Algebra

Escuela de Educación Continua

Repaso para la Prueba de Evaluación
y Admisión Universitaria
(College Board)

MATEMÁTICAS

Parte VI. Álgebra

Este manual es propiedad de la Escuela de Educación Continua
de la Universidad Metropolitana. El mismo no puede ser
reproducido parcial ni totalmente sin la autorización expresa de la
Decana Asociada de la Escuela de Educación Continua de la
Universidad Metropolitana.
®Escuela de Educación Continua de UMET, agosto de 2006

Álgebra

I. Conceptos Básicos
A. Definiciones

1) Una constante – es un símbolo cuyo valor no cambia.

2) Una variable – es un símbolo que toma valores diferentes.

3) Término- es una parte de una expresión algebraica. Tiene coeficientes
numéricos y coeficientes literales mejor conocidos como variables. Un
término está separado de otro término por operaciones de suma y/o resta.

4) Una expresión algebraica consiste de números y letras unidos por signos
de operaciones y símbolos de agrupación.

5) Polinomio – es una expresión algebraica el cual involucra operaciones
de suma, resta y multiplicación y sus exponentes son enteros y
positivos.

II. Clasificación
Los polinomios se clasifican de acuerdo a la cantidad de términos.

Monomios (1) Binomios (2) Trinomios (3) Polinomios (4 ó más)

X X+2 3X2 + X –9 4Y4 – Y2 + 8Y – 8
3 3x - 4 4Y4 – Y2 + 8Y 3X3 + X –9XY +8Y +9

3x Y2 – 3Z2 N2 –3 N - 2 N4 – N3 + N2 –N +7
7abcdefghijklmno Y2 – 3Z2 3X2 Y2 + XY –9 3X4 + X3 –9X2Y +8XY3 +9

A cada término de un polinomio se le asigna un grado que es igual a la suma de los
exponentes de las variables que contiene el término mayor.

Término Grado
8X 1
9XY 2
-5X3Y 4
32 0
7R2ST3 6
2X3YZ + X2Y2Z2 + XYZ - 2Y +10 6

Práctica 16 Clasifica los siguientes como monomio, binomio, trinomio y polinomio
e identifica el grado.

Nombre Grado Polinomio
1) 5X + 2X –1
2) 3X2YZ3 + 3Y + Z
3) 7X6Y
4) X3 + 4X3Y5 + ZN9 – 2
5) 56
6) X

III. Evaluación de polinomios

Ejemplos

1) Si a =1, b = 5, c = -2 2) x = -3 y = 2 z = -1
3ab – c 2xy2 + 3z4 =
3(1) (5) – (-2) 2(-3) (2) 2 + 3(-1) 4

15 – (-2) 2(-3) (4) + 3(1)
=17 -24 + 3
= -21

Pasos

1) Sustituir el valor de las variables
2) Eliminar los exponentes
3) Multiplicar
4) Sumar y/o resta

Práctica 17 Evalúe los siguientes polinomios dados los valores siguientes:

A) X = 2 , Y = -3 y Z =1

1) 3X3 – 2Y2 + 1 =

2) 2Z2 + 3Z3 + Z4 =

3) 5X2Y3Z5 + 3X5Y – Z2 =

4) 2Y3 – 3Y2 + 7 =

5) X3Y2Z4 + X2YZ – Y3Z2 + X2 =

B) Evalúe

1) Si a = 2 y b = 1 , por lo tanto (3a + b)0 =

2) Si x =3.46 y w = 0.346 , por lo tanto x + w =

3) Si a = 7 y b =3 , por lo tanto a  b 2 =

IV. Suma y resta de polinomios

Por lo general, los polinomios se ordenan escribiendo los exponentes en orden
descendente o en orden ascendente.

Ejemplo:

1) 3X2 – X + 8
2) 5X3Y2 + 2X2Y3 + 4XY + 5 ordenado en x
3) 2X2Y3 + 5X3Y2 + 4XY + 5 ordenado en y

Para poder sumar o restar polinomios, los términos tienen que ser semejantes.

Términos semejantes

Semejantes No semejantes
-3x y 9x -5cxy3 y 9cx3y
6ab2 y -ab2 5x3 y 5y3
5x3y y 8x3 8x2 y 8x

Suma

1) (4x2 – 2x + 3) + ( 5x2 + 6x – 9) = 9x2 + 4x – 6

2) (3x2 – x ) + (8x + 9) = 3x2 + 7x + 9

3) 4x2 – 2x + 3 4) 5x3 + 3x2 + x + 6
+ 5x2 + 6x - 9 + 2x3 – x2 – 8x - 9
9x2 – 4x – 6 7x3 + 2x2 + 9x –3

Resta

Recuerda que restar equivale a sumar por el opuesto del sustraendo.

