Bioestadística - Probabilidades UNEFM

1. UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD NNAACCIIOONNAALL EEXXPPEERRIIMMEENNTTAALL
FFRRAANNCCIISSCCOO DDEE MMIIRRAANNDDAA
ÁÁRREEAA CCIIEENNCCIIAASS DDEELL AAGGRROO YY MMAARR
PPRROOGGRRAAMMAA DDEE CCIIEENNCCIIAASS VVEETTEERRIINNAARRIIAASS
UUNNIIDDAADD CCUURRRRIICCUULLAARR:: BBIIOOEESSTTAADDÍÍSSTTIICCAA
AAuuttoorr::
PPrrooff.. MM..VV.. JJoosséé LLuuiiss TT.. VVaalllleess RR..
SSaannttaa AAnnaa ddee CCoorroo,, NNoovviieemmbbrree ddee 22000088

2. UUnniiddaadd 22.. PPrroobbaabbiilliiddaadd.. TTeeoorrííaa yy CCáállccuulloo
11.. IInnttrroodduucccciióónn
Muchos de los eventos que ocurren en la vida diaria no pueden ser
predichos con exactitud desde antes por diversas razones, pues la mayoría de
los hechos están influidos por factores externos. Además, existen aquellos
sucesos que están directamente influidos por el azar, es decir, por procesos
que no se está seguro de lo que va a ocurrir. Sin embargo, la probabilidad nos
permite acercarnos a esos sucesos y estudiarlos, ponderando las posibilidades
de su ocurrencia y proporcionando métodos para tales ponderaciones.
El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer
con certeza los eventos futuros.
Imágenes tomadas de CD de Imágenes 2008
Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta
utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El
desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte.

3. Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y
encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente
se continuó con el estudio de nuevas metodologías que permiten maximizar el
uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de
este modo, los márgenes de error en los cálculos.
Se considera que las probabilidades:
1. Ejercitan el razonamiento y los cálculos matemáticos tradicionales
(combinatoria).
2. Muestran cómo pueden tratarse situaciones inciertas, llegando a
resultados no exactos pero representativos para las necesidades
prácticas.
3. Ayudan a comprender el grado de equitatividad en los juegos de azar y
en los seguros.
4. Introduce la idea de correlación de variables.
Precisamente, algunos de esos métodos proporcionados por la
probabilidad nos llevan a descubrir que algunos sucesos tienen una mayor o
menor probabilidad de ocurrir que la ponderación asignada a través del sentido
común. Nuestros sentidos, la información previa que poseemos, nuestras
creencias o posturas, nuestras inclinaciones, son algunos de los factores que
intervienen para no permitirnos hacer ponderaciones reales y sistemáticas. La
probabilidad nos permitirá estudiar los eventos de una manera sistemática y
más cercana a la realidad, retribuyéndonos con información más precisa y
confiable y, por tanto, más útil para las disciplinas humanas.
La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un
experimento bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la
probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la matemática,
la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de
sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

4. La teoría de la probabilidad es una de las ramas de la matemática con
varias aplicaciones en nuestra actualidad. Por medio de ésta se abordan el
cálculo de las primas de los seguros, los riesgos nucleares, los pronósticos
económicos, políticos y del tiempo.
Las probabilidades se usan para:
Minimizar los riesgos.
Reducir la falta de certeza.
Las probabilidades son la esencia de la inferencia inductiva y de la
toma de decisiones. Ambos procesos son elementos esenciales de la
Medicina Veterinaria actual.
Antes, los veterinarios tomaban decisiones basados en su experiencia
personal acumulada, su confianza y su intuición. Hoy en día, el Médico
Veterinario es conciente del significado de la autocrítica y el análisis de la
experiencia y ello ha promovido el uso de métodos estadísticos, donde las
probabilidades juegan un papel fundamental.
A nivel clínico el manejo de la teoría de las probabilidades puede
plantearse de esta forma:
DIAGNÓSTICO MÁS PROBABLE
Inferencias Inductivas o
Probabilísticas
Se basa
en

