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Escuela de Educación Continua




Repaso para la Prueba de Evaluación
     y Admisión Universitaria
         (College Board)




       MATEMÁTICAS

      Parte VI. Álgebra
Este manual es propiedad de la Escuela de Educación Continua
     de la Universidad Metropolitana. El mismo no puede ser
reproducido parcial ni totalmente sin la autorización expresa de la
  Decana Asociada de la Escuela de Educación Continua de la
                    Universidad Metropolitana.
  ®Escuela de Educación Continua de UMET, agosto de 2006
Álgebra

 I. Conceptos Básicos
      A. Definiciones

            1) Una constante – es un símbolo cuyo valor no cambia.

            2) Una variable – es un símbolo que toma valores diferentes.

            3) Término- es una parte de una expresión algebraica. Tiene coeficientes
               numéricos y coeficientes literales mejor conocidos como variables. Un
               término está separado de otro término por operaciones de suma y/o resta.

            4) Una expresión algebraica consiste de números y letras unidos por signos
               de operaciones y símbolos de agrupación.

            5) Polinomio – es una expresión algebraica el cual involucra operaciones
               de suma, resta y multiplicación y sus exponentes son enteros y
               positivos.



II.   Clasificación
  Los polinomios se clasifican de acuerdo a la cantidad de términos.



Monomios (1)         Binomios (2)     Trinomios (3)     Polinomios (4 ó más)

       X                  X+2            3X2 + X –9         4Y4 – Y2 + 8Y – 8
       3                  3x - 4        4Y4 – Y2 + 8Y     3X3 + X –9XY +8Y +9

       3x               Y2 – 3Z2         N2 –3 N - 2       N4 – N3 + N2 –N +7
7abcdefghijklmno        Y2 – 3Z2       3X2 Y2 + XY –9   3X4 + X3 –9X2Y +8XY3 +9
A cada término de un polinomio se le asigna un grado que es igual a la suma de los
exponentes de las variables que contiene el término mayor.



                                  Término                    Grado
                                     8X                        1
                                    9XY                        2
                                   -5X3Y                       4
                                     32                        0
                                   7R2ST3                       6
                        2X3YZ + X2Y2Z2 + XYZ - 2Y +10           6



Práctica 16         Clasifica los siguientes como monomio, binomio, trinomio y polinomio
e identifica el grado.

         Nombre                        Grado                         Polinomio
                                                           1) 5X + 2X –1
                                                           2) 3X2YZ3 + 3Y + Z
                                                           3) 7X6Y
                                                           4) X3 + 4X3Y5 + ZN9 – 2
                                                           5) 56
                                                           6) X



III. Evaluación de polinomios

Ejemplos

      1) Si a =1, b = 5, c = -2          2) x = -3 y = 2 z = -1
           3ab – c                          2xy2 + 3z4 =
           3(1) (5) – (-2)                  2(-3) (2) 2 + 3(-1) 4
15 – (-2)                           2(-3) (4) + 3(1)
        =17                                    -24 + 3
                                               = -21

        Pasos

        1)   Sustituir el valor de las variables
        2)   Eliminar los exponentes
        3)   Multiplicar
        4)   Sumar y/o resta

Práctica 17     Evalúe los siguientes polinomios dados los valores siguientes:


  A) X = 2 , Y = -3 y Z =1

     1) 3X3 – 2Y2 + 1 =

     2) 2Z2 + 3Z3 + Z4 =

     3) 5X2Y3Z5 + 3X5Y – Z2 =

     4) 2Y3 – 3Y2 + 7 =

     5) X3Y2Z4 + X2YZ – Y3Z2 + X2 =


  B) Evalúe

     1) Si a = 2 y b = 1 , por lo tanto (3a + b)0 =

     2) Si x =3.46 y w = 0.346 , por lo tanto x + w =

     3) Si a = 7 y b =3 , por lo tanto a  b 2 =
IV.      Suma y resta de polinomios

      Por lo general, los polinomios se ordenan escribiendo los exponentes en orden
descendente o en orden ascendente.

Ejemplo:

      1) 3X2 – X + 8
      2) 5X3Y2 + 2X2Y3 + 4XY + 5      ordenado en x
      3) 2X2Y3 + 5X3Y2 + 4XY + 5      ordenado en y

Para poder sumar o restar polinomios, los términos tienen que ser semejantes.

Términos semejantes

                 Semejantes                                No semejantes
                   -3x y 9x                                -5cxy3 y 9cx3y
                6ab2 y -ab2                                  5x3 y 5y3
                 5x3y y 8x3                                  8x2 y 8x



Suma

      1) (4x2 – 2x + 3) + ( 5x2 + 6x – 9) = 9x2 + 4x – 6

      2) (3x2 – x ) + (8x + 9) = 3x2 + 7x + 9

      3) 4x2 – 2x + 3         4) 5x3 + 3x2 + x + 6
         + 5x2 + 6x - 9       + 2x3 – x2 – 8x - 9
           9x2 – 4x – 6          7x3 + 2x2 + 9x –3

Resta

         Recuerda que restar equivale a sumar por el opuesto del sustraendo.

         4 – 3 = 4 + -3
1) ( 5x3 + 3x2 + x + 6 ) – ( 2x3 – x2 + 8x – 9) =

     ( 5x3 + 3x2 + x + 6 ) + ( -2x3 + x2 - 8x + 9) (cambias de signos, luego sumamos)

                           = 3x3 + 4x2 – 7x +15


2)    8x2 + x - 9             8x2 – x - 9
     - x2 - 4x + 2          + -x2 + 4x - 2
                              7x2 + 5x –11


3)     x2 –8x + 4              x2 – 8x + 4
 -    x2 - 10x + 5          + -x2 + 10x - 5
                                     2x - 1




Práctica 18          Suma o resta de polinomios


     1) ( 14x3 - 3x2 -2 x ) + ( -17x3 + 8x2 -9x ) =

     2) -9x2 + -6x2 + -3 x =

     3) ( 5y2 – 4y + 2 ) + ( 8y2 + 6y -12 ) =

     4) ( 4x2y – 3xy2 + 3y3 ) + ( 11x2y – 4xy2 + 7y3 ) =

     5)    4x3 + 8x2 - x + 1

          + x3 + 8x2 - x – 3

     6) ( 3x5 + x3 –x2 + 1 ) - ( -x4 + x - 3 ) =

     7) ( 6a2 – 8a + 12 b3 ) - ( -11a 2 + 6b3 ) =

     8) ( 7x2 - 4x y + 3y2 ) - ( 10x2 + 7x y – 4y2 ) =
9) ( 7x3 - 4x y + 6y2 ) - ( 8x3 + 9x y – 4y2 ) =

     10)     4x3 + 8x2 - x + 1

           - x3 + 8x2 - x – 3

     11) x2 – 8x + 4

      - -x2 + 10x - 5



V.          Leyes de exponentes

           A. Para un número cualquiera y todos los enteros m y n.
                    Productos de potencias
                    Am x An = Am+n

     Ejemplos
                   A5 x A4 = A5+4 = A9
                    57 x 54 = 57+4 = 511

           B. Para un número a cualquiera y todos los enteros m y n.
                    Una potencia elevada a otra potencia
                    (Am) n = Am x n

      Ejemplos

                 (A3) 5 = A3 x 5 = A15
                 (32) 4 = 32 x 4 = A8




           C. Para un número a y b cualquiera y todo entero m y n.
                Producto de potencias
                (A B) n = An B n
                (X Y) 3 = X3 Y 3
                (2X) 2 = 4X 2
D. División elevada a una potencia
              n
      a   an
        n
     b   b b0
                                         5
                           x              x5
                                        
                          y            
          3
       4  43
          3
       7  7              y 0           y5
E. División (los exponentes se restan)


      am
      n
           a       m-n
     a b0

     x4                             a5
     2
    x              4-2 2
                   x =x                       a 53  a 2
     x 0                          a 3 a 0



    Cuando (m) es menor que (n) : m < n


     x4     1   1                           y       1  1
     7   74  3
    x                                       4   41  3
                                             y     
     x0  x    x                            x 0  y   y

    Cuando (m) es igual a (n) : m = n
x10           1010                       43
           10
                       x           x 1
                                     0
                                                         3
                                                            433  40  1
         x      x0                                    4



Práctica 19        Leyes de exponentes

    Resuelve
                                                             4
                                                x2 y3 
       1) X 3 X 2 Y 0 =                     6)  5  
                                               x y 
                                                      

                                                         2
                                                  z7 
       2) (Y3) 5 =                          7)    2 
                                                 z 
                                                  
                                                                  3
                                                9t 5 z 4 s  2   
       3) (A B) =  2
                                            8) 
                                                3t 3 z 4 s        
                                                                  
                                                                 

                                                4x7 y6 
       4) [ ( M3 )2 ]3 =                    9) 
                                                8x 4 y 3  
                                                          
                                                         

                                                     4a 2
       5) (7x2y3z)2 =                       10)           
                                                     9b 4
VI.     Multiplicación de Polinomios

         A. Monomios

             1) (-3ab2c ) ( -4a2b2c5 ) = 12a3b4c6
             2) (3a) (-4 ab) (2bc2) = -24a2 b2c2


         B. Monomio por un polinomio

           1) a ( x + y ) = ax + ay
           2) (-3x ) ( 2x + y – z ) = -6x2 –3xy + 3xz
           3) x3 –4x2 + 5x – 8
                                3x
           3x4-12x3 + 15x2 –24x


         C. Polinomio por polinomio

             1-   ( x2 + 5x –2) (3x + 4)
                     x2 + 5x –2
                       3x + 4
               3x3 + 15x2 – 6x
                       4x + 20x – 8
              3x3 + 19x2 + 14x - 8



Práctica 20           Multiplicación de polinomios

      1) (8ab) (-2xy) =

      2) (5ab2) ( 2 a - 3b + c) =

      3) (x + 3) ( x – 7 ) =
4) 2x ( -4x2 – 8xy – 2x) =

  5) ( 4x2 – 7x – 2) ( 2x + 5) =



VII. Productos Especiales
         (binomios) (binomios)


       A. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2                    ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

