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-Proceso inverso a la propiedad
                  distributiva.
                  -Para factorizar un binomio, debemos
FACTOR COMÚN      hallar un factor que sea común a todos
                  los términos.
                  -seleccionar el máximo factor común,




            EJEMPLO
       13z2y2-26z3y3+52z4y4
       13z2y2(1-2zy+4z2y2)
Los términos
                                                                          17ax – 17mx + 3ay -
FACTOR COMÚN


                                                    de un



                             Características
                                                                          3my + 7az – 7mz =
                                                 polinomio                a(17x +3y +7z) -




                                                               Ejemplos
               Agrupación                          pueden                 m(17x + 3y +7z)
                                                                           = (17x +3y +7z)(a –
               de términos                      reunirse en               m)
                                                 grupos de                Tres término:
                                               términos con               X3+x+x2y2+y2+x2
                                                 un factor                +1
                                                   común                  • (x3+x2)+(x+1)+(x2y2+
                                                                            y2)
                                                diferente en              • X(x2+1)+1(x2+1)+y2(x
                                                cada grupo.                 2+1)

                                                                          • (x2+1)(x+1+y2)
DIFERENCIA DE            Pasos:                  Ejemplo:
   CUADRADOS               • Se extrae la raíz
• Se le llama diferencia     cuadrada de
  de cuadrados al            ambos términos.       • 27m3n3-75mnp2
  binomio conformado       • Se multiplica la      • 3mn(9m2n2-25p2)
  por dos términos a los     suma por la           • 3mn(3mn+5p)(3m
  que se les puede sacar     diferencia de estas     -5p)
  raíz cuadrada exacta.      cantidades (el
• Es igual al producto       segundo término
  de la suma por la          del binomio
  diferencia de sus          negativo es la raíz
  raíces cuadradas.          del término del
                             binomio que es
                             negativo).
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
       Es el desarrollo de un binomio al cuadrado.




                CARACTERÍSTICAS
Es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al
                 cuadrado un binomio.




                      EJEMPLO
                   49+70a4b2+25a8b4
                       (7+5a4b2)2
CARACTERÍSTICAS:
COMBINACION   Se extrae la primera raíz      EJEMPLO:
              cuadrada al primero y
    DE UN     último término del           20xy+25y2-
  TRINOMIO    trinomio y se separan por
              el signo del segundo         36m2+4x2+84mn-
                                           49n2
 CUADRADO     término, ese binomio
              formado se eleva al          =(4x2+20xy+25y2)-
 PERFECTO Y   cuadrado.
                                           (36m2-84mn+49n2)
 DIFERENCIA   Para facturar una
              diferencia de cuadrados      =(2x+5y)2-(6m-7n)2
     DE       se extrae la raíz cuadrado
              a ambos términos y se
                                           =(2x+5y+6m-7n)
 CUADRADOS    multiplica la suma de sus    (2x+5y-6m+7n)
              raíces por su diferencia.
TRINOMIO INCOMPLETO
  CARACTERÍSTICAS:
  EXPONENTES DE SUS EXTREMOS MULTIPLIO DE 4.
  Pasos:
  Antes de resolver ordenar en forma ascendente o
  descendente
  El primer y tercer término deben tener raíz cuadrada
  exacta
  Los signos deben ser todos positivos o alternados
  No cumple con la regla del trinomio cuadrado perfecto
  Tener raíz cuadrada exacta.


              EJEMPLO:
              (a4+a2b2+b4+a2b2) –a2b2
              (a4+2a2b2+b4)-a2b2
              (a2+b2)2-a2b2
              (a2+b2+ab)(a2+b2-ab)
El primer término debe
                     tener el coeficiente (1) y
                      ser cuadrado perfecto.         Ejemplo:
TRINOMIO DE LA FORMABuscar dos factores que       2a3b-2a2b-112ab
      X2+BX+C        multipliquemos dé el
                                                   =2ab(a2-a-56)
                     coeficiente del tercer
                    término y sumados den          =ab(a-8)(a+7)
                       el coeficiente del
                       segundo término.
• DE LA FORMA ax2+bx+c
TRINOMIO

