El documento describe una estrategia para mejorar el aprendizaje de matemáticas en estudiantes de segundo grado a través de la reconstrucción de conceptos y el desarrollo de procesos lógicos mediante el juego, la manipulación concreta y el trabajo cooperativo. El maestro debe crear un ambiente que permita a todos los estudiantes participar y aprender de acuerdo a sus capacidades, mientras que los estudiantes más avanzados apoyan a los que tienen más dificultades. El objetivo final es desarrollar la autonomía en el

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APRENDIZAJE Y AUTONOMÍA DESDE LA RECONSTRUCCIÓN DE LAS MATEMÁTICAS
De dónde vienen, cómo y para qué me sirven los números?
ROSA AMELIA PALOMINO MILLÁN
Lic. en Educación. Experta en dificultades de aprendizaje.
RESUMEN
Con este proyecto se pretende dar validez a varias estrategias desarrolladas dentro del aula de clase de matemáticas con estudiantes de segundo grado, en la construcción de conceptos aritméticos y la potencialización de procesos lógico matemáticos desde la reinvención de estrategias e ideas poderosas a través del juego y la manipulación concreta de elementos, que permitan favorecer la asimilación, la interiorización, la reacomodación y la relación de nuevos conceptos. La autonomía en la toma de decisiones como fin último de la educación, es el marco donde se pretende desarrollar el trabajo con los niños siendo el cooperativismo y el manejo del error factores relevantes dentro del proceso para propiciar aprendizajes realmente significativos. Por tanto, el rol que debe desempeñar cada uno de los implicados en el proceso es el de replantearse un desafío intelectual donde se ofrezca un ambiente que permita la contrastación y validación de procesos que consoliden finalmente la metacognición.
El papel del maestro dentro del aula debe generar espacios de participación de todos y cada uno de los estudiantes con ideas poderosas a partir de los intereses de los mismos, con el apoyo de estrategias como el trabajo cooperativo que facilita el aprendizaje de todos, ya que los estudiantes más aventajados sirven de soporte para aquellos que más lo necesitan, el aprender con los pares es más fácil. Se pudo experimentar que el enfoque organizado y planificado dentro de la clase con unas estrategias novedosas a partir del juego, toman valor para el niño y permiten que todos dentro de su heterogeneidad puedan aprender y logren hacerlo en la medida de sus capacidades, que es lo que finalmente garantiza una educación de la Autonomía en la Inteligencia.

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SUMMARY
The role of the teacher in the classroom should create opportunities for the participation of each and every one of the students with powerful ideas from the interest thereon, with the support of cooperative work strategies such as facilitating the learning of all because the most advanced students serve as support for those who need it most, learning with peers is easier. You might experience that organized and planned within the class with some new strategies from the game, take courage to approach the child and allow everyone within their heterogeneity can learn and succeed in doing so to the extent of their abilities, which is what finally ensures education Autonomy in Intelligence.
PALABRAS CLAVE
Autonomía, aprendizaje, lógica, roles, equipo, error, metacogniición, juego, construcción.
KEYWORDS
Autonomy, learning, logic, roles, equipment, error, metacogniición, , game. Construction.
INTRODUCIÓN
Hacer desconocido todo aquello que es evidente, hoy por hoy, es tarea fundamental de la escuela y el maestro ya que están llamados a hacer una revisión introspectiva y comprometida sobre el rol que debe desempeñar cada uno de los implicados en el proceso de aprendizaje de los niños y visualizar hacia dónde camina la escuela actual, en aras de la formación de individuos autónomos e inteligentes, fin último de la educación.
Replantear el quehacer diario dentro del aula, para el maestro, se constituye en un factor determinante en el logro de éste propósito, toda vez, que se puede revalidar el aprendizaje de cada estudiante en la construcción de sus propios procesos desde sus intereses y donde todo aquello que