             Ejemplos
                    ( x + 5 )2 = x2 + 2(x)(5) + 52 = x2 + 10x + 25
                    ( x - 5 )2 = x2 - 2(x)(5) + 52 = x2 - 10x + 25

       B. (a – b) (a + b) = ( a ) 2 - ( b ) 2

             Ejemplo

               (x – 3) (x + 3) = ( x ) 2 - ( 3 ) 2 = x2 – 9


       C. ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

             Ejemplos

             ( x + 2 )3 = x3 + 3(x) 2 (2) + 3(x) (2) 2 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8


             (binomios) (trinomio)

      A. ( a + b ) (a2 - ab + b2) = a3 + b3

             Ejemplo

             ( 2x + 1 ) (4x2 – 2x + 1) = ( 2x3 + 13 ) = 8x3 + 1
B. ( a - b ) (a2 + ab + b2) = a3 - b3

           Ejemplos

            ( y - 5 ) ( y2 + 5y + 25 ) = ( y3 - 53 ) = y3 – 125




VIII. División de polinomios



        Ejemplos de monomio

                      12a 2b 3
        12a b  4a 
            2 3
                                3ab 3
                         4a
            3 2
        18a b
                 3ab 2
          6a 2




        Ejemplos polinomio por monomio


        16 x 4 y 2  8 x 2 y 2  12 xy 3
                                          4 x 3 y  2 xy  3 y 2
                     4 xy
        6ab 3  9a 2b  15ab 4
                                2b 2  3a  5b 3
                 3ab
Ejemplos polinomio por binomio

                                                    x5
                            
              x  8 x  15  x  3  x  3 x  8 x  15
                 2                                2


                                           x2 + 3x
                                          -5x +15
                                          -5x +15
                                                0

Práctica 21              División de polinomios

          4x 3  5x 2
    1)                 
             x

         n3  n 2  n
    2)                
              n

         30r 3 s 3  24r 2 s 2  18rs
    3)                                
                     6rs


    4)  3a 18a 4  12a 3  6a 2 


                        
    5) x 2  6 x  8   x  4  


                                
    6) x 2  10 x  x 3  8   x  2  


                    
    7) x 3  8  2  x  


                        
    8) 6 y 2  y  2  3 y  2  
IX Factorización


A.   Factor común

     Ejemplos      1) 5x + 15 = 5(x + 3)
                   2) X3 + 3x2 y – x2 = x2 ( x + 3y –1)
                   3) (x + y) z – (x + y)w = (x + y) (z – w)

B.   Factorización por grupo

     Ejemplos    1) ax - ay + bx – by = (ax – ay) + (bx – by)
                                       = a(x – y) + b(x – y)
                                       = (a + b) (x – y)


                   2) mx + 1 – m – x = (mx – m) + (1 – x)
                                         = m(x – 1) + (-1) (x – 1)
                                         = (m – 1) (x –1)

C.   Diferencia de Cuadrados


     Ejemplos      1) ( a2 – b2 ) = (a – b) (a + b)
                   2) x2 – 4    = x2 – 22 = (x – 2) (x + 2)
                   3) x2 - 25 = x2 – 52 = (x – 5) ( x + 5)



D.   Diferencias de cubos

     Ejemplos

     1) a3 – b3 = ( a – b) ( a2 + ab + 2)
     2) x3 – 8 = x3 – 23 = (x – 2 ) ( x2 + 2x + 22) = ( x – 2) ( x2 + 2x + 4)
3) 27 x3 – 1 = 33 x3 – 1 = ( 3x – 1) ( 32 x2 + 3 x + 12) = ( 3x –1 ) ( 9x2 + 3x + 1)



E.        Suma de cubos

          Ejemplos

          1) a3 + b3 = ( a + b) ( a2 - ab + b 2)

          2) x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2 ) ( x2 - 2x + 22) = ( x + 2) ( x2 - 2x + 4)

          3) 27 x3 + 1 = 33 x3 + 1 = ( 3x + 1) ( 32 x2 - 3 x + 12) = ( 3x +1 ) ( 9x2 - 3x + 1)

Nota que se aplica la misma regla que en la diferencia de cubos excepto por el signo.



F.        Factorización de trinomios

 1.       Trinomios del tipo x2 + bx + c

          Ejemplos

          a) x 2+ 5x – 6 = (x + 6) ( x – 1)
          b) y2 - 5y – 6 = ( y –6) ( y + 1)
           c) x –3x + 2 = ( x – 1) ( x – 2)

     2.   Trinomios del tipo ax2 + bx + c

          Ejemplos

          1a) 2x2 + 6x – 20 = Obsérvese, primeramente, que podemos extraer de cada
          término      el factor común 2. Luego, 2x2 + 6x – 20 = 2(x2 + 3x – 10) =2(x + 5) (x
          – 2). Nótese que los tres factores son irreducibles y que su producto es 2x2 + 6x
          – 20 .

          b) 6x2 + x –2 para factorizarlo comenzamos determinando factores de 6(-2)
          = -12 que sumen 1. Es evidente que estos factores son 4 y –3.
Luego tenemos que
                                6x2 + x –2 = 6x2 + 4x –3x – 2
                                            = 2x ( 3x+2) + (3x +2) (-1)
                                            = (3x+ 2) ( 2x + 1)

        c) 14x2 + x – 3 Para factorizarlo determinamos factores de 14(-3) = -42
        que sumen 1. Claramente 7 y –6 son tales números.

         Luego 14x2 + x – 3 = 14x2 +7x -6x – 3
                                = 7x ( 2x+ 1) + (-3) (2x+1)
                                = (2x+1) (7x-3)


3.      Trinomio cuadrado perfecto

        Ejemplos        a) a2   + 2ab + b2 = ( a + b) ( a + b) = ( a + b ) 2
                        b) x2 + 10x + 25 = ( x + 5) ( x + 5) = ( x + 5)2
                        c) y2 – 10y + 25 = ( y – 5) ( y – 5) = (y – 5) 2


Práctica 22           Factorización

     1) 4x2 – 16xy4 –12x2 y3 =

     2) 5a2b2 + 10ab3 =

     3) 3x 3+ x2–18x – 6 =

     4) a2x + a2d –x – d =

     5) t2 – 9s2 =

     6) d2 – 49 =

     7) 18x2z – 32 y2z =

     8) a4 – 81b4 =
9) 8a3 + b3 =

10) 64p3 – q3 r3 =

11) 8t3 + 125 =

12) a6 – b6 =

13) x2 + 6x + 8 =

14) p2 –6pq –7q2 =

15) m2 –7m + 12 =

16) x2 + 8x +16 =

17) a2 –12a + 36=

18) 15x2 – 8x +1 =

19) 2x2 + 11x + 12 =

20) 9t2 + 12ts + 4s2 =
X. Radicales


 A.   Propiedades

           1) n ab  n a  n b
                  a na
           2) n    
                  b nb
                              n
           3) n   m
                      a          m
                                      a

                               a
                                                          m
                                          m
           4) a 
              n       m           n
                                                  a      n

                                      m
           5) a  a
              n       m               n



 B.   Exponentes Radicales

                  1

      1)    a n an


                      1
             a)4  4  2
                      2

                          1
             b)27  3 27  3
                          3



                                                      2
                        1
                                                               27 
                      2
                  27   27 3  
                                                                   2
                      3
                             
                                                              3
                                                                        32  9
                             
                  ó
                                   
                          2                   1
                  27  27 2
                          3                   3    3 27 2  3 729  9


                                      m
              1
                                               a ó                         
              m                                                         m        1
      2) a   a  
                                                          m
              n
              
                n                                 n
                                                                       a  a
                                                                        n      m n
                                                                                      n am
              
3
                  a)5  4 53
                          4



                  b) 11 3  3  112  3 121
                                      2




                 m
                              1
        3)   a    n
                                 m
                                  n
                              a
                                  3                              3
                                                1         1     1 1
                      a)16        4
                                                   3
                                                        4
                                                               3 
                                                              
                                                    4     16   2    8
                                               16
                                          2
                      b) 8
                                                     1            1              1      1
                                                                                   
                                                    83                     2 4
                                           3
                                                                       2            2
                                                              3
                                                                  8


C.   Suma y Resta

     Ejemplos de suma y resta

             1) 9  16  9  16  25  5

                      9  16  3  4  7                                 error común


             2)2 3  5 3  3  2  5  1 3  6 3


                                                           
             3)5 8  11 18  5 2 2  11 3 2  10 2  33 2  43 2


             4)4 12  5 8  50  4 4  3  5 4  2  2  25
                                                                   
                                                            42 3 52 2  5 2
                                                            8 3   2  5 2
                                                                   10
                                                           8 35 2
D.   Multiplicación y División de radicales

     Ejemplos de Multiplicación

      1) 8  2  8  2  16  4


                                    
      2) 5 3 4 5  5  4 3  5  20 5  3  20 15




                         
          3) 5 3 7  2 5                 
                                   5 3 7     52 5   
                           3 5 7  2 55
                           3 35  2 25
                           3 35  2  5
                           3 35  10


                  
      4) 3  2 2 3  2         
                 
                2 3 3      3  2  2    3 2         2 2   
                2 9  6   2 6  4 
                23  6   2 6  2
                6   6  2 6  2
                4 6

E.   División de radicales

     Ejemplos de división

          7    7    3 7 3
     1)             
           3    3   3   3
3           3    2x
     2)         2x            2x
          5 2x        5 2x   2x
                                        3 2x
                                                2x
                                        52 x 
                                      3 2x
                                             2x
                                       10 x
                                      3 2 x  10 x 2 x
                                    
                                             10 x

                                    
                                      3  10 x  2 x
                                           10 x



                5
                    
                                        
                                     5 3 1          
      3)
               3 1                        
                                    3 1 3  1            
                                5 3 5                   5 3 5    5 3 5
                                                              
                             3  1    2        2        3 1       2



Práctica 23            Operaciones con Radicales

      1)6 7  5 7  3 7 


      2)5 6  3 7  4 7  2 6 


           
      3) 2 3  5             10  4 6  
           
      4) x  2 y               2




               5
      5)           
               3

               4
      6)               
           4 3
XI. Ecuaciones

    Una ecuación es un enunciado matemático que utiliza un signo de igualdad,
    (=), para mostrar que dos expresiones son iguales.

