El documento resume las propiedades fundamentales del álgebra booleana, incluyendo la cerradura, conmutativa, asociativa, distributiva, identidad y complementación. Estas propiedades se aplican tanto a conjuntos como a proposiciones lógicas, aunque con diferente simbología. El álgebra booleana proporciona las reglas para manipular operaciones binarias como la unión, intersección, disyunción y conjunción.

1. ALGEBRA
BOOLEANA
Orlando Javier Camargo Garcia
Jesus Alberto Ramirez
Carlos Andres Lamarca
Guillermo Rojas Martinez
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A
DISTANCIA (UNAD).
LOGICA MATEMATICA

2. Se interpreta con la siguiente simbología:
A: Es todo los subconjuntos del conjunto “U”
Operaciones Binarias: U que es la Unión
∩ Esta es la Intersección
Relación de Equivalencia: = Son las Igualdades

3. Sean B,C y D Subconjunto de A
Primer Caso CERRADURA.
B U C aquí vemos unidos a B y C donde
estos dos son un subconjunto de A.
Segundo Caso CONMUTIVA.
Aquí el orden no es importante y un
ejemplo claro es B U C=C U B o
B ∩ C = C ∩ B.

4. Tercer Caso ASOCIATIVA.
El resultado es independiente del
agrupamiento de los símbolos y números
involucrados Ejemplo de Ello es :
(B U C) U D = B U (C U D)
(B ∩ C) ∩ D = B ∩ (C ∩ D)

5. Cuarto Caso DISTRIBUTIVA.
Indica una operación que es independiente
de si se lleva a cabo antes o después de
otra operación Ejemplo de Ello es:
B U (C ∩ D) = (B U C) ∩ (B U D)
B ∩ (C U D) = (B ∩ C) U (B ∩ D)

6. Quinto Caso IDENTIDAD.
Es una igualdad entre dos expresiones
que es cierta sean cuales sean los valores
de las distintas variables empleadas por
ejemplo:
BUA=A O B∩ɸ=ɸ
Donde los Conjuntos A y ɸ se denominan
elementos neutros .

7. Sexto caso: COMPLEMENTACION.
 Esto quiere decir que el subconjunto B en
el conjunto A tiene un subconjunto B` que
también hace parte de este conjunto A
Un ejemplo claro es:
B U B`=A y B ∩ B`= ɸ. B` se denomina
complemento de B

8. Su simbología es la siguiente:
A= conjunto de todas las preposiciones.
Operaciones Binarias: v Disyunción.
□ Conjunción.
Relación de equivalencia: ↔
Elemento neutro: La contradicción (0) para la disyunción
La tautología(1) para la conjunción
Elemento inverso(a’): La negación de una proposición.

9. La demostración del algebra Booleana
en la Lógica corresponde a la siguientes
propiedades:
Sean p, q y r proposiciones del conjunto A.
Son casos parecidos a la dela algebra
Booleana de los conjuntos con la diferencia
que cambia su simbología.
Caso 1 CERRADURA: que ambos
elementos van a hacer parte del conjunto A
ejemplo: p v q es una proposición de A
p ʌ q es una proposición de A

10. Caso 2 CONMUTATIVA
 El orden no cumple ninguna función.
Ejemplo
pvq↔qvp
pʌq↔qʌp
Caso 3 ASOCIATIVA.
Sea cual sean los elementos van
asociados entre si.
Ejemplo: (p v q) v r↔ p v (q v r)
(p ʌ q) ʌ r↔ p ʌ (q ʌ r)

11. Caso 4 DISTRIBUTIVA
Si sumamos dos números y luego
multiplicamos el resultado por otro
número, obtenemos el mismo resultado
que si multiplicamos cada uno de los
sumandos por un mismo número y
después sumamos los productos
obtenidos.
Ejemplo:
p v (q ʌ r) ↔ (p v q) ʌ (p v r)
p ʌ (q v r) ↔ (p ʌ q) v (p ʌ r)

12. Caso 5 IDENTIDAD.
Aquí van a existir dos proposiciones una
verdadera y una negativa; la verdadera se
llama tautología simbolizada por 1 y la
negativa contradicción simbolizada por 0
Ejemplo: p v 0 ↔ p y p ʌ 1↔ p
La tautología corresponde a los elementos
neutros de la disyunción y la contradicción a
los elementos neutros de la conjunción.