Este documento presenta varios teoremas y conceptos fundamentales sobre la geometría de los triángulos, incluyendo: (i) La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, (ii) En triángulos semejantes, las relaciones entre los lados son proporcionales, (iii) El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Además, proporciona varios problemas matem

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NOTAS
Existen numerosos resultados sobre la geometr´ de los tri´ngulos (que de hecho incluye
ıa a
toda la trigonometr´
ıa). Aqu´ nos limitaremos a recordar los m´s b´sicos.
ı a a
Cuando se trata con tri´ngulos es habitual el convenio de denotar con letras may´sculas
a u
los v´rtices y los ´ngulos (la misma letra para el v´rtice y el correspondiente ´ngulo). Para
e a e a
indicar un lado (o lo que mide) se usa la misma letra que la del ´ngulo opuesto pero escrita
a
en min´scula.
u
El primer resultado fundamental sobre tri´ngulos es el siguiente:
a
(i) Los tres ´ngulos de un tri´ngulo siempre suman 180◦ .
a a
Dos conceptos importantes son los de tri´ngulos semejantes y tri´ngulos congruentes.
a a
Se habla de tri´ngulos semejantes cuando tienen los mismos ´ngulos y de tri´ngulos con-
a a a
gruentes cuando, adem´s de tener los mismos ´ngulos, tambi´n tienen los mismos lados. En
a a e
otras palabras, tri´ngulos congruentes tienen la misma forma y tama˜o (coinciden cuando
a n
se superponen), sin embargo tri´ngulos semejantes s´lo tienen la misma forma.
a o
(ii) Dos tri´ngulos semejantes tienen los lados proporcionales, m´s precisamente si en dos
a a
tri´ngulos ABC y A B C se dan las igualdades entre ´ngulos A = A , B = B y
a a
C = C , entonces se dan las siguientes relaciones de proporcionalidad entre sus lados:
a b c
= = .
a b c
(Recordar el convenio para la notaci´n de ´ngulos y lados). De este resultado se sigue
o a
f´cilmente el Teorema de Thales: si dos semirectas que parten de un punto com´n O se
a u
cortan con un cierto n´mero de rectas paralelas, los segmentos en que quedan divididas
u
son proporcionales.
Sabemos que el ´rea de un tri´ngulo es la mitad del producto de la base por la altura,
a a
por tanto dos tri´ngulos en los que las bases y alturas midan lo mismo tienen la misma
a
a
´rea. Este sencillo principio proporciona el siguiente resultado que a veces es muy util (si
´
no, v´ase la demostraci´n del Teorema de Pit´goras que se da en la p´gina web).
e o a a
(iii) Si en un tri´ngulo ABC desplazamos el v´rtice C paralelamente al lado AB, el ´rea de
a e a
los tri´ngulos que resultan permanece constante.
a
Los ´ngulos y lados de un tri´ngulo est´n relacionados. La situaci´n m´s simple se da
a a a o a
cuando el tri´ngulo es rect´ngulo.
a a
(iv) Teorema de Pit´goras: En un tri´ngulo rect´ngulo la suma de los cuadrados de los
a a a
catetos coincide con el cuadrado de la hipotenusa, es decir, si el tri´ngulo ABC es
a
rect´ngulo en A (A = 90◦ ), entonces a2 = b2 + c2 .
a
Para tri´ngulos no rect´ngulos las relaciones son m´s complicadas:
a a a
(v) Teorema del coseno: En un tri´ngulo ABC se tiene la igualdad
a
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A.
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(Observar que cuando A = 90◦ se obtiene justamente el Teorema de Pit´goras.)
a
Teorema del seno: En cualquier tri´ngulo ABC se cumple que
a
a b c
= = .
sin A sin B sin C
PROBLEMAS
1. A 14 m. de la orilla de un r´ hay un muro con un agujero a mitad de altura. En un
ıo
cierto momento del d´ la sombra del muro alcanza exactamente a la otra orilla del r´ y,
ıa ıo
en ese momento, la luz que pasa por el agujero se proyecta en el suelo a 10 m. de la base
del muro. ¿A qu´ distancia se proyectar´ dicha luz cuando la sombra del muro retroceda
e a
hasta el centro del r´
ıo?
