) y2 – 10y + 25 = ( y – 5) ( y – 5) = (y – 5) 2
Práctica 22 Factorización
1) 4x2 – 16xy4 –12x2 y3 =
2) 5a2b2 + 10ab3 =
3) 3x 3+ x2–18x – 6 =
4) a2x + a2d –x – d =
5) t2 – 9s2 =
6) d2 – 49 =
7) 18x2z – 32 y2z =
8) a4 – 81b4 =
19. X. Radicales
A. Propiedades
1) n ab n a n b
a na
2) n
b nb
n
3) n m
a m
a
a
m
m
4) a
n m n
a n
m
5) a a
n m n
B. Exponentes Radicales
1
1) a n an
1
a)4 4 2
2
1
b)27 3 27 3
3
2
1
27
2
27 27 3
2
3
3
32 9
ó
2 1
27 27 2
3 3 3 27 2 3 729 9
m
1
a ó
m m 1
2) a a
m
n
n n
a a
n m n
n am
23. XI. Ecuaciones
Una ecuación es un enunciado matemático que utiliza un signo de igualdad,
(=), para mostrar que dos expresiones son iguales.
A. Resolución de ecuaciones
Ejemplos
1) x –5 =12
X –5 + 5 = 12 + 5 sumas 5 ambos lado
X = 17 solución x está sola
2) 214 = y + 11
214 – 112 = y + 112 – 112 resta 112 a ambos lado
102 = y solución y esta sola
n
3) 12
4
n
4 12 4
4
48 n
4) 2w 3 9
2w 3 3 9 3
2w 6
2 2
w3
24. 5) 3 p 10 8
3 p 10 10 8 10
3 p 18
3 p 18
3 3
p6
Práctica 24 Ecuaciones
1) 3n = 12
2) x + 9 = 20
3) y – 14 = 9
x
4) 20
2
5) 4y – 8 = 16
6) 8x + 3 = 6x + 9
7) 5n – 9 = 2n + 3
8) 5(y + 1) + 2y = 7y + 17 –3y
XII. Inecuaciones
A. Resolución de inecuaciones
Ejemplos
1) 29 g 68
29 29 g 68 29 Resta 29 de cada lado.
g 39 Esto significa: todos los números menores que ó iguales a 39.
25. 2) 13 2 z 3z 39
13 2z 2 z 3z 2z 39 Resta 2z de cada lado.
13 z 39
13 39 z 39 39 Sumas 39 de cada lado.
52 z
x 3
3)
12 2
x 3
12 12 Multiplica cada lado por 12
12 2
x 18 Dado que multiplicamos por un número positivo, el signo de la desigualdad no se .
invierte
4) 3w 27
3 27
Divide cada lado entre –3 y cambia >a<.
3 3
w 9
5) 1 x 3 5
Primero expresa 1 x 3 5 usando y luego resuelve cada desigualdad.
1 x 3 x35
1 3 x 3 3 x 33 53
4 x x2
El conjunto de solución es x | 4 x 2.
26. Práctica 25 –A Inecuaciones
1) 3x < 15
2) 2x + 6 > x – 7
x
3) 5
4
3b 2
4)
4 3
5) 3x 5 2x 4 1
6) 7x 5 4x 1
7) 21 3x 5
8) 16 7 y 10 y 4
B. Variación Directa
Las variables x y y varían directamente, si se relacionan mediante una ecuación de la
forma
Y = kx .
Para algún número k distinto de cero. El número k se llama la constante de
proporcionalidad. En caso de que x y y varía directamente, decimos también que son
directamente proporcionales entre sí. Desde luego, y es función de x, y x es también
función de y, puesto que
1
X= .
ky
La variación directa se describe mediante una ecuación de la forma y = kx donde x 0.
En la ecuación y = kx, k se llama constante de variación. Para encontrar la constante
de variación, se divide cada lado entre x.
27. y
=K
x
Ejemplo 1
El salario de Julio varía con el número de horas que trabaja. Si le pagan $29.75 por 5
horas de trabajo, ¿cuánto le pagarán por 30 horas?