4 – 3 = 4 + -3

1) ( 5x3 + 3x2 + x + 6 ) – ( 2x3 – x2 + 8x – 9) =

( 5x3 + 3x2 + x + 6 ) + ( -2x3 + x2 - 8x + 9) (cambias de signos, luego sumamos)

= 3x3 + 4x2 – 7x +15

2) 8x2 + x - 9 8x2 – x - 9
- x2 - 4x + 2 + -x2 + 4x - 2
7x2 + 5x –11

3) x2 –8x + 4 x2 – 8x + 4
- x2 - 10x + 5 + -x2 + 10x - 5
2x - 1

Práctica 18 Suma o resta de polinomios

1) ( 14x3 - 3x2 -2 x ) + ( -17x3 + 8x2 -9x ) =

2) -9x2 + -6x2 + -3 x =

3) ( 5y2 – 4y + 2 ) + ( 8y2 + 6y -12 ) =

4) ( 4x2y – 3xy2 + 3y3 ) + ( 11x2y – 4xy2 + 7y3 ) =

5) 4x3 + 8x2 - x + 1

+ x3 + 8x2 - x – 3

6) ( 3x5 + x3 –x2 + 1 ) - ( -x4 + x - 3 ) =

7) ( 6a2 – 8a + 12 b3 ) - ( -11a 2 + 6b3 ) =

8) ( 7x2 - 4x y + 3y2 ) - ( 10x2 + 7x y – 4y2 ) =

9) ( 7x3 - 4x y + 6y2 ) - ( 8x3 + 9x y – 4y2 ) =

10) 4x3 + 8x2 - x + 1

- x3 + 8x2 - x – 3

11) x2 – 8x + 4

- -x2 + 10x - 5

V. Leyes de exponentes

A. Para un número cualquiera y todos los enteros m y n.
Productos de potencias
Am x An = Am+n

Ejemplos
A5 x A4 = A5+4 = A9
57 x 54 = 57+4 = 511

B. Para un número a cualquiera y todos los enteros m y n.
Una potencia elevada a otra potencia
(Am) n = Am x n

Ejemplos

(A3) 5 = A3 x 5 = A15
(32) 4 = 32 x 4 = A8

C. Para un número a y b cualquiera y todo entero m y n.
Producto de potencias
(A B) n = An B n
(X Y) 3 = X3 Y 3
(2X) 2 = 4X 2

D. División elevada a una potencia
n
 a  an
   n
b  b b0
5
 x  x5
  
y 
3
4 43
   3
7 7  y 0  y5
E. División (los exponentes se restan)

am
n
a m-n
a b0

 x4  a5
 2
x   4-2 2
 x =x  a 53  a 2
 x 0  a 3 a 0

Cuando (m) es menor que (n) : m < n

 x4  1 1  y  1 1
 7   74  3
x   4   41  3
y 
 x0  x x  x 0  y y

Cuando (m) es igual a (n) : m = n

x10 1010 43
10
x  x 1
0
3
 433  40  1
x x0 4

Práctica 19 Leyes de exponentes

Resuelve
4
 x2 y3 
1) X 3 X 2 Y 0 = 6)  5  
x y 
 

2
 z7 
2) (Y3) 5 = 7)  2 
z 
 
3
 9t 5 z 4 s  2 
3) (A B) = 2
8) 
 3t 3 z 4 s  

 

 4x7 y6 
4) [ ( M3 )2 ]3 = 9) 
 8x 4 y 3  

 

4a 2
5) (7x2y3z)2 = 10) 
9b 4

VI. Multiplicación de Polinomios

A. Monomios

1) (-3ab2c ) ( -4a2b2c5 ) = 12a3b4c6
2) (3a) (-4 ab) (2bc2) = -24a2 b2c2

B. Monomio por un polinomio

1) a ( x + y ) = ax + ay
2) (-3x ) ( 2x + y – z ) = -6x2 –3xy + 3xz
3) x3 –4x2 + 5x – 8
3x
3x4-12x3 + 15x2 –24x

C. Polinomio por polinomio

1- ( x2 + 5x –2) (3x + 4)
x2 + 5x –2
3x + 4
3x3 + 15x2 – 6x
4x + 20x – 8
3x3 + 19x2 + 14x - 8

Práctica 20 Multiplicación de polinomios

1) (8ab) (-2xy) =

2) (5ab2) ( 2 a - 3b + c) =

3) (x + 3) ( x – 7 ) =

4) 2x ( -4x2 – 8xy – 2x) =

5) ( 4x2 – 7x – 2) ( 2x + 5) =

VII. Productos Especiales
(binomios) (binomios)

A. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

Ejemplos
( x + 5 )2 = x2 + 2(x)(5) + 52 = x2 + 10x + 25
( x - 5 )2 = x2 - 2(x)(5) + 52 = x2 - 10x + 25