                  • Descomponemos en dos factores
                  • Multiplicamos en cruz a los factores
                  • Sumamos los productos de tal manera que obtengamos el mismo valor del
                    segundo término del trinomio
   Método         • 6x2-7x+2=(3x-2)(2x-1)
                  • (3X -2)=-4X
    Aspa          • (2X -1)=-3X
                  •           -7X


                     •   9z2+6z-8
                     •   (9z2+6(9z)-72/9
Por multiplicación y •   (9z+12)(9z-6)/9
     división        •   3(3z+4)3(3z-2)/9 = (3z+4)(3z-2)
Característica          Ejemplo
   Suma y
diferencia de
    cubos        Es fácil verificar,
                    mediante la
                multiplicación del
                segundo miembro        343a3b6+27c9
                de cada ecuación,
                   las siguientes      =(7ab2+3c3)(49
                    fórmulas de            a2b4-
                factorización para      21ab2c3+9c6)
                    la suma y la
                 diferencia de dos
                        cubos.
ax4+bx3+cx2+dx+e
                                  Procedimiento
                                  Ordenar descendentemente
             Factorización        Obtener divisores del término independiente (+y-)
                  por             Utilizamos la división sintética con los divisores hasta que el
                                  residuo sea (0)
              evaluación          Continuamos dividiendo de igual manera hasta que el
                                  nuevo dividendo ya no se pueda factorar.


                                        X3-6x2+11x-6 = (x-1)(x-
                                               2)(x-3)
                                                 1-6+11-6
  SUMA Y                                            +1-5+6          +1
DIFERENCIA                                        1-5+6 0         (x-1)
    DE
             multiplicando la suma
POTENCIAS      de dos expresiones
 IMPARES           algebraicas
               cualesquiera por el                     se obtiene la
             polinomio homogéneo
                                                      suma de cubos
              ordenado de segundo
               grado formado por                         de dichas
              dichas expresiones y                      expresiones
             coeficientes +1, -1, +1,                   algebraicas
Para desarrollarlo
                                         puedes usar la
                                        fórmula general
x2 - 28x + 187 = 0
a = 1 b = -28 c = 187
- ( -28) + ( -28)2 - 4 ( 1 ) ( 187)
2 (1)
28+ 784 - 748
                                      TRINOMIOSse trata de encontrar
                                               las dos raíces de esta
  2
28+ 36
                                        POR LA ecuación m₁ y m₂(una
                                                 con mas y otra con
  2
28+ 6
                                       FÓRMULA factorizarlo queda (m
                                                    menos),y al
  2
28+ 6 34 X1 = 17
                                       GENERAL - m₁)(m - m₂ )=0
      22
28- 6 22 X2 =11 2 2


