Este documento explica los conceptos de vectores linealmente independientes y dependientes. Define un vector como un par ordenado de números reales que representan sus componentes. Explica que vectores son independientes si ninguno puede escribirse como una combinación lineal de los otros, mientras que vectores son dependientes si uno puede expresarse como una combinación de los demás. Ilustra estos conceptos con ejemplos geométricos de pares de vectores paralelos versus no paralelos, y triples de vectores coplanares versus no coplanares.

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TEMA : VECTORES
Estudiante: Rubén Delgadillo Segura. Matrícula: ES1521204789.
Docente: María del Rocío Burciaga Juárez. Álgebra Lineal.
Actividad 1. Planteamiento del Problema. U2 13 de Marzo 2016.
Grupo: LT-LALI-1601-B1-004

2. Habilidades:
1. Explica la Definición de Vectores.
2. Qué son los Vectores LI y LD.
3. Qué son los Vectores Independientes y
Dependientes de Forma Geométrica.

3. 1. Explica la Definición de Vectores.
Un vector v en el plano coordenado, es un par ordenado de números
reales (a, b). Los números a y b se llaman elementos o
componentes del vector v.
Las partes que componen un vector son:
Punto inicial: es el punto del plano en donde inicia o parte el vector.
Punto final: es el punto del plano en donde finaliza el vector.
Ejercicio:
Un Vector AB tienen de componentes (5, -2). Hallar las coordenadas
de Asi se conoce el extremo B(12, −3).

4. 2. Qué son los Vectores Linealmente Independientes y
Linealmente Dependientes.
Vectores Independientes:libres son linealmente
independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una
combinación lineal de los restantes.
Ejemplo:

5. Vectores Dependientes: Cuando hay una combinación lineal
de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos
los coeficientes de la combinación lineal.
De la misma forma si dos vectores no tienen la misma
dirección son linealmente independientes, ya que uno de
estos vectores no se puede expresar como combinación lineal
del otro. Ejemplo:

6. 3. Qué son los Vectores Independientes y
Dependientes de Forma Geométrica:
Dado un conjunto finito de vectores, se dice que estos vectores son
linealmente independientes si existen números
se satisface únicamente cuando, a_n son todos cero. En caso contrario, se
dice que son linealmente dependientes.
Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que
simboliza al vector nulo
El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no
existen, entonces los vectores son
linealmente independientes. La definición anterior también puede
extenderse a un conjunto infinito de vectores,
concretamente un conjunto cualquiera de vectores es linealmente
dependiente si contiene un conjunto finito que sea linealmente
dependiente.
Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la
independencia lineal así:

7. Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son
linealmente independientes, generan un espacio vectorial y forman una
base para dicho espacio. Entre las propiedades de los vectores
linealmente dependientes e independientes encontramos:
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si
alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.
Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier
subconjunto suyo también lo es. Obviamente, si tenemos un conjunto de
vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás,
escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los
otros.
Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, también lo es
todo conjunto que lo contenga.
Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si y sólo si son
paralelos.

8. Significación geométrica
Geométricamente , dos vectores son independientes si no tienen la
misma dirección. Esta definición supone que el vector nulo tiene todas
las direcciones, en otras palabras este debe generar un área.
Tres vectores son independientes si y solo si no están contenidos en el
mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinación
lineal de los otros dos (en cuyo caso estaría en el plano generado por
estos vectores) en otras palabras este debe generar un volumen.
El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas
las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El
espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigido por
este vector. El espacio generado por dos vectores independientes es el
plano que los contiene. Resulta fácil comprobar que el espacio generado
por un sistema de vectores es el menor (por la inclusión) espacio
vectorial que los contiene a todos.

9. Ejemplo
En el espacio tridimensional usual:
•u y j son dependientes por tener la misma dirección.
•u y v son independientes y definen el plano P.
•u, v y w son dependientes por estar los tres contenidos en el
mismo plano.
•u, v y k son independientes por serlo u y v entre sí y no
ser k una combinación lineal de ellos o, lo que es lo mismo,
por no pertenecer al plano P. Los tres vectores definen el
espacio tridimensional.
•Los vectores o (vector nulo, cuyas componentes son iguales a
cero) y k son dependientes ya que o = 0 ·k

10. EJEMPLOS:
1. Expresar el vector u =(- 3;4) como
combinación lineal de los vectores a=(1;2)
y b=(3;1).
Solución: Se quiere que u = ma +n b
es decir (-3;4) = m(1;2) +n (3;1)
de donde: m=3 , n =-2
luego: (-3;4) = 3(1;2) - 2 (3;1)

11. INDEPENDENCIA LINEAL
Antes de dar la definición, veamos los
siguientes ejemplos geométricos.
1. Dados los vectores paralelos a y b
Se tiene : a = t b
Como a es una combinación lineal de b es
decir a depende de b luego el conjunto { a , b}
se dice que es LINEALMENTE DEPENDIENTE.
b
a

12. 2. Dados dos vectores no paralelos a y
b
Como ninguno de ellos puede estar en
términos del otro como combinación
lineal, es decir, son independientes
cada uno, se dice que el conjunto {a, b}
es LINEALMENTE INDEPENDIENTE
b
a

13. 3. Dados los vectores a , b y c
Donde:
c = 3 a + 2 b ó
a = - 2/3b+1/3c ó
b =- 3/2a+1/2c
b
3 aa
c
2b
Como cualquiera de los vectores se puede
expresar en términos del los otros como
combinación lineal se dice que el conjunto
{a, b, c} es LINEALMENTE DEPENDIENTE

14. INDEPENDENCIA LINEALINDEPENDENCIA LINEAL
INDEPENDIENTE si dada la ecuación
{v , v ,..., v }1 2 k
a v + a v +...+ a v
1 2 2 k k1
= 0
v , v ,..., v
1 2 k
: VECTORES DE R , El conjunto
n
1 2
a = a = ... = a = 0
k1 2
se llama LINEALMENTE
y se llama LINEALMENTE DEPENDIENTE
si en al menosa v + a v +...+ a v1 2 2 k k1
= 0
entonces
un a i no es cero.

15. 1. Sea V = {v1 , v2 ,..., vk } un conjunto
de vectores en Rn
, donde k > n.
Entonces V es linealmente dependiente.
Nota :Un conjunto S de vectores linealmente
independientes de Rn
contiene a lo mas n
vectores.
2. Si k = n y det(v1,v2, ...vk ) = 0
{ v1,v2, ...vk } es L.I.

16. Referencias:
https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_indepe
ndencia_lineal
https://www.uam.es/personal_pdi/economicas/porteg
a/web-algebra/capitulo-1/teoria-1-5/1-5-depedencia-
independencia.html
http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-
08.pdf