Este documento presenta una demostración matemática en 3 pasos. (1) Muestra que si el infimo de un conjunto A es mayor que 1, entonces los elementos de A son mayores que 1. (2) Establece que el infimo de A es una cota superior para A. (3) Concluye que el supremo de {1/a | a ∈ A} es igual al infimo de A.

1. Axioma del Supremo
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. Sea A ⊆ acotado y no vac´
ıo.Si Inf A 1 pruebe que
1 1
Sup( ) =
A Inf A
Soluciones
1. Como por dato Inf A 1 luego deducimos que los elementos de A son
mayores a uno, luego el conjunto
1 1
= { , a ∈ A}
A a
es no vac´ y acotado,desde que A = φ y todos sus elementos son menores
ıo
a uno.Luego se garantiza la existencia del supremo para dicho conjunto.
1 1
Sea a ∈ A donde a ∈ A y como a ≥ Inf A luego
1 1
≥ , ∀a∈A
Inf A a
1 1 1 1
≥ , ∀ ∈
Inf A a a A
1
Ahora supongamos que N sea una cota superior de A luego
1 1 1
N≥ , ∀ ∈
a a A
1
N≥, ∀a∈A
a
1
a≥ , ∀a∈A
N
luego por definici´n de ´
o ınfimo para el conjunto A se tiene
1
Inf A ≥
N
1
N≥
Inf A
1
As´
ı Inf A es la menor cota superior
1 1
∴ Sup( ) =
A Inf A
1