Este documento resume las relaciones de equivalencia entre diferentes figuras geométricas planas. Explica que dos polígonos son equivalentes si se pueden descomponer en ortos polígonos respectivamente. Luego detalla que los paralelogramos, triángulos y trapecios son equivalentes a paralelogramos de bases y alturas específicas. Finalmente, presenta fórmulas para calcular el área de triángulos, sectores y segmentos circulares en términos de sus radios y otros elementos.

1. CENTRO PREUNIVERSITARIO “THALES DE MILETO” LA PRE DE LOS CHANCONES
a un triángulo que tenga por base la suma B
de las bases del trapecio y por altura la a 7) S ABC m.n .
misma que éste. c
B
P = punto de tangencia
A b C
Corolario.- Todo trapecio es equivalente por
suma a un paralelogramo de la misma a.b.c
EQUIVALENCIA DE POLIGONOS altura y cuya base es la semi suma de las 3) S ABC , R = circuncentro A m P n C
4R
bases de aquél.
I.- CONCEPTO DE LOS POLIGONOS B
8) SABC =(ra )(rc ) , donde: ra y rc son
EQUIVALENTES. RELACION ENTRE LAS ÁREAS DE DOS
FIGURAS SEMEJANTES. a R
excentros.
DEFINICION: se dice que dos polígonos son c
equivalentes cuando se pueden descomponer * Teorema.- La razón entre las áreas de dos
en ortos polígonos respectivamente. triángulos semejantes es igual al cuadrado de A b C
A
la razón de semejanza. rc
TIPO DE EQUIVALENCIA. Hay dos tipos de C
equivalencia: equivalencia por suma y * Teorema.- La razón entre las áreas dos 4) S ABC P.r , r = incentro y B
equivalencia por deferencia. polígonos semejantes es igual al cuadrado de p = semi perímetro
la razón de semejanza (o bien a la razón de ra
II Equivalencia de paralelogramos. Dos los cuadrados de los segmentos homólogos). B
paralelogramos que tiene sus bases iguales y
sus alturas, son equivalentes. CIRCULOS. Dos circunferencias son siempre
semejantes 9) SABC = (r)(rb), donde: r = incentro y
* Dos paralelogramos de igual base y alturas son r rb = Excentro.
equivalentes también por suma. SECTORES CIRCULARES. Las área de dos
C
sectores circulares semejantes son
A
* Todo paralelogramo es equivalente por suma a proporcionales al cuadrado de los radios.
un rectángulo que tenga igual base e igual 5) S ABC rc ( p c) , rc = ex radio y
altura. SEGMENTOS CIRCULARES. Las áreas de los p = semi
segmentos circulares semejantes son perímetro rb
A
Corolario.- Dos paralelogramos de igual base e proporcionales a los cuadrados de los radios.
igual altura son equivalentes. B
r
AREAS DE REGIONES TRIANGULARES rc
c a B C
III. Equivalencia de triángulos y trapecios con
el paralelogramo. 1 A C
1) SABC = b.h
b r1 r2 r
2 10) S ABC r2
Teorema. Todo triángulo es equivalente a un r1 r2 r
B
paralelogramo de igual base y la mitad de
6) S ABC ra .rb .rc .r , donde :
altura , o a un paralelogramo de igual altura B
y mitad de base o a la mitad de un h
ra , rb , rc = excentros y
paralelogramo de igual base e igual altura. r = incentro
* Dos triángulo de igual base y alturas son A b C rc
r2
r1
equivalentes por diferencia.
2) S ABC P( P a)(P b)(P c) donde B
r
C
* El área de un triángulo de base constante no A
varia aunque el vértice opuesto se mueva a b c ra
P r
sobre una paralela a la base 2
C A
Teorema.- todo trapecio es equivalente a un
paralelogramo que tenga por base la paralela rb
media y por altura la misma que el trapecio, o
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2. CENTRO PREUNIVERSITARIO “THALES DE MILETO” LA PRE DE LOS CHANCONES
15) SABC = (PMNP )(R), Donde: B
2
S AFC (PMNP)= semi perímetro B c
11) S ABC del triángulo MNP na
S AOD B L
N P
3
L mc R
1
B a
Q
R
P A b bp C
M N M
O A C
A C L2
A P C S PQR ( n 1) 3
24)
S ABC ( n 3 1)
20) 1 (M N )( M P)( N P)
S ABC
F
16) S ABC M N P , donde : L1//AB, 2 MN NP MP B
L2//BC y L3//AC
12) S ABC M N , PT//AC Y PK//AB. B c
L2 an
B
B
M
N P
L3 M N
M cn Q
T P = punto cualquiera P a
R
A C A C
P
L
N 1 A b bn C
C
A K
17) S ABC = M2 + N2 + P2
2
S ABC
25) S PQR
S ABC 2R B 25
13) , Donde : R = circunradio B
S MNP r
am cn bp
y r = inradio.