    A.    Resolución de ecuaciones

    Ejemplos

    1)     x –5 =12
                 X –5 + 5 = 12 + 5        sumas 5 ambos lado
                       X = 17             solución x está sola



     2)   214 = y + 11
                214 – 112 = y + 112 – 112             resta 112 a ambos lado
                       102 = y                            solución y esta sola




                 n
     3)   12 
                 4
                                    n
                              
                     4  12  4 
                                    
                                    4
                       48  n


     4)   2w  3  9
                2w  3  3  9  3
                       2w 6
                           
                        2     2
                                    w3
5)      3 p  10  8
                        3 p  10  10  8  10
                                   3 p  18
                                   3 p 18
                                       
                                    3     3
                                   p6


Práctica 24          Ecuaciones

   1) 3n = 12
   2) x + 9 = 20
   3) y – 14 = 9
        x
   4)      20
        2
   5) 4y – 8 = 16
   6) 8x + 3 = 6x + 9
   7) 5n – 9 = 2n + 3
   8) 5(y + 1) + 2y = 7y + 17 –3y




XII.    Inecuaciones

        A.       Resolución de inecuaciones

        Ejemplos

        1) 29  g  68

             29  29  g  68  29      Resta 29 de cada lado.

                        g  39   Esto significa: todos los números menores que ó iguales a 39.
2)     13  2 z  3z  39
 13  2z  2 z  3z  2z  39            Resta 2z de cada lado.

               13  z  39
        13  39  z  39  39          Sumas 39 de cada lado.

               52  z

         x 3
3)        
        12 2
             x       3
     12        12  Multiplica cada lado por 12
            12       2
            x  18 Dado que multiplicamos por un número positivo, el signo de la desigualdad no se   .

                           invierte


4)     3w  27
         3 27
                       Divide cada lado entre –3 y cambia >a<.
        3 3
        w  9

5)     1  x  3  5

     Primero expresa  1  x  3  5 usando y luego resuelve cada desigualdad.

                 1  x  3                                  x35
            1  3  x  3  3                           x 33 53
               4 x                                                 x2

             El conjunto de solución es x | 4  x  2.
Práctica 25 –A            Inecuaciones

     1) 3x < 15

     2) 2x + 6 > x – 7
          x
     3)      5
          4
          3b 2
     4)     
           4 3
     5) 3x  5  2x  4  1

     6) 7x  5  4x  1

     7) 21  3x   5
     8) 16  7 y  10 y  4


B.        Variación Directa

Las variables x y y varían directamente, si se relacionan mediante una ecuación de la
forma

                         Y = kx .

Para algún número k distinto de cero. El número k se llama la constante de
proporcionalidad. En caso de que x y y varía directamente, decimos también que son
directamente proporcionales entre sí. Desde luego, y es función de x, y x es también
función de y, puesto que

                         1
                   X=       .
                         ky

La variación directa se describe mediante una ecuación de la forma y = kx donde x  0.
En la ecuación y = kx, k se llama constante de variación. Para encontrar la constante
de variación, se divide cada lado entre x.
y
                  =K
                x




Ejemplo 1

El salario de Julio varía con el número de horas que trabaja. Si le pagan $29.75 por 5
horas de trabajo, ¿cuánto le pagarán por 30 horas?

Primero calculas el salario por hora. Sea x = al número de horas que Julio trabaja y sea
y = a la paga de Julio. Encuentra el valor de K en la ecuación y = kx. El valor de k es la
cantidad que le pagan a Julio por hora.

     y
K=
     x

     29.75
K=
       5

K= 5.95         A Julio le pagan a $5.95 por hora.

Finalmente calcula lo que le pagan a Julio por 30 horas de trabajo.
Y=kx
Y=5.95 (30)
Y=178.50
Por lo tanto a Julio le pagan $178.50 por 30 horas de trabajo.



Ejemplo 2

El número de galones de agua que uno usa depende directamente del tiempo que uno
se demora en ducharse. La siguiente tabla exhibe el número de galones de agua
usados y como función del tiempo baja la ducha x.


         X (minutos)       3          6              9        12          15
         Y (galones)      18          36             54       72          90
La ecuación y = 6x muestra la relación entre el número de minutos bajo la ducha y los
galones de agua que se usan. Este tipo de ecuación recibe el nombre de variación
directa. Decimos que y varía directamente con x o que y es directamente proporcional
a x, esto significa que cuando x crece, y crece y cuando x disminuye, y disminuye.




Ejemplo 3

        Si y varía directamente con x y y = 28 cuando x = 7, encuentra x cuando y=52.

        y1 x1
Usa           para resolver el problema.
        y 2 x2

28 7
      sea y 1 = 28, x 1 = 7, y y 2 = 52
52 x 2

28 x 2 = 52(7) Encuentra los productos cruzados.

28 x 2 = 364

x 2 = 13

Así x = 13 cuando y = 52.

Lo contrario de la variación directa es la variación inversa. Decimos que y varía
inversamente con x. Esto significa que cuando x aumenta, y disminuye o que cuando
x disminuye, y aumenta. Por ejemplo, mientras más millas manejas menos gasolina
tienes en el tanque.

Ejemplo 1

Si y varía inversamente con x, y y = 5 cuando x = 15, encuentra x cuando y = 3.

Método 1 Usa regla de producto

x1y1 = x 2 y 2
15 x 5 = x 2 x 3

75
   = x2
 3

25 = x 2

Así, x = 25 cuando y = 3.




Método 2 Usa la proporción

x1   y
   = 2
x2   y1

15 3
  =
x2 5

75 = x 2
25 = x 2


Práctica 25 – B Variación Directa
1. Resuelve si y varia directamente con x

Si y = 27, cuando x = 6, calcula x cuando y = 45


2. Resuelve, asume que y varía inversamente con x.

Si y = 99 cuando x = 11, calcula x cuando y = 11
3. Asume que y varía directamente con x.

(A)     Si y = 4, cuando x = 12, calcula y cuando x = -24

                   2             1                         1
(B)     Si y = 2     , cuando x = , calcula y cuando x = 1
                   3             4                         8


4. Asume que y varía inversamente con x.

(A)     Si x = 2.7, cuando y = 8.1, calcula y cuando x = 3.6

(B)     Si x= 6.1, cuando x = 4.4, calcula y cuando x = 3.2




XIII.    Expresiones Verbales

        A menudo es necesario traducir expresiones verbales a expresiones algebraicas

                     Expresiones verbales                      Expresiones
                                                               algebraicas

7 menos que el producto de 3 y un número                          3x – 7
El producto de 7 y S dividido entre el producto de 8 y Y         7S  8 y
Cuatro años más joven que Sara ( s= edad de Sara)                  S–4
La mitad de un número t                                              t
                                                                     2




Pasos para resolver problemas verbales

        1) Resumen : Trata de decir el problemas en tu propias palabras, en forma
           corta.
2) Plantea: Traducir los símbolos linguisticos a símbolos matemáticos.
      3) Resuelve: Solucionar la oración matemática.
      4) Contestar: Contestar el problema a la luz de la pregunta que se hace.
      5) Verificar: Comprobar el resultado.




Frases que se utilizan con frecuencia en los problemas verbales
Frase                                                 Significado
Sumado, añadido, más, incrementado, ganacia de,       +
total
Diferencia, menos, disminuido por                     -
Dividido entre, cociente                               
Es, da, resultado                                     =
Números pares, Números impares                        X, (x+2), (x+4)...
Múltiplo de tres                                      X, (x+3), (x+6)...
Números consecutivos                                  X, (x+1), (x +2)...
El doble de un número                                 2x
Mitad de un número                                     x 1
                                                         , x
                                                       2 2
Triple de un número                                    3x
Edad ahora                                             X
Edad hace dos años                                     (x-2)
Edad dentro de seis años                               (x+6)

Ejemplos

1) Si al doble de un número le restamos cinco, el resultado es diecisiete.
   Halla el número.

   A) Traducción

     Lenguaje verbal                             Lenguaje algebraico
     Número                                             x
Doble del número                                   2x
    Doble del número menos cinco                      2x –5


  B) Planteamiento

           2x –5 = 17

  C) Resolución

        2x – 5 + 5 = 17 + 5
                  2x = 22
                2 x 22
                   
                 2   2
                   x = 11                Respuesta es 11




  D) Comprobación

           El doble de 11 es 2 x 11 = 22
                              22 – 5 = 17
                                  17 = 17


Práctica 26         Problemas Verbales

  1) Tres más dos veces cierto número es 57. Halla el número.

  2) La suma de dos números enteros consecutivos es igual a ciento treinta y siete.

     Halla los números.

  3) La suma de dos impares consecutivos es igual a cincuenta y seis. Hallar los

     números.
4) Encuentre tres números pares consecutivos tales que el doble del segundo más

     tres veces el tercero es siete veces el primero.

  5) En un grupo de monedas que se compone sólo de monedas de 10  y 5  , hay

     siete más de 10  que de las de 5  . Si el valor total de todas las monedas es

     de $1, ¿cuántas de cada tipo de monedas hay en el grupo?