Primero calculas el salario por hora. Sea x = al número de horas que Julio trabaja y sea
y = a la paga de Julio. Encuentra el valor de K en la ecuación y = kx. El valor de k es la
cantidad que le pagan a Julio por hora.
y
K=
x
29.75
K=
5
K= 5.95 A Julio le pagan a $5.95 por hora.
Finalmente calcula lo que le pagan a Julio por 30 horas de trabajo.
Y=kx
Y=5.95 (30)
Y=178.50
Por lo tanto a Julio le pagan $178.50 por 30 horas de trabajo.
Ejemplo 2
El número de galones de agua que uno usa depende directamente del tiempo que uno
se demora en ducharse. La siguiente tabla exhibe el número de galones de agua
usados y como función del tiempo baja la ducha x.
X (minutos) 3 6 9 12 15
Y (galones) 18 36 54 72 90
28. La ecuación y = 6x muestra la relación entre el número de minutos bajo la ducha y los
galones de agua que se usan. Este tipo de ecuación recibe el nombre de variación
directa. Decimos que y varía directamente con x o que y es directamente proporcional
a x, esto significa que cuando x crece, y crece y cuando x disminuye, y disminuye.
Ejemplo 3
Si y varía directamente con x y y = 28 cuando x = 7, encuentra x cuando y=52.
y1 x1
Usa para resolver el problema.
y 2 x2
28 7
sea y 1 = 28, x 1 = 7, y y 2 = 52
52 x 2
28 x 2 = 52(7) Encuentra los productos cruzados.
28 x 2 = 364
x 2 = 13
Así x = 13 cuando y = 52.
Lo contrario de la variación directa es la variación inversa. Decimos que y varía
inversamente con x. Esto significa que cuando x aumenta, y disminuye o que cuando
x disminuye, y aumenta. Por ejemplo, mientras más millas manejas menos gasolina
tienes en el tanque.
Ejemplo 1
Si y varía inversamente con x, y y = 5 cuando x = 15, encuentra x cuando y = 3.
Método 1 Usa regla de producto
x1y1 = x 2 y 2
29. 15 x 5 = x 2 x 3
75
= x2
3
25 = x 2
Así, x = 25 cuando y = 3.
Método 2 Usa la proporción
x1 y
= 2
x2 y1
15 3
=
x2 5
75 = x 2
25 = x 2
Práctica 25 – B Variación Directa
1. Resuelve si y varia directamente con x
Si y = 27, cuando x = 6, calcula x cuando y = 45
2. Resuelve, asume que y varía inversamente con x.
Si y = 99 cuando x = 11, calcula x cuando y = 11
30. 3. Asume que y varía directamente con x.
(A) Si y = 4, cuando x = 12, calcula y cuando x = -24
2 1 1
(B) Si y = 2 , cuando x = , calcula y cuando x = 1
3 4 8
4. Asume que y varía inversamente con x.
(A) Si x = 2.7, cuando y = 8.1, calcula y cuando x = 3.6
(B) Si x= 6.1, cuando x = 4.4, calcula y cuando x = 3.2
XIII. Expresiones Verbales
A menudo es necesario traducir expresiones verbales a expresiones algebraicas
Expresiones verbales Expresiones
algebraicas
7 menos que el producto de 3 y un número 3x – 7
El producto de 7 y S dividido entre el producto de 8 y Y 7S 8 y
Cuatro años más joven que Sara ( s= edad de Sara) S–4
La mitad de un número t t
2
Pasos para resolver problemas verbales
1) Resumen : Trata de decir el problemas en tu propias palabras, en forma
corta.
31. 2) Plantea: Traducir los símbolos linguisticos a símbolos matemáticos.
3) Resuelve: Solucionar la oración matemática.
4) Contestar: Contestar el problema a la luz de la pregunta que se hace.
5) Verificar: Comprobar el resultado.
Frases que se utilizan con frecuencia en los problemas verbales
Frase Significado
Sumado, añadido, más, incrementado, ganacia de, +
total
Diferencia, menos, disminuido por -
Dividido entre, cociente
Es, da, resultado =
Números pares, Números impares X, (x+2), (x+4)...