5. Fuente: Valles (2008)
Fuente: Valles (2008)
A través de la historia se han desarrollado tres enfoques conceptuales
diferentes para definir la probabilidad y determinar los valores de probabilidad:
EEll eennffooqquuee cclláássiiccoo
La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se
define como el número de eventos elementales que componen al evento E,
entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral:
EEJJEEMMPPLLOOSS DDEE EESSTTIIMMAACCIIOONNEESS PPRROOBBAABBIILLÍÍSSTTIICCAASS
EENN MMEEDDIICCIINNAA VVEETTEERRIINNAARRIIAA
CONCLUSIÓN PROBABLE
Se basa
en
Presencia de
Evidencias
Evidencias adicionales
hacen que sea más
probable la conclusión
Decisión sobre
eficacia de
un medicamento
Procedimiento
quirúrgico
óptimo
Relevancia
diagnóstica de
un hallazgo específico
Recomendación de un
procedimiento de
control
Preferencia de un
tratamiento
médico
Pruebas
diagnósticas de
laboratorio

6. Es la definición más utilizada porque supone de antemano, y se necesita
como requisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la
misma probabilidad de ocurrir.
Dice que si hay x posibles resultados favorables a la ocurrencia de un
evento A y z posibles resultados desfavorables a la ocurrencia de A, y todos los
resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyente (no pueden
ocurrir los dos al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A es:
El enfoque clásico de la probabilidad se basa en la suposición de que
cada resultado sea igualmente posible.
Este enfoque es llamado enfoque a priori porque permite, (en caso de
que pueda aplicarse) calcular el valor de probabilidad antes de observar
cualquier evento de muestra.
Ejemplo:
Si tenemos en una caja 15 piedras verdes y 9 piedras rojas. La
probabilidad de sacar una piedra roja en un intento es:
EEll eennffooqquuee ddee ffrreeccuueenncciiaa rreellaattiivvaa
También llamado Enfoque Empírico, determina la probabilidad sobre la
base de la proporción de veces que ocurre un evento favorable en un número
de observaciones. En este enfoque no se utiliza la suposición previa de

7. aleatoriedad. Porque la determinación de los valores de probabilidad se basa
en la observación y recopilación de datos.
La probabilidad frecuencial de un evento es el valor fijo al que tienden
las frecuencias relativas de ocurrencia del evento de acuerdo a la regularidad
estadística. Esta definición sería la más real, pero nos proporciona
probabilidades aproximadas, es decir, nos proporciona estimaciones y no
valores reales. Además, los resultados son a posteriori, pues necesitamos
realizar el experimento para poder obtenerlo.
Ejemplo:
Se ha observado que 9 de cada 50 vehículos que pasan por una esquina
no tienen cinturón de seguridad. Si un vigilante de tránsito se para en esa
misma esquina un día cualquiera ¿Cuál será la probabilidad de que detenga un
vehículo sin cinturón de seguridad?
Tanto el enfoque clásico como el enfoque empírico conducen a
valores objetivos de probabilidad, en el sentido de que los valores de
probabilidad nos indican al largo plazo la tasa relativa de ocurrencia del evento.
EEll eennffooqquuee ssuubbjjeettiivvoo
Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de
creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la

8. evidencia a su disposición. Bajo esta premisa podemos decir que este enfoque
es adecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia del evento. Es
decir, que el evento ocurrirá o no ocurrirá esa sola vez. El valor de probabilidad
bajo este enfoque es un juicio personal.
La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que
hace el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el
tema. Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con validez
científica, aunque en la vida diaria es de las más comunes que se utilizan al no
apoyarse más que en el sentido común y los conocimientos previos, y no en
resultados estadísticos.
22.. AAnnáálliissiiss ccoommbbiinnaattoorriioo
En ocasiones el trabajo de enumerar los posibles sucesos que ocurren
en una situación dada se nos convierte en algo difícil de lograr o, simplemente,
tedioso. El análisis combinatorio, o cálculo combinatorio, nos permite enumerar
tales casos o sucesos y así obtener la probabilidad de eventos más complejos.
En el caso de que existan más de un suceso a observar, habría que
contar el número de veces que pueden ocurrir todos los sucesos que se
desean observar, para ello utilizamos el principio o regla fundamental de
conteo:
Si un suceso se nos puede presentar de n1 formas, y otro se nos puede
presentar de n2 formas, entonces el número de formas en que ambos sucesos
pueden presentarse en ese orden es de n1·n2.
En otras palabras, nos basta con multiplicar el número de formas en que
se pueden presentar cada uno de los sucesos a observar.
Este principio nos remite automáticamente al factorial de un número
natural, que se puede pensar como una función con dominio los números