XIV. Expresiones Algebraicas Racionales


        A. Simplificación

        Ejemplos

                 5x  3   5x  3   5
           1)                       
                2 xx  3 2 xx  3 2 x


                                   
                                                   
               4 x 3  10 x 2  6 x 2 x 2 x 2  5 x  3 2 x  1x  3 2 x  1
                                                                       
            2)
                    2 x  18 x
                       3
                                         
                                        2x x2  9       x  1x  3 x  1

        B. Suma y resta


        Ejemplos

                  4x  8       2x  4       4 x  8  2 x  4 4 x  8  2 x  4
                                                             
                4 x x  2  4 x x  2        4 x x  2         4 x x  2 
           1)


                                             2x  4      2x  2     1
                                                                  
                                           4 x x  2  4 x x  2  2 x
5         2
          2)                
                    6x  1 9x  12
                                              buscar el mínimo común denominador



               18x  1
                          2
                                es el mínimo común denominador


                          5         2
                               
                       6x  1 9x  12
                                   3x  1  5          22           5 x  1     4
                                                                               
                                3x  1  6x  1 2  9 x  12
                                                                      18x  1 18 x  1
                                                                                2         2


                                15x  1  4 15 x  15  4 15 x  11
                                                              
                                 18x  1         18x  1       18x  1
                                            2               2               2




     C. Multiplicación y División

          Ejemplos


          1)
                   4a 2  9b 2
                                  2 2
                                      6a 2 b
                                                 
                                                   2a  3b2a  3b       6a 2 b
               4a 2  12ab  9b 2 8a b  12ab 3        2a  3b2       4ab 2 2a  3b 
                                                    3a
                                             
                                                2b2a  3b 

                       2 x 2  32 x  4
          2) x  4 
                                           6 xy        3xy
                                                   
                          6 xy      1 2x  4x  4 x  4


Práctica 27          Expresiones algebraicas


                
             3x x 2  2
                        
                          
        1)
               
              2 x2  2   
2 x3  8x
             2) 3                  
               4 x  14 x 2  12 x


                  2x2  4x     6x
             3)             2        
                   12 x y x  6 x  8
                       2




                    x 2  6 x  9 x 2  2 x  15
               4)                               
                     x2  x  6      x2  2x


                     4 x  12   2x  6
              5)                         
                    4 xx  3 4 xx  3


                      3       1
              6)          2         
                    x  4 x  4x  4
                     2




XV. Sistema de coordenadas cartesianas

Para construir un sistema de coordenadas cartesianas empezaremos con dos
conjuntos de objetos, el conjunto de todos los puntos en plano (un conjunto de objetos
geométricos) y el conjunto de todos los pares ordenados de números reales. En un
plano escoja dos rectas numéricas, una vertical y una horizontal, y haga que se
intersequen en sus respectivos orígenes. Se consideran positivas las direcciones hacia
arriba y hacia la derecha. Estas dos rectas numéricas se llaman eje vertical y eje
horizontal (y ambos) los ejes de coordenadas. Los ejes de coordenadas dividen el
plano en cuatro partes que se llaman cuadrantes. Los cuadrantes están enumerados
en dirección contraria a las manecillas del reloj del I al IV.
II                 I




    (Abcisa) X
                          (-, +)              (+, +)

                                                        .
                           III                  IV

                          (-, -)               (+, -)



.   Ejemplos:
                                   Y (Ordenada)



    Grafica los siguientes puntos en un plano de coordenadas.

    A (2, 4) , B (-4, -1) , C (-6,-1) , D (0, 3) , E (-1, 2).




                                                                X
                                                                X
A. Pendiente de una Recta
La pendiente m de una recta es la razón del cambio en las coordenadas y al cambio
correspondiente en las coordenadas X.

                        Cambioeny (altura )        Elevación y 2  y1
       Pendiente                                          
                     Cambioenx (cambiohori
                                         zontal)    Avance    x2  x1



                                             y2  y1
1. Fórmula de la pendiente              m
                                             x2  x

      Ejemplos

      a. En consecuencia, la pendiente de la recta que pasa por (2,-3) y por (4,5) es:

                        y2  y1 5   3 8
                 m                      4
                        x2  x    42     2

Nota: no importa qué punto escojamos como p1 ó p2 , siempre y cuando nos
sujetemos a la elección que hayamos hecho. Si invertimos los puntos del caso anterior,
obtenemos el mismo valor para la pendiente, y ya que el signo cambia tanto en el
numerador como en el denominador:

           y2  y1  3  5  8
      m                     4
           x2  x   24 2
2. La forma pendiente- ordenada al origen

      Y= mx + b     m= pendiente, b = y ordenada al origen


                                              y=mx +b
                                             
               y ordenada al origen
                                                    Asenso
                                      b
                                            Recorrido
      (Abscisa) X


                                                  asenso
                                            m              pendiente
                                                 recorrido
                    Y (Ordenada)



Ejemplos

                                                              1
     a) Encuentre la pendiente t la ordenada de la recta y   x  2.
                                                              3
                   1               1
             y   x  2.        es la pendiente y 2 (y ordenada al origen)
                   3               3

     b) Encuentre la ecuación cuya pendiente es –2, y la ordenada al origen es 3:

           Como m  2 y b  3 , obtenemos: y  mx  b = -2x + 3 ; ésta es la
           ecuación.



3. Forma Punto pendiente de una ecuación lineal

 La ecuación de una recta que pasa por x1 , y1  , con pendiente m, está dada por:
                  y  y1  mx  x1 
y le damos el nombre de forma punto-pendiente de la ecuación de una recta. Por medio
de esta ecuación, junto con la pendiente, podemos encontrar también la ecuación de
una recta, conociendo solamente las coordenadas de dos puntos por los cuales pasa.
Ejemplo:

                                                                            1
a) Encuentre la ecuación de una recta, con pendiente                         que pasa por (6,-3).
                                                                            3
   Escriba dicha ecuación en la forma y  mx  b .

            y  y1  mx  x1 
          y   3   x  6
                       1
                       3
              y  3   x  6
                        1
                        3
                        x
              y3  2
                        3
                        1
                  y   x 1
                        3

   4. La forma estándar de una ecuación lineal

   La forma estándar de una ecuación lineal es Ax + By = C con A, B, y C enteros,
            A  0 y donde A y B no son simultáneamente 0.

Ejemplo

 Escribe y  5  
                       5
                           x  2 en forma estándar.
                        4
             y  5   x  2
                        5
                        4
                           5
          4 y  5  4    x  2 multiplica 4 a cada lado para eliminar la fracción
                           4
           4 y  20  5x  10                     propiedad distributiva
                4 y  5x  10                    resta 20 a cada lado

           5x  4 y  10                          suma 5x a cada lado


La forma estándar de la ecuación es 5x  4 y  10

5. Distancia entre dos puntos:
La distacia d entre cualquier par de puntos x1 , y1  y x2 , y2  viene dado por la

siguiente fórmula.   d      x2  x1 2   y2  y1 2
Ejemplo

Calcula la distancia entre los puntos (3,5) y (6,4).

   d     x2  x1 2   y2  y1 2
         6  32  4  52  32  12    9  1  10  3.16 aproximadamente




6. Punto medio

  Punto medio de un segmento de recta en un plano de coordenadas son las
coordenadas del punto medio de un segmento de recta cuyos extremos están en
                                        x1  x2 y1  y2 
x1 , y1  y x2 , y2  viene dado por         ,         .
                                        2          2 


Ejemplos:

      Si los vertices del palelogramo WXYZ son W(3,0), X(9,3), Y(7,10) y Z(1,7),
demuestra que las diagonales se bisecan. Es decir, demuetra que se intersecan en sus
puntos medios. Encuentra los puntos medios de W Y y. XZ

                W x1 , y1  = W (3,0)               X x1 , y1  = X (9,3)
                Y x2 , y2  = Y (7,10)             Z x2 , y2  = Z (1,7)

                      3  7 0  10                                9  1 3  17 
Punto medio de W Y         ,                Punto medio de XZ        ,       
                      2        2                                  2         2 
                            10 10                                          10 10 
                          ,                                             , 
                           2 2                                            2 2
                          5,5                                           5,5
Como el punto medio de W Y tienen las mismas coordenadas que el punto medio de
XZ , las diagonales se bisecan.



Práctica 28         Coordenadas Cartesianas


      1) Localice (asocie cada par ordenado de números con un punto en el sistema
         de coordenadas Cartesianas): (2,7), (7,2), (-8.4), (4,-8), (-8.-4), (-4,-8).

      2) Halla la pendiente de la recta que pasa entre (3, 2) y (5, 6), toma (3, 2)
         como (x1, x2) y (5,6) como (x2, x1). Entonces la pendiente es:

      3) Calcule la pendiente de la recta que pasa por (-2,7) y (3,-3).

                                                                          x
      4) Encuentre la pendiente y ordenada al origen de la recta: y        7.
                                                                          2
                                                                      1
      5) Encuentre la ecuación de una recta cuya pendiente es          y la ordenada al
                                                                      3
         origen es 6.

      6) Encuentre la ecuación de una recta que pasa por los puntos (-2,-6) y (2,2).

                                                                  1
      7) Encuentre la ecuación de una recta, con pendiente          que pasa por
                                                                  2
         (-4,3).

      8) Calcula la distancia entre los puntos (5,-1) y (1, 5).

      9) Calcula el valor de a si la distancia entre los puntos (-3,-2) y (a, -5) es de 5
         unidades.

      10) Escribe y  3  
                              3
                                x  1 en forma estándar.
                              4
XVI. Completando el cuadrado
Puedes resolver algunas ecuaciones cuadráticas extrayendo la raíz cuadrada de cada
lado.

Ejemplos

      Resuelve x2 –6x + 9 = 7
                    x  32  7      x2 –6x + 9   es un trinomio cuadrado perfecto

        x  32    7             Extrae la raíz cuadrada de cada lado

       x 3  7
       x 3   7                      ¿Por qué se cumple esto?
       x  3 7                           Suma 3 a cada lado.


                                         
      el conjunto de solución es 3  7 ,3  7             
Para usar el método ilustrado por el ejemplo anterior, la expresión cuadrática en un
lado de la ecuación debe ser un cuadrado perfecto. Sin embargo, pocas expresiones
cuadráticas son cuadrados perfectos. Para convertir cualquier expresión cuadrática en
un cuadrado perfecto, se puede usar el método de completar el cuadrado.