N 21) S ABC
M 2
B
B Q
p P
A C a n
P c R
m
N A C
M
R A C
1 1 1 1 b
r 18) S ABC
S S1 S2 S3 26) S MNP
A P C S PQR 2abc 2
22) B
S ABC (a b)( a c)(b c)
S ABC 2R A
14) , R= circuncentro y S2
B
S MNP ra S1
N
C
S
ra= Excentro. M
S3 P Q P
M
B ra
A C
N R
A C P 23)
R
19) S ABC M N P , donde : L1//AB, S PQR (mnp 1) 2
L2//BC y L3//AC S ABC (np m 1)( mp n 1)( mn p 1)
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3. CENTRO PREUNIVERSITARIO “THALES DE MILETO” LA PRE DE LOS CHANCONES
B
S ABC .S MNL
27) A+C = B S MNP
39) S PQR
2
mnp 1 4
31)
S ABC (m 1)( n 1)( p 1) hb
B
B hc
ha N
a
M Q
cn A C P
A
B
am
N S ABC R2 M L
c 35)
C S PQT r2 A R C
A bp P b C
B
M .P
28) S ABC 40) S APEQ S ABC
N S MNP n3 1
32) R
B S ABC (n 1) 3 P
P M
B B
E
a Q
N T r
cn M P
A C
P
A N an
C
A
c Q C
29) 2
S RLS S ABC .S MNP A bn P b C 36) S ABC PQ.(R)
B 41) S BMPN S ABC .S BMN
R
B 3
33) S ABC (M ma )( M mb)( M mc ) P B
4
S
N ma mb mc
R Donde: M , (ma, mb y mc M N paralela
M P
2
son medianas del triángulo ABC) A Q C
B C
A L C A P
37) S ABC A C D 2 B
30) S ABC m.n mb B
ma mc
A C
42) 2
S BMC S BMN . S ABC
A C
B
B
D
1 A C
34) S ABC ,
A
m 1 1 1 N paralela
4 H (H )( H )( H ) M
ha hb hC
n 38) S ABC A B C
1 1 1 1
B C
Donde: H ( ) , (ha, hb y hc B
2 ha hb hc A C
son las alturas del triángulo ABC) A
B
C
A C
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4. CENTRO PREUNIVERSITARIO “THALES DE MILETO” LA PRE DE LOS CHANCONES
43) A + C = B + D 47) X = A + B 3) ÁREA DE UN ROMBO 2) Si: “P” es un punto cualquiera (interior)
y “S” el área del paralelogramo ABCD
D
A B B C
B
incentro S2
L L
D C S1 S3
P
X S
S4
d
A A D
L S
2S APQ .S PQC L
S1 S3 S2 S4
44) S PQR 2
S APQ S PQC
48) X = A + B
D.d
B S
NUEVA
2
A
4) ÁREA DE UN PARALELOGRAMO
ACADEMIA
Q X
P B
b H
h
PREUNIVERSITARIA
“THALES DE MILETO”
A C S
R
AREAS DE REGIONES CUADRANGULARES
45) SABC = SAQIP B
1) ÁREA DE UN CUARDADO
Q
S B.h ó S H .b SOLO PARA CHANCONES
Incentro 45° PROPIEDADES DE UN
B
D PARALELOGRAMO
L
I
S 45° 1) Si: “P” es un punto de un lado
45° cualquiera y “S” el área del
P
L paralelogramo ABCD.
A C
B P C
D2
S L2 Ó S
S PQR 2
46) S MNL Sx
4
2) ÁREA DE UN RECTÁNGULO
A D
B
S
P Q a S SX
M N 2
b
S a.b
A L C
R
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