1. Axioma del Supremo
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. Sean A, B ⊆ acotados y no vacios.
a) Si SupA < 0, SupB < 0 probar que Inf (AB) = SupASupB.
b) Si λ ∈ tal que λ < 0 ¿qu´ relaci´n hay entre Sup(λA) e Inf A ?
e o
Soluci´n
o
1. a) Probaremos que el ´ınfimo de AB coincide con el producto de supre-
mos.Para esto mostraremos que dicho producto es cota inferior y que es
la mayor.
Sea c ∈ AB luego c = ab donde a ∈ A∧b ∈ B como a ≤ SupA y b ≤ SupB
luego ab ≥ SupASupB (desde que los supremos tienen signo negativo) y
como c = ab
as´ entonces
ı
SupASupB ≤ c, ∀c ∈ AB
Ahora supongamos que N sea una cota inferior de AB.
luego N ≤ ab, ∀ab ∈ AB es decir
N ≤ ab, ∀a ∈ A ∧ b ∈ B
fijemos a por ejemplo con a = a0 luego N ≤ a0 b, ∀b ∈ B luego
N
≥ b, ∀b ∈ B
a0
Lo anterior se da porque los elementos de A como de B son negativos,
desde que el signo de los supremos es negativo.
ı N
As´ a0 ser´ una cota superior de B luego por definici´n de supremo para
ıa o
el conjunto B se tendr´ıa
N
≥ SupB
a0
N
≥ a0
SupB
Y como el valor fijado a0 fue arbitrario
N
≥ a, ∀a ∈ A
SupB
Por definici´n de supremo para el conjunto A se tendr´
o ıa
N
≥ SupA
SupB
1

2. N ≤ SupASupB
As´ SupASupB es la mayor cota inferior.
ı
∴ Inf (AB) = SupASupB
b) La relaci´n es: Sup(λ A)= λ InfA
o
En efecto; sea c ∈ λA luego c = λa donde a ∈ A como a ≥ Inf A luego
λa ≤ λInf A y como c = λa as´ entonces
ı
c ≤ λInf A, ∀c ∈ λA
Ahora supongamos que N sea una cota superior de λA.
luego N ≥ λa, ∀λa ∈ λA es decir
N ≥ λa, ∀a ∈ A
luego
N
≤ a, ∀a ∈ A
λ
As´ N ser´ una cota inferior de A luego por definici´n de ´
ı λ ıa o ınfimo para el
conjunto A se tendr´
ıa
N
≤ Inf A
λ
N ≥ λInf A
As´ λInf A es la menor cota superior.
ı
∴ Sup(λA) = λInf A
2