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aprende es realmente significativo para él. Constituyéndose en la labor del maestro la de estar en la constante búsqueda de estrategias eficaces que potencien todas las habilidades y destrezas tanto de los niños aventajados de la clase como aquellos que tengan alguna dificultad en el aprendizaje de las matemáticas y el desarrollo de procesos lógico matemáticos.
La construcción de valores y las prácticas inclusivas dentro de un aula en un clima de confianza y respeto brindan a todos un ambiente armónico, donde el aprendizaje de nuevos conceptos desde la reconstrucción de las matemática proporcionan, al estudiante, la capacidad de buscar soluciones a todas las dificultades que se les presentan siendo artífices de sus propios aprendizajes y donde el manejo del error toma valor de vital importancia en sus procesos de metacognición y desde la perspectiva del trabajo en equipo, dan soporte a éste trabajo dentro del aula de clase.
Todos los aspectos mencionados, sin tomar en cuenta el juego como parte inicial de toda actividad en la clase no tendrían la validez dentro de un aprendizaje significativo. El juego dentro del aula permite al niño construir desde su propio haber y desde sus preconceptos para reelaborar y establecer relaciones con los nuevos conocimientos elaborados dando paso al desarrollo intelectual del que nos refiere Jean Piaget
“Es un proceso de reestructuración del conocimiento donde el estudiante debe realizar procesos de asimilación y acomodación para luego relacionarlos y transformarlos de acuerdo a los estadios evolutivos en el cual se encuentre el niño”
Aquí el juego toma relevancia dentro de todo este proceso, ya que permite construir y comprobar el aprendizaje desde la etapa concreta o física pasando a la etapa gráfica o lógica para finalmente hacer representaciones simbólicas o matemáticas que le facilitarán el camino para establecer relaciones al aplicar los conceptos a situaciones problema de su entorno real o inmediato.
Según Constance Kammi “es necesario reinventar las matemáticas con los niños ya que al dejarlos expresarse libremente, es decir en su forma natural de aprender desde sus preconceptos, llegan a ser más competentes, a interiorizar mejor los procesos y a desarrollar la base cognitiva, toda vez, que el niño pueda establecer generalizaciones de una situación y puede relacionarla y transformarla en otros entornos. De aquí que la relación maestro alumno debe generarse en una repartición de

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tareas donde cada uno asuma un determinado rol, de quién puede hacer qué, quien debe hacer qué y cuáles son los fines y objetivos. Por tanto el modelo a seguir es el rol donde el maestro propone situaciones, escucha al alumno y suscita la curiosidad a indagar nuevas fuentes, es decir ser un facilitador para la construcción de nuevos conocimientos”.
El marco de esta investigación se hace a la luz de varias concepciones del aprendizaje como son el constructivismo propuesto por Piaget, el Aprendizaje Significativo, el manejo del error y el trabajo en equipo de Ausbel, el Desarrollo de la Zona Próxima de Vigosky, la Enseñanza para la Comprensión y las Inteligencias Múltiples de Garnerd y los postulados en la reinvención de la aritmética de Constance Kammi. Todas estas propuestas pedagógicas dan soporte al trabajo dentro del aula en la búsqueda de estrategias poderosas que le permitan al niño construir, asimilar, acomodar y reelaborar conceptos nuevos para aplicarlos o relacionarlos en otros contextos. Este trabajo en el aula, valida todas estas propuestas pedagógicas ya que la heterogeneidad en el aprendizaje por parte de los estudiantes permite acceder a ellas, en tanto, que algunos realizan procesos elaborados mucho más rápido que otros. Estos estudiantes son los que facilitan que se pueda realizar un trabajo personalizado con el grupo promedio y sobre todo con aquellos cuyo ritmo de trabajo es lento o presenta alguna dificultad específica en la construcción de algún aprendizaje.
Es aquí donde el papel del maestro como facilitador debe encontrar la estrategia eficaz que apoye al niño y la cual le permita de alguna manera lograr el propósito de la competencia a trabajar. Entonces, cabe decir que cualquier estrategia o propuesta pedagógica es válida si posibilita la construcción de un nuevo aprendizaje. Así, el cooperativismo toma vital relevancia ya que la participación directa y activa de los estudiantes más aventajados de la clase se convierten en un elemento fundamental en el apoyo para aquellos que se les dificulta la construcción de un nuevo concepto generándose una inter independencia positiva donde el éxito de cada uno depende del de los demás. El papel del maestro es importante en éste proceso como potenciador de estrategias y preguntas poderosas, además, como orientador de todo el trabajo.

