1) El concepto de diferencial surge de la necesidad de estimar diferencias y variaciones en situaciones matemáticas y no matemáticas. Se define el diferencial de una función como la diferencia sobre la recta tangente en el punto, lo que proporciona una aproximación lineal de la función en las cercanías del punto. 2) Dada una función f(x), si se incrementa el valor de x en un pequeño valor dx, este incremento se denomina diferencial de x. El diferencial de y no es el incremento de y (Δy) sino dy=f'(x)dx.

1. 1.2 Incrementos y diferenciales, su interpretación
geométrica.
Diferenciales
EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL
Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos
estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de
funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor
aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la
variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la
mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia,
aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que
llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.
DEFINICION Y EJEMPLOS
Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta
tangente.

2. Concepto
Dada la función y = f(x), consideremos un punto (x, y) que satisfaga la función y = f(x).
Incrementos el valor de x en una cantidad muy pequeña (x), ese incremento se llama
diferencial de la variable independiente x, y se escribe dx.
Cabría esperar que la diferencial de y (dy) fuese el incremento que experimenta y (y),
pero esto no es así. La diferencial de y es dy = f '(x) dx.
Consideremos la función y = x2
. El incremento de y, (y) , cuando incrementamos x (
x), será (x + x)2
- x2
= 2x x + ( x)2
en cambio, la diferencial de y (dy) es dy = 2x dx.
El cuadrado de color rojo sería el trozo que no consideramos, al considerar y = dy.
A pesar de que no es lo mismo la diferencial de y que el incremento de y, cuando el
incremento de x es muy pequeño, la diferencial de y se puede considerar una muy buena