2. Se consideran los cuadril´teros con diagonales perpendiculares de una cierta medida.
a
Demostrar sin escribir ninguna f´rmula que todos ellos tienen la misma ´rea.
o a
3. (i) Dos paralelogramos tienen un lado com´n y los lados paralelos a ´ste est´n sobre la
u e a
misma recta. ¿Qu´ se puede decir de las ´reas de estos paralelogramos?
e a
(ii) Dos paralelogramos ABCD y AXY Z tienen un v´rtice com´n A. Adem´s, los puntos
e u a
X y D est´n, respectivamente, sobre los lados BC e Y Z. Demostrar que ambos tienen la
a
misma ´rea.
a
4. En el tri´ngulo ABC, X es un punto del lado AB e Y es un punto del lado BC de forma
a
que el segmento XY es paralelo al lado AC. Sea P el punto de corte de los segmentos XC
e Y A y Q el punto sobre BC tal que P Q es paralelo a AC. Calcular cu´nto mide el lado
a
BC si los segmentos Y Q y QC miden 1 y 2 unidades, respectivamente.
5. En el tri´ngulo ABC sea P el punto medio del lado BC y Q el punto sobre AC que
a
dista de C la mitad que de A. Sea X el punto en el que se cortan los segmentos QB y AP .
Encontrar la raz´n de las ´reas de los tri´ngulos ABC y AXB.
o a a
6. Sea P el baricentro de un tri´ngulo ABC. Encontrar la raz´n entre las alturas de los
a o
tri´ngulos ABC y AP C por B y P , respectivamente.
a
7. Si en un tri´ngulo un segmento es a la vez mediana y bisectriz o mediana y altura
a
o bisectriz y altura, ¿c´mo es el tri´ngulo? (Demostrarlo) ¿C´mo es un tri´ngulo si un
o a o a
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punto es a la vez baricentro e incentro o baricentro y ortocentro o incentro y ortocentro?
(Demostrarlo)
8∗ . Sea ABC un tri´ngulo y C el pie de la altura por el v´rtice C (esto es, C es la
a e
intersecci´n de la altura por C con el lado AB). Sea P el punto de corte de la paralela a
o
AC por C con la mediatriz del segmento CC . Demostrar que el segmento P C mide la
mitad que el lado AC.
El siguiente problema es una propiedad de gran utilidad cuando se trata con bisectrices
en tri´ngulos.
a
9∗ . En el tri´ngulo ABC, P es el punto de intersecci´n de la bisectriz del ´ngulo A con el
a o a
lado opuesto BC. Demostrar que
BP AB
= .
PC AC
10∗ . Sea ABC un tri´ngulo rect´ngulo en C, P el punto de corte de la bisectriz en A y el
a a
lado BC y Q el punto de corte de la bisectriz en B y el lado AC. Sean M y N los pies de
las perpendiculares a AB por P y por Q, respectivamente. Hallar el ´ngulo N CM .
a
Los problemas que siguen se han propuesto en olimpiadas recientes.
