1) El documento presenta la solución a 10 problemas de matemáticas relacionados con cálculo vectorial, teoremas como Stokes y Green, límites y derivadas parciales. 2) Los problemas incluyen demostraciones geométricas e integrales de superficie y línea. 3) El documento proporciona detalles completos sobre cada paso de los cálculos para llegar a la solución de cada problema.

1. SOLUCIONARIO EXAMEN SUSTITUTORIO
MATEMATICA III
MOLEROS INGUNZA CRISTINA NICOLE
July 23, 2016
Problema 1:
Demuestre usando la notacion de indices la siguiente identidad.
¯V · ¯V =
2
¯V cot ¯V + × ¯V × ¯V
Solucion
· (F · G) = δi(FjGj) = FjδiGj + Gjδi + Fj
FiδiGj − FjδiGi + Fjδj + GjδiFj − GjδjFi + GjδjFi
δikδjlFjδkGi − δilδjkFjδkGi + FjδjGi + δikδjlGjδkFi − δilδjkGjδkFi + GjδjFi
= εmijεmklFjδkGi + FjδjGi + εmijεmklGjδkF1 + GjδjFi
= εmijFj( × G)m + (F · ) + εmijGj( × F)m + (G · )F
= εijmFj( × G)m + (F · ) + εijmGj( × F)m + (G · )F
= F × ( × G) + G × ( × F) + (F · )G + (G · )F
F = G = V
(V · V) = 2V × ( × V) + 2(V · )V
(V · V) = −2( × V) × V + 2(V · )V
2
¯V cot ¯V + × ¯V × ¯V = ¯V · ¯V
1

2. Problema 2:
Use el teorema de STOKES para calcular la integral de linea ζ
(y2
− z2
)dx + (z2
−
x2
)dy + (x2
− y2
)dz, siendo ζ la curva de interseccion de la superficie del hexaedro
0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ a ; 0 ≤ z ≤ a y el plano x+y+z = 3a
2 , recorrido en sentido positivo.
Solucion
ζ
¯F.d¯r =
s
( ¯ x ¯F).d¯s
¯F = [(y2
− z2
); (z2
− x2
); (x2
− y2
)]
× F =
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
x2
− z2
z2
− x2
x2
− y2
= [(−2y − 2z); (−2x − 2z); (−2x − 2y)]
r1 = (0;
a
2
; −
a
2
)
r2 = (
a
2
; 0; −
a
2
)
2

3. r1xr2 =
ˆi ˆj ˆk
0 a/2 -a/2
a/2 0 -a/2
= (−
a2
4
; −
a2
4
; −
a2
4
) = −
a2
4
(1; 1; 1)
D
4(x + y + z)dA = −4(
3a
2
)3(
a2
8
) =
9a3
4
Problema 3:
Use el teorema de Green para hallar el area de un lazo de la rosa de cuatro hojas
r = 3 sin 2θ
Solucion:
−→
ζ
(Pdx + Qdy) =
D
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dA −→ P = 0; Q = 0
A =
ζ
xdy −→ x = 3 sin 2θ cos θ
x = 3 sin 2θ sin θ
dy = (6 cos(2θ) sin (θ) + 3 sin(2θ) cos (θ))dθ
A =
π
2
0
(3 sin 2θ cos θ)(6 cos(2θ) sin (θ) + 3 sin(2θ) cos (θ))dθ
3

4. A =
π
2
0
9 sin2
2θ cos 2θ +
9
2
sin2
2θ(cos 2θ + 1) =
9π
8
Problema 4:
Evalue la integral de superficie S
( × ¯F) · ¯dS , siendo S la superficie
x2
+ y2
+ z2
= 16 , x ≥ 0
¯F = (x2
+ y − 4; 3xy; 2xz + z2
)
Solucion:
× F =
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
x2
+ y − 4 3xy 2xz + z2
= (0, −2z, 3y − 1)
→ r = (x, y, 16 − x2 − y2)
rx = (1, 0,
−x
16 − x2 − y2
)
4