Ejemplos

        1) Calcula el valor de c que hace que cada trinomio sea un cuadrado perfecto.

            x 2  20 x  c

                             1                                               20
       Paso1. Calcula          de20                                              10
                             2                                                2
       Paso 2. Eleva al cuadrado el resultado del paso 1                      10 2  100
       Paso 3. Suma el resultado del paso2 a x 2  20 x .                    x 2  20 x  100
      Por lo tanto, c = 100. Observa que x 2  20 x  100  x  10 .
                                                                                 2
2) Resuelva por el método de completando el cuadrado. x 2  6 x  2  0
         x2  6x  2  0         Suma 2 a ambos lado de la ecuación para eliminar –2 del lado izquierdo.

         x2  6x  2       Sume el cuadrado de la mitad del coeficiente de x a cada lado de la
                            ecuación para completar el cuadrado del lado izquierdo

            x  6x  9  2  9
             2
                                       Factorice el lado izquierdo

                 x  32  11
                    x  3   11
                     x  3  11




XVII. Fórmula Cuadrática

                b  b 2  4ac
            x
                     2a
                                   a0

       Ejemplos
                                  3
          1) Resuelva 2 x           x 2 usando la fórmula cuadrática
                                  2
                                 3
                            2 x   x 2 Elimine las fracciones de la ecuación
                                 2
                              4x  3  2x2            Escriba en forma estándar.
                        2x  4x  3  0
                          2




                  b  b 2  4ac
            x                           escriba la fórmula cuadrática e identifique a,b,c. a =2, b =-4, c =-3
                       2a
              4      42  42 3
       x
                          22
                                                  Sustituya en la fórmula cuadrática y simplifique.

                                                 Errores de signos se cometen fácilmente en este paso.
4  40 4  2 10
   x        
         4       4

   x
        
      2 2  10  
           4




Práctica 29         Completando el cuadrado y la cuadrática.

1) Resuelva por el método de completando el cuadrado. x 2  8x  10  0


2) Resuelva por el método de completando el cuadrado. x 2  8x  18  0


3) Resuelva por el método de completando el cuadrado. 2 x 2  4 x  3  0


4) Resuelva 3x 2  2 x  2 usando la fórmula cuadrática.


5) Resuelva x 2  4 x  2  0 usando la fórmula cuadrática.


6) Resuelva y 2  6 y  3  0 usando la fórmula cuadrática.

