material para inicio universitario

1. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Geometría en el espacio
Planos y Rectas
Laura Hidalgo Solís
Universidad Autónoma Metropolitana
Unidad Iztapalapa
19 de Marzo de 2012

2. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Planos en el espacio
Anteriormente vimos que es posible encontrar un número
infinito de vectores, no paralelos entre si, que sean
perpendiculares a un vector dado en R3, y que las
representaciones geométricas ordinarias de estos vectores
estén en el mismo plano. Usando éstos hechos se puede
especificar un plano en el espacio.
Plano
Si P es un plano y S un punto en P, y si n es un vector no
nulo cuya representación geométrica es perpendicular a P,
entonces un punto U(x, y, z) está sobre P si y sólo si
(u − s) · n = 0 (1)
La ecuación 1 es una ecuación del plano P.

3. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
 

P

4. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Puesto que U(x, y, z) es cualquier punto de P, la ecuación
1 es simplemente una afirmación de que el vector n tiene
una representación geométrica que es perpendicular a todo
vector geométrico cuyo punto inicial sea S y este sobre P.
Un vector no nulo perpendicular a un plano P recibe el
nombre de vector normal a P.
Si U(x, y, z), n = (A, B, C) y s · n = −D, la ecuación 1
puede reescribirse como
AX + BY + CZ + D = 0 (2)

5. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Nótese que la ecuación Ax + By + Cz = D es una ecuación
de primer grado con respecto a las variables x, y, z, y que
los coeficientes de estas variables son las componentes
respectivas del vector normal n.
Recíprocamente, si T(x2, y2, z2) es un punto cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación 2 y, por tanto, a la
ecuación 1, se verifica que
A(x2 − x1) + B(y2 − y1) + C(z2 − z1) = 0
y como esta igualdad establece que la recta , que pasa
por los puntos T y S es perpendicular al vector normal n y,
por tanto, está sobre el plano P, resulta que el punto T que
está sobre está también sobre el plano. Por tanto, la
ecuación 2 es la ecuación del plano. Se le llama la ecuación
cartesiana general del plano .

6. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Esto es:
Teorema
La ecuación general de un plano es de la forma
Ax + By + Cz + D = 0,
en donde A, B, C y D son constantes, y n = (A, B, C) son es
su vector normal.
Reciprocamente:
Teorema
Toda ecuación lineal de la forma
Ax + By + Cz + D = 0
en la que por lo menos uno de los tres coeficientes A, B y C
es diferente de cero, representa un plano cuyo vector
normal es n = (A, B, C).

7. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Ejemplo 1
Podemos obtener la ecuación cartesiana del plano que
pasa por S(1, 2, 3) y tiene vector normal n = (−1, 3, 5)
como sigue:
De la ecuación 1 tenemos:
(u − s) · n = 0 o equivalentemente, u · n = s · n
Si U(x, y, z), sustituyendo los valores tenemos
−x + 3y + 5z = −1 + 6 + 15 = 20
Por lo que, la ecuación cartesiana del plano que pasa por
S(1, 2, 3) y tiene vector normal n = (−1, 3, 5) está dada
como
−x + 3y + 5z = 20

8. Geometría en
el espacio
Laura
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Ejemplo 2
De geometría euclidiana sabemos que tres puntos no
colineales determinan un plano, si A(3, 4, 1), B(−1, −2, 5) y
C(1, 7, 1) podemos encontrar la ecuación del plano P que
contiene a estos puntos de, al menos, dos formas distintas.
Primeramente, sean v1 = b − a = (−4, −6, 4),
v2 = c − a = (−2, 3, 0).
entonces
n = v1 × v2 =
i j k
−4 −6 4
−2 3 0
= (−12, −8, −24)
de donde, una ecuación de P es
−12x − 8y − 24z = (3, 4, 1) · (−12, −8 − 24) = −92
o equivalentemente
3x + 2y + 6z = 23

9. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Nuesto segundo método, como A, B y C no son colineales,
estos se encuentran en un plano, cuya ecuación es de la
forma
Ax + By + Cz + D = 0
y por tanto, satisfacen esta ecuación, es decir,
3A + 4B + C + D = 0
−A − 2B + 5C + D = 0
A + 7B + C + D = 0
Resolviendo este sistema de 3 ecuaciones en 4 variables
tenemos:
a =
3
2
t, b = t, c = 3t, d = −
23
2
t, t ∈ R.
Tomando b = 2, tenemos a = 3, c = 6 y d = −23, por lo
que, una ecuación para P es
3x + 2y + 6z − 23 = 0.

10. Geometría en
el espacio
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Definiciones
Si P1 es un plano con vector normal n1, y P2 es otro plano
con vector normal n2, entonces
1 P1 y P2 son paralelos si y sólo si n1 × n2 = 0.
2 P1 y P2 son perpendiculares si y sólo si n1 · n2 = 0.
Obsérvese que de esta definición, todo plano es paralelo a
si mismo, ya que, para todo vector n se tiene que n × n = 0.

11. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Rectas en el espacio
Si S(x1, y1, z1) y T(x2, y2, z2) son dos puntos distintos, ellos
determinan una recta , así el vector
v = t − s = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) tiene una
representación geométrica que está sobre y que por lo
tanto es paralela a . Entonces el vector v = t − s es un
vector de dirección de .
Mediante un razonamiento análogo al realizado en R2
podemos demostrar que si U(x, y, z) representa un punto
en el espacio entonces
u = s + λ(t − s), λ ∈ R
es una ecuación paramétrica vectorial de .

12. Geometría en
el espacio
Laura
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Esto es, si U(x, y, z) es un punto en la recta , entonces el
vector w = u − s tiene una representación geométrica que
también está sobre , y por lo tanto, w es paralelo a v, esto
es, w = λv para algún λ ∈ R, es decir:
w = λv
u − s = λ(t − s)
∴ u = s + λ(t − s)
Así, podemos decir que la recta es
{U ∈ R3
; u = s + λ(t − s), λ ∈ R}
o equivalentemente
{U ∈ R3
; u = s + λv, λ ∈ R}

13. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio


14. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Así, una ecuación paramétrica vectorial de la recta que
pasa por S(x1, y1, z1) y T(x2, y2, z2) es:
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + λ(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
o bien
(x, y, z) = (x1 + λ(x2 − x1), y1 + λ(y2 − y1), z1 + λ(z2 − z1)
La recta tiene asociado el siguiente sistema de
ecuaciones paramétricas cartesianas:
x = x1 + λ(x2 − x1)
y = y1 + λ(y2 − y1)
z = z1 + λ(z2 − z1)

15. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Si las diferencias x2 − x1, y2 − y1, y z2 − z1 no son todas
cero entonces v = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) es un vector de
dirección de , y por lo tanto x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1 son
números directores de . Si x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1 son
todos distintos de cero entonces
x − x1
x2 − x1
=
y − y1
y2 − y1
=
z − z1
z2 − z1
son las ecuaciones simétricas de la recta dada. Si el
vector de dirección v se escribe como v = (v1, v2, v3)
entonces:
x − x1
v1
=
y − y1
v2
=
z − z1
v3
son las ecuaciones simétricas de .

16. Geometría en
el espacio
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Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Notamos que podemos reescribir las ecuaciones simétricas
de como:
x − x1
v1
=
y − y1
v2
x − x1
v1
=
z − z1
v3
o equivalentemente
v2x − v1y + (v2y1 − x1v1) = 0
v3x − v1z + (v3z1 − v1x1) = 0
Pero cada una de estas ecuaciones corresponde a un
plano, es decir, en R3 podemos visualizar una recta como la
intersección de dos planos.

17. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Si una recta es paralela a un eje de coordenadas, entonces
dos de los números directores son cero, y en lugar de las
ecuaciones simétricas se tiene simplemente las ecuaciones
que expresan las dos coordenadas constantes en cada
punto sobre la recta.
De esta manera,
1 si la recta que es paralela al eje z pasa por el punto
S(x1, y1, z1) la recta se puede especificar mediante las
ecuaciones
x = x1, y y = y1
2 si la recta que es paralela al eje y pasa por el punto
S(x1, y1, z1) la recta se puede especificar mediante las
ecuaciones
x = x1, y z = z1
3 si la recta que es paralela al eje x pasa por el punto
S(x1, y1, z1) la recta se puede especificar mediante las
ecuaciones
y = y1, y z = z1

18. Geometría en
el espacio
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Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Si una recta es paralela a un plano de coordenadas,
entonces uno de los números directores es cero, en este
caso tenemos sólo una ecuación simétrica, y la otra
ecuación expresa simplemente la coordenada constante de
un punto sobre la recta.
1 si la recta que es paralela al plano xy pasa por el punto
S(x1, y1, z1) la recta se puede especificar mediante las
ecuaciones
x − x1
v1
=
y − y1
v2
, y z = z1.
2 si la recta que es paralela al plano yz pasa por el punto
S(x1, y1, z1) la recta se puede especificar mediante las
ecuaciones
y − y1
v2
=
z − z1
v3
, y x = x1.
3 si la recta que es paralela al plano xz pasa por el punto
S(x1, y1, z1) la recta se puede especificar mediante las
ecuaciones
x − x1
v1
=
z − z1
v3
y y = y1.

19. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Ejemplo 1
Deseamos obtener las ecuaciones paramétrica vectorial, el
sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas y las
ecuaciones simétricas de la recta que pasa por los puntos
S(2, 3, −1) y T(1, 0, 3).
Como S = T, entonces v = t − s = (−1, −3, 4) es un vector
de dirección de .
Por lo que, un punto U(x, y, z) ∈ si, y sólo si
u = s − λv λ ∈ R
∴ (x, y, z) = (2, 3, −1) + λ(−1, −3, 4) λ ∈ R
es la ecuación paramétrica vectorial de la recta .

20. Geometría en
el espacio
Laura
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
La recta por S(2, 3, −1) y
T(1, 0, 3)

21. Geometría en
el espacio
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Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
De la ecuación (x, y, z) = (2, 3, −1) + λ(−1, −3, 4)
podemos deducir el sistema de ecuaciones paramétricas
cartesianas de la recta .
x = 2 − λ
y = 3 − 3λ
z = −1 + 4λ con λ ∈ R
Despejando el parámetro λ tenemos:
x − 2
−1
=
y − 3
−3
=
z + 1
4
= λ
obteniéndose así las ecuaciones simétricas de la recta .
x − 2
−1
=
y − 3
−3
=
z + 1
4

22. Geometría en
el espacio
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Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
De la igualdad
x − 2
−1
=
y − 3
−3
obtenemos la ecuación del
plano
3x − y − 3 = 0,
y de la igualdad
x − 2
−1
=
z + 1
4
obtenemos la ecuación del
plano
4x + z − 7 = 0.
Por lo que, en particular podemos ver a la recta como la
intersección de los planos 3x − y − 3 = 0 y 4x + z − 7 = 0.
También podemos usar la ecuación
y − 3
−3
=
z + 1
4
, por lo
que la recta también está sobre el plano
4y + 3z − 9 = 0.

23. Geometría en
el espacio
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Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
La recta por S(2, 3, −1) y T(1, 0, 3) vista como la
intersección de los planos 3x − y − 3 = 0 y 4x + z − 2 = 0.

24. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Ejemplo 2
Si S(1, 2, 3) y T(3, 4, 3), entonces v = t − s = (2, 2, 0), por
lo que, la ecuación paramétrica cartesiana de la recta que
pasa por S y T es
(x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(2, 2, 0)
El sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas está
dado por
x = 1 + 2λ, y = 2 + 2λ, z = 3
de donde,
x − 1
2
=
y − 2
2
, z = 3
Así, es la intersección de los planos
x − y + 1 = 0, z = 3

25. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
La recta por S(1, 2, 3) y
T(3, 4, 3)

26. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Ejemplo 3
Si S(2, 3, 4) y T(3, 3, 4), entonces v = t − s = (1, 0, 0), de
donde la ecuación paramétrica vectorial de la recta que
pasa por S y T está dada como
(x, y, z) = (2, 3, 4) + λ(1, 0, 0)
De aquí, deducimos el sistema de ecuaciones paramétricas
cartesianas
x = 2 + λ, y = 3, z = 4
de donde, podemos ver a como la intersección de los
planos y = 3 y z = 4.

27. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
La recta por S(2, 3, 4) y
T(3, 3, 4)

28. Geometría en
el espacio
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Rectas dirigidas
Tal como sucede en R2, si un vector v ∈ R2 es un vector de
dirección de una recta , entonces −v es también un vector
de dirección de y se puede considerar que la dirección de
es la de v o la de −v.
Cuando se asocia una recta , a un vector de dirección
particular v, se dice que es una recta dirigida, y que su
dirección es la de v.
Por ejemplo la recta que pasa por S(2, 3, −1) y que tiene
al vector v = (−1, −3, 4) como vector de dirección es la
misma recta que pasa por S y que tiene al vector
−v = (1, 3, −4), como vector de dirección; pero estas dos
descripciones de especifican dos rectas dirigidas distintas
puesto que sus sentidos son opuestos.

29. Geometría en
el espacio
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
El ángulo que forman dos rectas dirigidas se define como el
ángulo φ, con 0 ≤ φ ≤ π, que forman sus vectores de
dirección.
Nótese que esta definición se aplica a todas las rectas
dirigidas en el espacio, sin importar si se intersecan o no.
Por ejemplo, si 1 y 2 son las rectas cuyos vectores de
dirección son v1 = (−1, −1, 0) y v2 = (1, 1,
√
6,
respectivamente, entonces
cos φ =
v1 · v2
v1 v2
= −
1
2
de donde φ = 2π/3.

30. Geometría en
el espacio
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Una recta es paralela a un plano P, si y sólo si un vector
de dirección de es perpendicular a un vector normal a P.
Nótese que puede estar contenida en P.
Una recta es perpendicular a un palno P, si y sólo si un
vector de dirección de es paralelo a un vector normal de
P.
Definiciones
Si v es un vector de dirección de la recta y n es un vector
normal al plano P, entonces
1 es paralela a P si y sólo si v · n = 0
2 es perpendicular a P si y sólo si v × n = 0.

31. Geometría en
el espacio
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Recta paralela a un plano



32. Geometría en
el espacio
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Recta perpendicular a un
plano



33. Geometría en
el espacio
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Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Relaciones entre rectas y
planos
Al estudiar geometría notamos que dos planos dados o son
paralelos (coinciden o nunca se cortan), o se intersectan en
una recta.
Propiedad
Dos planos cuyos vectors normales no sean paralelos se
intersectan en una recta.
Esta recta recibe el nombre de recta de intersección de los
planos.

34. Geometría en
el espacio
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Si P1, P2 son tales planos, con vectores normales n1 y n2
respectivamente, entonces cualquier recta contenida en Pj
debe tener vector de dirección perpendicular a nj para
j = 1, 2. Por tanto, un vector de dirección v de la recta de
intersección de estos planos no paralelos debe ser
perpendicular a las normales a ambos planos, puesto que
el producto cruz de dos vectores dados es un vector
perpendicular a cada uno de los vectores dados, entonces
v = n1 × n2 es un vector de dirección de la recta de
intersección de dichos planos.

35. Geometría en
el espacio
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio Propiedad
Si n1 es un vector normal al plano P1 y v2 es un vector
normal al plano P2, y si P1 y P2 se intersectan en una recta
, entonces v = n1 × n2 es un vector de dirección de .
Si se desea determinar , entonces deberá obtenerse
además las coordenadas de un punto S en .