B. (a – b) (a + b) = ( a ) 2 - ( b ) 2

Ejemplo

(x – 3) (x + 3) = ( x ) 2 - ( 3 ) 2 = x2 – 9

C. ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ejemplos

( x + 2 )3 = x3 + 3(x) 2 (2) + 3(x) (2) 2 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8

(binomios) (trinomio)

A. ( a + b ) (a2 - ab + b2) = a3 + b3

Ejemplo

( 2x + 1 ) (4x2 – 2x + 1) = ( 2x3 + 13 ) = 8x3 + 1

B. ( a - b ) (a2 + ab + b2) = a3 - b3

Ejemplos

( y - 5 ) ( y2 + 5y + 25 ) = ( y3 - 53 ) = y3 – 125

VIII. División de polinomios

Ejemplos de monomio

12a 2b 3
12a b  4a 
2 3
 3ab 3
4a
3 2
18a b
 3ab 2
 6a 2

Ejemplos polinomio por monomio

16 x 4 y 2  8 x 2 y 2  12 xy 3
 4 x 3 y  2 xy  3 y 2
 4 xy
6ab 3  9a 2b  15ab 4
 2b 2  3a  5b 3
3ab

Ejemplos polinomio por binomio

x5
 
x  8 x  15  x  3  x  3 x  8 x  15
2 2

x2 + 3x
-5x +15
-5x +15
0

Práctica 21 División de polinomios

 4x 3  5x 2
1) 
x

n3  n 2  n
2) 
n

30r 3 s 3  24r 2 s 2  18rs
3) 
6rs

4)  3a 18a 4  12a 3  6a 2 

 
5) x 2  6 x  8   x  4  

 
6) x 2  10 x  x 3  8   x  2  

 
7) x 3  8  2  x  

 
8) 6 y 2  y  2  3 y  2  

IX Factorización

A. Factor común

Ejemplos 1) 5x + 15 = 5(x + 3)
2) X3 + 3x2 y – x2 = x2 ( x + 3y –1)
3) (x + y) z – (x + y)w = (x + y) (z – w)

B. Factorización por grupo

Ejemplos 1) ax - ay + bx – by = (ax – ay) + (bx – by)
= a(x – y) + b(x – y)
= (a + b) (x – y)

2) mx + 1 – m – x = (mx – m) + (1 – x)
= m(x – 1) + (-1) (x – 1)
= (m – 1) (x –1)

C. Diferencia de Cuadrados

Ejemplos 1) ( a2 – b2 ) = (a – b) (a + b)
2) x2 – 4 = x2 – 22 = (x – 2) (x + 2)
3) x2 - 25 = x2 – 52 = (x – 5) ( x + 5)

D. Diferencias de cubos

Ejemplos

1) a3 – b3 = ( a – b) ( a2 + ab + 2)
2) x3 – 8 = x3 – 23 = (x – 2 ) ( x2 + 2x + 22) = ( x – 2) ( x2 + 2x + 4)

3) 27 x3 – 1 = 33 x3 – 1 = ( 3x – 1) ( 32 x2 + 3 x + 12) = ( 3x –1 ) ( 9x2 + 3x + 1)

E. Suma de cubos

Ejemplos

1) a3 + b3 = ( a + b) ( a2 - ab + b 2)

2) x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2 ) ( x2 - 2x + 22) = ( x + 2) ( x2 - 2x + 4)

3) 27 x3 + 1 = 33 x3 + 1 = ( 3x + 1) ( 32 x2 - 3 x + 12) = ( 3x +1 ) ( 9x2 - 3x + 1)

Nota que se aplica la misma regla que en la diferencia de cubos excepto por el signo.

F. Factorización de trinomios

1. Trinomios del tipo x2 + bx + c

Ejemplos

a) x 2+ 5x – 6 = (x + 6) ( x – 1)
b) y2 - 5y – 6 = ( y –6) ( y + 1)
c) x –3x + 2 = ( x – 1) ( x – 2)

2. Trinomios del tipo ax2 + bx + c

Ejemplos

1a) 2x2 + 6x – 20 = Obsérvese, primeramente, que podemos extraer de cada
término el factor común 2. Luego, 2x2 + 6x – 20 = 2(x2 + 3x – 10) =2(x + 5) (x
– 2). Nótese que los tres factores son irreducibles y que su producto es 2x2 + 6x
– 20 .

b) 6x2 + x –2 para factorizarlo comenzamos determinando factores de 6(-2)
= -12 que sumen 1. Es evidente que estos factores son 4 y –3.

Luego tenemos que
6x2 + x –2 = 6x2 + 4x –3x – 2
= 2x ( 3x+2) + (3x +2) (-1)
= (3x+ 2) ( 2x + 1)

c) 14x2 + x – 3 Para factorizarlo determinamos factores de 14(-3) = -42
que sumen 1. Claramente 7 y –6 son tales números.