Múltiplo de tres X, (x+3), (x+6)...
Números consecutivos X, (x+1), (x +2)...
El doble de un número 2x
Mitad de un número x 1
, x
2 2
Triple de un número 3x
Edad ahora X
Edad hace dos años (x-2)
Edad dentro de seis años (x+6)
Ejemplos
1) Si al doble de un número le restamos cinco, el resultado es diecisiete.
Halla el número.
A) Traducción
Lenguaje verbal Lenguaje algebraico
Número x
32. Doble del número 2x
Doble del número menos cinco 2x –5
B) Planteamiento
2x –5 = 17
C) Resolución
2x – 5 + 5 = 17 + 5
2x = 22
2 x 22
2 2
x = 11 Respuesta es 11
D) Comprobación
El doble de 11 es 2 x 11 = 22
22 – 5 = 17
17 = 17
Práctica 26 Problemas Verbales
1) Tres más dos veces cierto número es 57. Halla el número.
2) La suma de dos números enteros consecutivos es igual a ciento treinta y siete.
Halla los números.
3) La suma de dos impares consecutivos es igual a cincuenta y seis. Hallar los
números.
33. 4) Encuentre tres números pares consecutivos tales que el doble del segundo más
tres veces el tercero es siete veces el primero.
5) En un grupo de monedas que se compone sólo de monedas de 10 y 5 , hay
siete más de 10 que de las de 5 . Si el valor total de todas las monedas es
de $1, ¿cuántas de cada tipo de monedas hay en el grupo?
XIV. Expresiones Algebraicas Racionales
A. Simplificación
Ejemplos
5x 3 5x 3 5
1)
2 xx 3 2 xx 3 2 x
4 x 3 10 x 2 6 x 2 x 2 x 2 5 x 3 2 x 1x 3 2 x 1
2)
2 x 18 x
3
2x x2 9 x 1x 3 x 1
B. Suma y resta
Ejemplos
4x 8 2x 4 4 x 8 2 x 4 4 x 8 2 x 4
4 x x 2 4 x x 2 4 x x 2 4 x x 2
1)
2x 4 2x 2 1
4 x x 2 4 x x 2 2 x
35. 2 x3 8x
2) 3
4 x 14 x 2 12 x
2x2 4x 6x
3) 2
12 x y x 6 x 8
2
x 2 6 x 9 x 2 2 x 15
4)
x2 x 6 x2 2x
4 x 12 2x 6
5)
4 xx 3 4 xx 3
3 1
6) 2
x 4 x 4x 4
2
XV. Sistema de coordenadas cartesianas
Para construir un sistema de coordenadas cartesianas empezaremos con dos
conjuntos de objetos, el conjunto de todos los puntos en plano (un conjunto de objetos
geométricos) y el conjunto de todos los pares ordenados de números reales. En un
plano escoja dos rectas numéricas, una vertical y una horizontal, y haga que se
intersequen en sus respectivos orígenes. Se consideran positivas las direcciones hacia
arriba y hacia la derecha. Estas dos rectas numéricas se llaman eje vertical y eje
horizontal (y ambos) los ejes de coordenadas. Los ejes de coordenadas dividen el
plano en cuatro partes que se llaman cuadrantes. Los cuadrantes están enumerados
en dirección contraria a las manecillas del reloj del I al IV.
36. II I
(Abcisa) X
(-, +) (+, +)
.
III IV
(-, -) (+, -)
. Ejemplos:
Y (Ordenada)
Grafica los siguientes puntos en un plano de coordenadas.
A (2, 4) , B (-4, -1) , C (-6,-1) , D (0, 3) , E (-1, 2).
X
X
37. A. Pendiente de una Recta
La pendiente m de una recta es la razón del cambio en las coordenadas y al cambio
correspondiente en las coordenadas X.
