![Bn =
2𝑊0
𝐿2
[𝑥 ∗ −
𝐿 cos(
𝑛𝜋
𝐿
𝑥)
𝑛𝜋
− ∫−
𝐿 cos (
𝑛𝜋
𝐿
𝑥)
𝑛𝜋
𝑑𝑥] 𝟎
𝑳
Bn =
2𝑊0
𝐿2
[−
𝐿𝑥 cos(
𝑛𝜋
𝐿
𝑥)
𝑛𝜋
+
𝐿2
sen(
𝑛𝜋
𝐿
𝑥)
𝑛2 𝜋2
] 𝟎
𝑳
Bn =
2𝑊0
𝐿2
[−
𝐿𝑥 cos(
𝑛𝜋
𝐿
𝑥)
𝑛𝜋
+
𝐿2
sen(
𝑛𝜋
𝐿
𝑥)
𝑛2 𝜋2
−(−
𝐿𝑥 cos(
𝑛𝜋
𝐿
𝑥)
𝑛𝜋
+
𝐿2
sen(
𝑛𝜋
𝐿
𝑥)
𝑛2 𝜋2
)] 𝟎
𝑳
Bn =
2𝑊0
𝐿2
[−
𝐿 ∗ 𝐿 cos(
𝑛𝜋
𝐿
𝐿)
𝑛𝜋
+
𝐿2
sen (
𝑛𝜋
𝐿
𝐿)
𝑛2 𝜋2
− (−
𝐿 ∗ 0 cos(
𝑛𝜋
𝐿
0)
𝑛𝜋
+
𝐿2
sen (
𝑛𝜋
𝐿
0)
𝑛2 𝜋2
)]
Ya que sen( 𝑛𝜋) = 0, cos( 𝑛𝜋) = (−1) 𝑛
,sen(0) = 0, 0cos(0) = 0
Bn =
2𝑊0
𝐿2
[−
𝐿 ∗ 𝐿 cos(
𝑛𝜋
𝐿
𝐿)
𝑛𝜋
]
Bn =
2𝑊0
𝐿2
[−
𝐿2
cos( 𝑛𝜋)
𝑛𝜋
]
Bn =
2𝑊0
𝐿2
[−
𝐿2
(−1) 𝑛
𝑛𝜋
]
𝐁𝐧 = −
𝟐𝑾 𝟎(−𝟏) 𝒏
𝒏𝝅
En valor de Bn se sustituye en:
𝑭( 𝒙) = ∑ 𝑩𝒏𝒔𝒆𝒏(
∞
𝒏=𝟏
𝒏𝝅
𝑷
𝒙)
𝑭( 𝒙) = ∑ −
𝟐𝑾 𝟎(−𝟏) 𝒏
𝒏𝝅
𝒔𝒆𝒏(
∞
𝒏=𝟏
𝒏𝝅
𝑳
𝒙)
Serie de cosenos, solo se calculará A0 y An.
𝑨𝟎 =
𝟐
𝑷
∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙
𝑷
𝟎](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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- 1. Suponga que una viga uniforme de longitud L esta simplemente apoyada en x=0 y x=L. Cuando la carga por unidad de longitud es w(x) = 𝑊0 𝑥 𝐿 , 0 < 𝑥 < 𝐿 , la ecuación diferencial de la flecha (desviación) y(x) de esa viga es: 𝐸𝑙 𝑑4 𝑦 𝑑𝑥4 = 𝑤0 𝑥 𝐿 En qué E, l y 𝑤0 son constantes. A. w(x) en forma de una serie de senos y cosenos en medio intervalo. B. Halle una solución particular y(x) de la ecuación diferencial. C. ¿Exacta o aproximación? D. ¿Por qué? E. ¿Qué pasa con los cosenos? Desarrollo A) Serie de senos, se calculará Bn. 𝐁𝐧 = 𝟐 𝑷 ∫ 𝒇( 𝒕) 𝒔𝒆𝒏( 𝒏𝝅 𝑷 𝒙)𝒅𝒙 𝑷 𝟎 Tenemos que P=L, entonces Bn = 2 𝐿 ∫ 𝑊0 𝑥 𝐿 ∗ 𝑠𝑒𝑛( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥)𝑑𝑥 𝐿 0 Bn = 2 𝐿 ∗ 𝑊0 𝐿 ∫ 𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥)𝑑𝑥 𝐿 0 Bn = 2𝑊0 𝐿2 ∫ 𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥)𝑑𝑥 𝐿 0 Se integra por partes ∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗𝒅𝒖 𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 = − cos( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛𝜋 𝐿 = − 𝐿 cos( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛𝜋 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥)𝑑𝑥