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Algebra

  • 1. Escuela de Educación Continua Repaso para la Prueba de Evaluación y Admisión Universitaria (College Board) MATEMÁTICAS Parte VI. Álgebra
  • 2. Este manual es propiedad de la Escuela de Educación Continua de la Universidad Metropolitana. El mismo no puede ser reproducido parcial ni totalmente sin la autorización expresa de la Decana Asociada de la Escuela de Educación Continua de la Universidad Metropolitana. ®Escuela de Educación Continua de UMET, agosto de 2006
  • 3. Álgebra I. Conceptos Básicos A. Definiciones 1) Una constante – es un símbolo cuyo valor no cambia. 2) Una variable – es un símbolo que toma valores diferentes. 3) Término- es una parte de una expresión algebraica. Tiene coeficientes numéricos y coeficientes literales mejor conocidos como variables. Un término está separado de otro término por operaciones de suma y/o resta. 4) Una expresión algebraica consiste de números y letras unidos por signos de operaciones y símbolos de agrupación. 5) Polinomio – es una expresión algebraica el cual involucra operaciones de suma, resta y multiplicación y sus exponentes son enteros y positivos. II. Clasificación Los polinomios se clasifican de acuerdo a la cantidad de términos. Monomios (1) Binomios (2) Trinomios (3) Polinomios (4 ó más) X X+2 3X2 + X –9 4Y4 – Y2 + 8Y – 8 3 3x - 4 4Y4 – Y2 + 8Y 3X3 + X –9XY +8Y +9 3x Y2 – 3Z2 N2 –3 N - 2 N4 – N3 + N2 –N +7 7abcdefghijklmno Y2 – 3Z2 3X2 Y2 + XY –9 3X4 + X3 –9X2Y +8XY3 +9
  • 4. A cada término de un polinomio se le asigna un grado que es igual a la suma de los exponentes de las variables que contiene el término mayor. Término Grado 8X 1 9XY 2 -5X3Y 4 32 0 7R2ST3 6 2X3YZ + X2Y2Z2 + XYZ - 2Y +10 6 Práctica 16 Clasifica los siguientes como monomio, binomio, trinomio y polinomio e identifica el grado. Nombre Grado Polinomio 1) 5X + 2X –1 2) 3X2YZ3 + 3Y + Z 3) 7X6Y 4) X3 + 4X3Y5 + ZN9 – 2 5) 56 6) X III. Evaluación de polinomios Ejemplos 1) Si a =1, b = 5, c = -2 2) x = -3 y = 2 z = -1 3ab – c 2xy2 + 3z4 = 3(1) (5) – (-2) 2(-3) (2) 2 + 3(-1) 4
  • 5. 15 – (-2) 2(-3) (4) + 3(1) =17 -24 + 3 = -21 Pasos 1) Sustituir el valor de las variables 2) Eliminar los exponentes 3) Multiplicar 4) Sumar y/o resta Práctica 17 Evalúe los siguientes polinomios dados los valores siguientes: A) X = 2 , Y = -3 y Z =1 1) 3X3 – 2Y2 + 1 = 2) 2Z2 + 3Z3 + Z4 = 3) 5X2Y3Z5 + 3X5Y – Z2 = 4) 2Y3 – 3Y2 + 7 = 5) X3Y2Z4 + X2YZ – Y3Z2 + X2 = B) Evalúe 1) Si a = 2 y b = 1 , por lo tanto (3a + b)0 = 2) Si x =3.46 y w = 0.346 , por lo tanto x + w = 3) Si a = 7 y b =3 , por lo tanto a  b 2 =
  • 6. IV. Suma y resta de polinomios Por lo general, los polinomios se ordenan escribiendo los exponentes en orden descendente o en orden ascendente. Ejemplo: 1) 3X2 – X + 8 2) 5X3Y2 + 2X2Y3 + 4XY + 5 ordenado en x 3) 2X2Y3 + 5X3Y2 + 4XY + 5 ordenado en y Para poder sumar o restar polinomios, los términos tienen que ser semejantes. Términos semejantes Semejantes No semejantes -3x y 9x -5cxy3 y 9cx3y 6ab2 y -ab2 5x3 y 5y3 5x3y y 8x3 8x2 y 8x Suma 1) (4x2 – 2x + 3) + ( 5x2 + 6x – 9) = 9x2 + 4x – 6 2) (3x2 – x ) + (8x + 9) = 3x2 + 7x + 9 3) 4x2 – 2x + 3 4) 5x3 + 3x2 + x + 6 + 5x2 + 6x - 9 + 2x3 – x2 – 8x - 9 9x2 – 4x – 6 7x3 + 2x2 + 9x –3 Resta Recuerda que restar equivale a sumar por el opuesto del sustraendo. 4 – 3 = 4 + -3
  • 7. 1) ( 5x3 + 3x2 + x + 6 ) – ( 2x3 – x2 + 8x – 9) = ( 5x3 + 3x2 + x + 6 ) + ( -2x3 + x2 - 8x + 9) (cambias de signos, luego sumamos) = 3x3 + 4x2 – 7x +15 2) 8x2 + x - 9 8x2 – x - 9 - x2 - 4x + 2 + -x2 + 4x - 2 7x2 + 5x –11 3) x2 –8x + 4 x2 – 8x + 4 - x2 - 10x + 5 + -x2 + 10x - 5 2x - 1 Práctica 18 Suma o resta de polinomios 1) ( 14x3 - 3x2 -2 x ) + ( -17x3 + 8x2 -9x ) = 2) -9x2 + -6x2 + -3 x = 3) ( 5y2 – 4y + 2 ) + ( 8y2 + 6y -12 ) = 4) ( 4x2y – 3xy2 + 3y3 ) + ( 11x2y – 4xy2 + 7y3 ) = 5) 4x3 + 8x2 - x + 1 + x3 + 8x2 - x – 3 6) ( 3x5 + x3 –x2 + 1 ) - ( -x4 + x - 3 ) = 7) ( 6a2 – 8a + 12 b3 ) - ( -11a 2 + 6b3 ) = 8) ( 7x2 - 4x y + 3y2 ) - ( 10x2 + 7x y – 4y2 ) =
  • 8. 9) ( 7x3 - 4x y + 6y2 ) - ( 8x3 + 9x y – 4y2 ) = 10) 4x3 + 8x2 - x + 1 - x3 + 8x2 - x – 3 11) x2 – 8x + 4 - -x2 + 10x - 5 V. Leyes de exponentes A. Para un número cualquiera y todos los enteros m y n. Productos de potencias Am x An = Am+n Ejemplos A5 x A4 = A5+4 = A9 57 x 54 = 57+4 = 511 B. Para un número a cualquiera y todos los enteros m y n. Una potencia elevada a otra potencia (Am) n = Am x n Ejemplos (A3) 5 = A3 x 5 = A15 (32) 4 = 32 x 4 = A8 C. Para un número a y b cualquiera y todo entero m y n. Producto de potencias (A B) n = An B n (X Y) 3 = X3 Y 3 (2X) 2 = 4X 2
  • 9. D. División elevada a una potencia n  a  an    n b  b b0 5  x  x5    y  3 4 43    3 7 7  y 0  y5 E. División (los exponentes se restan) am n a m-n a b0  x4  a5  2 x   4-2 2  x =x  a 53  a 2  x 0  a 3 a 0 Cuando (m) es menor que (n) : m < n  x4  1 1  y  1 1  7   74  3 x   4   41  3 y   x0  x x  x 0  y y Cuando (m) es igual a (n) : m = n
  • 10. x10 1010 43 10 x  x 1 0 3  433  40  1 x x0 4 Práctica 19 Leyes de exponentes Resuelve 4  x2 y3  1) X 3 X 2 Y 0 = 6)  5   x y    2  z7  2) (Y3) 5 = 7)  2  z    3  9t 5 z 4 s  2  3) (A B) = 2 8)   3t 3 z 4 s       4x7 y6  4) [ ( M3 )2 ]3 = 9)   8x 4 y 3      4a 2 5) (7x2y3z)2 = 10)  9b 4
  • 11. VI. Multiplicación de Polinomios A. Monomios 1) (-3ab2c ) ( -4a2b2c5 ) = 12a3b4c6 2) (3a) (-4 ab) (2bc2) = -24a2 b2c2 B. Monomio por un polinomio 1) a ( x + y ) = ax + ay 2) (-3x ) ( 2x + y – z ) = -6x2 –3xy + 3xz 3) x3 –4x2 + 5x – 8 3x 3x4-12x3 + 15x2 –24x C. Polinomio por polinomio 1- ( x2 + 5x –2) (3x + 4) x2 + 5x –2 3x + 4 3x3 + 15x2 – 6x 4x + 20x – 8 3x3 + 19x2 + 14x - 8 Práctica 20 Multiplicación de polinomios 1) (8ab) (-2xy) = 2) (5ab2) ( 2 a - 3b + c) = 3) (x + 3) ( x – 7 ) =
  • 12. 4) 2x ( -4x2 – 8xy – 2x) = 5) ( 4x2 – 7x – 2) ( 2x + 5) = VII. Productos Especiales (binomios) (binomios) A. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 Ejemplos ( x + 5 )2 = x2 + 2(x)(5) + 52 = x2 + 10x + 25 ( x - 5 )2 = x2 - 2(x)(5) + 52 = x2 - 10x + 25 B. (a – b) (a + b) = ( a ) 2 - ( b ) 2 Ejemplo (x – 3) (x + 3) = ( x ) 2 - ( 3 ) 2 = x2 – 9 C. ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Ejemplos ( x + 2 )3 = x3 + 3(x) 2 (2) + 3(x) (2) 2 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8 (binomios) (trinomio) A. ( a + b ) (a2 - ab + b2) = a3 + b3 Ejemplo ( 2x + 1 ) (4x2 – 2x + 1) = ( 2x3 + 13 ) = 8x3 + 1
  • 13. B. ( a - b ) (a2 + ab + b2) = a3 - b3 Ejemplos ( y - 5 ) ( y2 + 5y + 25 ) = ( y3 - 53 ) = y3 – 125 VIII. División de polinomios Ejemplos de monomio 12a 2b 3 12a b  4a  2 3  3ab 3 4a 3 2 18a b  3ab 2  6a 2 Ejemplos polinomio por monomio 16 x 4 y 2  8 x 2 y 2  12 xy 3  4 x 3 y  2 xy  3 y 2  4 xy 6ab 3  9a 2b  15ab 4  2b 2  3a  5b 3 3ab
  • 14. Ejemplos polinomio por binomio x5   x  8 x  15  x  3  x  3 x  8 x  15 2 2 x2 + 3x -5x +15 -5x +15 0 Práctica 21 División de polinomios  4x 3  5x 2 1)  x n3  n 2  n 2)  n 30r 3 s 3  24r 2 s 2  18rs 3)  6rs 4)  3a 18a 4  12a 3  6a 2    5) x 2  6 x  8   x  4     6) x 2  10 x  x 3  8   x  2     7) x 3  8  2  x     8) 6 y 2  y  2  3 y  2  
  • 15. IX Factorización A. Factor común Ejemplos 1) 5x + 15 = 5(x + 3) 2) X3 + 3x2 y – x2 = x2 ( x + 3y –1) 3) (x + y) z – (x + y)w = (x + y) (z – w) B. Factorización por grupo Ejemplos 1) ax - ay + bx – by = (ax – ay) + (bx – by) = a(x – y) + b(x – y) = (a + b) (x – y) 2) mx + 1 – m – x = (mx – m) + (1 – x) = m(x – 1) + (-1) (x – 1) = (m – 1) (x –1) C. Diferencia de Cuadrados Ejemplos 1) ( a2 – b2 ) = (a – b) (a + b) 2) x2 – 4 = x2 – 22 = (x – 2) (x + 2) 3) x2 - 25 = x2 – 52 = (x – 5) ( x + 5) D. Diferencias de cubos Ejemplos 1) a3 – b3 = ( a – b) ( a2 + ab + 2) 2) x3 – 8 = x3 – 23 = (x – 2 ) ( x2 + 2x + 22) = ( x – 2) ( x2 + 2x + 4)
  • 16. 3) 27 x3 – 1 = 33 x3 – 1 = ( 3x – 1) ( 32 x2 + 3 x + 12) = ( 3x –1 ) ( 9x2 + 3x + 1) E. Suma de cubos Ejemplos 1) a3 + b3 = ( a + b) ( a2 - ab + b 2) 2) x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2 ) ( x2 - 2x + 22) = ( x + 2) ( x2 - 2x + 4) 3) 27 x3 + 1 = 33 x3 + 1 = ( 3x + 1) ( 32 x2 - 3 x + 12) = ( 3x +1 ) ( 9x2 - 3x + 1) Nota que se aplica la misma regla que en la diferencia de cubos excepto por el signo. F. Factorización de trinomios 1. Trinomios del tipo x2 + bx + c Ejemplos a) x 2+ 5x – 6 = (x + 6) ( x – 1) b) y2 - 5y – 6 = ( y –6) ( y + 1) c) x –3x + 2 = ( x – 1) ( x – 2) 2. Trinomios del tipo ax2 + bx + c Ejemplos 1a) 2x2 + 6x – 20 = Obsérvese, primeramente, que podemos extraer de cada término el factor común 2. Luego, 2x2 + 6x – 20 = 2(x2 + 3x – 10) =2(x + 5) (x – 2). Nótese que los tres factores son irreducibles y que su producto es 2x2 + 6x – 20 . b) 6x2 + x –2 para factorizarlo comenzamos determinando factores de 6(-2) = -12 que sumen 1. Es evidente que estos factores son 4 y –3.
