Este documento define series aritméticas y geométricas, y discute series finitas e infinitas. Explica criterios como el de D'Alembert y Cauchy para determinar la convergencia de series. También cubre radios de convergencia, series de Taylor y su uso para representar funciones y calcular integrales.

1. Series
Alumno:
Yerinson Lizarazo

3. 4.1 Definición de serie
 Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos.
 Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos
problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie
geométrica r + r2 + r3 + r4 +... donde ... indica que la serie
continúa indefinidamente.
,
Donde n es el número de términos, a1 es el primer término y r es la
relación común.

4.  Carácter de una serie.
 Convergente: Cuando la suma es un número real.
 Divergente: Cuando la suma da + o - infinito.
 Oscilante: Cuando no es ninguna de las anteriores.

6. 4.1.1 SERIE FINITA
En matemáticas, una serie es la suma de los términos de
una sucesión. Se representa una serie con
términos an como donde n es el índice final de la
serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el
valor de absolutamente todos los números naturales, es
decir, .
Las series finitas son las que constan de un determinado, o
finito número de términos, cuya suma extrae exactamente el
valor de una cantidad.

7. Serie aritmética:
Serie geométrica:

8. 4.1.2 SERIE
INFINITA
Haciendo la división, que indica esta expresión a+b / a2 – ½ b,
el cociente tendrá muchos términos separados unos de otros
con dichos signos, por consiguiente será una serie. Si
prosiguiendo la división siempre hubiese un residuo que dividir,
es decir, que no exista un elemento que al multiplicarlo por
divisor no haya resta que realizar, el cociente que saldría sería
una serie infinita, o que jamás se acabaría, por lo tanto jamás
se podría llegar a una expresión del todo exacta, de la fracción,
o del cociente.
 Si 𝑈 𝑛 es una sucesión y 𝑠 𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢 𝑛
 Entonces 𝑆 𝑛 es una sucesión de sumas parciales
denominada serie infinita y se denota por 𝑛−1
+∞
𝑢 𝑛 = 𝑢1 +
𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢 𝑛 + ⋯
 Los números 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢 𝑛 + ⋯ son los términos de
la serie infinita.

10. 4.2 SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE
LA RAZON (CRITERIO DE D’ALEMBERT) Y PRUEBA DE
LA RAIZ (CRITERIO DE CAUCHY).
 Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos).
Como un conjunto, que contiene los miembros (también
llamados elementos o términos ), y el número de términos
(posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A
diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente
los mismos elementos pueden aparecer varias veces en
diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una
discreta función.

11.  Criterio de D'Alembert (Criterio de la razón)
 Sea una serie , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).
 Si existe
 con , el Criterio de D'Alembert establece que:
 § si L < 1, la serie converge.
 § si L > 1, entonces la serie diverge.
 § si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
 En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.
 Criterio de Cauchy (raíz enésima)
 Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
 , siendo
 Entonces, si:
 § L < 1, la serie es convergente.
 § L > 1 entonces la serie es divergente.
 § L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe,
o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

12. CRITERIO DE D’ALEMBERT:
CRITERIO DE CAUCHY:

13. 4.3 SERIE DE POTENCIAS
 Derivando o integrando una serie de potencias, cuya suma analítica
conozcamos, podemos llegar a una expresión que, por substitución
de la variable, corresponda a la serie numérica cuya suma
buscamos. De esta forma podemos conseguir determinar la suma
numérica indirectamente. Estas operaciones de derivación e
integración sólo son posibles dentro del radio de convergencia de las
serie de potencias. Aquí radica la importancia de determinar con
exactitud el radio de convergencia.
 𝑎0 + 𝑎1(𝑥 − 𝑎) + 𝑎2(𝑥 − 𝑎)2+𝑎3(𝑥 − 𝑎)3 + ⋯ +
𝑎 𝑛(𝑥 − 𝑎) 𝑛 + ⋯

15. 4.4 RADIO DE CONVERGENCIA
 En muchos casos podemos determinar el intervalo de convergencia
de una serie de potencias con la ayuda del criterio de convergencia
de d’Alembert. A dicho efecto, construimos —en primer lugar— la
serie compuesta por los valores absolutos de los términos de la
serie, que será una serie de números reales positivos:

17. 4.5 SERIE DE TAYLOR
 La serie de Taylor de una función f de números reales o
complejos que es infinitamente diferenciable en un
entorno de números reales o complejos a, es la serie de
potencias:
 Que puede ser escrito de una manera más compacta
como:
 Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima
derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es
definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos
definidos como uno.

19. 4.6 REPRESENTACION DE
FUNCIONES MEDIANTE SERIE
DE TAYLOR
 En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x)
infinitamente derivable (real o compleja) definida en un
intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:
 Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima
derivada de f en el punto a.

20. Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el
valor de la función en un punto x está dado por:
Existen series de Taylor para: Función exponencial y función Coseno.
Función e
Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como más sencillo le resulte a cada quien, una de tantas
formas la explicare aquí.
Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a
tener un patrón repetitivo después de cierto número de derivaciones, como la función e.
Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se
sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da.
f(x)=e(x).... f(o)=1
Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuación de la serie y para darnos una idea de
como se comporta la función. Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la función se puede ir
empezando a armar la ecuación de la serie

21. La función cumple para todo y
todo .Tomamos
y deducimos que
para todo . Ahora bien,
luego en la serie solo aparecen los sumandos con n = 2k+1 y queda
para todo . El mismo razonamiento con la función coseno prueba
que
para todo . También se puede obtener derivando el desarrollo de la
función seno.

22. 4.7 CALCULO DE INTEGRALES DE
FUNCIONES EXPRESADAS COMO
SERIE DE TAYLOR
 Este teorema permite obtener aproximaciones poli nómicas de una función en
un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el
teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.
 La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es
infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es
la serie de potencias:
 Si Rn (f) es expresado de la primera forma, se lo denomina Término
complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como
una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange,
mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una
generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.

24. Bibliografía
1. Unidad 4: Series .Instituto Tecnológico de Tepic. Ingeniero
Roberto Oramos Bustillos.
http://oramasseries.blogspot.com/2011/05/411-serie finita.html
2. Cálculo Integral, Unidad 4.Ing. José Enrique Márquez Eloísa
http://micahga.blogspot.com/2011/06/411-definicion-de-serie-
finita.html
3. Thomas Cerda Lecciones de Matemáticas: Elementos generales
de aritmética y algebra. Impresor de la real academia de buenas
letras de Barcelona. Primera edición.273 paginas.
http://calculointegralchris.blogspot.mx/2012/07/unidad-iv-
series.html
http://es.scribd.com/doc/34238135/Sucesiones-y-Series
http://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/4800/6/74
19.pdf