- 2. Bn = 2𝑊0 𝐿2 [𝑥 ∗ − 𝐿 cos( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛𝜋 − ∫− 𝐿 cos ( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛𝜋 𝑑𝑥] 𝟎 𝑳 Bn = 2𝑊0 𝐿2 [− 𝐿𝑥 cos( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛𝜋 + 𝐿2 sen( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛2 𝜋2 ] 𝟎 𝑳 Bn = 2𝑊0 𝐿2 [− 𝐿𝑥 cos( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛𝜋 + 𝐿2 sen( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛2 𝜋2 −(− 𝐿𝑥 cos( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛𝜋 + 𝐿2 sen( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛2 𝜋2 )] 𝟎 𝑳 Bn = 2𝑊0 𝐿2 [− 𝐿 ∗ 𝐿 cos( 𝑛𝜋 𝐿 𝐿) 𝑛𝜋 + 𝐿2 sen ( 𝑛𝜋 𝐿 𝐿) 𝑛2 𝜋2 − (− 𝐿 ∗ 0 cos( 𝑛𝜋 𝐿 0) 𝑛𝜋 + 𝐿2 sen ( 𝑛𝜋 𝐿 0) 𝑛2 𝜋2 )] Ya que sen( 𝑛𝜋) = 0, cos( 𝑛𝜋) = (−1) 𝑛 ,sen(0) = 0, 0cos(0) = 0 Bn = 2𝑊0 𝐿2 [− 𝐿 ∗ 𝐿 cos( 𝑛𝜋 𝐿 𝐿) 𝑛𝜋 ] Bn = 2𝑊0 𝐿2 [− 𝐿2 cos( 𝑛𝜋) 𝑛𝜋 ] Bn = 2𝑊0 𝐿2 [− 𝐿2 (−1) 𝑛 𝑛𝜋 ] 𝐁𝐧 = − 𝟐𝑾 𝟎(−𝟏) 𝒏 𝒏𝝅 En valor de Bn se sustituye en: 𝑭( 𝒙) = ∑ 𝑩𝒏𝒔𝒆𝒏( ∞ 𝒏=𝟏 𝒏𝝅 𝑷 𝒙) 𝑭( 𝒙) = ∑ − 𝟐𝑾 𝟎(−𝟏) 𝒏 𝒏𝝅 𝒔𝒆𝒏( ∞ 𝒏=𝟏 𝒏𝝅 𝑳 𝒙) Serie de cosenos, solo se calculará A0 y An. 𝑨𝟎 = 𝟐 𝑷 ∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙 𝑷 𝟎
- 3. Ya que P=L 𝐴0 = 2 𝐿 ∫ 𝑊0 𝑥 𝐿 𝑑𝑥 𝐿 0 𝐴0 = 2 𝐿 ∗ 𝑊0 𝐿 ∫ 𝑥𝑑𝑥 𝐿 0 𝐴0 = 2𝑊0 𝐿2 ∫ 𝑥𝑑𝑥 𝐿 0 𝐴0 = 2𝑊0 𝐿2 [ 𝑥2 2 ]0 𝐿 𝐴0 = 2𝑊0 𝐿2 [ 𝐿2 2 − 02 2 ] 𝐴0 = 2𝑊0 𝐿2 [ 𝐿2 2 ] 𝐴0 = 2𝑊0 𝐿2 [ 𝐿2 2 ] 𝑨𝟎 = 𝑾 𝟎 𝑨𝒏 = 𝟐 𝑷 ∫ 𝒇( 𝒙) 𝒄𝒐𝒔( 𝒏𝝅 𝑷 𝒙)𝒅𝒙 𝑷 𝟎 Ya que P=L 𝐴𝑛 = 2 𝐿 ∫ 𝑊0 𝑥 𝐿 𝑐𝑜𝑠( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥)𝑑𝑥 𝐿 0 𝐴𝑛 = 2 𝐿 ∗ 𝑊0 𝐿 ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥)𝑑𝑥 𝐿 0 𝐴𝑛 = 2𝑊0 𝐿2 ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥)𝑑𝑥 𝐿 0 Se integra por partes ∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗𝒅𝒖 𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
