El documento presenta notas de una clase sobre derivadas diversas. Explica conceptos como la derivación, integración y reglas básicas de derivación de funciones como exponenciales, logarítmicas, trigonométricas e inversas. Finalmente, propone ejercicios para derivar diferentes funciones utilizando las propiedades explicadas.

1. FACULTAD DE INGENIERÍA
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
II SEMESTRE 2013
Tema: Derivaciones diversas.
Notas de clase.
El éxito de esta asignatura se refleja en los conceptos claros de las asignaturas de
fundamentos de matemáticas y cálculo diferencial.
Recordemos que la base de la integración es la derivación, pues integrar es hallar
la antiderivada de una función, es decir, la función original antes de ser derivada.
Reglas de derivación:
( ) 0=c
dx
d
( ) 1=x
dx
d
( ) 1−
= nn
xnx
dx
d
( )[ ] ( )xf
dx
d
cxfc
dx
d
=
( ) ( )[ ] ( ) ( )xg
dx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d
±=±
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xfxgxgxfxgxf
dx
d ''
±=⋅
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ]2
''
xg
xgxfxgxf
xg
xf
dx
d −
=





Derivada de funciones exponenciales:
( ) dxee
dx
d xx
= ( )
( ) ( )
dxee
dx
d xfxf
= ( ) dxaaa
dx
d xx
ln=
Regla de la cadena:
La derivada de una función compuesta es la derivada de la función exterior
evaluada en la función interna por la derivada de la función interna. Ej:
Si ( )602
142 +−= xxy , su derivada será:
( ) ( )4414260'
592
−+−= xxxy
Derivada implícita:
Una función es llamada implícita cuando no es posible o es difícil expresar a y
como una función de x . Cuando se inicia la derivación de estas funciones,
anteponemos a cada miembro de la igualdad la expresión
dx
d
lo que significa que
se deriva teniendo en cuenta que x es la variable principal y y es la suplente
de tal manera que a x se le deriva como siempre, y al derivar a la variable y se
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2. FACULTAD DE INGENIERÍA
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
II SEMESTRE 2013
adiciona
'
yó
dx
dy
. Finalmente, se agrupan los factores de
'
yó
dx
dy
, y se
despeja respecto a ellos. Esta será la derivada esperada.
Derivada de funciones logarítmicas:
( ) dx
x
x
dx
d 1
ln =
( )( )[ ]
( )
dx
xf
xf
dx
d 1
ln =
( )( )[ ]
( )
dx
xfa
xf
dx
d
a
ln
1
log =
Derivada de funciones trigonométricas:
( ) ( ) dxxxfxsenxfy cos' =⇒==
( ) ( ) dxxsenxfxxfy −=⇒== 'cos
( ) ( ) dxxxfxtgxfy 2
sec' =⇒==
( ) ( ) dxxxfxctgxfy 2
csc' −=⇒== ( ) ( ) dxxxxfxxfy tansec'sec =⇒==
( ) ( ) dxxctgxxfxxfy csc'csc −=⇒==
Derivada de funciones trigonométricas inversas:
( ) ( ) dx
x
xfyxsenxarcsenxfy
2
''1
1
1
−
==⇒=== −
( ) ( ) dx
x
xfyxxxfy
2
''1
1
1
cosarccos
−
−==⇒=== −
( ) ( ) dx
x
xfyxtgxarctgxfy 2
''1
1
1
+
==⇒=== −
( ) ( ) dx
x
xfyxctgxarcctgxfy 2
''1
1
1
+
−==⇒=== −
( ) ( ) dx
xx
xfyxxarcxfy
1
1
secsec
2
''1
−
==⇒=== −
( ) ( ) dx
xx
xfyxxarcxfy
1
1
csccsc
2
''1
−
−==⇒=== −
EJERCICIOS PROPUESTOS:
Derive cada una de las funciones indicadas utilizando propiedades:
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3. FACULTAD DE INGENIERÍA
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
II SEMESTRE 2013
1. ( ) ( ) 5
78
−
−= xxg
2. ( )
( )3
3
16
29
+
+
=
z
zz
zm
3. ( )
3
76
13