Luego 14x2 + x – 3 = 14x2 +7x -6x – 3
= 7x ( 2x+ 1) + (-3) (2x+1)
= (2x+1) (7x-3)

3. Trinomio cuadrado perfecto

Ejemplos a) a2 + 2ab + b2 = ( a + b) ( a + b) = ( a + b ) 2
b) x2 + 10x + 25 = ( x + 5) ( x + 5) = ( x + 5)2
c) y2 – 10y + 25 = ( y – 5) ( y – 5) = (y – 5) 2

Práctica 22 Factorización

1) 4x2 – 16xy4 –12x2 y3 =

2) 5a2b2 + 10ab3 =

3) 3x 3+ x2–18x – 6 =

4) a2x + a2d –x – d =

5) t2 – 9s2 =

6) d2 – 49 =

7) 18x2z – 32 y2z =

8) a4 – 81b4 =

9) 8a3 + b3 =

10) 64p3 – q3 r3 =

11) 8t3 + 125 =

12) a6 – b6 =

13) x2 + 6x + 8 =

14) p2 –6pq –7q2 =

15) m2 –7m + 12 =

16) x2 + 8x +16 =

17) a2 –12a + 36=

18) 15x2 – 8x +1 =

19) 2x2 + 11x + 12 =

20) 9t2 + 12ts + 4s2 =

X. Radicales

A. Propiedades

1) n ab  n a  n b
a na
2) n 
b nb
n
3) n m
a m
a

 a
m
m
4) a 
n m n
a n

m
5) a  a
n m n

B. Exponentes Radicales

1

1) a n an

1
a)4  4  2
2

1
b)27  3 27  3
3

2
 1
 27 
2
27   27 3  
2
3
 
3
 32  9
 
ó
 
2 1
27  27 2
3 3  3 27 2  3 729  9

m
 1
 a ó  
m m 1
2) a   a  
m
n
 
n n
a  a
n m n
 n am
 

3
a)5  4 53
4

b) 11 3  3  112  3 121
2

m
1
3) a n
 m
n
a
3 3
1  1  1 1
a)16 4
 3
4
   3 

4  16  2 8
16
2
b) 8
1 1 1 1
   
 83    2 4
3
2 2
3
8

C. Suma y Resta

Ejemplos de suma y resta

1) 9  16  9  16  25  5

9  16  3  4  7 error común

2)2 3  5 3  3  2  5  1 3  6 3

   
3)5 8  11 18  5 2 2  11 3 2  10 2  33 2  43 2

4)4 12  5 8  50  4 4  3  5 4  2  2  25
     
 42 3 52 2  5 2
 8 3   2  5 2
10
8 35 2

D. Multiplicación y División de radicales

Ejemplos de Multiplicación

1) 8  2  8  2  16  4

    
2) 5 3 4 5  5  4 3  5  20 5  3  20 15

  
3) 5 3 7  2 5   
5 3 7  52 5 
 3 5 7  2 55
 3 35  2 25
 3 35  2  5
 3 35  10

 
4) 3  2 2 3  2 

 2 3 3    3  2  2 3 2    2 2 
 2 9  6   2 6  4 
 23  6   2 6  2
 6   6  2 6  2
 4 6

E. División de radicales

Ejemplos de división

7 7 3 7 3
1)   
3 3 3 3

3 3 2x
2)  2x    2x
5 2x 5 2x 2x
3 2x
  2x
52 x 
3 2x
  2x
10 x
3 2 x  10 x 2 x

10 x


3  10 x  2 x
10 x

5


5 3 1 
3)
3 1  
3 1 3  1 
5 3 5 5 3 5 5 3 5
  
 3  1 2 2 3 1 2

Práctica 23 Operaciones con Radicales

1)6 7  5 7  3 7 

2)5 6  3 7  4 7  2 6 


3) 2 3  5  10  4 6  

4) x  2 y  2

5
5) 
3

4
6) 
4 3

XI. Ecuaciones

Una ecuación es un enunciado matemático que utiliza un signo de igualdad,
(=), para mostrar que dos expresiones son iguales.

A. Resolución de ecuaciones

Ejemplos

1) x –5 =12
X –5 + 5 = 12 + 5 sumas 5 ambos lado
X = 17 solución x está sola

2) 214 = y + 11
214 – 112 = y + 112 – 112 resta 112 a ambos lado
102 = y solución y esta sola

n
3) 12 
4
n

4  12  4 

4
48  n

4) 2w  3  9
2w  3  3  9  3
2w 6

2 2
w3

5) 3 p  10  8
3 p  10  10  8  10
3 p  18
3 p 18

3 3
p6

Práctica 24 Ecuaciones

1) 3n = 12
2) x + 9 = 20
3) y – 14 = 9
x
4)  20
2
5) 4y – 8 = 16
6) 8x + 3 = 6x + 9
7) 5n – 9 = 2n + 3
8) 5(y + 1) + 2y = 7y + 17 –3y

XII. Inecuaciones

A. Resolución de inecuaciones

Ejemplos

1) 29  g  68

29  29  g  68  29 Resta 29 de cada lado.

g  39 Esto significa: todos los números menores que ó iguales a 39.