- 4. 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛𝜋 𝐿 = 𝐿𝑠𝑒𝑛( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛𝜋 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝐴𝑛 = 2𝑊0 𝐿2 [𝑥 ∗ 𝐿𝑠𝑒𝑛 ( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛𝜋 − ∫ 𝐿𝑠𝑒𝑛 ( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛𝜋 𝑑𝑥] 0 𝐿 𝐴𝑛 = 2𝑊0 𝐿2 [ 𝐿𝑥𝑠𝑒𝑛 ( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛𝜋 + 𝐿2 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛2 𝜋2 ] 0 𝐿 𝐴𝑛 = 2𝑊0 𝐿2 [ 𝐿𝑥𝑠𝑒𝑛 ( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛𝜋 + 𝐿2 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛2 𝜋2 − ( 𝐿𝑥𝑠𝑒𝑛( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛𝜋 + 𝐿2 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝑛2 𝜋2 )] 0 𝐿 𝐴𝑛 = 2𝑊0 𝐿2 [ 𝐿 ∗ 𝐿𝑠𝑒𝑛 ( 𝑛𝜋 𝐿 𝐿) 𝑛𝜋 + 𝐿2 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑛𝜋 𝐿 𝐿) 𝑛2 𝜋2 − ( 𝐿 ∗ 0𝑠𝑒𝑛 ( 𝑛𝜋 𝐿 0) 𝑛𝜋 + 𝐿2 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑛𝜋 𝐿 0) 𝑛2 𝜋2 )] Ya que sen( 𝑛𝜋) = 0, cos( 𝑛𝜋) = (−1) 𝑛 ,0 sen( 𝑛𝜋 𝐿 0) = 0, cos(0) = 1 𝐴𝑛 = 2𝑊0 𝐿2 [ 𝐿2 𝑐𝑜𝑠( 𝑛𝜋) 𝑛2 𝜋2 − 𝐿2 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑛𝜋 𝐿 0) 𝑛2 𝜋2 ] 𝐴𝑛 = 2𝑊0 𝐿2 [ 𝐿2 (−1) 𝑛 𝑛2 𝜋2 − 𝐿2 𝑛2 𝜋2 ] 𝐴𝑛 = 2𝑊0 [ (−1) 𝑛 𝑛2 𝜋2 − 1 𝑛2 𝜋2 ] 𝐴𝑛 = 2𝑊0 [ (−1) 𝑛 − 1 𝑛2 𝜋2 ] 𝑨𝒏 = 𝟐𝑾 𝟎((−𝟏) 𝒏 − 𝟏) 𝒏 𝟐 𝝅 𝟐 Ya con los valores de A0 y An calculados se pueden sustituir en: 𝒇( 𝒕) = 𝑨𝟎 𝟐 + ∑ 𝑨𝒏𝒄𝒐𝒔( ∞ 𝒏=𝟏 𝒏𝝅 𝑷 𝒙)
- 5. 𝑨𝟎 = 𝑾 𝟎 𝑨𝒏 = 𝟐𝑾 𝟎((−𝟏) 𝒏 −𝟏) 𝒏 𝟐 𝝅 𝟐 𝑭( 𝒙) = 𝑾 𝟎 𝟐 + ∑ 𝟐𝑾 𝟎((−𝟏) 𝒏 − 𝟏) 𝒏 𝟐 𝝅 𝟐 𝒄𝒐𝒔( ∞ 𝒏=𝟏 𝒏𝝅 𝑳 𝒙) Solución A) Serie de senos 𝑭( 𝒙) = ∑ − 𝟐𝑾 𝟎(−𝟏) 𝒏 𝒏𝝅 𝒔𝒆𝒏( ∞ 𝒏=𝟏 𝒏𝝅 𝑳 𝒙) Serie de cosenos 𝑭( 𝒙) = 𝑾 𝟎 𝟐 + ∑ 𝟐𝑾 𝟎((−𝟏) 𝒏 − 𝟏) 𝒏 𝟐 𝝅 𝟐 𝒄𝒐𝒔( ∞ 𝒏=𝟏 𝒏𝝅 𝑳 𝒙) Ya que la función es impar, la