−
+
=
t
t
ts
4. ( ) ( )
( )5
32
54
1
−
+
=
u
u
uk
5. ( ) ( ) 321
2
−−−
−= xxxf
6. ( ) ( ) ( )32
32122 ++= ttttf
7. ( ) ( ) 624
23
−−−
++= pppg
8. ( ) ( )[ ] 2
1
2
1
211 xxf ++=
9. ( )
97
52
−
+
=
w
w
wf
10. ( ) xxxf 22
sectan=
11. ( ) ( )133
+= xctgxf
12. xyxtg =
13. senyxy =
14. ( ) ( )32
tan xxf =
15. ( )[ ]senxsenseny =
16. 1222
=+xyyx
17. ( ) ( )xtgexf x
33
−= −
18. ( )
1
3csc
3
+
=
x
x
xf
19. ( )
( ) 12tan
2sec
+
=
x
x
xf
20. ( )
1ln
1ln
−
+
= x
x
e
e
xf
21. ( ) ( )3
3 xarcsen
xf =
22. ( ) ( )10
1010 xx
xf −
+=
23. ( ) ( )xxf lnlog=
24. ( ) ( ) x
exxf 4tan1 1
4tan
−
−
=
25. ( ) 





−
+
=
1
1
x
x
arctgxf
26. ( )
xsen
x
xf
41
4cos
−
=
27. ( ) ( ) e
xxf cos=
28. ( ) x
xf π=
29. ( ) π
xxf =
30. ( ) x
xxf =
31. ( ) ( )42
549 ++= sssk
32. ( ) xxxxf ++=
33. ( ) ( ) ( )
( ) ( )31
31
−+
+−
=
ww
ww
wg
34. xey x
tan3−
=
35. 132
=yx
36. 0=+− xyyx
37. ( ) ( )xxf lnlog2=
38. ( ) ( )[ ]2
arctanln xxf =
39. ( ) 43
5 −
= x
xf
40. 32
46
log5
−
+
=
x
x
y
41. xx
xx
ee
ee
y −
−
+
−
=
42. xx
xx
ee
ee
y −
−
−
+
=ln
43. xx
xx
ee
ee
y −
−
−
+
=
ln
ln
44. 31ln2 =+−+ yxex y
45. ( ) 3ln3tanθ
=xf
46.
5ln
5
23
7
log 





+
=
x
x
y
47. 





= θθ
θθ
2
cos
log7
e
sen
y
48. 







+
=
12
log
22
2
x
ex
y
49.
( ) ( )
( )3ln
3log tsen
ety =
50. 













−
+
=
3ln
3
1
1
log
x
x
y
51. ( )( )xy lnlnln=
52. ( ) ( )
2
22
1
x
x
xk
−
=
53.
( ) ( )
3
2
11
x
xxx
y
++−
=
54.
( ) ( )
4
22
1
x
xxxx
y
+−+
=
55. ( ) 12
1
−
+= tts
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4. FACULTAD DE INGENIERÍA
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
II SEMESTRE 2013
56. 22
=+ xyx
57. 622
=+ xyyx
58. 13
2
3
2
=+ yx
59. 133
=++ yxyx
60. yxyxy +=+ 2
2
61. yx
yx
x
+
−
=2
62. ( ) ( )( )θθθ lncosln += seny
63. 1
1
+
=
xx
y
64.
( )








−
+
=
x
x
y
1
1
ln
52
65.
( )
( )20
5
2
1
ln
+
+
=
x
x
y
66. ( )θθθ
cos+= seney
67. θθ θ
5cos23 −
= ey
68. 





+
= θ
θ
e
e
y
1
ln
69. tt
ey lncos +
=
70. 7ln7sec θ
=y
71. 3ln3tan θ
=y
72. 













−
+
=
3ln
3
1
1
log
x
x
y
73. 







+
=
12
log
22
2
x
ex
y
74. ( )2ln
2 8log ty =
75. ( )xy 1
tanln −
=
76. ( )1tan 21
−= −
xy
77. ( ) 





−+= −
2
tan4ln 12 x
xxy
78. π=+ ssensr 2
2cos
79. ( ) 31ln2 =+−+ yxex y
80. yx
exye =cos
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