2) 13  2 z  3z  39
13  2z  2 z  3z  2z  39 Resta 2z de cada lado.

13  z  39
13  39  z  39  39 Sumas 39 de cada lado.

52  z

x 3
3) 
12 2
x 3
12   12  Multiplica cada lado por 12
12 2
x  18 Dado que multiplicamos por un número positivo, el signo de la desigualdad no se .

invierte

4)  3w  27
 3 27
 Divide cada lado entre –3 y cambia >a<.
3 3
w  9

5) 1  x  3  5

Primero expresa  1  x  3  5 usando y luego resuelve cada desigualdad.

1  x  3 x35
1  3  x  3  3 x 33 53
4 x x2

El conjunto de solución es x | 4  x  2.

Práctica 25 –A Inecuaciones

1) 3x < 15

2) 2x + 6 > x – 7
x
3)  5
4
3b 2
4) 
4 3
5) 3x  5  2x  4  1

6) 7x  5  4x  1

7) 21  3x   5
8) 16  7 y  10 y  4

B. Variación Directa

Las variables x y y varían directamente, si se relacionan mediante una ecuación de la
forma

Y = kx .

Para algún número k distinto de cero. El número k se llama la constante de
proporcionalidad. En caso de que x y y varía directamente, decimos también que son
directamente proporcionales entre sí. Desde luego, y es función de x, y x es también
función de y, puesto que

1
X= .
ky

La variación directa se describe mediante una ecuación de la forma y = kx donde x  0.
En la ecuación y = kx, k se llama constante de variación. Para encontrar la constante
de variación, se divide cada lado entre x.

y
=K
x

Ejemplo 1

El salario de Julio varía con el número de horas que trabaja. Si le pagan $29.75 por 5
horas de trabajo, ¿cuánto le pagarán por 30 horas?

Primero calculas el salario por hora. Sea x = al número de horas que Julio trabaja y sea
y = a la paga de Julio. Encuentra el valor de K en la ecuación y = kx. El valor de k es la
cantidad que le pagan a Julio por hora.

y
K=
x

29.75
K=
5

K= 5.95 A Julio le pagan a $5.95 por hora.

Finalmente calcula lo que le pagan a Julio por 30 horas de trabajo.
Y=kx
Y=5.95 (30)
Y=178.50
Por lo tanto a Julio le pagan $178.50 por 30 horas de trabajo.

Ejemplo 2

El número de galones de agua que uno usa depende directamente del tiempo que uno
se demora en ducharse. La siguiente tabla exhibe el número de galones de agua
usados y como función del tiempo baja la ducha x.

X (minutos) 3 6 9 12 15
Y (galones) 18 36 54 72 90

La ecuación y = 6x muestra la relación entre el número de minutos bajo la ducha y los
galones de agua que se usan. Este tipo de ecuación recibe el nombre de variación
directa. Decimos que y varía directamente con x o que y es directamente proporcional
a x, esto significa que cuando x crece, y crece y cuando x disminuye, y disminuye.

Ejemplo 3

Si y varía directamente con x y y = 28 cuando x = 7, encuentra x cuando y=52.

y1 x1
Usa  para resolver el problema.
y 2 x2

28 7
 sea y 1 = 28, x 1 = 7, y y 2 = 52
52 x 2

28 x 2 = 52(7) Encuentra los productos cruzados.

28 x 2 = 364

x 2 = 13

Así x = 13 cuando y = 52.

Lo contrario de la variación directa es la variación inversa. Decimos que y varía
inversamente con x. Esto significa que cuando x aumenta, y disminuye o que cuando
x disminuye, y aumenta. Por ejemplo, mientras más millas manejas menos gasolina
tienes en el tanque.

Ejemplo 1

Si y varía inversamente con x, y y = 5 cuando x = 15, encuentra x cuando y = 3.

Método 1 Usa regla de producto

x1y1 = x 2 y 2

15 x 5 = x 2 x 3

75
= x2
3

25 = x 2

Así, x = 25 cuando y = 3.