función de senos refleja mas su comportamiento, ya que la de cosenos nos daría un comportamiento muy distinto después del intervalo que se establezca haciendo más inexacta la respuesta que se obtenga si se quiere hacer alguna cosa con esa serie de cosenos. Por esto para buscar la solución particular y(x) se usará la serie de senos. B) Para encontrar la solución particular y(x) se ocuparán las siguientes expresiones: 𝒚( 𝒙) = ∑ 𝑩𝒏𝒔𝒊𝒏( ∞ 𝒏=𝟏 𝒏𝝅 𝑷 𝒙) 𝒚( 𝒙)′ = 𝒏𝝅 𝑷 ∑ 𝑩𝒏𝒔𝒊𝒏( ∞ 𝒏=𝟏 𝒏𝝅 𝑷 𝒙) 𝒚( 𝒙)′′ = 𝒏 𝟐 𝝅 𝟐 𝑷 𝟐 ∑ 𝑩𝒏𝒔𝒊𝒏( ∞ 𝒏=𝟏 𝒏𝝅 𝑷 𝒙) 𝒚( 𝒙)′′′ = 𝒏 𝟑 𝝅 𝟑 𝑷 𝟑 ∑ 𝑩𝒏𝒔𝒊𝒏( ∞ 𝒏=𝟏 𝒏𝝅 𝑷 𝒙) 𝒚( 𝒙)′′′′ = 𝒏 𝟒 𝝅 𝟒 𝑷 𝟒 ∑ 𝑩𝒏𝒔𝒊𝒏( ∞ 𝒏=𝟏 𝒏𝝅 𝑷 𝒙)
- 6. De la ecuación 𝐸𝑙 𝑑4 𝑦 𝑑𝑥4 = 𝑤0 𝑥 𝐿 podemos reescribirla de la siguiente manera: 𝐸𝑙𝑦(𝑥)′′′′ = 𝐹( 𝑥) Sustituimos los valores que corresponden en y(x)’’’’ y F(x). 𝐸𝑙( 𝑛4 𝜋4 𝐿4 ∑ 𝐵𝑛𝑠𝑖𝑛( ∞ 𝑛=1 𝑛𝜋 𝐿 𝑥)) = ∑ − 2𝑊0(−1) 𝑛 𝑛𝜋 𝑠𝑒𝑛( ∞ 𝑛=1 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) ∑ 𝐸𝑙 𝑛4 𝜋4 𝐿4 𝐵𝑛𝑠𝑒𝑛( ∞ 𝑛=1 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) = ∑ − 2𝑊0 (−1) 𝑛 𝑛𝜋 𝑠𝑒𝑛( ∞ 𝑛=1 𝑛𝜋 𝐿 𝑥) 𝐸𝑙 𝑛4 𝜋4 𝐿4 𝐵𝑛 = − 2𝑊0 (−1) 𝑛 𝑛𝜋 𝐵𝑛 = − 2𝑊0 (−1) 𝑛 𝑛𝜋 ∗ 𝐸𝑙 𝑛4 𝜋4 𝐿4 𝐵𝑛 = − 2𝑊0(−1) 𝑛 𝐸𝑙𝑛5 𝜋5 𝐿4 𝑩𝒏 = − 𝟐𝑾 𝟎 𝑳 𝟒 (−𝟏) 𝒏 𝑬𝒍𝒏 𝟓 𝝅 𝟓 Entonces se sustituye en: 𝒚( 𝒙) = ∑ 𝑩𝒏𝒔𝒊𝒏( ∞ 𝒏=𝟏 𝒏𝝅 𝑷 𝒙) Solución B) 𝒚( 𝒙) = ∑ − 𝟐𝑾 𝟎 𝑳 𝟒 (−𝟏) 𝒏 𝑬𝒍𝒏 𝟓 𝝅 𝟓 𝒔𝒊𝒏( ∞ 𝒏=𝟏 𝒏𝝅 𝑳 𝒙) Respuesta C) ¿Exacta o aproximación? Es una aproximación.
- 7. Respuesta D) ¿Por qué? Porque depende de cuantas sumatorias se utilicen para darle respuesta, entre más se hagan más exacta será la respuesta. Respuesta E) ¿Qué pasa con los cosenos? Como no reflejan tan exactamente la función, en caso de que se tratara de una serie que tuviera que reflejar ese comportamiento. Además, como se trata de una viga, cuando tome en trato de x=0 en cos ( 𝜋𝑛 𝑙 0) =1, seria muy inexacto en ese caso. Dibujar una viga como la que el profe