2. LEY DE IDEMPOTENCIA
La idempotencia es la propiedad para realizar una acción determinada
varias veces y aun así conseguir el mismo resultado que se obtendría si
se realizase una sola vez.
Por ser tan simple no necesita mucha explicación.
Su estructura es la siguiente:
A ∪ A = A y A ∩ A = A
Ejemplo:
No: es verdad que corra y que avance rápido; es lógicamente equivalente a:
no es verdad que corra o no es verdad que avance rápido.
3. LEY ASOCIATIVA
Si en la unión de tres o mas conjuntos se reemplazan dos conjuntos por
su unión efectuada, se obtiene el mismo resultado:
Estructura:
A U B U C = (A U B) U C
A U B U C = A U (B U C)
Ejemplo:
P= [a,b,c,d,e]
Q= [a,b,d,f]
R= [b,c,d,g,h]
Si denominamos D = Q ∪ R = [a,b,c,d,f,g,h] se tiene que P ∪ D =
[a,b,c,d,e,f,g,h] = P ∪ (Q ∪ R) y llamando G = P ∪ Q = [a,b,c,d,e,f], luego G
∪ R = [a,b,c,d,e,f,g,h] = (P ∪ Q) ∪ R.
Por lo tanto se verifica la propiedad.
4. LEY CONMUTATIVA
Se cumple esta ley si en una unión se altera el orden de los
conjuntos, el resultado no varia.
Estructura:
A ∪B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A
Ejemplo:
Sean AA y BB conjuntos arbitrarios. Sea x∈A∩Bx∈A∩B. Esto significa
que x∈Ax∈A y x∈Bx∈B lo cual implica que que x∈Bx∈B y x∈Ax∈A, es
decir x∈B∩Ax∈B∩A. Hemos demostrado A∩B⊂B∩AA∩B⊂B∩A.
Sea x∈B∩Ax∈B∩A. Esto significa que x∈Bx∈B y x∈Ax∈A lo cual implica
que que x∈Ax∈A y x∈Bx∈B, es decir x∈A∩Bx∈A∩B. Hemos demostrado
B∩A⊂A∩BB∩A⊂A∩B. Podemos pues concluir que A∩B=B∩AA∩B=B∩A.
5. LEY DISTRIBUTIVA
Tiene también dos formas de expresión: De la unión respecto de la intersección:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
De la intersección respecto de la unión: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Estas dos propiedades comunes a las dos operaciones nos indican que ambas
tienen la misma fuerza, existe entre ellas una completa analogía.
Ejemplo:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), y por tanto:
A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y por tanto:
A ∩ (A ∪ B) = A
6. LEY DE MORGAN
En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De Morgan son un par
de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas. Las
normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en
términos de sí vía negación.
(A U B)' = A' ∩ B'
(A ∩ B)' = A' U B'
Ejemplo:
Demostrar que : (A U B)` = A` ∩ B`
Para resolver el primer ejercicio hay que demostrar que la igualdad se
cumple.
Para esto aplicamos Morgan en alguno de los dos miembros.
Vamos a aplicarlo en el primer miembro
(A U B)` = A` ∩ B` : Aplico Morgan 1 miembro.
A' ∩ B' = A' ∩ B' : Se demuestra que la igualdad se cumple .