Método 2 Usa la proporción

x1 y
= 2
x2 y1

15 3
=
x2 5

75 = x 2
25 = x 2

Práctica 25 – B Variación Directa
1. Resuelve si y varia directamente con x

Si y = 27, cuando x = 6, calcula x cuando y = 45

2. Resuelve, asume que y varía inversamente con x.

Si y = 99 cuando x = 11, calcula x cuando y = 11

3. Asume que y varía directamente con x.

(A) Si y = 4, cuando x = 12, calcula y cuando x = -24

2 1 1
(B) Si y = 2 , cuando x = , calcula y cuando x = 1
3 4 8

4. Asume que y varía inversamente con x.

(A) Si x = 2.7, cuando y = 8.1, calcula y cuando x = 3.6

(B) Si x= 6.1, cuando x = 4.4, calcula y cuando x = 3.2

XIII. Expresiones Verbales

A menudo es necesario traducir expresiones verbales a expresiones algebraicas

Expresiones verbales Expresiones
algebraicas

7 menos que el producto de 3 y un número 3x – 7
El producto de 7 y S dividido entre el producto de 8 y Y 7S  8 y
Cuatro años más joven que Sara ( s= edad de Sara) S–4
La mitad de un número t t
2

Pasos para resolver problemas verbales

1) Resumen : Trata de decir el problemas en tu propias palabras, en forma
corta.

2) Plantea: Traducir los símbolos linguisticos a símbolos matemáticos.
3) Resuelve: Solucionar la oración matemática.
4) Contestar: Contestar el problema a la luz de la pregunta que se hace.
5) Verificar: Comprobar el resultado.

Frases que se utilizan con frecuencia en los problemas verbales
Frase Significado
Sumado, añadido, más, incrementado, ganacia de, +
total
Diferencia, menos, disminuido por -
Dividido entre, cociente 
Es, da, resultado =
Números pares, Números impares X, (x+2), (x+4)...
Múltiplo de tres X, (x+3), (x+6)...
Números consecutivos X, (x+1), (x +2)...
El doble de un número 2x
Mitad de un número x 1
, x
2 2
Triple de un número 3x
Edad ahora X
Edad hace dos años (x-2)
Edad dentro de seis años (x+6)

Ejemplos

1) Si al doble de un número le restamos cinco, el resultado es diecisiete.
Halla el número.

A) Traducción

Lenguaje verbal Lenguaje algebraico
Número x

Doble del número 2x
Doble del número menos cinco 2x –5

B) Planteamiento

2x –5 = 17

C) Resolución

2x – 5 + 5 = 17 + 5
2x = 22
2 x 22

2 2
x = 11 Respuesta es 11

D) Comprobación

El doble de 11 es 2 x 11 = 22
22 – 5 = 17
17 = 17

Práctica 26 Problemas Verbales

1) Tres más dos veces cierto número es 57. Halla el número.

2) La suma de dos números enteros consecutivos es igual a ciento treinta y siete.

Halla los números.

3) La suma de dos impares consecutivos es igual a cincuenta y seis. Hallar los

números.

4) Encuentre tres números pares consecutivos tales que el doble del segundo más

tres veces el tercero es siete veces el primero.

5) En un grupo de monedas que se compone sólo de monedas de 10  y 5  , hay

siete más de 10  que de las de 5  . Si el valor total de todas las monedas es

de $1, ¿cuántas de cada tipo de monedas hay en el grupo?

XIV. Expresiones Algebraicas Racionales

A. Simplificación

Ejemplos

5x  3 5x  3 5
1)  
2 xx  3 2 xx  3 2 x


 
4 x 3  10 x 2  6 x 2 x 2 x 2  5 x  3 2 x  1x  3 2 x  1
 
2)
2 x  18 x
3
 
2x x2  9  x  1x  3 x  1

B. Suma y resta

Ejemplos

4x  8 2x  4 4 x  8  2 x  4 4 x  8  2 x  4
  
4 x x  2  4 x x  2  4 x x  2  4 x x  2 
1)

2x  4 2x  2 1
  
4 x x  2  4 x x  2  2 x

5 2
2) 
6x  1 9x  12
buscar el mínimo común denominador

18x  1
2
es el mínimo común denominador

5 2

6x  1 9x  12
3x  1  5 22 5 x  1 4
   
3x  1  6x  1 2  9 x  12
18x  1 18 x  1
2 2

15x  1  4 15 x  15  4 15 x  11
  
18x  1 18x  1 18x  1
2 2 2

C. Multiplicación y División

Ejemplos

1)
4a 2  9b 2
 2 2
6a 2 b

2a  3b2a  3b  6a 2 b
4a 2  12ab  9b 2 8a b  12ab 3 2a  3b2 4ab 2 2a  3b 
3a

2b2a  3b 

2 x 2  32 x  4
2) x  4 
6 xy 3xy
  
6 xy 1 2x  4x  4 x  4

Práctica 27 Expresiones algebraicas


3x x 2  2


1)