Cambioeny (altura ) Elevación y 2 y1
Pendiente
Cambioenx (cambiohori
zontal) Avance x2 x1
y2 y1
1. Fórmula de la pendiente m
x2 x
Ejemplos
a. En consecuencia, la pendiente de la recta que pasa por (2,-3) y por (4,5) es:
y2 y1 5 3 8
m 4
x2 x 42 2
Nota: no importa qué punto escojamos como p1 ó p2 , siempre y cuando nos
sujetemos a la elección que hayamos hecho. Si invertimos los puntos del caso anterior,
obtenemos el mismo valor para la pendiente, y ya que el signo cambia tanto en el
numerador como en el denominador:
y2 y1 3 5 8
m 4
x2 x 24 2
38. 2. La forma pendiente- ordenada al origen
Y= mx + b m= pendiente, b = y ordenada al origen
y=mx +b
y ordenada al origen
Asenso
b
Recorrido
(Abscisa) X
asenso
m pendiente
recorrido
Y (Ordenada)
Ejemplos
1
a) Encuentre la pendiente t la ordenada de la recta y x 2.
3
1 1
y x 2. es la pendiente y 2 (y ordenada al origen)
3 3
b) Encuentre la ecuación cuya pendiente es –2, y la ordenada al origen es 3:
Como m 2 y b 3 , obtenemos: y mx b = -2x + 3 ; ésta es la
ecuación.
3. Forma Punto pendiente de una ecuación lineal
La ecuación de una recta que pasa por x1 , y1 , con pendiente m, está dada por:
y y1 mx x1
y le damos el nombre de forma punto-pendiente de la ecuación de una recta. Por medio
de esta ecuación, junto con la pendiente, podemos encontrar también la ecuación de
una recta, conociendo solamente las coordenadas de dos puntos por los cuales pasa.
39. Ejemplo:
1
a) Encuentre la ecuación de una recta, con pendiente que pasa por (6,-3).
3
Escriba dicha ecuación en la forma y mx b .
y y1 mx x1
y 3 x 6
1
3
y 3 x 6
1
3
x
y3 2
3
1
y x 1
3
4. La forma estándar de una ecuación lineal
La forma estándar de una ecuación lineal es Ax + By = C con A, B, y C enteros,
A 0 y donde A y B no son simultáneamente 0.
Ejemplo
Escribe y 5
5
x 2 en forma estándar.
4
y 5 x 2
5
4
5
4 y 5 4 x 2 multiplica 4 a cada lado para eliminar la fracción
4
4 y 20 5x 10 propiedad distributiva
4 y 5x 10 resta 20 a cada lado
5x 4 y 10 suma 5x a cada lado
La forma estándar de la ecuación es 5x 4 y 10
5. Distancia entre dos puntos:
40. La distacia d entre cualquier par de puntos x1 , y1 y x2 , y2 viene dado por la
siguiente fórmula. d x2 x1 2 y2 y1 2
Ejemplo
Calcula la distancia entre los puntos (3,5) y (6,4).
d x2 x1 2 y2 y1 2
6 32 4 52 32 12 9 1 10 3.16 aproximadamente
6. Punto medio
Punto medio de un segmento de recta en un plano de coordenadas son las
coordenadas del punto medio de un segmento de recta cuyos extremos están en
x1 x2 y1 y2
x1 , y1 y x2 , y2 viene dado por , .
2 2
Ejemplos:
Si los vertices del palelogramo WXYZ son W(3,0), X(9,3), Y(7,10) y Z(1,7),
demuestra que las diagonales se bisecan. Es decir, demuetra que se intersecan en sus
puntos medios. Encuentra los puntos medios de W Y y. XZ
W x1 , y1 = W (3,0) X x1 , y1 = X (9,3)
Y x2 , y2 = Y (7,10) Z x2 , y2 = Z (1,7)
3 7 0 10 9 1 3 17
Punto medio de W Y , Punto medio de XZ ,
2 2 2 2
10 10 10 10
, ,
2 2 2 2
5,5 5,5
41. Como el punto medio de W Y tienen las mismas coordenadas que el punto medio de
XZ , las diagonales se bisecan.
