El documento se centra en las transformaciones lineales dentro del álgebra lineal, definiendo y ejemplificando conceptos como la transformación matricial, su núcleo y rango. Se discuten las propiedades de estas transformaciones, así como las condiciones necesarias para que sean consideradas lineales. Además, se presentan ejemplos específicos para ilustrar la teoría y se establecen relaciones entre vectores y matrices.

1. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
Departamento
de
Matem´aticas
Intro
T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
Algebra Lineal:
Transformaciones Lineales
Departamento de Matem´aticas

2. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
Departamento
de
Matem´aticas
Intro
T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
Introducci´on
Desde el punto de vista del Algebra Lineal, las funciones m´as
importantes son las que preservan las combinaciones lineales.
Estas funciones se llamar´an Transformaciones Lineales. Es esta
presentaci´on se tratan con los elementos b´asicos asociados a
este tipo de funciones.

3. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
Departamento
de
Matem´aticas
Intro
T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
Transformaci´on Matricial
Dada una matriz A m × n no necesariamente cuadrada,
definiremos la funci´on TA que tiene como dominio a Rn y
como codominio a Rm :es decir, la funci´on va de Rn a Rm de la
siguiente manera:
TA : Rn → Rm
x → A · x
Es decir, la funci´on consiste en multiplicar el vector x, que
representa la entrada, por la matriz A.
La funci´on TA se conoce como la Transformaci´on Matricial
asociada a A.
Diremos que una funci´on F que va de Rn a Rm es una
transformaci´on matricial si existe una matriz A n × m tal que
F(x) = A · x.

4. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
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de
Matem´aticas
Intro
T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
Ejemplo
Tomemos la matriz A =
2 1
−1 1
. La transformaci´on
matricial asociada a A va de R2 (Porque la matriz tiene dos
columnas) a R2 (Porque la matriz tiene dos renglones)
La l´ogica es simple: para que un vector columna se pueda
multiplcar por A requiere tener dos componentes por que la
matriz tiene dos columnas, as´ı que su dominio es R2: Una vez
multiplicado el vector por la matriz el vector resultante tiene
dos componentes por que la matriz tiene dos renlones, as´ı que
el codominio es R2.
Calculemos
TA
1
2
=
2 1
−1 1
·
1
2
=
4
1
TA
1
−1
=
2 1
−1 1
·
1
−1
=
1
−2

5. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
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de
Matem´aticas
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T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
TA
1
2
=
4
1
, TA
1
−1
=
1
−2
TA
2
1
=
2 1
−1 1
·
2
1
=
5
−1
TA
−1
1
=
2 1
−1 1
·
−1
1
=
−1
2
O O
TA

6. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
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de
Matem´aticas
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T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
Propiedades
Si TA es una transformaci´on matricial, entonces:
• Se distribuye sobre una suma:
TA [x + y] = TA [x] + TA [y]
x
y
x + y
TA[x]
TA[y]
TA[x + y] = TA[x] + TA[y]
TA
• Preserva proporcionalidad y colinealidad:
TA [c · x] = c · TA [x]
x
c · x
TA[x]
TA[c · x] = c · TA [x]
TA

7. Algebra
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T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
Transformaci´on Lineal
Una funci´on T de Rn en Rm se dice funci´on lineal ´o
transformaci´on lineal ´o simplemente lineal si cumple:
• la propiedad de aditividad para funciones:
T [x + y] = T [x] + T [y]
• la propiedad de proporcionalidad para funciones:
T [c · x] = c · T [x]
Notas:
• De las definiciones y de las propiedades comentadas para
las transformaciones matriciales, las transformaciones
matriciales son transformaciones lineales.
• Toda transformaci´on lineal envia el vector cero en el vector
cero: T[0] = T[0 · 0] = 0 · T[0] = 0

8. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
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Matem´aticas
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T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
Demuestre que la tranformaci´on T : R2→R2 definida por
T
x
y
=
x + 3 y
x + 2 y
es lineal.
Soluci´on
Sean u =
x1
y1
y v =
x2
y2
.
Entonces
T[u + v] = T
x1
y1
+
x2
y2
= T
x1 + x2
y1 + y2
=
(x1 + x2) + 3 (y1 + y2)
(x1 + x2) + 2 (y1 + y2)
=
x1 + 3 y1
x1 + 2 y1
+
x2 + 3 y2
x2 + 2 y2
= T
x1
y1
+ T
x2
y2
= T[u] + T[v]

9. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
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Matem´aticas
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T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
Por otro lado, para todo escalar c,
T[c · u] = T
c x1
c y1
=
c x1 + 3 c y1
c x1 + 2 c y1
= c ·
x1 + 3 y1
x1 + 2y1
= c · T
x1
y1
= c · T[u]
Como se cumplen las dos condiciones:
T[u + v] = T[u] + T[v]
T[c · u] = c · T[u]
T es lineal

10. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
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Matem´aticas
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T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
Demuestre que la transformaci´on T : R3→R2 es lineal:
T[(x, y, z) ] = (x + z, y − z)
Soluci´on
Sean u = (x1, y1, z1) y v = (x2, y2, z2) . Entonces
T[u + v] = T[(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ]
= ((x1 + x2) + (z1 + z2), (y1 + y2) − (z1 + z2))
= (x1 + z1, y1 − z1) + (x2 + z2, y2 − z2)
= T[u] + T[v]
Por otro lado, para todo escalar c,
T[c · u] = T[(c x1, c y1, c z1) ] = (c x1 + c z1, c y1 − c z1)
= c · (x1 + z1, y1 − z1) = c · T[(x1, y1, z1) ]
= c · T[u]

11. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
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T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
N´ucleo de una Tranformaci´on Lineal
Sea T una transformaci´on lineal de Rn en Rm. El n´ucleo T es
el subconjunto formado por todos los vectores en Rn que se
mapean a cero en Rm:
Ker(T) = {v ∈ Rn
| T[v] = 0 ∈ Rm
}

12. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
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Matem´aticas
Intro
T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
Indique cu´ales opciones contienen un vector en el n´ucleo de la
transformaci´on de R3 en R3 definida como
T




x
y
z



 =


−2 x + 3 z
−23 x − 15 y − 18 z
−5 x − 3 y − 3 z


dentro de las opciones:
1. v1 = (0, 0, 0)
2. v2 = (12, −28, 8)
3. v3 = (1, −2, 1)
4. v4 = (3, −7, 2)
5. v5 = (2, −4, −4)
6. v6 = (9, −18, −15)

13. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
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Matem´aticas
Intro
T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
Antes de pasar a la verificaci´on, es conveniente observar que es
posible encontrar una matriz A tal que T[x] = A · x. Es decir,
aplicar T a un vector x es equivalente a multiplicar por una
cierta matriz A al vector x. Empecemos con la dimensi´on de A:
como A se multiplica por la izquierda de x y x ∈ R3 entonces el
n´umero de columnas de A es 3. Por otro lado, como el
resultado A · x es un vector de R3, entonces el n´umero de
renglones de A es 3. Si requerimos que


−2 x + 3 z
−23 x − 15 y − 18 z
−5 x − 3 y − 3 z

 =






x
y
z



14. Algebra
Lineal:
Transformaciones
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T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
No es dif´ıcil ver


−2 x + 3 z
−23 x − 15 y − 18 z
−5 x − 3 y − 3 z

 =


−2 0 3
−23 −15 −18
−5 −3 −3




x
y
z


es decir que
A =


−2 0 3
−23 −15 −18
−5 −3 −3


es la matriz que hace que T sea la transformaci´on matricial
asociada a A.

15. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
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Intro
T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
El vector v1 est´a en el n´ucleo de T debido a que
T[v1] = A·v1 =


−2 0 3
−23 −15 −18
−5 −3 −3

·


0
0
0

 =


0
0
0

 = 0
El vector v2 est´a en el n´ucleo de T debido a que
T[v2] = A·v2 =


−2 0 3
−23 −15 −18
−5 −3 −3

·


12
−28
8

 =


0
0
0

 = 0
El vector v3 no est´a en el n´ucleo de T debido a que
T[v3] = Av3 =


−2 0 3
−23 −15 −18
−5 −3 −3

·


1
−2
1

 =


1
−11
−2

 = 0

16. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
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de
Matem´aticas
Intro
T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
El vector v4 est´a en el n´ucleo de T debido a que
T[v4] =