2 x2  2 

2 x3  8x
2) 3 
4 x  14 x 2  12 x

2x2  4x 6x
3)  2 
12 x y x  6 x  8
2

x 2  6 x  9 x 2  2 x  15
4)  
x2  x  6 x2  2x

4 x  12 2x  6
5)  
4 xx  3 4 xx  3

3 1
6)  2 
x  4 x  4x  4
2

XV. Sistema de coordenadas cartesianas

Para construir un sistema de coordenadas cartesianas empezaremos con dos
conjuntos de objetos, el conjunto de todos los puntos en plano (un conjunto de objetos
geométricos) y el conjunto de todos los pares ordenados de números reales. En un
plano escoja dos rectas numéricas, una vertical y una horizontal, y haga que se
intersequen en sus respectivos orígenes. Se consideran positivas las direcciones hacia
arriba y hacia la derecha. Estas dos rectas numéricas se llaman eje vertical y eje
horizontal (y ambos) los ejes de coordenadas. Los ejes de coordenadas dividen el
plano en cuatro partes que se llaman cuadrantes. Los cuadrantes están enumerados
en dirección contraria a las manecillas del reloj del I al IV.

II I

(Abcisa) X
(-, +) (+, +)

.
III IV

(-, -) (+, -)

. Ejemplos:
Y (Ordenada)

Grafica los siguientes puntos en un plano de coordenadas.

A (2, 4) , B (-4, -1) , C (-6,-1) , D (0, 3) , E (-1, 2).

X
X

A. Pendiente de una Recta
La pendiente m de una recta es la razón del cambio en las coordenadas y al cambio
correspondiente en las coordenadas X.

Cambioeny (altura ) Elevación y 2  y1
Pendiente   
Cambioenx (cambiohori
zontal) Avance x2  x1

y2  y1
1. Fórmula de la pendiente m
x2  x

Ejemplos

a. En consecuencia, la pendiente de la recta que pasa por (2,-3) y por (4,5) es:

y2  y1 5   3 8
m   4
x2  x 42 2

Nota: no importa qué punto escojamos como p1 ó p2 , siempre y cuando nos
sujetemos a la elección que hayamos hecho. Si invertimos los puntos del caso anterior,
obtenemos el mismo valor para la pendiente, y ya que el signo cambia tanto en el
numerador como en el denominador:

y2  y1  3  5  8
m   4
x2  x 24 2

2. La forma pendiente- ordenada al origen

Y= mx + b m= pendiente, b = y ordenada al origen

y=mx +b

y ordenada al origen
Asenso
b
Recorrido
(Abscisa) X

asenso
m  pendiente
recorrido
Y (Ordenada)

Ejemplos

1
a) Encuentre la pendiente t la ordenada de la recta y   x  2.
3
1 1
y   x  2.  es la pendiente y 2 (y ordenada al origen)
3 3

b) Encuentre la ecuación cuya pendiente es –2, y la ordenada al origen es 3:

Como m  2 y b  3 , obtenemos: y  mx  b = -2x + 3 ; ésta es la
ecuación.

3. Forma Punto pendiente de una ecuación lineal

La ecuación de una recta que pasa por x1 , y1  , con pendiente m, está dada por:
y  y1  mx  x1 
y le damos el nombre de forma punto-pendiente de la ecuación de una recta. Por medio
de esta ecuación, junto con la pendiente, podemos encontrar también la ecuación de
una recta, conociendo solamente las coordenadas de dos puntos por los cuales pasa.

Ejemplo:

1
a) Encuentre la ecuación de una recta, con pendiente  que pasa por (6,-3).
3
Escriba dicha ecuación en la forma y  mx  b .

y  y1  mx  x1 
y   3   x  6
1
3
y  3   x  6
1
3
x
y3  2
3
1
y   x 1
3

4. La forma estándar de una ecuación lineal

La forma estándar de una ecuación lineal es Ax + By = C con A, B, y C enteros,
A  0 y donde A y B no son simultáneamente 0.

Ejemplo

Escribe y  5  
5
x  2 en forma estándar.
4
y  5   x  2
5
4
 5
4 y  5  4    x  2 multiplica 4 a cada lado para eliminar la fracción
 4
4 y  20  5x  10 propiedad distributiva
4 y  5x  10 resta 20 a cada lado

5x  4 y  10 suma 5x a cada lado

La forma estándar de la ecuación es 5x  4 y  10

5. Distancia entre dos puntos:

La distacia d entre cualquier par de puntos x1 , y1  y x2 , y2  viene dado por la

siguiente fórmula. d x2  x1 2   y2  y1 2
Ejemplo

Calcula la distancia entre los puntos (3,5) y (6,4).

d x2  x1 2   y2  y1 2
 6  32  4  52  32  12  9  1  10  3.16 aproximadamente

6. Punto medio

Punto medio de un segmento de recta en un plano de coordenadas son las
coordenadas del punto medio de un segmento de recta cuyos extremos están en
 x1  x2 y1  y2 
x1 , y1  y x2 , y2  viene dado por  ,  .
 2 2 

Ejemplos:

Si los vertices del palelogramo WXYZ son W(3,0), X(9,3), Y(7,10) y Z(1,7),
demuestra que las diagonales se bisecan. Es decir, demuetra que se intersecan en sus
puntos medios. Encuentra los puntos medios de W Y y. XZ

W x1 , y1  = W (3,0) X x1 , y1  = X (9,3)
Y x2 , y2  = Y (7,10) Z x2 , y2  = Z (1,7)

 3  7 0  10   9  1 3  17 
Punto medio de W Y   ,  Punto medio de XZ   , 
 2 2   2 2 
 10 10   10 10 
 ,   , 
2 2 2 2
 5,5  5,5

Como el punto medio de W Y tienen las mismas coordenadas que el punto medio de
XZ , las diagonales se bisecan.