Práctica 28 Coordenadas Cartesianas
1) Localice (asocie cada par ordenado de números con un punto en el sistema
de coordenadas Cartesianas): (2,7), (7,2), (-8.4), (4,-8), (-8.-4), (-4,-8).
2) Halla la pendiente de la recta que pasa entre (3, 2) y (5, 6), toma (3, 2)
como (x1, x2) y (5,6) como (x2, x1). Entonces la pendiente es:
3) Calcule la pendiente de la recta que pasa por (-2,7) y (3,-3).
x
4) Encuentre la pendiente y ordenada al origen de la recta: y 7.
2
1
5) Encuentre la ecuación de una recta cuya pendiente es y la ordenada al
3
origen es 6.
6) Encuentre la ecuación de una recta que pasa por los puntos (-2,-6) y (2,2).
1
7) Encuentre la ecuación de una recta, con pendiente que pasa por
2
(-4,3).
8) Calcula la distancia entre los puntos (5,-1) y (1, 5).
9) Calcula el valor de a si la distancia entre los puntos (-3,-2) y (a, -5) es de 5
unidades.
10) Escribe y 3
3
x 1 en forma estándar.
4
42. XVI. Completando el cuadrado
Puedes resolver algunas ecuaciones cuadráticas extrayendo la raíz cuadrada de cada
lado.
Ejemplos
Resuelve x2 –6x + 9 = 7
x 32 7 x2 –6x + 9 es un trinomio cuadrado perfecto
x 32 7 Extrae la raíz cuadrada de cada lado
x 3 7
x 3 7 ¿Por qué se cumple esto?
x 3 7 Suma 3 a cada lado.
el conjunto de solución es 3 7 ,3 7
Para usar el método ilustrado por el ejemplo anterior, la expresión cuadrática en un
lado de la ecuación debe ser un cuadrado perfecto. Sin embargo, pocas expresiones
cuadráticas son cuadrados perfectos. Para convertir cualquier expresión cuadrática en
un cuadrado perfecto, se puede usar el método de completar el cuadrado.
Ejemplos
1) Calcula el valor de c que hace que cada trinomio sea un cuadrado perfecto.
x 2 20 x c
1 20
Paso1. Calcula de20 10
2 2
Paso 2. Eleva al cuadrado el resultado del paso 1 10 2 100
Paso 3. Suma el resultado del paso2 a x 2 20 x . x 2 20 x 100
Por lo tanto, c = 100. Observa que x 2 20 x 100 x 10 .
2
43. 2) Resuelva por el método de completando el cuadrado. x 2 6 x 2 0
x2 6x 2 0 Suma 2 a ambos lado de la ecuación para eliminar –2 del lado izquierdo.
x2 6x 2 Sume el cuadrado de la mitad del coeficiente de x a cada lado de la
ecuación para completar el cuadrado del lado izquierdo
x 6x 9 2 9
2
Factorice el lado izquierdo
x 32 11
x 3 11
x 3 11
XVII. Fórmula Cuadrática
b b 2 4ac
x
2a
a0
Ejemplos
3
1) Resuelva 2 x x 2 usando la fórmula cuadrática
2
3
2 x x 2 Elimine las fracciones de la ecuación
2
4x 3 2x2 Escriba en forma estándar.
2x 4x 3 0
2
b b 2 4ac
x escriba la fórmula cuadrática e identifique a,b,c. a =2, b =-4, c =-3
2a
4 42 42 3
x
22
Sustituya en la fórmula cuadrática y simplifique.
Errores de signos se cometen fácilmente en este paso.
44. 4 40 4 2 10
x
4 4
x
2 2 10
4
Práctica 29 Completando el cuadrado y la cuadrática.
1) Resuelva por el método de completando el cuadrado. x 2 8x 10 0
2) Resuelva por el método de completando el cuadrado. x 2 8x 18 0
3) Resuelva por el método de completando el cuadrado. 2 x 2 4 x 3 0
4) Resuelva 3x 2 2 x 2 usando la fórmula cuadrática.
5) Resuelva x 2 4 x 2 0 usando la fórmula cuadrática.
6) Resuelva y 2 6 y 3 0 usando la fórmula cuadrática.