−2 0 3
−23 −15 −18
−5 −3 −3

 ·


3
−7
2

 =


0
0
0

 = 0
El vector v5 no est´a en el n´ucleo de T debido a que
T[v5] =


−2 0 3
−23 −15 −18
−5 −3 −3

 ·


2
−4
−4

 =


−16
86
14

 = 0
El vector v6 no est´a en el n´ucleo de T debido a que
T[v6] =


−2 0 3
−23 −15 −18
−5 −3 −3

·


9
−18
−15

 =


−63
−333
−54

 = 0

17. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
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de
Matem´aticas
Intro
T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
Determine el n´ucleo de la transformaci´on de R3 en R3 definida
como
T




x
y
z



 =


−2 x + 3 z
−23 x − 15 y − 18 z
−5 x − 3 y − 3 z


Un vector v = (a, b, c) pertenece al n´ucleo de T si T(v) = 0,
es decir si:
T[(a, b, c) ] =


−2 a + 3 c
−23 a − 15 b − 18 c
−5 a − 3 b − 3 c

 = 0 ( en R3
)
Por lo tanto, para pertenecer al n´ucleo debe cumplirse
−2 a + 3 c = 0
−23 a − 15 b − 18 c = 0
−5 a − 3 b − 3 c = 0

18. Algebra
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T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
Reduciendo tenemos:
a − 3/2 c = 0
b + 7/2 c = 0
Es decir


a
b
c

 =


3/2 c
−7/2 c
c

 = c


3/2
−7/2
1

 , c libre
Observe que el n´ucleo de T en este caso es un espacio
generado:
Ker(T) = Gen





3/2
−7/2
1





Adem´as, la dimensi´on de Ker(T) es 1, lo cual coincide con el
n´umero de columnas sin pivote en la reducida de A (La matriz
que define a la transformaci´on T). Geom´etricamente en R3
este generado corresponde a la l´ınea que pasa por el origen y
con vector de direcci´on (3/2, −7/2, 1) que es:
x
3/2
=
y
−7/2
=
z
1

19. Algebra
Lineal:
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T. Lineal
N´ucleo
Rango
El Rango de una Transformaci´on Lineal
Sea T : Rn → Rm una transformaci´on lineal. El rango o
imagen de T es el conjunto de todas las im´agenes de T en Rm:
R(T) = {w ∈ Rm
|w = T[v] para alg´un v ∈ Rn
}
Es decir, el rango es el subconjunto de Rm formado por
aquellos vectores que provienen de alg´un vector de Rn.

20. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
Departamento
de
Matem´aticas
Intro
T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
Indique cu´ales opciones contienen un vector en la imagen de la
transformaci´on de R3 en R3 definida como
T




x
y
z



 =


2 x + 5 y + z
8 x + 12 y + 6 z
−4 x − 2 y − 4 z


dentro de las opciones:
1. v1 = (0, 0, 0)
2. v2 = (2, 8, −4)
3. v3 = (−23, −52, 6)
4. v4 = (5, 12, −2)
5. v5 = (−3, 1, −1)

21. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
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Matem´aticas
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T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
El vector v1 = (0, 0, 0) de R3 est´a en la imagen de T si existe
un vector (a, b, c) en R3 tal que T[(a, b, c) ] = v1. Es decir, si
es consistente el sistema
2 a + 5 b + c = 0
8 a + 12 b + 6 c = 0
−4 a − 2 b − 4 c = 0
Pero este sistema por ser homog´eno es consistente. Por tanto
el vector v1 s´ı est´a en la imagen de T.

22. Algebra
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Intro
T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
El vector v2 = (2, 8, −4) de R3 est´a en la imagen de T si
existe un vector (a, b, c) en R3 tal que T[(a, b, c) ] = v2. Es
decir, si es consistente el sistema:
2 a + 5 b + c = 2
8 a + 12 b + 6 c = 8
−4 a − 2 b − 4 c = −4
Al reducir la matriz aumentada se obtiene:


1 0 9/8 1
0 1 −1/4 0
0 0 0 0


por ser consistente el sistema, el vector v2 s´ı est´a en la imagen
de T.

23. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
Departamento
de
Matem´aticas
Intro
T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
El vector v3 = (−23, −52, 6) de R3 est´a en la imagen de T si
existe un vector (a, b, c) en R3 tal que T[(a, b, c) ] = v3. Es
decir, si es consistente el sistema:
2 a + 5 b + c = −23
8 a + 12 b + 6 c = −52
−4 a − 2 b − 4 c = 6
Al reducir la matriz aumentada se obtiene:


1 0 9/8 1
0 1 −1/4 −5
0 0 0 0


por ser consistente el sistema, el vector v3 s´ı est´a en la imagen
de T.

24. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
Departamento
de
Matem´aticas
Intro
T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
El vector v4 = (5, 12, −2) de R3 est´a en la imagen de T si
existe un vector (a, b, c) en R3 tal que T[(a, b, c) ] = v4 es
decir si es consistente el sistema:
2 a + 5 b + c = 5
8 a + 12 b + 6 c = 12
−4 a − 2 b − 4 c = −2
Al reducir la matriz aumentada se obtiene:


1 0 9/8 0
0 1 −1/4 1
0 0 0 0


por ser consistente el sistema, el vector v4 s´ı est´a en la imagen
de T.

25. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
Departamento
de
Matem´aticas
Intro
T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
El vector v5 = (−3, 1, −1) de R3 de est´a en la imagen de T si
existe un vector (a, b, c) en R3 tal que T[(a, b, c) ] = v5 es
decir si es consistente el sistema:
2 a + 5 b + c = −3
8 a + 12 b + 6 c = 1
−4 a − 2 b − 4 c = −1
Al reducir la matriz aumentada se obtiene:


1 0 9/8 0
0 1 −1/4 0
0 0 0 1


por ser inconsistente el sistema, el vector v5 no est´a en la
imagen de T

26. Algebra
Lineal:
Transformaciones
Lineales
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Intro
T. Matricial
T. Lineal
N´ucleo
Rango
Determine la imagen de la transformaci´on lineal de R3 en R3
definida como
T




x
y
z



 =


2 x + 5 y + z
8 x + 12 y + 6 z
−4 x − 2 y − 4 z


El vector v = (a, b, c) de R3 de est´a en la imagen de T si
existe un vector (x, y, z) en R3 tal que T[(x, y, z) ] = v es
decir si es consistente el sistema
2 x + 5 y + z = a
8 x + 12 y + 6 z = b
−4 x − 2 y − 4 z = c
Al formar la matriz aumentada y escalonar se obtiene:


2 5 1 a
0 −8 2 −4 a + b
0 0 0 −2 a + b + c



27. Algebra
Lineal:
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Lineales
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T. Matricial
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N´ucleo
Rango
Por tanto, (a, b, c) est´a en la imagen de T ssi el sistema
anterior es consistente ssi −2 a + b + c = 0. Esto ocurrir´a si y
s´olo si a = 1/2 b + 1/2 c. Es decir, (a, b, c) est´a en la imagen
de T si y s´olo si


a
b
c

 =


1/2 b + 1/2 c
b
c

 = b


1/2
1
0

 + c


1/2
0
1


Por tanto,
R(T) = Gen





1/2
1
0

 ,


1/2
0
1





Geom´etricamente, R(T) es el plano 2 a − b − c = 0 (o
2 x − y − z = 0) en R3

28. Algebra
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T. Lineal
N´ucleo
Rango
Notas
• La funci´on traslaci´on Tpo : Rn → Rn definida como
T[x] = x + Po no es una transformaci´on lineal.
• Por ello es que conviene definir las coordenadas
homog´eneas: Todo punto de (x, y) de R2 se mapea en el
punto (x, y, 1) de R3. Se dice que para k = 0, los puntos
(x, y, 1) y (k · x, k · y, k) representan el mismo punto
(x, y) del plano.
• Con las coordenadas homog´eneas, la traslaci´on es una
transformaci´on matricial:
T




x
y
1



 =


1 0 c1
0 1 c2
0 0 1

 ·


x
y
1

 =


x + c1
y + c2
1



29. Algebra
Lineal:
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Matem´aticas
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T. Lineal
N´ucleo
Rango
En coordenadas homog´eneas de R2:
• Las rotaciones son:
T




x
y
1



 =


cos (θ) −sen (θ) 0
sen (θ) cos (θ) 0
0 0 1

 ·


x
y
1


• Las homotecias que tienen factor de amplificaci´on k y
punto fijo (cx , cy ) tienen la forma:
T




x
y
1



 =


k 0 (1 − k) · cx
0 k (1 − k) · cy
0 0 1

 ·


x
y
1


Referencia WEB (Ojo: en el producto la matriz la usan por la
derecha!)