El documento describe los conceptos de máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM) de números. Explica que el MCD es el divisor común más grande de los números, mientras que el MCM es el múltiplo común más pequeño. Incluye ejemplos y propiedades de ambos, así como métodos para calcularlos como descomposición simultánea, descomposición canónica y divisiones sucesivas. Finalmente, relaciona el MCD y MCM de dos números a través de sus divisores y múltip

1. ARITMÉTICA
MCD - MCM
MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD)
El MCD de dos o más números cumple las, siguientes
condiciones:
 Es un divisor común de los números
 Es el mayor de todos ellos
Ejemplo:

s DIVISORES
8 1 , 2 , 4 , 8
12 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12
20 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20
DIVISORES COMUNES: 1 , 2 , 4
El mayor número que divide a 8, 12 y 20 a la vez es
4.
OBSERVACIÓN
Divisores del MCD
( 1, 2, 4 )
Divisores comunes de 8, 12 y 20
Ejemplo:
1. Hallar cuantos divisores comunes tienen los
números 72 y 60.
Rpta 6
2. Hallar la suma de divisores comunes de los
números 54 y 90
Rpta 39
PROPIEDADES:
I. El MCD nunca es mayor que uno de los
números.
Ejemplo:
MCD (15, 20, 40) = 5
II. Si el menor de los números es divisor común
de los otros entonces el MCD será ese menor
número.
Ejemplos:

Menor
MCD (9, 18, 36, 90) = 8
Divisor común
 Si: 32 =
o
8
MCD (32, 8) = 8
 Si: )BA(BKBA
o

III. El MCD de 2 números primos entre si es la
unidad.
Ejemplos:
 MCD (k ; k + 1) = 1
 MCD   1)1c(ab,abc 
 MCD ( 31 y 17 ) = 1
Si A y B son primos entre si (PESI) o
primos relativos.
FORMA PRÁCTICAS PARA
DETERMINAR EL MCD
1. Descomposición Simultanea.
20 15 5 MCD
4 3
PESI
 MCD (20 ; 15) = 5
MCD (8, 12, 20) = 4
 de divisores comunes =  de divisores del MCD
MCD (A ; B) = B
MCD (A ; B) = 1
OBSERVACIÓN:
Si a un conjunto de números y a cada uno
de ellos, se divide entre el MCD de ellos

2. 2. Por descomposición Canónica
Sean los números:
A = 26
x35
x54
B = 24
x53
x72
“Se toman los factores primos comunes
elevadas a sus menores exponentes.”
Ejemplo:
A = 22
x34
 MCD = 22
x31
b = 25
x31
Ejemplo:
A = 52
x73
B = 5
x73 + 5
 MCD (A ; B) = 5
x 73
Ejemplo:
A = 23
x34
x53
x7 x11
B = 22
x35
x54
x13 x17
 MCD (A ; B) = 22
x34
x53
3. Divisiones Sucesivas o Algoritmo de
Euclides.
Algoritmo de euclides
D d
R q  D = dq + R
Notación:
D  dividendo
d  divisor
q  cociente
R  residuo
Propiedad:
Si disponemos:
Divisiones sucesivas.
Primera división
MCD (8 ; 4) = MCD (4 ; 0) = 4

En general:
Ejemplos:
MCD (A ; B) = 24
x53
MCD (D ; d) = MCD (d ; R)
Dividendo  20 8  Divisor
2  Cociente
4
Residuo
20 8 4
2 2
4 0
q1 q2 q3  Cocientes sucesivos
A B R1 R2  MCD
R1 R2 0  Residuos sucesivos
MCD (20 ; 8) = 4
 MCD (A ; B) = R2

3. 1. Calcular la suma de 2 números PESI si al
calcular el MCD por el algoritmo de Euclides
se obtuvieron como cocientes el 2, 5, 3 y 2
respectivamente.
Rpta 118
PROPIEDADES:
I. MCD (A, B, C) = d
Se cumple:
 MCD (An ; Bn ; Cn) = d n
 MCD
n
d
n
C
;
n
B
;
n
A






Ejemplos:
1. MCD (20, 10, 30) = 10 xMCD (2, 1, 3)
 MCD (20 , 10, 30) = 10
2. MCD (0,5 ; 0,2) = MCD 





10
2
;
10
5
MCD (0,5 ; 0,2) =
  
1
)2,5(MCD
10
1

 MCD (0,5 ; 0,2) = 1,0
10
1

II. MCD (A ; B ; E ; F ) = MCD (M ; N)
Donde:
M = MCD (A ; B) ; N = MCD (E ; F)
También:
Ejemplos:
1. MCD (A, B) = 36
MCD (B, C) = 54
Hallar el MCD de A, B y C
Rpta 18
2. MCD (5A , 7B) = 30
MCD (7B, 5B) = 210
Hallar: MCD (A, B)
Rpta 30
III. MCD (A ; B ; C ) = d
r
d
c
;q
d
B
;p
d
A