11∗ . Se considera un tri´ngulo ABC donde el ´ngulo en A es 45◦ y el ´ngulo en C es 30◦ .
a a a
Si M es el punto medio del lado BC, se pide demostrar que el ´ngulo AM B es 45◦ y que
a
BC · AC = 2 · AM · AB. (Fase local, 2005)
12∗ . En el tri´ngulo ABC, de ´rea 100, M es el punto medio del lado AC y P es un punto
a a
del lado AB tal que el tri´ngulo AM P tiene ´rea 36. La paralela a P M trazada por B
a a
corta al lado AC en Q. Hallar el ´rea del tri´ngulo M P Q. (Fase local, 1998.)
a a
13. Sea P un punto del lado BC de un tri´ngulo ABC. La paralela por P a AB corta
a
al lado AC en el punto Q y la paralela por P a AC corta al lado AB en el punto R. La
raz´n entre las ´reas de los tri´ngulos RBP y QP C es k 2 . Determ´
o a a ınese la raz´n entre las
o
a
´reas de los tri´ngulos ARQ y ABC. (Fase local, 2000.)
a
14∗ . ¿Existe alg´n tri´ngulo en el que las medidas de sus tres lados sean n´meros naturales
u a u
consecutivos y el ´ngulo mayor sea el doble que el menor? Si existe, determinad sus
a
medidas. (Fase local, 2004.)
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15∗ . En el tri´ngulo acut´ngulo ABC, AH, AD, y AM son, respectivamente, la altura,
a a
la bisectriz y la mediana que parten desde A, estando H, D y M en el lado BC. Si
las longitudes de AB, AC y M D son, respectivamente, 11, 8 y 1, calcula la longitud del
segmento DH. (Fase local, 2002.)
16. En el tri´ngulo ABC, la bisectriz trazada desde A divide al lado opuesto en dos
a
segmentos, de los que conocemos uno: BT = 572 m. Si dicha bisectriz corta a la mediana
BM en los segmentos BD = 200 m. y DM = 350 m., calcula el lado a de dicho tri´ngulo a
y plantea una ecuaci´n con inc´gnita c para obtener el lado c (no hace falta que lo calcules
o o
expl´
ıcitamente). (Fase local, 2002.)
17. Se da un tri´ngulo rect´ngulo is´sceles ABC, con el ´ngulo recto en C, y los catetos
a a o a
de longitud 2. Un arco de c´ ırculo l con centro A divide al tri´ngulo en dos partes de la
a
misma ´rea, mientras que el arco de c´
a ırculo m con centro en B es tangente al arco l en un
punto de la hipotenusa AB. Hallar el ´rea de la porci´n del tri´ngulo no cubierta por los
a o a
sectores circulares correspondientes a los dos arcos. (Fase local, 2006)
18. En el tri´ngulo ABC se traza la bisectiz interior CD. Se sabe que el centro del c´
a ırculo
inscrito en el tri´ngulo BCD coincide con el centro del c´
a ırculo circunscrito del tri´ngulo
a
ABC. Calcular los ´ngulos del tri´ngulo ABC. (Fase local, 2006)
a a
19. Las diagonales AC y BD de un cuadril´tero convexo ABCD se cortan en E. Deno-
a
tamos por S1 , S2 y S a las ´reas de los√ angulos ABE, CDE y del cuadril´tero ABCD,
a √ tri´ √ a
respectivamente. Probar que S1 + S2 ≤ S. ¿Cu´ndo se da la igualdad? (Fase
a
nacional, 2006)
20. Sea ABC un tri´ngulo y D, E y F puntos situados en los segmentos AC, BA y CB,
a
respectivamente, de forma que los segmentos AF , BD y CE concurren en un punto P
interior al tri´ngulo. Sabemos que BP = 6, P D = 6, P C = 9, P E = 3 y AF = 20. Hallar
a
el ´rea del tri´ngulo ABC. (Fase local, 2007)
a a
21. Tenemos dos rect´ngulos iguales ABCD y A B C D de lados AB = x y BC = y,
a
x < y. Se hace un corte central de longitud x en el primero, paralelo a los lados mayores,
por el que se inserta el segundo perpendicularmente hasta que queda centrado. Hallar la
raz´n y/x para que el tri´ngulo ABA sea equil´tero. (Se supone que el lado A D es el
o a a
m´s pr´ximo a AB.)
a o
* Hay ayudas en la p´gina web.
a
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