9. naturales junto con el cero y codominio los números naturales. El factorial de
un número n, denotado n!, se define como:
Ahora, si n es muy grande el proceso de cálculo se nos puede volver
tedioso y muy cargado, incluso para una computadora, por lo que utilizamos la
aproximación de Stirling a n!:
donde e= 2.71828..., que es la base de los logaritmos neperianos.
En Excel existe la función FACT(n) que calcula el factorial de un número
entero no negativo n.
En el análisis combinatorio se definen las permutaciones, con o sin
repetición, y las combinaciones.
2..22 PPeerrmmuuttaacciioonneess ((uu oorrddeennaacciioonneess)) ccoonn rreeppeettiicciióónn
Las permutaciones son también conocidas como ordenaciones, y de
hecho toman este nombre porque son ordenaciones de r objetos de n dados.
En este curso las representaremos como ORn
r
ó nORr.
Por ejemplo: Sea A={a,b,c,d}, ¿cuántas "palabras" de dos letras podemos
obtener?
Se pide formar permutaciones u ordenaciones de 2 letras, cuando el total de
letras es 4. En este caso r=2 y n=4.
Las "palabras" formadas son: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da,
db, dc, dd. En total son 16.

10. En general, si tomamos r objetos de n, la cantidad de permutaciones u
ordenaciones con repetición obtenidas son:
ORn
r
= nORr = n r
2.3 Permutaciones (u ordenaciones) sin repetición
En este caso, a diferencia del anterior, se realizan ordenaciones de r
objetos de n dados atendiendo a la situación de cada objeto en la
ordenación. Su representación será Pn
r
ó nPr.
Por ejemplo: Sea el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántas ordenaciones sin
repetición podemos obtener?
Lo que resulta es: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc. Son 12 en total.
En general, si se toman r objetos de un total de n, la cantidad de
permutaciones
Pn
r
= nPr =
El Excel cuenta con la función PERMUTACIONES(n,r) que realiza el
cálculo.
22..44 CCoommbbiinnaacciioonneess
Es una selección de r objetos de n dados sin atender a la ordenación de
los mismos. Es decir, es la obtención de subcojuntos, de r elementos cada uno,
a partir de un conjunto inicial de n elementos. La denotaremos con Cn
r
, nCr ó
.

11. Por ejemplo: Si tomamos el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántos
subconjuntos de 2 elementos cada uno podemos obtener?
Haciéndolos se obtienen: {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}. Son seis los
subconjuntos.
En general, si de n objetos dados se hacen combinaciones de r objetos
cada una, el número de combinaciones obtenidas son:
Cn
r
= nCr =
o, que es lo mismo,
Cn
r
= nCr =
En Excel la función COMBINAT(n,r) calcula las combinaciones de n
objetos tomando r de ellos.
33.. EEvveennttooss
Cuando se realiza un experimento, que es cualquier proceso que
produce un resultado o una observación, se van a obtener un conjunto de
valores. A este conjunto de valores que puede tomar una variable le
denominamos espacio muestral.
Por ejemplo:
Si se tiene un dado cualquiera, el espacio muestral
(EM) es EM={1,2,3,4,5,6}.
Si existen más de una variable, el espacio muestral está formado por las
combinaciones de valores de cada una de las variables.

12. Si tomamos un subconjunto cualquiera del espacio muestral tenemos lo
que se denomina un evento, y si éste consta de un solo elemento entonces es
un evento elemental.
Como se puede uno imaginar, existen eventos que siempre, no importa
el número de experimentos o su situación, ocurren, y en cambio existen otros
que nunca ocurren. Los que siempre ocurren son los eventos seguros, y los
que nunca son los eventos imposibles.
Sin embargo, no todos los resultados son al azar, pues si un
experimento es cualquier proceso entonces los resultados pueden tomar
cualquier tipo de valor. Por esta razón, definimos como experimento aleatorio
al proceso en el que se pueden predecir con certeza la ocurrencia de sus
eventos, con excepción del seguro o del imposible. Hay que hacer la
observación que esta definición habla en términos generales y no
específicamente sobre algún experimento en particular.
A aquélla variable que está asociada a un experimento de este tipo se le
denomina variable aleatoria.
En cambio, a un experimento no aleatorio se le denomina experimento
determinístico.
Cuando hablamos de varios eventos dentro del mismo experimento se
pueden dar varios casos.
Si dos o más eventos no pueden ocurrir simultáneamente, se llaman
eventos mutuamente excluyentes, es decir, que la intersección de ambos
eventos es vacía.
Por otro lado, en ocasiones un evento o más eventos dependen de otro
evento previo, es decir, un evento A ocurre dado que ocurrió un evento B. Si
existe este tipo de relación entre eventos decimos que son eventos
dependientes o condicionados (el evento A depende del evento B, o el
resultado del evento A está condicionado al resultado del evento B). Por otro
lado, si no existe tal relación entre eventos decimos que son eventos