A, B y C son
o
d
P , q , r  PESI
Ejemplos:
1. MCD (30 ,45, 60) = 15
4
15
60
3
15
45
2
15
30

PESI
IV. Para 2 números A y B.
A B MCD
q1 q2
PESI
21 q
MCD
B
;q
MCD
A

Donde: q1 y q2 son PESI

1
MCD (A ; B ; E ; F) = MCD [A ; MCD (B , E, F)]
A = p.d B = q.d C = r.d
2
1
qMCDB
qMCDA



4. FORMA PRÁCTICAS PARA APLICACIÓN
1. Hallar 2 números que cumplen que su
MCD es 9 y el producto entre ellos es
1620.
Rpta. 36 y 45
2. Hallar 2 números cuya suma sea 192 y su
diferencia no es mayor de 30. Además su
MCD es 12.
Rpta 108 y 84
3. Si el MCD de 15 A y 25 B es 560 y el
MCD DE 25 A Y15 B ES 480.
Hallar el MCD de A y B.
Rpta 16
MÍNIMO COMUN MÚLTIPLO (MCM)
El MCM de un conjunto de números cumple dos
condiciones:
 Debe ser un múltiplo común a los números
 Debe ser el menor de estos múltiplos comunes
Ejemplos:
1. Calcular el MCM (4 ; 6)
Solución:
,...30,24,18,12,66
,...28,24,20,16,12,8,44
o
o


Múltiplos Comunes
OBSERVACIÓN
Múltiplos comunes = Múltiplos de MCM
de (A, B, C) de A, B y C
2. Hallar cuántos múltiplos comunes tiene 9 y 6
entre 180 y 360
Solución:
MCM (9 ; 6) = 18
Múltiplos comunes = 18K
Dato: 180 < 18K < 360
10 < K < 20
 K = 11, 12, …., 19
 Hay 9 múltiplos comunes
Propiedades:
1. El MCM nunca es menor que alguno de los
números
Ejemplos:
MCM (6 ; 9 ; 27) = 54
2. Si el menor número es múltiplo de los otros
entonces el MCM es el mayor número
Ejemplos:
Mayor
 MCM (5 ; 10 ; 15 ; 90) = 90
Múltiplo común
 28 = 744
o

MCM (28 ; 4) = 28
 Para 2 números A y B
A =
o
B = kB
MCM (A, B) = A
3. El MCM de 2 números primos entre sí, es el
producto de dichos números.
Ejemplos:
 MCM (k ; k + 1) = k (k + 1)
 MCM (27 ; 29) = 2927
 Si A y B son PESI
 MCM (A ; B) = A xB

5. FORMA PRÁCTICAS PARA
DETERMINAR EL MCM
1. Descomposición Simultanea.
Ejemplos:

 MCM (20 ; 15) = 5 x3 x4 = 60

2. Por descomposición canónica
Sean los números
A = 26
x35
x54
B = 24
x53
x72
 MCM (A, B) = 26
x35
x54
x72
“Se toman los factores primos comunes y no
comunes elevados a sus mayores
exponentes.”
Ejemplos:

A = 24
x3
B = 22
x5
 MCM (A, B) = 24
x3 x5

A = 22
x73
B = 5
x73+5
 MCM (A, B) = 52
x73+5

A = 24
x35
x7
B = 22
x33
x11
 MCM (A, B) = 24
x35
x7 x11
Propiedades:
1. MCM (A, B, C, D) = MCD (M, N)
Donde:
M = MCM (A ; B) N = MCM (C ; D)
2. MCM (n A, n B, n C) = n x MCM (A; B; C)
3. MCM
 C;B;AMCM
n
1
n
C
;
n
B
;
n
A






4.
)B(
)A(
P
A
)B,A(MCM
P
A
)B;A(MCM


RELACIONES ENTRE EL MCD Y MCM
PARA 2 NÚMEROS
Se sabe:
7
5
13
2
20
4
4
1
15
3
1
1
5
3
4
MCM
91
13
13
1
1
35
5
1
1
1
26
26
26
2
1 MCM
9100 - 3500 - 2600 100
A B d  MCD
q1 q2
PESI
A = MCD x q1