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METODOLOGÍA
La investigación acción es la herramienta que se implementó como metodología para aplicar las estrategias de apoyo en el aula de clase a estudiantes de segundo grado en el área de matemáticas específicamente. Esta facilita organizar las condiciones de trabajo en el intercambio y flujo de ideas, el planteamiento de hipótesis, el análisis y evaluación, para la reformulación de innovadoras propuestas que potencien el aprendizaje.
En la primera fase se realizó una prueba diagnóstica que permitió valorar el proceso inicial de cada estudiante en un tema determinado, aquí se puedo detectar el nivel en el que se encontraba cada uno y se pudieron visualizar los posibles problemas o dificultades en el tema abordado. El segundo paso fue plantear un plan de apoyo individual después de indagar e interpretar lo que ocurre en cada caso particular y elaborar un plan efectivo que diera paso a la creación del apoyo necesario y suficiente, es decir la elaboración. En la tercera fase se experimentó con otros procedimientos, como la auto reflexión sobre la situación inicial y la situación final del proceso, para luego hacer la valoración final que estableció los parámetros para redefinir o iniciar los siguientes pasos a seguir, es decir la reflexión sobre la acción.
RESULTADOS
El resultado del trabajo en clase con esta experiencia pedagógica, constata efectivamente, que cuando se le proporciona al niño todas las condiciones en la adquisición de nuevos conocimientos dentro de un ambiente que brinde la seguridad, el afecto y el acompañamiento necesario, retomando estrategias efectivas para la inclusión a aquellos estudiantes a los cuales les cuesta más dificultad acceder de manera rápida al aprendizaje, se logra que todos los estudiantes de una manera u otra lleguen finalmente a comprender conceptos con mayor facilidad logrando asimilarlos y reacomodarlos a nuevas situaciones.

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Dentro de un aula de clase existe heterogeneidad en la forma cómo cada estudiante accede al conocimiento, hay niños aventajados, niños promedio y aquellos que por cualquier razón, que es necesaria investigar, se les dificulta comprender, generalmente lo hacen si se logra determinar dónde está la falencia y se traza un plan de apoyo efectivo que les permita aprender con mayor facilidad.
Cuando al niño se le permite ser constructor de su propio conocimiento desde el juego, a expresarse libremente y redefinir sobre sus errores, todo aquello que está aprendiendo con significado toma sentido y es motivante para él. El saber de dónde aparecen las cosas y para qué sirven es de relevante importancia en la construcción de sus nuevos conceptos. Y lo más importante, la relación de empatía que debe establecerse entre maestro-alumno y alumno–alumno, trabajo entre pares, es fundamental en éste proceso, la primera como base en el desarrollo de autoestima en el niño, donde todo lo que realiza es principio de aprendizaje y que el maestro debe validar con afecto, y la segunda como la complicidad y cercanía con sus pares para exponer con tranquilidad aquello que aún no ha comprendido.
Por tanto, la escuela debe replantearse hacia dónde encamina la educación de los niños y niñas, cuál es el propósito fundamental, y si realmente en la forma como se está presentando es la adecuada para lograr una educación de calidad, de la que tanto se habla, pero que en la realidad de las aulas y desde la planeación desde el PEI (Proyecto Educativo Institucional) no se evidencia. Es 1el llamado que se nos hace en el trabajo que expone y argumenta “La Educación Prohibida”2 que nos exhorta a remirarnos y a cuestionarnos en nuestro haber en cuanto a la formación de niños y niñas lo suficientemente autónomos en el desarrollo de la inteligencia que les permita desenvolverse en mundo cambiante y competitivo y donde sean capaces de asumir y tomar sus propias decisiones.
1 Germán Doin. Verónica Guzzo. 2009.