  • 17. Luego tenemos que 6x2 + x –2 = 6x2 + 4x –3x – 2 = 2x ( 3x+2) + (3x +2) (-1) = (3x+ 2) ( 2x + 1) c) 14x2 + x – 3 Para factorizarlo determinamos factores de 14(-3) = -42 que sumen 1. Claramente 7 y –6 son tales números. Luego 14x2 + x – 3 = 14x2 +7x -6x – 3 = 7x ( 2x+ 1) + (-3) (2x+1) = (2x+1) (7x-3) 3. Trinomio cuadrado perfecto Ejemplos a) a2 + 2ab + b2 = ( a + b) ( a + b) = ( a + b ) 2 b) x2 + 10x + 25 = ( x + 5) ( x + 5) = ( x + 5)2 c) y2 – 10y + 25 = ( y – 5) ( y – 5) = (y – 5) 2 Práctica 22 Factorización 1) 4x2 – 16xy4 –12x2 y3 = 2) 5a2b2 + 10ab3 = 3) 3x 3+ x2–18x – 6 = 4) a2x + a2d –x – d = 5) t2 – 9s2 = 6) d2 – 49 = 7) 18x2z – 32 y2z = 8) a4 – 81b4 =
  • 18. 9) 8a3 + b3 = 10) 64p3 – q3 r3 = 11) 8t3 + 125 = 12) a6 – b6 = 13) x2 + 6x + 8 = 14) p2 –6pq –7q2 = 15) m2 –7m + 12 = 16) x2 + 8x +16 = 17) a2 –12a + 36= 18) 15x2 – 8x +1 = 19) 2x2 + 11x + 12 = 20) 9t2 + 12ts + 4s2 =
  • 19. X. Radicales A. Propiedades 1) n ab  n a  n b a na 2) n  b nb n 3) n m a m a  a m m 4) a  n m n a n m 5) a  a n m n B. Exponentes Radicales 1 1) a n an 1 a)4  4  2 2 1 b)27  3 27  3 3 2  1  27  2 27   27 3   2 3   3  32  9   ó   2 1 27  27 2 3 3  3 27 2  3 729  9 m  1  a ó   m m 1 2) a   a   m n   n n a  a n m n  n am  
  • 20. 3 a)5  4 53 4 b) 11 3  3  112  3 121 2 m 1 3) a n  m n a 3 3 1  1  1 1 a)16 4  3 4    3   4  16  2 8 16 2 b) 8 1 1 1 1      83    2 4 3 2 2 3 8 C. Suma y Resta Ejemplos de suma y resta 1) 9  16  9  16  25  5 9  16  3  4  7 error común 2)2 3  5 3  3  2  5  1 3  6 3     3)5 8  11 18  5 2 2  11 3 2  10 2  33 2  43 2 4)4 12  5 8  50  4 4  3  5 4  2  2  25        42 3 52 2  5 2  8 3   2  5 2 10 8 35 2
  • 21. D. Multiplicación y División de radicales Ejemplos de Multiplicación 1) 8  2  8  2  16  4      2) 5 3 4 5  5  4 3  5  20 5  3  20 15    3) 5 3 7  2 5    5 3 7  52 5   3 5 7  2 55  3 35  2 25  3 35  2  5  3 35  10   4) 3  2 2 3  2    2 3 3    3  2  2 3 2    2 2   2 9  6   2 6  4   23  6   2 6  2  6   6  2 6  2  4 6 E. División de radicales Ejemplos de división 7 7 3 7 3 1)    3 3 3 3
  • 22. 3 3 2x 2)  2x    2x 5 2x 5 2x 2x 3 2x   2x 52 x  3 2x   2x 10 x 3 2 x  10 x 2 x  10 x  3  10 x  2 x 10 x 5   5 3 1  3) 3 1   3 1 3  1  5 3 5 5 3 5 5 3 5     3  1 2 2 3 1 2 Práctica 23 Operaciones con Radicales 1)6 7  5 7  3 7  2)5 6  3 7  4 7  2 6   3) 2 3  5  10  4 6    4) x  2 y  2 5 5)  3 4 6)  4 3
  • 23. XI. Ecuaciones Una ecuación es un enunciado matemático que utiliza un signo de igualdad, (=), para mostrar que dos expresiones son iguales. A. Resolución de ecuaciones Ejemplos 1) x –5 =12 X –5 + 5 = 12 + 5 sumas 5 ambos lado X = 17 solución x está sola 2) 214 = y + 11 214 – 112 = y + 112 – 112 resta 112 a ambos lado 102 = y solución y esta sola n 3) 12  4 n  4  12  4   4 48  n 4) 2w  3  9 2w  3  3  9  3 2w 6  2 2 w3
  • 24. 5) 3 p  10  8 3 p  10  10  8  10 3 p  18 3 p 18  3 3 p6 Práctica 24 Ecuaciones 1) 3n = 12 2) x + 9 = 20 3) y – 14 = 9 x 4)  20 2 5) 4y – 8 = 16 6) 8x + 3 = 6x + 9 7) 5n – 9 = 2n + 3 8) 5(y + 1) + 2y = 7y + 17 –3y XII. Inecuaciones A. Resolución de inecuaciones Ejemplos 1) 29  g  68 29  29  g  68  29 Resta 29 de cada lado. g  39 Esto significa: todos los números menores que ó iguales a 39.
  • 25. 2) 13  2 z  3z  39 13  2z  2 z  3z  2z  39 Resta 2z de cada lado. 13  z  39 13  39  z  39  39 Sumas 39 de cada lado. 52  z x 3 3)  12 2 x 3 12   12  Multiplica cada lado por 12 12 2 x  18 Dado que multiplicamos por un número positivo, el signo de la desigualdad no se . invierte 4)  3w  27  3 27  Divide cada lado entre –3 y cambia >a<. 3 3 w  9 5) 1  x  3  5 Primero expresa  1  x  3  5 usando y luego resuelve cada desigualdad. 1  x  3 x35 1  3  x  3  3 x 33 53 4 x x2 El conjunto de solución es x | 4  x  2.
  • 26. Práctica 25 –A Inecuaciones 1) 3x < 15 2) 2x + 6 > x – 7 x 3)  5 4 3b 2 4)  4 3 5) 3x  5  2x  4  1 6) 7x  5  4x  1 7) 21  3x   5 8) 16  7 y  10 y  4 B. Variación Directa Las variables x y y varían directamente, si se relacionan mediante una ecuación de la forma Y = kx . Para algún número k distinto de cero. El número k se llama la constante de proporcionalidad. En caso de que x y y varía directamente, decimos también que son directamente proporcionales entre sí. Desde luego, y es función de x, y x es también función de y, puesto que 1 X= . ky La variación directa se describe mediante una ecuación de la forma y = kx donde x  0. En la ecuación y = kx, k se llama constante de variación. Para encontrar la constante de variación, se divide cada lado entre x.
  • 27. y =K x Ejemplo 1 El salario de Julio varía con el número de horas que trabaja. Si le pagan $29.75 por 5 horas de trabajo, ¿cuánto le pagarán por 30 horas? Primero calculas el salario por hora. Sea x = al número de horas que Julio trabaja y sea y = a la paga de Julio. Encuentra el valor de K en la ecuación y = kx. El valor de k es la cantidad que le pagan a Julio por hora. y K= x 29.75 K= 5 K= 5.95 A Julio le pagan a $5.95 por hora. Finalmente calcula lo que le pagan a Julio por 30 horas de trabajo. Y=kx Y=5.95 (30) Y=178.50 Por lo tanto a Julio le pagan $178.50 por 30 horas de trabajo. Ejemplo 2 El número de galones de agua que uno usa depende directamente del tiempo que uno se demora en ducharse. La siguiente tabla exhibe el número de galones de agua usados y como función del tiempo baja la ducha x. X (minutos) 3 6 9 12 15 Y (galones) 18 36 54 72 90
  • 28. La ecuación y = 6x muestra la relación entre el número de minutos bajo la ducha y los galones de agua que se usan. Este tipo de ecuación recibe el nombre de variación directa. Decimos que y varía directamente con x o que y es directamente proporcional a x, esto significa que cuando x crece, y crece y cuando x disminuye, y disminuye. Ejemplo 3 Si y varía directamente con x y y = 28 cuando x = 7, encuentra x cuando y=52. y1 x1 Usa  para resolver el problema. y 2 x2 28 7  sea y 1 = 28, x 1 = 7, y y 2 = 52 52 x 2 28 x 2 = 52(7) Encuentra los productos cruzados. 28 x 2 = 364 x 2 = 13 Así x = 13 cuando y = 52. Lo contrario de la variación directa es la variación inversa. Decimos que y varía inversamente con x. Esto significa que cuando x aumenta, y disminuye o que cuando x disminuye, y aumenta. Por ejemplo, mientras más millas manejas menos gasolina tienes en el tanque. Ejemplo 1 Si y varía inversamente con x, y y = 5 cuando x = 15, encuentra x cuando y = 3. Método 1 Usa regla de producto x1y1 = x 2 y 2
  • 29. 15 x 5 = x 2 x 3 75 = x2 3 25 = x 2 Así, x = 25 cuando y = 3. Método 2 Usa la proporción x1 y = 2 x2 y1 15 3 = x2 5 75 = x 2 25 = x 2 Práctica 25 – B Variación Directa 1. Resuelve si y varia directamente con x Si y = 27, cuando x = 6, calcula x cuando y = 45 2. Resuelve, asume que y varía inversamente con x. Si y = 99 cuando x = 11, calcula x cuando y = 11
  • 30. 3. Asume que y varía directamente con x. (A) Si y = 4, cuando x = 12, calcula y cuando x = -24 2 1 1 (B) Si y = 2 , cuando x = , calcula y cuando x = 1 3 4 8 4. Asume que y varía inversamente con x. (A) Si x = 2.7, cuando y = 8.1, calcula y cuando x = 3.6 (B) Si x= 6.1, cuando x = 4.4, calcula y cuando x = 3.2 XIII. Expresiones Verbales A menudo es necesario traducir expresiones verbales a expresiones algebraicas Expresiones verbales Expresiones algebraicas 7 menos que el producto de 3 y un número 3x – 7 El producto de 7 y S dividido entre el producto de 8 y Y 7S  8 y Cuatro años más joven que Sara ( s= edad de Sara) S–4 La mitad de un número t t 2 Pasos para resolver problemas verbales 1) Resumen : Trata de decir el problemas en tu propias palabras, en forma corta.
  • 31. 2) Plantea: Traducir los símbolos linguisticos a símbolos matemáticos. 3) Resuelve: Solucionar la oración matemática. 4) Contestar: Contestar el problema a la luz de la pregunta que se hace. 5) Verificar: Comprobar el resultado. Frases que se utilizan con frecuencia en los problemas verbales Frase Significado Sumado, añadido, más, incrementado, ganacia de, + total Diferencia, menos, disminuido por - Dividido entre, cociente  Es, da, resultado = Números pares, Números impares X, (x+2), (x+4)... Múltiplo de tres X, (x+3), (x+6)... Números consecutivos X, (x+1), (x +2)... El doble de un número 2x Mitad de un número x 1 , x 2 2 Triple de un número 3x Edad ahora X Edad hace dos años (x-2) Edad dentro de seis años (x+6) Ejemplos 1) Si al doble de un número le restamos cinco, el resultado es diecisiete. Halla el número. A) Traducción Lenguaje verbal Lenguaje algebraico Número x
  • 32. Doble del número 2x Doble del número menos cinco 2x –5 B) Planteamiento 2x –5 = 17 C) Resolución 2x – 5 + 5 = 17 + 5 2x = 22 2 x 22  2 2 x = 11 Respuesta es 11 D) Comprobación El doble de 11 es 2 x 11 = 22 22 – 5 = 17 17 = 17 Práctica 26 Problemas Verbales 1) Tres más dos veces cierto número es 57. Halla el número. 2) La suma de dos números enteros consecutivos es igual a ciento treinta y siete. Halla los números. 3) La suma de dos impares consecutivos es igual a cincuenta y seis. Hallar los números.