6. EJEMPLO
1. Hallar “n” en los números:
A = 45 x 60n
B = 45n
x 60
Sabiendo que el MCM de dichos números es 12
veces su MCD.
Rpta 2
2. Se trata de depositar el aceite de 3 barriles que
tienen 210, 300 y 420 litros de capacidad en
envases que sean iguales entre si. ¿Cuál es la
menor cantidad de envases que se emplearía para
que todos estén llenos y no desperdiciar aceite?
Rpta 31
3. El número de páginas de un libro es mayor que
500 y menor que 600. si se cuentan de 3 en 3
sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6.
¿Cuántas páginas tiene el libro?
Rpta 524
4. El MCM de las edades de dos personas es el
doble de “A” y el MCD de sus edades es la
tercera parte. Si “A” nació 24 años antes que
“B”. ¿Cuántos años tiene A?
Rpta 72
5. Si:
MCD (K – 4 ; 3K – 7 ; K - 5) = (K-10)
Hallar el mayor de dichos números
Rpta 26
EJERCICIOS
1. Si el número de naranjas que tiene un vendedor se
cuenta de 15 en 15, de 18 en 18 y de 24 en 24
siempre sobra 11. Hallar el número de naranjas si
es el menor posible.
A) 320 B) 351 C) 371
D) 391 E) 357
2. Se tiene 3 rollos de tela que miden 2442 m, 2772m.
y 3300m de longitud. Se quiere sacar rollos más
pequeños todos de igual longitud. ¿Cuántos de
estos rollos como mínimo se podrán obtener en
total?
A) 129 B) 137 C) 141
D) 131 E) 128
3. Hallar "K" sabiendo que:
MCD (210K; 300K; 420K) = 1200
A) 20 B) 30 C)35
D) 40 E) 25
4. El cociente de 2 números es igual a su MCD si su
MCM es igual a 81. El menor de dichos números
es :
A) 9 B) 18 C) 15
D) 81 E) 36
5. M y N tienen 10 y 9 divisores respectivamente. Si
ambos números tienen los mismos factores
primos. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar
el MCD de M y N?
A) 10 B) 18 C) 24
D) 36 E) 12
6. El MCD de 2 números es 18. Uno de ellos tiene
21 divisores y el otro tiene 10. ¿Cuál es el MCM?
A) 5134 B) 5194 C) 5184
D) 5324 E) 5124
7. Dados:
MCM = MCD x q1 xq2
A xB = MCM xMCD

7. A = 3n
x 42
, B = 32
x 4n
Hallar “n” sabiendo que el MCM de A y B es
1728 y “n” es mayor que 2.
A) 1 B) 2 C) 4
D) 3 E) 5
8. Hallar “n” si el MCD de A y B es 8000 y A = 4n
x 5n
, B = 12n
x 15n
A) 2 B) 3 C) 2
D) 1 E) 5
9. Hallar cuantas cajas cúbicas como máximo se
podrán utilizar para empaquetar 1200 barras de
jabón cuyas dimensiones son 20cm, 15cm y 12cm
de modo que todas las cajas estén completamente
llenas.
A) 210 B) 200 C) 180
D) 150 E) 120
10. Hallar 2 números enteros sabiendo que su
producto es igual a 12 veces su MCM y que su
suma es igual a 6 veces su MCD indicar el menor
de dichos números.
A) 10 B) 14 C) 12
D) 16 E) 20
11. Al calcular el MCD de 2 números por divisiones
sucesivas, los cocientes obtenidos fueron: 5; 3; 2 y
2. Si la 2da. División se hizo por exceso y se sabe
que el MCM de los 2 números es 5460. Hallar el
menor de los números.
A) 39 B) 76 C) 78
D) 75 E) 74
12. Si el MCM (42A ; 6B) = 8064 y además: MCD
(77A ; 11B) = 88
Hallar A x B
A) 1343 B) 1546 C) 1856
D) 1576 E) 1536
13. Hallar 2 números enteros sabiendo que su MCD
es 18 y que uno tiene 10 divisores y el otro 15
divisores. Indicar el menor de ellos.
A) 120 B) 144 C) 132
D) 162 E) 148
14. Dado 3 números A, B y C se cumple:
MCD (A ; B) = 17 ; MCD(A ; C) = 17
MCD(B;C)=17 ; MCM(A;B;C)= 1785
y A + B + C = 255
Indicar el mayor de dichos números
A) 121 B) 117 C) 129
D) 131 E) 119
15. Sabiendo que la suma del MCD y el MCM de 2
números es 703. Hallar la suma de estos 2
números. Si se sabe además que el MCD es el
mayor posible y los números no son divisibles
entre sí.
A) 327 B) 409 C) 407
D) 409 E) 410
16. 3 corredores A, B y C parten juntos de un mismo
punto de un circuito de 3 600 metros de longitud,
la velocidad de A, B y C es 75 mt/min, 50 mt/min
y 1 mt/sg respectivamente. ¿Dentro de cuánto
tiempo volverán a pasar juntos, por la línea de
partida?
A) 600 min B) 720min C) 740min
D) 480min E) 750min
17. Si: A – B = 5
y el MCM (A , B) = 150
Hallar (A + B)
A) 40 B) 50 C) 60
D) 45 E) 55
18. Para 2 números se sabe que la suma de su MCD y
su MCM es 770 y la diferencia de los mismos es
700. Hallar la suma de los 2 números.
Sabiendo que no son divisibles entre si.
A) 350 B) 320 C) 280
D) 300 E) 360
19. Se calcula el MCD de los números abay106
mediante el Algoritmo de Euclides y se obtiene 4
cocientes iguales que suman 8.

8. Si la penúltima división se realizó por exceso.
Calcular a + b
A) 4 B) 6 C) 7
D) 5 E) 8
Cusco,07/08/2020
"Todos los
hombres que no
tienen nada
importante que
decir hablan a
gritos."