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TALLER A DESARROLLAR EN CLASE DESDE LAS COMPETENCIAS PROPUESTAS EN EL PEI EN EL ÁREA DE MATEMÁTICAS
Procedimiento de acción en el aula de clase
Los siguientes fueron los procedimientos a realizados dentro de la clase de matemáticas. Se realizó una prueba diagnóstica a todos los estudiantes sobre sus preconceptos de un tema determinado. A partir de este resultado se dio mayor apoyo a los niños menos aventajados de la clase. Se organizaron grupos de trabajo con un líder aventajado en el tema, quien dirigió el trabajo del grupo (este fue rotando cada semana para dar oportunidad a todos de ser líderes). El trabajo se planteó dentro de un clima donde se favoreció la autonomía de los niños en la toma de decisiones, el maestro sólo actuó como un facilitador y un gestor de preguntas poderosas para encaminó a los niños a nuevos aprendizajes partiendo de los preconceptos de los mismos.
A partir de esta estrategia se desarrolló la construcción de pre matemática con niños en los primeros cursos de escolaridad. Los temas propuestos desde el PEI se trabajaron dejando a los niños expresarse sobre sus experiencias, el maestro solo actuó como gestor de preguntas que pretendían desequilibrar al niño (estas se sistematizaron con sus respectivas respuestas), y cómo promotor de grandes ideas sin limitar el pensamiento del niño, no se corrigieron los errores y se permitió que los niños utilizaran los números que tienen en la cabeza libremente ya que los “algoritmos hacen desaprender e inhiben el pensamiento del niño.”2
CONSTRUCCIÓN DE CANTIDAD: Numeración decimal.
De dónde vienen los Números?
Para dar soporte a esta pregunta se propuso ir construyendo una línea del tiempo desde el Big- Bang, hasta la actualidad pasando por la aparición del cosmos, aparición primeros seres vivos, era de los dinosaurios, era del hielo, (aquí aparecen los primeros seres humanos, después del nomadismo, llega el sedentarismo y aquí el sentido de pertenencia, es allí cuando aparecen los
2 Contance Kammii

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primeros indicios de cantidad y de número. Conteo con dedos, piedras y muescas), grandes civilizaciones y primeros símbolos numéricos (mayas, babilonios, griegos, romanos, hindúes y finalmente los indo arábigos), grandes matemáticos ( Thales de Mileto, Pitágoras, Arquímedes, Euclides y otros., el ábaco, la calculadora y otros. Después de este recuento histórico que hace que los niños enmarquen un conocimiento dentro de un contexto social se dará paso a la construcción aritmética.
MANIPULACIÓN CONCRETA
Se realizarán diferentes juegos en grupo:
Se deja libremente al niño manipular cantidades, que ellos establezcan las reglas. Donde argumenten y se respeten mutuamente. No se corrigen posibles errores. Con botones de colores Con Regletas de Cousinaire Con ábaco Otros
ESTRATEGIAS
El maestro sólo hace preguntas, cuántos?, dónde hay más? Hay igual cantidad? Cambió la cantidad? etc.
1. Pasos en la construcción de cantidad.
 -Conteo indiscriminado de objetos
 -Correspondencia término a término
 -Cardinalidad
 -Abstracción
 -Irrelevancia en el orden