36. Geometría en
el espacio
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Ejemplo
Deseamos obtener una ecuación paramétrica vectorial de la
recta de intersección de los planos x + 2y − 6 = 0, z = 4.
Un vector normal al plano x + 2y − 6 = 0 es n1 = (1, 2, 0), y
un vector normal al plano z = 4 es n2 = (0, 0, 1), de donde,
un vector de dirección v de es
v =
i j k
1 2 0
0 0 1
= (2, −1, 0)
Una solución particular del sistema de ecuaciones
x + 2y = 6 z = 4
es S(6, 0, 4), por lo que, una ecuación paramétrica vectorial
de la recta es
: (x, y, z) = (6, 0, 4) + λ(2, −1, 0).

37. Geometría en
el espacio
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Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Existen varias relaciones posibles entre las posiciones
relativas y las intersecciones comunes de tres planos en el
espacio:
1 Si los tres planos son paralelos: entonces no existe
intersección común a menos que los tres planos
coincidan, en cuyo caso la intersección común es todo
el plano.
2 Si dos, pero no los tres, planos son paralelos entonces
no existe intersección común a menos que los dos
planos paralelos coincidan, en cuyo caso la
intersección común es una recta.
3 Si no hay un par de planos paralelos, pero sus rectas
de intersección (por pares) son paralelas, entonces no
existe intersección común, a menos que las rectas de
intersección coincidan, en cuyo caso la intersección
común es una recta.

38. Geometría en
el espacio
Laura
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
4 Si no hay ningún par de planos paralelos y sus rectas
de intersección no son paralelas, entonces los planos
se intersectan en un único punto.
En este caso, las coordenadas del punto se pueden
obtener resolviendo tres ecuaciones lineales
simultáneas, que representan a los planos.
Las intersecciones de un plano con los ejes de
coordenadas resultan también útiles para trazar una gráfica
del plano. Estas intersecciones tienen coordenadas de la
forma (a, 0, 0), (0, b, 0) y (0, 0, c), respectivamente. Puesto
que estas intersecciones son también los puntos donde las
trazas cortan a los ejes de coordenadas, se pueden
también emplear para trazar las gráficas de las trazas.

39. Geometría en
el espacio
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Intersecciones de rectas y
planos
Dados una recta y un plano en el espacio hay tres posibles
configuraciones:
1 La recta es paralela al plano pero no lo intersecta.
2 La recta es paralela al plano y está completamente
contenida en el plano.
3 La recta intersecta al plano en un sólo punto.
Pero la recta es paralela al plano si y sólo si un vector de
dirección de la recta es perpendicular a un vector normal
del plano.

40. Geometría en
el espacio
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Propiedad
Si no es paralela a P, entonces intersecta a P en un
sólo punto.
Si v es un vector de dirección de y n es un vector normal
a P esto sucede si v · n = 0.

41. Geometría en
el espacio
Laura
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Ejemplo
Encuentre las coordenadas del punto S de intersección de
la recta : x − 2 = −y − 1 = −z − 6 y el plano
3x − 2y + 3z + 16 = 0.
Notamos que v = (1, −1, −1) y n = (3, −2, 3), así
v · n = (1, −1, −1) · (3, −2, 3) = 3 + 2 − 3 = 2 = 0
Por lo que no es paralela a P, de donde, se intersectarán
en un único punto.
Para obtener este punto, consideremos a como la
intersección de los planos x − 2 = −y − 1 y x − 2 = −z − 6,
despejando y y z en términos de x obtenemos x − 1 = −y,
x + 4 = −z o equivalentemente y = 1 − x, z = −x − 4.