5. ry = (0, 1,
−y
16 − x2 − y2
)
rx × ry =
i j k
1 0 −x√
16−x2−y2
0 1 −y
√
16−x2−y2
= (
x
16 − x2 − y2
,
y
16 − x2 − y2
, 1)
→
D
(−2y + 3y + 1)dA =
D
(y − 1)dA
=
π
0
4
0
(r sin (θ) + 1)rdrdθ =
128
3
− 8π
Problema 5:
Una masa M en el origen R3
ejerce una fuerza sobre una masa m localizada en
r = (x, y, z) con magnitud GmM
r2 y dirigida hacia el origen . Aqui G es la constante
gravitacional, que depende de las unidades de medicion y r = ||¯r|| = x2 + y2 + z2.
Si recordemos que −¯r
r es un vector unitario dirigido hacia hacia el origen , entonces
podemos escribir el campo de fuerzas como ¯F(x, y, z) = −GmM¯r
r3 .Demuestre que ¯F es
irrotacional y hallar un potencial escalar para ¯F.
Solucion:
¯F =
−GmM¯r
r3
× ¯F = −GmM ×
¯r
r3
× ¯F = −GmM × ¯rr−3
Sabemos
× (a ¯A) = a × A − A × U
= ¯r3 × ¯r − ¯r × r−3
= −¯r × (−3r−5
¯r)
5

6. = ¯r × r
× ¯F = 0
Problema 6:
Calcule el area de la superficie x2
− y2
= 1, donde x ≥ 0 , −1 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1
Solucion:
−→ A =
S
dS =
D
(
∂x
∂
)2 + (
∂x
∂x
)2 + (
∂x
∂z
)2dA
D
(
y2
y2 + 1
) + 1dydz
A =
−
11
1
0
(
2y2 + 1
y2 + 1
)dydz
= 2
1
0
(
2y2 + 1
y2 + 1
)dy = 2.1993
6

7. Problema 7:
Determine en caso exista
lim
(x,y,z)→ (1,1,1)
x + y + z − 3
2x + y + z − 4
Solucion
Para y = 1 ; z = 1
lim
x→ 1
x − 1
2x − 2
=
1
2
Para x = 1
lim
(y;z)→ (1;1)
y + z − 2
y + z − 2
= 1
∴ Dado que ambos resultados son diferentes, concluimos que el limite no existe.
Problema 8:
Determine, en caso que exista, una funcion armonica de la forma siguiente
u = φ(x2
+ y2
)
Solucion
u = φ(x2
+ y2
)
u = φ(t) → t(x;y) = x2
+ y2
∂u
∂x
=
∂u
∂t
.
∂t
∂x
∂2
u
∂x2
=
∂u
∂t
.2x
∂2
u
∂x2
=
∂2
u
∂t2
.4x2
+
∂u
∂t
.2
∂u
∂y
=
∂u
∂t
.
∂t
∂y
=
∂u
∂t
.2y
∂2
u
∂y2
=
∂2
u
∂t2
.4y2
+
∂u
∂t
.2
7

8. 0 = 4(x2
+ y2
)(
d2
u
dt2
) + 4
du
dt
0 = t(
d2
u
dt2
) +
du
dt
u = −t.
d
dt
(u )
−
dt
t
=
d(u )
u
→ u =
C1
t
u = C1ln|t| + C2
u = C1ln(x2
+ y2
) + C2
Problema 9:
Evalue la siguiente integral γ
iXidXi, donde γ : Xi = 1 , i =1,...,5.
Solucion
γ
iXidXi =
n=5
i=1
iXidXi =
n=5
i=1
iXi∆Xi
1X1dX1 + 2X2dX2 + 3X3dX3 + 4X4dX4 + 5X5dX5
Xi = 1
X1 = X2 = X3 = X4 = X5 = 1
1.
X2
1
2
+ 2.
X2
2
2
+ 3.
X2
3
2
+ 4.
X2
4
2
+ 5.
X2
5
2
1
2
(1 + 2 + 3 + 4 + 5) =
15
2
Problema 10:
En una superficie esferica cuyo radio mide a se inscribe un cilindro circular recto.
Calcule las dimensiones del cilindro de area total maxima.
8

9. Solucion
f(r; h; λ) = AT + λ f1
AT = 2πr2
+ 4πrh
f1 = h2
+ r2
− a2
= 0
fr(r; h; λ) = 4πr + 4πh + 2rλ = 0.......(I)
fh(r; h; λ) = 4πr + 2hλ.......(II)
λ =
−(4πr + 4πh)
2r
=
−(4πr)
2h
r2
− hr − h2
= 0
r =
h(
√
5 + 1)
2
Si
r2
+ h2
= a2
(
h(
√
5 + 1)
2
)2
+ h2
= a2
h = a
2
5 +
√
5
r = a
2
5 −
√
5
9