El documento explica la semejanza de triángulos. Define la proporción y razón. Explica que dos triángulos son semejantes si tienen ángulos correspondientes iguales y lados homólogos proporcionales. Presenta criterios y teoremas de semejanza. Muestra ejemplos de proporcionalidad entre lados de triángulos semejantes y cómo encontrar un lado desconocido usando proporción.

1. Semejanza
Se entiende por Razón, la comparación de dos cantidades por división w, y Proporción es la
igualdad de dos razones, de tal manera que si se hace la comparación de dos triángulos que
tienen sus lados proporcionales, la relación se daría de la siguiente forma.
C’
C
a=5
b=3 a’=10
b’=6
A c=4 B
B’
A’ c’=8
Los lados de dos triángulos son homólogos si son opuestos a ángulos iguales, como es el caso de a
y a’, b y b’, c y c’.
En los triángulos se observa que al dividir los lados homólogos (correspondientes) el resultado que
se obtiene es 1/2, al valor obtenido se le conoce como razón y cuando ésta es igual en cada uno
de los lados correspondientes, entonces se dice que los lados son proporcionales.
a 5 1 b 3 1 c 4 1
     
a  10 2 b 6 2 c 8 2
Definición de semejanza de triángulos.
Dos triángulos son semejantes si tienen todos sus ángulos correspondientes iguales y sus lados
homólogos son proporcionales.
C’
53.13º
C a’=10
a=5 b’=6
53.13º
b=3
36.87º
36.87º
A B
c=4
Criterios de semejanza. A’ c’=8 B’

2. 1. Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales, entonces son semejantes.
2. Si dos triángulos tienen tres lados correspondientes proporcionales, son triángulos semejantes.
3. Si dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales, son
semejantes.
Teoremas relativos a triángulos semejantes.
1. Si dos triángulos tienen sus lados homólogos paralelos entre sí, entonces son semejantes.
O
N M
O
M N
2. Si dos triángulos tienen sus lados homólogos perpendiculares entre sí, entonces son
semejantes.
D
D
E
C E
C
Por todo lo anterior, la proporcionalidad entre los lados homólogos de dos triángulos semejantes
se expresa de la siguiente forma.
A
A b c
b c
C B
C a B a
a b c
 
a b c

3. Se pueden establecer varias combinaciones de proporcionalidad, siempre y cuando se respete el
sentido de la comparación. A continuación se presenta un ejemplo en el cual se contemplen varias
combinaciones.
Triángulos semejantes Proporción Comprobación
C Proporción entre los lados homólogos
12 6
a b 
 4 2
a b 33
a=12 6 9

b c
 2 3
b c
b=6 33
12 9
a c 
 4 3
a c
33
Proporción entre los lados del triángulo
12 4
A c=9 B a a 
 6 2
b b
22
12 4

a a 9 3

c c 4 4

C 3 3
9 3

a=4 c c 6 2
b=2 
b b 3 3

2 2
Error de asignación de proporcionalidad por
A c=3 B invertir el sentido de una de las razones
12 2
¿  ?
a b 4 6

a b 1
3
3
Se pueden realizar más combinaciones cambiando los numeradores por los denominadores en cada
una de las proporciones.
Cuando dos triángulos son semejantes se puede encontrar un lado desconocido, si se conoce su
lado homólogo y otros dos lados homólogos restantes.

4. Ejemplo 1.
Encontrar el valor de la variable x, la cual representa la longitud del
segmento ED.
Primero se debe establecer si los triángulos son semejantes, para
poder determinar la proporción entre los triángulos. x
1. Las flechas en los triángulos determinan que AB y CD son
paralelos, por lo tanto, ABE  ECD por ser alternos internos.
2. De igual forma, BAE  EDC por ser alternos internos.
3. AEB  CED por ser opuestos por el vértice.
Ya establecida la igualdad de ángulos entre los dos triángulos, se
puede decir que son semejantes, y por ende, llevar a cabo la
proporción entre los lados.
Si se acomodan los triángulos de tal manera que se visualice mejor la correspondencia entre los
lados, se podrá expresar de forma más clara la proporcionalidad de los lados.
B
C
8 E 3
E
x
10 D
A
8 10

3 x
Se obtiene una ecuación de primer grado la cual se resuelve de la siguiente forma
8 10

3 x
x8  103
30
x
8
x  3.75
La longitud de DE es 3.75. El ejercicio no plantea las unidades porque es un ejercicio de
práctica, las unidades se harán indispensables en los problemas de aplicación.

5. Ejemplo 2.
Para obtener la altura (h) del triángulo rectángulo definido por los puntos ABC, se establece la
semejanza entre los triángulos.
3 4
h
5
En la figura existen tres triángulos semejantes, para descubrirlos se debe establecer la igualdad
entre los ángulos, para facilitar el análisis se le asignarán números a los ángulos.
1. CD determina la altura y es perpendicular a AB , por lo cual, se obtienen dos triángulos
rectángulos: ACD y BCD .
2. ACD es complemento del BCD (suman 90º), así como el DBC es complementario
del BCD , por lo tanto:
ACD  DBC
3. Por lo anterior se deduce que DAC  DCB
h
Los triángulos por separado se visualizan de la siguiente forma:
A
C
A
5
4
3
h 3
C 4 B D B
D h C
Observando los triángulos, para obtener la altura se pueden relacionar el primero y segundo
triángulo, o el primero y tercer triángulo, debido a que hay información entre los lados homólogos.

6. Para resolver el problema se elegirán los dos primeros triángulos.
5 3

4 h
5h  34
12
h
5
h  2.4
Actividad:
Encuentra el valor de la variable en cada uno de los siguientes ejercicios. Primero verifica
si son triángulos semejantes para que procedas a establecer las proporciones entre los
lados homólogos y así poder resolverlos.
1)
2)
3)

7. 4)
5)
6)
7) AC // DE