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 -Jerarquización o inclusión
 -Representación gráfica de cantidades
 -Composición y descomposición de cantidades
 -Escritura de cantidades.
 -Representación simbólica de cantidades
 -Todo y las partes las partes y el todo.
ESTIMACIÓN Y CONSERVACIÓN DE CANTIDAD
2. Habilidades a desarrollar:
 Pensamiento lógico matemático:
 Relaciones lógico matemáticas
 Relaciones de tiempo
 Relación espacial
 Clasificación
A partir de éste concepto la suma se da como conocimiento implícito y asociada a problemas de su entorno inmediato.
SUGERENCIAS Los niños aprenden de forma natural. Animar los niños a pensar, con preguntas poderosas o grandes ideas para provocar actitud de desconocimiento para lograr el efecto deseado. Dejar a los niños argumentar y discutir sobre sus construcciones, sin opinar al respecto. Preguntar siempre ¿Cómo llegaste a esa respuesta? Recordar que la verdad no viene del profesor. Incentivar a los niños e encontrar y revisar posibles errores. No plantear algoritmos, permitir que los niños los construyan Los algoritmos hacen desaprender el valor de posición.

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33. Operaciones Básicas: Suma, resta, multiplicación, división:
“Todas las operaciones básicas se resumen en sumar”
“Los algoritmos hacen desaprender”
“Dejar usar a los niños los números que tienen en la cabeza”
“Los niños deben hacer su propia construcción en un trabajo personal”
“Memorizar es el único modo de abordar algo que no tiene sentido”
El desarrollo de operaciones básicas debe plantearse desde el manejo de problemas fáciles y de su entorno, que le permitan al niño ir construyendo en nivel de complejidad. Las operaciones básicas se reducen a sumar básicamente y deben realizarse con cantidades pequeñas. Si un niño sabe construir y operar una cantidad pequeña lo sabrá hacer con una grande, el trabajo de comprensión radica precisamente en que lo sepa hacer dando explicación de cómo lo hizo y cómo puede aplicarlo o transformarlo en otra situación.
Se introducirá el concepto de suma y resta como agrupación y des agrupación de elementos concretos como botones y fichas. Después se hará en el ábaco y finalmente con las regletas de Cousinaire donde se hará necesario tener en cuenta el valor de posición decimal en base 10.
Se inducirá a los niños a realizar ejercicios de agrupación de objetos en montones de 10. Sólo se realizarán preguntas, cuántos grupos de 10?, cuántos sobran?,. Por qué grupos de 10?, Se podrían hacer grupos con otras cantidades? etc. Se propondrá a los niños para que planteen sus propios algoritmos para la sumatoria permitiéndoles argumentar sobre los mismos. A partir de este concepto se pueden plantear triángulos de operaciones para validar la suma y la resta como operaciones donde se relacionan mediante la suma. Después de los métodos planteados y validados por los niños se pueden plantear métodos de suma con sumas parciales ya que este proceso facilita el cálculo mental y el concepto de valor de posición. También se puede verificar con el método de suma en columnas. La resta que se realiza de izquierda a derecha o contando hacía adelante o cambiando primero, todas confluyen básicamente en sumar.
3 CONSTANCE KAMMI CONSTRUCCIÓN DE LA MATEMÁTICA III

