El método de bisección es un método simple para resolver ecuaciones de una variable basado en el teorema del valor intermedio. Comienza con un intervalo donde la función es continua y tiene signos opuestos a los extremos, luego evalúa la función a mitad del intervalo y reduce el intervalo según el signo obtenido, repitiendo este proceso para aproximar la raíz de manera más precisa en cada iteración.

1. BisecciónSoftware: Bisección <br />Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el Teorema de los Valores Intermedios (TVI), el cual establece que toda función continua en un intervalo cerrado toma todos los valores que se hallan entre y . Esto es, que todo valor entre y es la imagen de al menos un valor en el intervalo . En caso de que y tengan signos opuestos ( ), el valor cero sería un valor intermedio entre y , por lo que con certeza existe un en que cumple . De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación . El método consiste en lo siguiente: De antemano debemos estar seguros de la continuidad de la función en el intervalo . Luego verificamos que . Calculamos el punto medio del intervalo . A continuación calculamos . En caso de que sea igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada. En caso de que no lo sea, verificamos si tiene signo opuesto con o con . Se redefine el intervalo como o según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo. Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada. En la siguiente figura se ilustra el procedimiento descrito. En la primera iteración del algoritmo de bisección, es claro que la raíz se halla a una distancia menor o igual que , pues con toda seguridad la raíz se encuentra en alguno de los dos intervalos de tamaño , contiguos al punto medio del intervalo . En la segunda iteración, el nuevo intervalo mide y de nuevo la distancia entre el nuevo punto medio y es menor o igual que . Se forman así tres sucesiones de valores , y , y puede mostrarse fácilmente por inducción que en la n-ésima iteración, al aproximar con se tiene que De esta forma, si queremos estimar el número de iteraciones necesarias para que, al aproximar la solución de la ecuación mediante el punto medio, el error de aproximación sea menor que un parámetro , de la desigualdad anterior se concluye que deben hacerse al menos . HYPERLINK quot;
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/NUMERICO/SitioWebEcuaciones/footnode.htmlquot;
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1 iteraciones. Por ejemplo, al aplicar el algoritmo de bisección a una función en el intervalo , si queremos que el error de aproximación sea menor o igual que , el número de iteraciones debe cumplir por lo que deben realizarse al menos 16 iteraciones. Algoritmo Bisección: Entrada: Una función continua definida en un intervalo , con y de signos opuestos. Parámetros: = Máximo número de iteraciones. = Nivel de precisión respecto a la solución exacta. . Inicio . Defina . Mientras : . Defina . . Si , . Salida: m. . Parar . Si redefina . De otra forma, redefina . . Incremente . . Salida: quot;
El método fracasó después de iteracionesquot;
. . Parar. <br />2 ejemplo <br />El Metodo parte de una Funcion f(x) y un intervalo [x1,x2], tal que f(x1) y f(x2) tienen signos contrarios. Si la funcion es continua en este intervalo, entonces existe una Raíz de f(x) entre x1 y x2. <br />Una vez determinado el intervalo [x1,x2] y asegurada la continuidad de la funcion en ese intervalo, se evalua ésta en el punto medio del intervalo Xm. <br />Si f(x1) y f(x2) tienen signos contrarios , se reducira el intervalo de x1 a Xm ya que entre ellos <br />se encuentra la raiz buscada. <br />Al contrario si f(x1) y f(x2) tienen el mismo signo, el intervalo se reducira de Xm a x2. <br />Se repite este procedimiento hasta lograr que f(Xm) esté dentro de una tolerancia de error o error prefijado, tal que |f(Xm)|<= e donde e= error, entonces el ultimo valor de Xm será una buena aproximacion a la Raíz. <br />Ejemplo: <br />Encontrar una solucion para la ecuacion X3-X=1 <br />Con un error maximo de 0.05 <br />funcion: X3-X=1 <br />f(x)= X3-X-1=0 <br />Error: e=0.05 <br />-f(x1) y f(x2) de signo contrarios <br />X ---> | 0 | 1 | 2 | 3 | <br />F(x)->|−1 |−1 | 5 |23 | <br />--- X1 ---- f(x1) ---- X2 ---- f(x2) ---- Xm ---- f(Xm) --- <br />1.0000 | −1.0000| 2.0000| 5.0000 | 1.5000| 0.8750 | <br />1.0000 | −1.0000| 1.5000| 0.8750 | 1.2500|−0.2968 | <br />1.2500 | −0.2968| 1.5000| 0.8750 | 1.3750| 0.2246 | <br />1.2500 | −0.2968| 1.3750| 0.2246 | 1.3125|−0.0515 | <br />1.3125 | −0.0515| 1.3750| 0.2246 | 1.3437| 0.0823 | <br />1.3125 | −0.0515| 1.3437| 0.0823 | 1.3281| 0.0144 | <br />