13. independientes. Los criterios de dependencia o de independencia se definirán
más adelante, en términos de probabilidad condicional.
44.. PPrroobbaabbiilliiddaadd ddee eevveennttooss
Para calcular la probabilidad de eventos es necesario que éstos se
comporten de una manera más o menos estable. Precisamente, se echa mano
de la regularidad estadística, que es la propiedad de los fenómenos
aleatorios, y que consiste en que al aumentar el número de repeticiones de un
experimento en condiciones prácticamente constantes, la frecuencia relativa de
ocurrencia para cada evento tiende a un valor fijo.
55.. AAxxiioommaass ddee llaa pprroobbaabbiilliiddaadd
El valor de la probabilidad
El valor más pequeño que puede tener la probabilidad de ocurrencia de
un evento es igual a 0, el cual indica que el evento es imposible, y el valor
mayor es 1, que indica que el evento ciertamente ocurrirá. Entonces si decimos
que P(A) es la probabilidad de ocurrencia de un evento A y P(A´ ) la
probabilidad de no-ocurrencia de A, tenemos que:
Recordemos primero que las frecuencias relativas de una distribución
tenían las siguientes propiedades:
1. Las frecuencias relativas son mayores o iguales que cero.
2. La frecuencia relativa del espacio muestral es igual a la unidad.
3. Si dos eventos son mutuamente excluyentes, es decir que no ocurren
simultáneamente, entonces la frecuencia relativa de su unión es la suma
de las frecuencias relativas de cada uno.
Tomando en cuenta que la probabilidad de un evento, de acuerdo a la
definición ya expuesta, es la frecuencia relativa cuando se aumenta el tamaño
de la muestra, se tiene lo siguiente.

14. Si E es un evento de un espacio muestral S y P(E) es la probabilidad de E,
entonces se satisfacen los axiomas de la probabilidad:
1. 0 P(E) 1.
2. P(S) = 1.
3. Si E1, E2, ... , En son eventos mutuamente excluyentes, entonces
Con estos axiomas podremos tratar algunas de las propiedades de la
probabilidad de eventos.
66.. PPoossiibbiilliiddaaddeess yy pprroobbaabbiilliiddaaddeess
Se habla muy comúnmente en sitios de apuestas, como en las
autódromos o hipódromos, de que "las apuestas a tal o cual participante es de
x a y", es decir, que las posibilidades de que gane es de x a y. Esta manera de
expresarse se refiere al uso de razones.
En términos generales, la posibilidad de que ocurra un evento se
determina mediante la razón de la probabilidad de que ocurra a la probabilidad
de que no ocurra.
Esto quiere decir que si la probabilidad de que un evento ocurra es p,
entonces las posibilidades de que ocurra son x a y, es decir
Tales que x y y son enteros positivos.
Por ejemplo: Si se tiran dos monedas normales (no trucadas), la probabilidad
de que las dos monedas caigan cara es de ¼. Esto quiere decir si alguien
apuesta a que las dos monedas no caen simultáneamente en cara, la
posibilidad de ganar la apuesta es de:

15. es decir, 3 a 1.
Hemos de considerar que si es mayor la probabilidad de que no ocurra
un evento, entonces se acostumbra mencionar las posibilidades en contra del
evento.
Por ejemplo: Si se tira un dado no trucado, sabemos que la probabilidad de
obtener un cuatro es 1
/6, es decir que la posibilidad de obtener un cuatro es de
1 a 6; pero se acostumbra decir que las posibilidades en contra, esto es, de no
obtener un cuatro es de 6 a 1.
Inversamente, en el caso de tener las posibilidades de un evento,
entonces es fácil obtener su probabilidad, pues si la posibilidad de un evento es
de x a y, entonces la probabilidad p de que ocurra tal evento es
Por ejemplo: En la Copa Mundial de Futbol Alemania 2006 se decía que el
equipo mexicano tenía una posibilidad de 1 a 75 de llegar a ser el campeón del
torneo.
Si se desea encontrar la probabilidad de que el equipo mexicano llegase a ser
campeón, entonces se tiene que
es la probabilidad de que ocurriese el evento.
Esto tiene la ventaja de que permite, en combinación con el tercer
axioma de la probabilidad, medir la confiabilidad que tienen las opiniones de las
personas sobre las posibilidades que le asignan a algunos eventos. Esto quiere

16. decir que el cálculo de las probabilidades de dos eventos mutuamente
excluyentes a partir de las posibilidades otorgadas de manera subjetiva resulta
como un criterio de consistencia.
Por ejemplo: Un criminólogo piensa que las posibilidades de que en la próxima
semana la cantidad de delitos en una ciudad aumente con respecto a la
anterior es de 5 a 2, de que sea la misma cantidad de delitos es de 1 a 3 y las
posibilidades de que aumente la cantidad o sea la misma es de 7 a 4.
Si se desea saber si son consistentes las probabilidades correspondientes
habría que hacer los cálculos.
Las probabilidades de aumente la cantidad de delitos, sea igual la cantidad de
delitos, y de que aumente o sea igual la cantidad de delitos es,
respectivamente, de
y dado que (como son eventos mutuamente excluyentes) no
es lo mismo que 7
/11, entonces los criterios del criminólogo pueden ser
cuestionados.
77.. PPrrooppiieeddaaddeess ddee llaa pprroobbaabbiilliiddaadd ddee eevveennttooss nnoo eelleemmeennttaalleess
Cuando se tienen eventos elementales no existe mucho problema en el
sentido del cálculo de las probabilidades, pues basta con una contabilización o
el uso directo del cálculo combinatorio. Pero en el caso de eventos no
elementales, que son los compuestos por más de un evento elemental, el
proceder de manera análoga resulta muy complejo y las operaciones pueden
sobrepasar la capacidad de cálculo existente. Sin embargo, utilizando los
axiomas de la probabilidad y las siguientes propiedades, se podrán expresar
las probabilidades de estos eventos en términos de los eventos elementales
que lo componen, siempre y cuando se conozcan las probabilidades de éstos.

17. Veamos la probabilidad de una unión de eventos, la cual la podremos
calcular de la siguiente manera:
Propiedad 1. Si A y B son dos eventos, la probabilidad de que ocurra A o B es
igual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B, menos la
probabilidad de que ocurran A y B simultáneamente. Es decir,
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
Ahora, si el caso es que los eventos sean mutuamente excluyentes se tiene:
Propiedad 2. Si dos eventos, A y B, son mutuamente excluyentes entonces la
probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de las probabilidades de
ocurrencia de A y de B. Es decir
P(A B) = P(A) + P(B)
Eventos mutuamente excluyentes y eventos no excluyentes
Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no
pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide
automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).
Ejemplo:
Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no
los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.
Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible
que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos
eventos en forma simultánea.

18. Ejemplo:
Si consideramos en un juego de domino sacar al menos un blanco y un
seis, estos eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el
seis blanco.
Otra propiedad que se deriva de las anteriores es cuando se busca la
probabilidad del complemento de un evento E, que denotaremos como ~E:
Propiedad 3. Si E es un evento y ~E su complemento, entonces
P(~E) = 1 - P(E)
Retomando los conceptos de eventos dependientes o condicionales, se va a
definir la probabilidad condicional como sigue:
Propiedad 4. La probabilidad de que ocurra un evento A dado que ocurrió el
evento B (el evento A depende del evento B), denotado P(A|B), es:
Hay que notar que esta propiedad no es conmutativa, situación que sí
ocurre con la probabilidad de unión o la intersección de eventos, por lo que no
hay que confundir P(A|B) y P(B|A).
Finalmente, el criterio para la independencia de eventos queda como
sigue:
Propiedad 5. Dos eventos A y B son independientes si y sólo si

