Este documento explica la división algorítmica y el teorema del resto. Indica que para cualquier par de números naturales a y b, existe una división única de a entre b que da como cociente un entero q y un resto r entre 0 y b-1. Luego demuestra que el resto r siempre es menor que el divisor b utilizando la propiedad de buen orden de los subconjuntos no vacíos de números naturales. Por último, ilustra la división de -53 entre 7 como ejemplo.

1. Temas de Álgebra Abstracta
Prof. Elba I. Rivera
Héctor Miranda Ortiz
M00362515

2.  Sea a, b ε ℕ. Entonces existen
enteros q, r tal que
a = bq + r con 0 ≤ r < b.

3. Sea a, b ε ℕ y sea
S = {a – bk : k ε ℤ, a – bk ≥ 0}.
Notamos que S ≠ Ø
ya que a = a – b·0 ε S.

4. Por el principio del buen
ordenamiento, sabemos que S tiene
un elemento mínimo, decimos que r
= a – bq.
Entonces, r es un entero y a =
bq + r, así que todo lo que nos queda
demostrar que 0 ≤ r < b.

5.  Por definición de S, r ≥ 0 si r ≥ b, entonces a –
b(q +1) = r – b ≥ 0 ,
Así que r – b es un elemento de S. Pero r
> r - b, lo que implica una contradicción; por lo
tanto, debemos tener r < b.

6.  Sea a = -53 dividido por b = 7
-53 = (-7) * 7 – 4, pero el residuo no puede ser
negativo.
En vez, escribiremos -53 = (-8) * 7 + 3
Por lo tanto r ≥ 0

7.  Sea a = -53 dividido por b = 7
-53 = (-7) * 7 – 4, pero el residuo no puede ser
negativo.
En vez, escribiremos -53 = (-8) * 7 + 3
Por lo tanto r ≥ 0