Práctica 28 Coordenadas Cartesianas

1) Localice (asocie cada par ordenado de números con un punto en el sistema
de coordenadas Cartesianas): (2,7), (7,2), (-8.4), (4,-8), (-8.-4), (-4,-8).

2) Halla la pendiente de la recta que pasa entre (3, 2) y (5, 6), toma (3, 2)
como (x1, x2) y (5,6) como (x2, x1). Entonces la pendiente es:

3) Calcule la pendiente de la recta que pasa por (-2,7) y (3,-3).

x
4) Encuentre la pendiente y ordenada al origen de la recta: y  7.
2
1
5) Encuentre la ecuación de una recta cuya pendiente es  y la ordenada al
3
origen es 6.

6) Encuentre la ecuación de una recta que pasa por los puntos (-2,-6) y (2,2).

1
7) Encuentre la ecuación de una recta, con pendiente que pasa por
2
(-4,3).

8) Calcula la distancia entre los puntos (5,-1) y (1, 5).

9) Calcula el valor de a si la distancia entre los puntos (-3,-2) y (a, -5) es de 5
unidades.

10) Escribe y  3  
3
x  1 en forma estándar.
4

XVI. Completando el cuadrado
Puedes resolver algunas ecuaciones cuadráticas extrayendo la raíz cuadrada de cada
lado.

Ejemplos

Resuelve x2 –6x + 9 = 7
x  32  7 x2 –6x + 9 es un trinomio cuadrado perfecto

x  32  7 Extrae la raíz cuadrada de cada lado

x 3  7
x 3   7 ¿Por qué se cumple esto?
x  3 7 Suma 3 a cada lado.


el conjunto de solución es 3  7 ,3  7 
Para usar el método ilustrado por el ejemplo anterior, la expresión cuadrática en un
lado de la ecuación debe ser un cuadrado perfecto. Sin embargo, pocas expresiones
cuadráticas son cuadrados perfectos. Para convertir cualquier expresión cuadrática en
un cuadrado perfecto, se puede usar el método de completar el cuadrado.

Ejemplos

1) Calcula el valor de c que hace que cada trinomio sea un cuadrado perfecto.

x 2  20 x  c

1 20
Paso1. Calcula de20  10
2 2
Paso 2. Eleva al cuadrado el resultado del paso 1 10 2  100
Paso 3. Suma el resultado del paso2 a x 2  20 x . x 2  20 x  100
Por lo tanto, c = 100. Observa que x 2  20 x  100  x  10 .
2

2) Resuelva por el método de completando el cuadrado. x 2  6 x  2  0
x2  6x  2  0 Suma 2 a ambos lado de la ecuación para eliminar –2 del lado izquierdo.

x2  6x  2 Sume el cuadrado de la mitad del coeficiente de x a cada lado de la
ecuación para completar el cuadrado del lado izquierdo

x  6x  9  2  9
2
Factorice el lado izquierdo

x  32  11
x  3   11
x  3  11

XVII. Fórmula Cuadrática

 b  b 2  4ac
x
2a
a0

Ejemplos
3
1) Resuelva 2 x   x 2 usando la fórmula cuadrática
2
3
2 x   x 2 Elimine las fracciones de la ecuación
2
4x  3  2x2 Escriba en forma estándar.
2x  4x  3  0
2

 b  b 2  4ac
x escriba la fórmula cuadrática e identifique a,b,c. a =2, b =-4, c =-3
2a
  4   42  42 3
x
22
Sustituya en la fórmula cuadrática y simplifique.

Errores de signos se cometen fácilmente en este paso.

4  40 4  2 10
x 
4 4

x

2 2  10 
4

Práctica 29 Completando el cuadrado y la cuadrática.

1) Resuelva por el método de completando el cuadrado. x 2  8x  10  0

2) Resuelva por el método de completando el cuadrado. x 2  8x  18  0

3) Resuelva por el método de completando el cuadrado. 2 x 2  4 x  3  0

4) Resuelva 3x 2  2 x  2 usando la fórmula cuadrática.

5) Resuelva x 2  4 x  2  0 usando la fórmula cuadrática.

6) Resuelva y 2  6 y  3  0 usando la fórmula cuadrática.

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