19. P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B)
o, que es lo mismo:
P(A B) = P(A) · P(B)
RReeggllaass ddee llaa AAddiicciióónn
La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al
menos dos sucesos A y B es igual a:
P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente
P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) si A y B son no excluyentes
Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A
P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B
P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B
EEvveennttooss IInnddeeppeennddiieenntteess
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-
ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del
otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el
muestreo con reemplazo, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de
nuevo a la población donde se obtuvo.
Ejemplo:
Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos
independientes por que el resultado del primer evento
no afecta sobre las probabilidades efectivas de que
ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

20. Eventos dependientes
Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-
ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o
otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de
probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado.
La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el
evento B ya ocurrió.
Se debe tener claro que A|B no es una fracción.
P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)
Reglas de Multiplicación
Se relacionan con la determinación de la ocurrencia de conjunta de dos
o más eventos. Es decir la intersección entre los conjuntos de los posibles
valores de A y los valores de B, esto quiere decir que la probabilidad de que
ocurran conjuntamente los eventos A y B es:
P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes
P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes
P(A y B) = P(A B) = P(B)P(A|B) si A y B son dependientes

21. UUNNIIDDAADD IIII PPRROOBBAABBIILLIIDDAADDEESS
EEJJEERRCCIICCIIOOSS PPRROOPPUUEESSTTOOSS
1. En una jaula se tienen 7 ; 4 albinos y 3 negros. Se
seleccionan 3 al azar.
a) Empleando las reglas de conteo calcular por cuantos eventos
estaría conformado el espacio muestral cuando se trabaja con
reemplazo y sin reemplazo, en este ultimo caso atendiendo y sin
atender el orden.
b) Para los espacios muestrales anteriores ¿cual seria la
probabilidad de que los 3 conejos seleccionados sean negros?
2. Un tesista de Veterinaria desea probar 5 medicamentos para el control
de parásitos internos de , pero solo cuenta con suficientes
animales para probar 2 de esos medicamentos.
a) De cuantas formas es posible combinar los medicamentos que
pondrá a prueba? Aplicar la regla de conteo correspondiente
b) Listar las combinaciones posibles
3. En una población dada la probabilidad de que un animal contraiga la
enfermedad A es de 0,025 y la probabilidad de que contraiga la
enfermedad B es de 0,045. Para esta misma población la probabilidad
de que el animal contraiga las enfermedades A y B simultáneamente
es de 0,0010. Encontrar:
a) La probabilidad de que contraiga las enfermedades A o B.
b) La probabilidad de que un animal que tiene o tendrá la
enfermedad B, pueda contraer la enfermedad A.
c) Demuestre si A y B son eventos independientes.
4. Sean A y B dos eventos correspondientes a un experimento aleatorio,
tal que AUB=S. Si P(A)= 0,85 y P(B)= 0,62, calcular:

22. a) P(A∩B) b) P(B/A)
5. Cierto tipo de intervención quirúrgica tiene un riesgo de mortalidad
del 15%. Si esta intervención es aplicada de manera independiente a
tres animales distintos, ¿Cuál es la probabilidad de que las 3
intervenciones resulten mortales?
6. En una finca se tiene un lote de de 2, 3 y 4 partos que serán
sometidas a un programa de sincronización de celo; 35 de ellas son
Holstein, las restantes de raza Pardo Suiza. Del total de vacas 8 de
ellas han tenido 2 partos, 16 han tenido 3 partos y las restantes 4
partos. De las vacas Holstein 6 han tenido 2 partos y de las Pardo
Suiza 9 han tenido 4 partos. Calcular la probabilidad de que al
seleccionar a una vaca al azar se encuentre que:
a) Es de raza Pardo Suiza
b) Ha tenido 3 partos
c) Es de raza Holstein y ha tenido 4 partos
d) Ha tenido 2 partos dado que es de raza Holstein
e) Son estos eventos independientes?

23. BIBLIOGRAFÍA
.- Armitage P., Estadística para la Investigación biomédica.
.- Daniel W., Bioestadística.
.- Díaz F., y Juez P., Probabilidad y estadística en medicina. Aplicaciones
en la práctica clínica.
.- Radostits O., Examen y diagnóstico clínico en veterinaria.
.- Velasco S., G. Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias.

24. REFERENCIAS ELECTRÓNICAS
.- http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xtra.html
.- http://www.monografias.com/trabajos15/
.- http://es.wikipedia.org/wiki
.- CD de imágenes 2008