  • 33. 4) Encuentre tres números pares consecutivos tales que el doble del segundo más tres veces el tercero es siete veces el primero. 5) En un grupo de monedas que se compone sólo de monedas de 10  y 5  , hay siete más de 10  que de las de 5  . Si el valor total de todas las monedas es de $1, ¿cuántas de cada tipo de monedas hay en el grupo? XIV. Expresiones Algebraicas Racionales A. Simplificación Ejemplos 5x  3 5x  3 5 1)   2 xx  3 2 xx  3 2 x    4 x 3  10 x 2  6 x 2 x 2 x 2  5 x  3 2 x  1x  3 2 x  1   2) 2 x  18 x 3   2x x2  9  x  1x  3 x  1 B. Suma y resta Ejemplos 4x  8 2x  4 4 x  8  2 x  4 4 x  8  2 x  4    4 x x  2  4 x x  2  4 x x  2  4 x x  2  1) 2x  4 2x  2 1    4 x x  2  4 x x  2  2 x
  • 34. 5 2 2)  6x  1 9x  12 buscar el mínimo común denominador 18x  1 2 es el mínimo común denominador 5 2  6x  1 9x  12 3x  1  5 22 5 x  1 4     3x  1  6x  1 2  9 x  12 18x  1 18 x  1 2 2 15x  1  4 15 x  15  4 15 x  11    18x  1 18x  1 18x  1 2 2 2 C. Multiplicación y División Ejemplos 1) 4a 2  9b 2  2 2 6a 2 b  2a  3b2a  3b  6a 2 b 4a 2  12ab  9b 2 8a b  12ab 3 2a  3b2 4ab 2 2a  3b  3a  2b2a  3b  2 x 2  32 x  4 2) x  4  6 xy 3xy    6 xy 1 2x  4x  4 x  4 Práctica 27 Expresiones algebraicas  3x x 2  2   1)  2 x2  2 
  • 35. 2 x3  8x 2) 3  4 x  14 x 2  12 x 2x2  4x 6x 3)  2  12 x y x  6 x  8 2 x 2  6 x  9 x 2  2 x  15 4)   x2  x  6 x2  2x 4 x  12 2x  6 5)   4 xx  3 4 xx  3 3 1 6)  2  x  4 x  4x  4 2 XV. Sistema de coordenadas cartesianas Para construir un sistema de coordenadas cartesianas empezaremos con dos conjuntos de objetos, el conjunto de todos los puntos en plano (un conjunto de objetos geométricos) y el conjunto de todos los pares ordenados de números reales. En un plano escoja dos rectas numéricas, una vertical y una horizontal, y haga que se intersequen en sus respectivos orígenes. Se consideran positivas las direcciones hacia arriba y hacia la derecha. Estas dos rectas numéricas se llaman eje vertical y eje horizontal (y ambos) los ejes de coordenadas. Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro partes que se llaman cuadrantes. Los cuadrantes están enumerados en dirección contraria a las manecillas del reloj del I al IV.
  • 36. II I (Abcisa) X (-, +) (+, +) . III IV (-, -) (+, -) . Ejemplos: Y (Ordenada) Grafica los siguientes puntos en un plano de coordenadas. A (2, 4) , B (-4, -1) , C (-6,-1) , D (0, 3) , E (-1, 2). X X
  • 37. A. Pendiente de una Recta La pendiente m de una recta es la razón del cambio en las coordenadas y al cambio correspondiente en las coordenadas X. Cambioeny (altura ) Elevación y 2  y1 Pendiente    Cambioenx (cambiohori zontal) Avance x2  x1 y2  y1 1. Fórmula de la pendiente m x2  x Ejemplos a. En consecuencia, la pendiente de la recta que pasa por (2,-3) y por (4,5) es: y2  y1 5   3 8 m   4 x2  x 42 2 Nota: no importa qué punto escojamos como p1 ó p2 , siempre y cuando nos sujetemos a la elección que hayamos hecho. Si invertimos los puntos del caso anterior, obtenemos el mismo valor para la pendiente, y ya que el signo cambia tanto en el numerador como en el denominador: y2  y1  3  5  8 m   4 x2  x 24 2
  • 38. 2. La forma pendiente- ordenada al origen Y= mx + b m= pendiente, b = y ordenada al origen y=mx +b  y ordenada al origen Asenso b Recorrido (Abscisa) X asenso m  pendiente recorrido Y (Ordenada) Ejemplos 1 a) Encuentre la pendiente t la ordenada de la recta y   x  2. 3 1 1 y   x  2.  es la pendiente y 2 (y ordenada al origen) 3 3 b) Encuentre la ecuación cuya pendiente es –2, y la ordenada al origen es 3: Como m  2 y b  3 , obtenemos: y  mx  b = -2x + 3 ; ésta es la ecuación. 3. Forma Punto pendiente de una ecuación lineal La ecuación de una recta que pasa por x1 , y1  , con pendiente m, está dada por: y  y1  mx  x1  y le damos el nombre de forma punto-pendiente de la ecuación de una recta. Por medio de esta ecuación, junto con la pendiente, podemos encontrar también la ecuación de una recta, conociendo solamente las coordenadas de dos puntos por los cuales pasa.
  • 39. Ejemplo: 1 a) Encuentre la ecuación de una recta, con pendiente  que pasa por (6,-3). 3 Escriba dicha ecuación en la forma y  mx  b . y  y1  mx  x1  y   3   x  6 1 3 y  3   x  6 1 3 x y3  2 3 1 y   x 1 3 4. La forma estándar de una ecuación lineal La forma estándar de una ecuación lineal es Ax + By = C con A, B, y C enteros, A  0 y donde A y B no son simultáneamente 0. Ejemplo Escribe y  5   5 x  2 en forma estándar. 4 y  5   x  2 5 4  5 4 y  5  4    x  2 multiplica 4 a cada lado para eliminar la fracción  4 4 y  20  5x  10 propiedad distributiva 4 y  5x  10 resta 20 a cada lado 5x  4 y  10 suma 5x a cada lado La forma estándar de la ecuación es 5x  4 y  10 5. Distancia entre dos puntos:
  • 40. La distacia d entre cualquier par de puntos x1 , y1  y x2 , y2  viene dado por la siguiente fórmula. d x2  x1 2   y2  y1 2 Ejemplo Calcula la distancia entre los puntos (3,5) y (6,4). d x2  x1 2   y2  y1 2  6  32  4  52  32  12  9  1  10  3.16 aproximadamente 6. Punto medio Punto medio de un segmento de recta en un plano de coordenadas son las coordenadas del punto medio de un segmento de recta cuyos extremos están en  x1  x2 y1  y2  x1 , y1  y x2 , y2  viene dado por  ,  .  2 2  Ejemplos: Si los vertices del palelogramo WXYZ son W(3,0), X(9,3), Y(7,10) y Z(1,7), demuestra que las diagonales se bisecan. Es decir, demuetra que se intersecan en sus puntos medios. Encuentra los puntos medios de W Y y. XZ W x1 , y1  = W (3,0) X x1 , y1  = X (9,3) Y x2 , y2  = Y (7,10) Z x2 , y2  = Z (1,7)  3  7 0  10   9  1 3  17  Punto medio de W Y   ,  Punto medio de XZ   ,   2 2   2 2   10 10   10 10   ,   ,  2 2 2 2  5,5  5,5
  • 41. Como el punto medio de W Y tienen las mismas coordenadas que el punto medio de XZ , las diagonales se bisecan. Práctica 28 Coordenadas Cartesianas 1) Localice (asocie cada par ordenado de números con un punto en el sistema de coordenadas Cartesianas): (2,7), (7,2), (-8.4), (4,-8), (-8.-4), (-4,-8). 2) Halla la pendiente de la recta que pasa entre (3, 2) y (5, 6), toma (3, 2) como (x1, x2) y (5,6) como (x2, x1). Entonces la pendiente es: 3) Calcule la pendiente de la recta que pasa por (-2,7) y (3,-3). x 4) Encuentre la pendiente y ordenada al origen de la recta: y  7. 2 1 5) Encuentre la ecuación de una recta cuya pendiente es  y la ordenada al 3 origen es 6. 6) Encuentre la ecuación de una recta que pasa por los puntos (-2,-6) y (2,2). 1 7) Encuentre la ecuación de una recta, con pendiente que pasa por 2 (-4,3). 8) Calcula la distancia entre los puntos (5,-1) y (1, 5). 9) Calcula el valor de a si la distancia entre los puntos (-3,-2) y (a, -5) es de 5 unidades. 10) Escribe y  3   3 x  1 en forma estándar. 4
  • 42. XVI. Completando el cuadrado Puedes resolver algunas ecuaciones cuadráticas extrayendo la raíz cuadrada de cada lado. Ejemplos Resuelve x2 –6x + 9 = 7 x  32  7 x2 –6x + 9 es un trinomio cuadrado perfecto x  32  7 Extrae la raíz cuadrada de cada lado x 3  7 x 3   7 ¿Por qué se cumple esto? x  3 7 Suma 3 a cada lado.  el conjunto de solución es 3  7 ,3  7  Para usar el método ilustrado por el ejemplo anterior, la expresión cuadrática en un lado de la ecuación debe ser un cuadrado perfecto. Sin embargo, pocas expresiones cuadráticas son cuadrados perfectos. Para convertir cualquier expresión cuadrática en un cuadrado perfecto, se puede usar el método de completar el cuadrado. Ejemplos 1) Calcula el valor de c que hace que cada trinomio sea un cuadrado perfecto. x 2  20 x  c 1 20 Paso1. Calcula de20  10 2 2 Paso 2. Eleva al cuadrado el resultado del paso 1 10 2  100 Paso 3. Suma el resultado del paso2 a x 2  20 x . x 2  20 x  100 Por lo tanto, c = 100. Observa que x 2  20 x  100  x  10 . 2
  • 43. 2) Resuelva por el método de completando el cuadrado. x 2  6 x  2  0 x2  6x  2  0 Suma 2 a ambos lado de la ecuación para eliminar –2 del lado izquierdo. x2  6x  2 Sume el cuadrado de la mitad del coeficiente de x a cada lado de la ecuación para completar el cuadrado del lado izquierdo x  6x  9  2  9 2 Factorice el lado izquierdo x  32  11 x  3   11 x  3  11 XVII. Fórmula Cuadrática  b  b 2  4ac x 2a a0 Ejemplos 3 1) Resuelva 2 x   x 2 usando la fórmula cuadrática 2 3 2 x   x 2 Elimine las fracciones de la ecuación 2 4x  3  2x2 Escriba en forma estándar. 2x  4x  3  0 2  b  b 2  4ac x escriba la fórmula cuadrática e identifique a,b,c. a =2, b =-4, c =-3 2a   4   42  42 3 x 22 Sustituya en la fórmula cuadrática y simplifique. Errores de signos se cometen fácilmente en este paso.
  • 44. 4  40 4  2 10 x  4 4 x  2 2  10  4 Práctica 29 Completando el cuadrado y la cuadrática. 1) Resuelva por el método de completando el cuadrado. x 2  8x  10  0 2) Resuelva por el método de completando el cuadrado. x 2  8x  18  0 3) Resuelva por el método de completando el cuadrado. 2 x 2  4 x  3  0 4) Resuelva 3x 2  2 x  2 usando la fórmula cuadrática. 5) Resuelva x 2  4 x  2  0 usando la fórmula cuadrática. 6) Resuelva y 2  6 y  3  0 usando la fórmula cuadrática.