                                         ax2+bx+c

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Tutorial de factorizacion

  • 1.
  • 2. -Proceso inverso a la propiedad distributiva. -Para factorizar un binomio, debemos FACTOR COMÚN hallar un factor que sea común a todos los términos. -seleccionar el máximo factor común, EJEMPLO 13z2y2-26z3y3+52z4y4 13z2y2(1-2zy+4z2y2)
  • 3. Los términos 17ax – 17mx + 3ay - FACTOR COMÚN de un Características 3my + 7az – 7mz = polinomio a(17x +3y +7z) - Ejemplos Agrupación pueden m(17x + 3y +7z) = (17x +3y +7z)(a – de términos reunirse en m) grupos de Tres término: términos con X3+x+x2y2+y2+x2 un factor +1 común • (x3+x2)+(x+1)+(x2y2+ y2) diferente en • X(x2+1)+1(x2+1)+y2(x cada grupo. 2+1) • (x2+1)(x+1+y2)
  • 4. DIFERENCIA DE Pasos: Ejemplo: CUADRADOS • Se extrae la raíz • Se le llama diferencia cuadrada de de cuadrados al ambos términos. • 27m3n3-75mnp2 binomio conformado • Se multiplica la • 3mn(9m2n2-25p2) por dos términos a los suma por la • 3mn(3mn+5p)(3m que se les puede sacar diferencia de estas -5p) raíz cuadrada exacta. cantidades (el • Es igual al producto segundo término de la suma por la del binomio diferencia de sus negativo es la raíz raíces cuadradas. del término del binomio que es negativo).
  • 5. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Es el desarrollo de un binomio al cuadrado. CARACTERÍSTICAS Es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio. EJEMPLO 49+70a4b2+25a8b4 (7+5a4b2)2
  • 6. CARACTERÍSTICAS: COMBINACION Se extrae la primera raíz EJEMPLO: cuadrada al primero y DE UN último término del 20xy+25y2- TRINOMIO trinomio y se separan por el signo del segundo 36m2+4x2+84mn- 49n2 CUADRADO término, ese binomio formado se eleva al =(4x2+20xy+25y2)- PERFECTO Y cuadrado. (36m2-84mn+49n2) DIFERENCIA Para facturar una diferencia de cuadrados =(2x+5y)2-(6m-7n)2 DE se extrae la raíz cuadrado a ambos términos y se =(2x+5y+6m-7n) CUADRADOS multiplica la suma de sus (2x+5y-6m+7n) raíces por su diferencia.
  • 7. TRINOMIO INCOMPLETO CARACTERÍSTICAS: EXPONENTES DE SUS EXTREMOS MULTIPLIO DE 4. Pasos: Antes de resolver ordenar en forma ascendente o descendente El primer y tercer término deben tener raíz cuadrada exacta Los signos deben ser todos positivos o alternados No cumple con la regla del trinomio cuadrado perfecto Tener raíz cuadrada exacta. EJEMPLO: (a4+a2b2+b4+a2b2) –a2b2 (a4+2a2b2+b4)-a2b2 (a2+b2)2-a2b2 (a2+b2+ab)(a2+b2-ab)
  • 8. El primer término debe tener el coeficiente (1) y ser cuadrado perfecto. Ejemplo: TRINOMIO DE LA FORMABuscar dos factores que 2a3b-2a2b-112ab X2+BX+C multipliquemos dé el =2ab(a2-a-56) coeficiente del tercer término y sumados den =ab(a-8)(a+7) el coeficiente del segundo término.
  • 9. • DE LA FORMA ax2+bx+c TRINOMIO • Descomponemos en dos factores • Multiplicamos en cruz a los factores • Sumamos los productos de tal manera que obtengamos el mismo valor del segundo término del trinomio Método • 6x2-7x+2=(3x-2)(2x-1) • (3X -2)=-4X Aspa • (2X -1)=-3X • -7X • 9z2+6z-8 • (9z2+6(9z)-72/9 Por multiplicación y • (9z+12)(9z-6)/9 división • 3(3z+4)3(3z-2)/9 = (3z+4)(3z-2)
  • 10. Característica Ejemplo Suma y diferencia de cubos Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro 343a3b6+27c9 de cada ecuación, las siguientes =(7ab2+3c3)(49 fórmulas de a2b4- factorización para 21ab2c3+9c6) la suma y la diferencia de dos cubos.
  • 11. ax4+bx3+cx2+dx+e Procedimiento Ordenar descendentemente Factorización Obtener divisores del término independiente (+y-) por Utilizamos la división sintética con los divisores hasta que el residuo sea (0) evaluación Continuamos dividiendo de igual manera hasta que el nuevo dividendo ya no se pueda factorar. X3-6x2+11x-6 = (x-1)(x- 2)(x-3) 1-6+11-6 SUMA Y +1-5+6 +1 DIFERENCIA 1-5+6 0 (x-1) DE multiplicando la suma POTENCIAS de dos expresiones IMPARES algebraicas cualesquiera por el se obtiene la polinomio homogéneo suma de cubos ordenado de segundo grado formado por de dichas dichas expresiones y expresiones coeficientes +1, -1, +1, algebraicas
  • 12. Para desarrollarlo puedes usar la fórmula general x2 - 28x + 187 = 0 a = 1 b = -28 c = 187 - ( -28) + ( -28)2 - 4 ( 1 ) ( 187) 2 (1) 28+ 784 - 748 TRINOMIOSse trata de encontrar las dos raíces de esta 2 28+ 36 POR LA ecuación m₁ y m₂(una con mas y otra con 2 28+ 6 FÓRMULA factorizarlo queda (m menos),y al 2 28+ 6 34 X1 = 17 GENERAL - m₁)(m - m₂ )=0 22 28- 6 22 X2 =11 2 2 ax2+bx+c