El documento describe los esfuerzos combinados en un sólido sometido a diferentes fuerzas. Explica que los esfuerzos calculados en un punto dependen del plano de referencia utilizado, y muestra cómo calcular analítica y gráficamente los esfuerzos normales y tangenciales en cualquier plano orientado, usando el Círculo de Mohr. También presenta un ejemplo numérico de cálculo de esfuerzos combinados.

1. C15153
Resistencia de Materiales
Esfuerzos Combinados
Roberto Ortega, Ph.D
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2. Esfuerzos Combinados
Variaci´on del esfuerzo con la orientaci´on
Consideremos un s´olido sometido a diferentes fuerzas en equilibrio (a). Es
f´acil comprobar que los esfuerzos (σ, τ) calculados en el punto O para un
plano de exploraci´on a − a (b), ser´an distintos que los esfuerzos (σ , τ )
calculados en el mismo punto O para un plano diferente de exploraci´on
b − b (c).
orientation of the reference plane. As a review of that discussion, consider the
body in Fig. 8.6(a) that is acted upon by a system of coplanar forces in equili-
brium. Assume that we first introduce the reference plane a-a and compute the
stresses s and t acting on that plane at point O, as illustrated in Fig. 8.6(b).
We then pass the reference plane b-b through O and repeat the computations,
obtaining the stresses s0
and t0
shown in Fig. 8.6(c). In general, the two sets of
stresses would not be equal, although they are computed at the same point,
because the resultant forces acting on the two planes are not equal.
FIG. 8.6 (a) Body in coplanar equilibrium; (b) stresses acting on plane a-a at
point O; (c) stresses acting on plane b-b at point O.
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3. Esfuerzos Combinados
Ejemplo
Dos piezas de madera de 50 × 100 mm de secci´on ser´an unidas a lo largo
de la junta AB, como muestra la figura. Calcule los esfuerzos en el plano
de uni´on entre ambas piezas considerando P = 100 kN.
A
B
60
P
P
50 mm
100 mm
θ
P
σ(θ)
τ(θ)
θ
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4. Esfuerzos Combinados
Ejemplo
Dos piezas de madera de 50 × 100 mm de secci´on ser´an unidas a lo largo
de la junta AB, como muestra la figura. Calcule los esfuerzos en el plano
de uni´on entre ambas piezas considerando P = 100 kN.
A
B
60
P
P
50 mm
100 mm
θ
P
σ(θ)
τ(θ)
θ
(σ A ) cos θ + (τ A ) sin θ = P
(σ A ) sin θ − (τ A ) cos θ = 0
con A =
A
cos(θ)
.
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5. Esfuerzos Combinados
Esfuerzo en un punto: c´alculo anal´ıtico
Para un determinado punto, donde se tiene un estado plano de esfuerzos
dado por (σx , σy , τxy ), los esfuerzos normal y tangencial en un plano
orientado seg´un θ est´an dados por
σ(θ) =
σx + σy
2
+
σx − σy
2
cos 2θ − τxy sin 2θ
τ(θ) =
σx − σy
2
sin 2θ + τxy cos 2θ
σx
σy
σx
σy
τxy
τxy
θ
σx
σy
τxy
σ(θ)
τ(θ)
θ
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6. Esfuerzos Combinados
Esfuerzo en un punto: c´alculo gr´afico
Las expresiones anal´ıticas pueden ser interpretadas a trav´es del C´ırculo de
Mohr, mediante el cual se pueden graficar todos los esfuerzos (σθ, τθ)
posibles en un punto en funci´on de θ.
Escribiendo las expresiones anal´ıticas de la siguiente forma:
σθ −
σx + σy
2
=
σx − σy
2
cos 2θ − τxy sin 2θ
τθ =
σx − σy
2
sin 2θ + τxy cos 2θ
Elevando al cuadrado ambas expresiones, sumando y simplificando se
obtiene
σθ −
σx + σy
2
2
+ τ2
θ =
σx − σy
2
2
+ τ2
xy
donde (σθ, τθ) son los esfuerzos para un determinado plano orientado
seg´un θ con respecto al estado de esfuerzos dado por (σx , σy , τxy ).
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7. Esfuerzos Combinados
Esfuerzo en un punto: c´alculo gr´afico
Reemplazando los t´erminos constantes por R y C se llega a
(σθ − C)2
+ τ2
θ = R2
Circulo de Mohr
σθ
τθ
2θC
R
A(σx , τxy )
B(σy , −τxy )
σ1σ2
τmax
τmax = R
σ1 = C + R
σ2 = C − R
A
σx
B
σy
σx
σy
τxy
τxy
donde C =
σx + σy
2
es el centro y R =
σx − σy
2
2
+ τ2
xy el radio.
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8. Esfuerzos Combinados
Ejemplo
En un cierto punto de un s´olido se obtiene el siguiente estado plano de
tensiones dado en la figura.
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9. Esfuerzos Combinados
Ejemplo
En un cierto punto de un s´olido se obtiene el siguiente estado plano de
tensiones dado en la figura.
À txy sin 2y
À 40 sin 60
Answer
y cos 2y
0 cos 60
Answer
the calculated stress components
ctions on the positive x0
- and y0
-
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10. Esfuerzos Combinados
Aplicaci´on C´ırculo de Mohr: Cargas combinadas
El C´ırculo de Mohr se usa principalmente para el dise˜no de piezas
sometidas a cargas combinadas. El procedimiento general para el an´alisis
es como sigue:
Calcular el estado de tensiones en un punto cr´ıtico (de mayor
esfuerzo).
Dibujar el C´ırculo de Mohr para el estado de tensiones del punto
cr´ıtico.
Usar el c´ırculo de Mohr para calcular los esfuerzos relevante en el
punto cr´ıtico, como los esfuerzos normales principales y el m´aximo
esfuerzo de cortante.
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11. Esfuerzos Combinados
Aplicaci´on C´ırculo de Mohr: Ejes
Sample Problem 8.9
The radius of the 15-in.-long bar in
mal stress in the bar at (1) point A;
Solution
Preliminary Calculations
The internal force system acting on
in Fig. (b). It consists of the torque T
15ð30Þ ¼ 450 lb Á in. (acting abou
V ¼ P ¼ 30 lb.
The cross-sectional properties
I ¼
pr4
¼
pð3=8Þ
Calcular el m´aximo esfuerzo normal en el
punto A y B de la figura. La longitud de la
barra es de 15 in y su radio de 3/8 in.
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12. C15153
Resistencia de Materiales
Esfuerzos Combinados
Roberto Ortega, Ph.D
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