Este documento presenta los conceptos clave de la distribución binomial y la distribución normal. Explica que la distribución binomial modela experimentos con dos resultados posibles y probabilidad constante. Proporciona fórmulas para calcular la probabilidad, media y varianza binomial. También introduce la distribución normal continua, con énfasis en la distribución estándar normal N(0,1). Finalmente, muestra ejemplos de cómo usar tablas de la distribución normal para calcular probabilidades.

1. Depto. Matemáticas – IES Elaios
Tema: Distribuciones de Probabilidad
2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Y DISTRIBUCIÓN NORMAL
Presentación elaborada por el profesor José Mª Sorando,
ampliando y adaptando las diapositivas de la Editorial SM

2. Apuntes: Triángulo de Tartaglia o de Pascal
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
….
Este triángulo está formado por los números combinatorios

3. Distribución Binomial. Definición
Un experimento aleatorio que tiene las siguientes características sigue el modelo de
una distribución binomial:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados, el
suceso A, que se llama éxito, y su contrario Ac, al que se llama
fracaso.
2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados
obtenidos en las pruebas anteriores.
3. La probabilidad del suceso A es constante; por tanto, no varía de una
prueba a otra. Se representa por p la probabilidad de A, y por q = 1 – p
la probabilidad de Ac .
La variable X, que representa el número de éxitos obtenidos en n pruebas, se denomina
variable aleatoria binomial.
Esta variable es discreta, ya que si se realizan n pruebas se podrán obtener 0, 1, 2, …,
n éxitos.
Una distribución binomial se caracteriza por los parámetros número de pruebas
realizadas, n, y probabilidad del suceso “éxito”, p, y se representa por B(n, p).
Ejemplos

4. Distribución binomial: función de probabilidad
Si realizamos n = 10 pruebas, la probabilidad de obtener r = 3 éxitos es:
Fenómeno aleatorio:
lanzar un dado
Éxito: A = "obtener un 6"
Fracaso: A = "no obtener un 6"
p(A) =
1
6
p(A) =
5
6
B = A  A  A  A  A  A  A  A  A  A P(B) =





1
6
3





5
6
7
Formas de obtener 3 éxitos: =








10
3
p(obtener 3 éxitos) = p(X = 3) =








10
3 .





1
6
3
.





5
6
7

5. Tabla de valores de B(10, 1/6)
r p(X = r)
0 0,161505583
1 0,323011166
2 0,290710049
3 0,155045360
4 0,054265876
5 0,013023810
6 0,002170635
7 0,000248073
8 0,000018605
9 0,000000827
10 0,000000017
X = "número de 6 al tirar un dado 10 veces” es B(10 , 1/6)
Función de probabilidad:
p(X = r) =





10
r
.





1
6
r
.





5
6
10 - r
p(x)
0
0,07
0,14
0,21
0,28
0,35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Gráfica de la función de probabilidad
Distribución binomial: función de probabilidad

6. Distribución Binomial: media y varianza
En una variable aleatoria binomial B (n , p)
Media:
Varianza:
Desviación típica: qpnσ 
qpnσ 2

Ejemplo.- X = "número de 6 al tirar un dado 10 veces” es B(10 , 1/6)
Media = 10 · 1/6 = 10/6
Varianza = 10 · 1/6 · 5/6 = 50/36
Desviación típica = √50 / 6
μ = n p

7. Ejemplos
1. Una moneda es lanzada cinco veces. Calcular la probabilidad de
obtener
a) Exactamente tres caras.
b) Al menos una cara
2. Una fábrica hace calculadoras. Durante un largo período, el 2% de
ellos se encuentran defectuosos. Se prueba una muestra aleatoria
de 100 calculadoras.
a) Escriba el número esperado de calculadoras defectuosas en la
muestra.
b) Encuentre la probabilidad de que tres calculadoras sean
defectuosas.
c) Encuentre la probabilidad de que más de una calculadora esté
defectuosa.

8. Variable aleatoria de la Distribución Normal N(µ, )
f(x) =
1
 2
e
- 1
2 






x-

2
Una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de
media  y desviación típica , y se designa por N(, ) si se
cumplen las siguientes condiciones.
1.ª La variable puede tomar cualquier valor real, es decir, x (–, +).
2.ª La función de densidad, que es la expresión en términos de
ecuación matemática de la función de Gauss, es:

9. X
Y
x = 
Características de la función de densidad de la N(µ, )
f(x) =
1
 2
e
- 1
2 






x-

2
Campo de existencia = (– ,+ )
(, )1
 2
Creciente Decreciente
 + 
I
 - 
I'
Área bajo la curva:
1 unidad
y = 0

10. Familia de distribuciones normales

11. Familia de distribuciones normales

12. X
Y
0
a
Características de la distribución N(0,1):
1. Función de densidad:
2. Probabilidad:
Distribución normal estándar N(0, 1)
De las infinitas distribuciones N(, ) tiene especial interés la distribución
N(0, 1), es decir, aquella que tiene por media el valor cero ( = 0) y por
desviación típica la unidad ( = 1). Se le designa como variable Z.
f(t) = e- 1
2 t21
2
21
2
1
( ) e
2
a
t
P Z a dt

-
-
 


13. Tablas de la normal N(0, 1)
x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
21
2
1
( ) ( ) e
2
x
t
F x P Z x dt

-
-
  


14. x 0,00 0,01 0,02 0,03
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082
Manejo de tablas
P(Z  1,23) = 0,8907
X
Y
0
1,23

15. x 0,00 0,01 0,02 0,03
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082
Manejo de tablas
P(Z  –1,23) =
X
Y
0
1,23–1,23
1 – P(Z  1,23) = 1 – 0,8907 = 0,1093

16. x 0,00 0,01 0,02 0,03
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082
Manejo de tablas
P(1,01  Z  1,23) =
X
Y
0
1,23
P(Z  1,23) – P(Z  1,01) =
= 0,8907– 0,8438 = 0,0469
1,01

17. x 0,00 0,01 0,02 0,03
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082
Manejo de tablas
P(–1,23  Z  –1,01) =
X
Y
0
= P(Z  1,23) – P(Z  1,01) = 0,8907– 0,8438 = 0,0469
1,231,01–1,23 –1,01
P(1,01  Z  1,23) =

18. x 0,00 0,01 0,02 0,03
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082
Manejo de tablas
P(–1,23  Z  1,01) =
X
Y
0
= P(Z  1,01) – (1 – P(Z  1,23)) = 0,8907– 1+ 0,8438 = 0,7345
P(Z  1,01) – P(Z  –1,23) =
1,01–1,23

19. Apuntes: Algunas probabilidades bajo la N(µ,  )
X
Y
 +   + 2 – 2  –   + 3 – 3
0,683
0,954
0,997

20. Apuntes: Tipificación de la variable N(µ,  )
Dada una variable aleatoria X que sea N(µ, )
Con el cambio de variable Z = (X - µ)/ 
Se consigue una variable aleatoria Z que es N (0 , 1)
Se dice que Z es la variable tipo o tipificada.
Pasar el problema a esta variable nos permite poder resolverlo consultando la
tabla N (0 , 1)
Ejemplo.- Sea X una N(5 , 0,4). Calcular P (X ≤ 5,8)
Variable tipificada: Z = (X – 5)/ 0,4
Entonces: P (X ≤ 5,8)= P [(X – 5)/ 0,4 ≤ (5,8 – 5)/ 0,4] = P (Z ≤ 2)
Buscamos en la tabla N (0 , 1): P (Z ≤ 2) =0,9772