Este documento resume la transformación de coordenadas entre coordenadas polares y rectangulares. Explica cómo convertir puntos específicos entre los dos sistemas de coordenadas y resuelve ecuaciones que involucran ambos tipos de coordenadas. También calcula el área bajo una curva dada en coordenadas polares.

1. 1) Transformar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a Coordenadas polares:
a. (2,8)
Solución: (2,8)=(x,y)=>(r,θ)
r=√22 + 82 => √68
8
2
tang(θ)=
= 4 => 휃 = 푡푎푛푔−1(4)=> 휃 = 75° => 휃 =
5휋
12
. Así (r,θ)=(√68,
5휋
12
)
b. (-5,-6)
Solución:(-5,-6))=(x,y)=>(r,θ)
r=√52 + 62 => √61
6
5
tang(θ)=
= 1.2 => 휃 = 푡푎푛푔−1(1.2)=> 휃 = 50°=> 휃 =
5휋
18
nota: por regla de tres nos da esto
휋 − − − 180°
x − − − 50°
así(r,θ)=(√61,
5휋
18
)
c) (√ퟐ,
1
5
)=(x,y)=>(r,θ)
2
+
solución:r=√√2
2
=> √51
1
5
5
0.2
√2
tang(θ)=
= 0.14 => 휃 = 푡푎푛푔−1(0.14)=> 휃 = 8°=> 휃 =
2휋
45
nota: por regla de tres nos da esto
휋 − − − 180°
x − − − 8°
así(r,θ)=(√51
5
,
2휋
45
)

2. 3. Transformar los siguientes puntos de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.
흅
ퟒ
a.) (2,
)=(r, θ) =>(x,y)
Solución:
X=2cos 휃 =>X=2cos 휋=-2 y para Y=2sin 휃=> Y=2sin 휋=0; así (x,y)=(-2;0)
ퟑ흅
ퟐ
b) (-8;
) =(r, θ) =>(x,y)
Solución:
X=-8cos 휃 =>X=-8cos
3휋
2
=0 y para Y=-8sin 휃=> Y=-8sin
3휋
2
= -8; así (x,y)=(0;-8)
c)(
−ퟏ
ퟐ
;
ퟓ흅
ퟒ
) =(r, θ) =>(x,y)
Solución:
X=-
1
2
cos 휃 =>X=-
1
2
cos
5휋
4
=0.25√2
2
ypara Y=-
1
2
sin 휃=>Y=-
1
2
sin
5휋
4
=0.25√2
2
;así(x,y)=(0.25√2
2
;0.25√2
2
)
5. Transformar la siguiente ecuación de variables polares a rectangulares: 퐫 = ퟐ퐜퐨s(ퟑ훉)
Solución: sabemos que por las propiedades de coordenadas polares tenemos
X=rcos 휃 ; y: rsin 휃 ; r: √푥2 + 푦2; tan 휃 =
푦
푥
; así:
퐫 = ퟐ퐜퐨s(ퟑ훉)=> √푥2 + 푦2 = 2
푥
√푥2+푦2
6) Transformar la siguiente ecuación de variables rectangulares a variables polares:
푥2 - 2푦2= 4(푥 + 푦)2
Solución: sabemos que por las propiedades de coordenadas polares tenemos
X=rcos 휃 ; y: rsin 휃 ; r: √푥2 + 푦2; tan 휃 =
푦
푥
; así:
푥2 - 2푦2= 4(푥 + 푦)2
풓ퟐ . 퐜퐨퐬 휽ퟐ-2풓ퟐ 퐬퐢퐧 휽ퟐ=4r
풓ퟐ (퐜퐨퐬 휽ퟐ-2퐬퐢퐧 휽ퟐ )=4r
풓̇=
ퟒ
((퐜퐨퐬 휽ퟐ− ퟐ 퐬퐢퐧 휽ퟐ)

3. 2) calcula el área que encierra la curva de ecuación polar 풓̇= 1+퐬퐢퐧 휽
Solución: Estudiemos la simetría de cada eje
a)Respecto al eje polar (r, θ)→ (r,- θ)
r =1+sin(−휃) =>r=1-sin 휃 No es simétrica al eje polar
b) Respecto de
흅
ퟐ
(r, θ)→(r,휋 − 휃)
r= 1+(sin 휋 cos 휃 - cos 휋 sin 휃)= 1+sin 휃 Es simétrica respecto al eje
흅
ퟐ
Como es simétrica respecto a eje
휋
2
integramos de 0 a
휋
2
por formula de área:
A=
1
2
∫ (퐹휃) 훽 2
훼 d휃
휋
2
0 휃) 2d휃=∫ (1 + 2
A=∫ (1 + 푠푒푛
휋
2
0 sin 휃 + sin 휃 2)d휃
휋
2
0 +2∫ sin 휃
A=∫ d휃
휋
2
0 d휃 + ∫ sin 휃2
휋
2
0 d휃
휋
2
0 +2∫ sin 휃
A=∫ d휃
휋
2
0 d휃 + ∫ (
1− cos2휃)
2
휋
2
0
.
.
)d휃
A=휃 |
휋
2
0
+2(cos2휃) |
휋
2
0
+
1
2
|
휋
2
0
-
1
4
cos 2휃 |
휋
2
0
A=
휋−6
3