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El mismo procedimiento se realizará con operaciones como la multiplicación y la división ya que la una antecede a la otra, además, de hacerlo a partir de combinaciones entre objetos y luego hacer agrupaciones y reparticiones para entender mejor este concepto. También es importante aquí realizarlo a partir del referente concreto, luego el gráfico para realizarlo finalmente en el simbólico. La multiplicación con el método de reticulado facilita el cálculo y la organización del pensamiento del niño en cuanto al valor de posición.
Se hace relevante en este proceso saber cuándo una operación aumenta o disminuye, para que el niño pueda racionalizar una respuesta cuando realiza un cálculo mental en determinada operación de una situación dada. De este proceso da cuenta la diferencia entre las dos clases de cálculo, el cálculo numérico que refiere las operaciones del método tradicional, y el cálculo racional que es donde se realizan las operaciones de pensamiento necesarias para evidenciar las relaciones entre los elementos de la situación problema como son: el Qué, el Cómo, Para qué la ejecución o solución, la comprobación y la respuesta. Por ende, los problemas cotidianos y sencillos facilitan el proceso de comprensión de las operaciones. La aplicabilidad a la vida hace que el concepto adquiera validez e importancia y tome un significado dentro de su aprendizaje.
4. PROBLEMAS
Se recomienda empezar con problemas aditivos sencillos con una sola operación, donde el niño debe identificar palabras clave que se refieren a acciones específicamente o sea el Qué; para luego plantearse los interrogantes, Qué debo hacer para solucionarlo?, al verbalizar una posible solución a la situación da la capacidad de comprensión de qué debo hacer exactamente; Cómo debo hacerlo, este proceso responde a la ejecución planteada en el punto anterior; luego se pasará a la comprobación que responderá a procesos de metacognición para finalmente dar la respuesta a la pregunta inicial.
CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS
Estos se clasifican en cuatro: los problemas aditivos simples de cambio o transformación, de relación y combinación y de igualación. Los dos primeros plantean una relación estática con una sola

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incógnita, por tanto son más fáciles para los niños. Los segundos son más complejos ya que establecen una relación dinámica para resolverlos ya que se plantea una transformación de aumento o decremento.
Problemas aditivos simples:
+ =
Pepe tenía 3 estrellas, le regalaron 2. Cuántas estrellas tiene ahora?
Situación Inicial + X = Y
Qué? Tenía : 3
Cuántas estrellas tiene ahora?
Regalaron: 2
Qué hacer? Reunir las estrellas que tenía con las que le regalaron para saber cuántas estrellas tiene ahora?
Cómo? 3 + 2 = 5 Revisión 5 – 2 = 3
Respuesta: Pepe tiene ahora 5 estrellas.
Problemas de Cambio o transformación:
= +
Problemas de Relación o Combinación: I P
Pepe reunió 7 caritas. Primero tenía 3. Cuántas le regalaron?
Y = 3 + Z
4P + 2I = I
Pepe tiene 4 caramelos. Iván tiene 2 camelos más que Pepe. Cuántos caramelos tiene Iván?
Problemas de Igualación:
P I

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Iván tiene 5 corazones pero necesita 2 corazones más para tener los mismos que Pepe. Cuántos corazones tiene Pepe?
I5 + 2 = P

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BIBLOGRAFÍA
Ausbel, Novak, Hanesian. Psicología Evolutiva,. Un Punto de Vista Cognitivo. Ed. Trillas México.1983
Condemarin,M. Chadwick, M. Millicic, N. Madurez Escolar. Ed. Andrés Bello 1978.
Dale, Schun. Teoria del Aprendizaje. Ed. Prentice Hall Hispanoaamericana.
Garnerd, H. Multiple Intelligence. Ed Paidos. 1983
Moreira, M.A. La Teoría del aprendizaje Significativo de David Ausbel. Fascículos CIEF Universidad de Rio Grande Sao Pablo. 1993
Novack.J. Gowin,B. Aprendiendo a aprender. Ed.Martínez Roca, Barcelona.1988
Kammi, C. Construcción del Conocimiento matemático en la Escuela. Ed. 1994
Kammi, C. Reinventando la Aritmética III. Implicaciones de la Teoría de Piaget. Ed. Alberto Machado.1996.
Labinowicz,Ed. Introducción a Piaget. Pensamiento, Aperndizaje, Enseñanza. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana- 1988 Piaget J. Equilibration and the Development of the Logical Structures. Ed. London Tavistock Publication. 1960.

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Piaget, J. El criterio moral del niño. 1932
. Vigostky, L.S. Mind and society. Ed Paidos Madrid. 1978.
Ellit, J. La investigación Acción en la Educación. Ed Morata, Madrid. 1994.