42. Geometría en
el espacio
Laura
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Sustituyendo estos valores en la ecuación
P : 3x − 2y + 3z + 16 = 0 obtenemos
0 = 3x − 2(1 − x) + 3(−x − 4) + 16
= 3x − 2 + 2x − 3x − 12 + 16 = 2x + 2
Por lo cual x = −1, sustituyendo en los valores de y y z
tenemos y = 2, z = −3, ∴ S(−1, 2, −3).
Comprobación: S ∈ : −1 − 2 = −2 − 1 = 3 − 6 y
−3 − 4 − 9 + 16 = 0.

43. Geometría en
el espacio
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
F órmulas de distancia
Distancia de un punto a un plano
Si S es un punto y P es un plano, si T es cualquier punto
sobre P, y n es un vector normal a P, entonces la distancia
que separa a S de P, que denotaremos d(S, P), es igual al
valor absoluto de la componente escalar de s − t paralela a
n. Es decir
d(S, P) =
|(s − t) · n|
n
.

44. Geometría en
el espacio
Laura
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Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Para obtener una expresión cartesiana de d(S, P), nótese
que la ecuación cartesiana Ax + By + Cz + D = 0 de P se
puede escribir como (x, y, z) · (A, B, C) + d = 0; es decir,
para cualquier punto T sobre P, se tiene t · n + d = 0, o sea
t · n = −d. Tomando en cuenta esto, sea S(x1, y1, z1) y
sustitúyanse estas coordenadas en la ecuación
d(S, P) =
|(s − t) · n|
n
=
|(x1, y1, z1) · (A, B, C) + d
√
A2 + B2 + C2
=
|Ax + By + Cz + D|
√
A2 + B2 + C2

45. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Ejemplo
Deseamos encontrar el lugar geométrico de los puntos
U(x, y, z) ∈ R3 que son equidistantes de los planos cuyas
ecuaciones son P1 : 2x + 2y − z − 1 = 0 y
P2 : x − 2y + 2z + 1 = 0.
Esto es L : {U(x, y, z); d(U, P1) = d(U, P2)}.
Usando la fórmula de la distancia de un punto a un plano
tenemos:
|2x + 2y − z − 1|
√
22 + 22 + 12
=
|x − 2y + 2z + 1|
12 + (−2)2 + 22
de donde |2x + 2y − z − 1| = |x − 2y + 2z + 1| o
equivalentemente: 2x + 2y − z − 1 = ±(x − 2y + 2z + 1)
Por lo cual L = {(x, y, z) ∈ R3; x + 4y − 3z − 2 =
0} ∪ {(x, y, z) ∈ R3; 3x + z = 0}
es decir, L es la unión de dos planos perpendiculares.

46. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Distancia de un punto a una
recta
La distancia de un punto S a una recta se define como la
longitud del segmento perpendicular a la recta que va de la
recta al punto. Para calcular la distancia de S a
: u = t + λv, λ ∈ R, que denotaremos d(S, ),
procederemos de la siguiente forma:
La distancia de S a un punto T en es s − t , y que
d(S, ) = s − t sen θ
Pero, como demostramos anteriormente, para cualesquier
dos vectores u, v ∈ R3 se tiene que u × v = u v sen θ.
Entonces, si v = 0, u sen θ =
u × v
v
Sustituyendo en
esta ecuación u = s − t tenemos
d(S, ) =
(s − t) × v
v

47. Geometría en
el espacio
Laura
Hidalgo Solís
Planos en el
espacio
Rectas en el
espacio
Ejemplo
7,6,5 Calculemos la distancia que separa el punto S(7, 6, 5)
de la recta :
x − 1
6
=
y − 1
7
=
z − 1
8
.
Notamos que un punto T ∈ es T(1, 1, 1), y un vector de
dirección v de es v = (6, 7, 8), de donde
s − t = (7, 6, 5) − (1, 1, 1) = (6, 5, 4)
Así
(s − t) × v =
i j k
6 5 4
6 7 8
= (12, −24, 12)
de donde (s − t) × v = 122 + (−24)2 + 122 =
√
864 y
v =
√
62 + 72 + 82 =
√
149
Por lo que,
d(S, ) =
864
149
2.408