Este documento presenta varios métodos para calcular la ecuación general de una recta que pasa por dos puntos dados o que es paralela o perpendicular a otra recta dada. Se proporcionan ejemplos resueltos de calcular ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares usando los vectores normal y director.

1. Matemáticas Académicas 4ºESO
© Marta Martín Sierra 1
REPASEMOS LAS POSICIONES RELATIVAS
Forma
0 = 0
Forma
0 = 2
Forma
x = 1 , y = 2
Infinitas soluciones No tiene solución Solución única
Sistemas compatibles
indeterminados
Sistema incompatible
Sistema compatible
determinado
Dos rectas superpuestas Dos rectas paralelas
Dos rectas que se cortan en
un punto
ACTIVIDAD 6.
Escribe la ecuación general de la recta r que pasa por los puntos A (1, 2) y B (−2, − 3).
RESOLUCIÓN del apartado (a)
Mostramos varios métodos:
Método 1
Vector director AB =
(Extremo menos origen, extremo menos origen)
AB = (– 3, – 5)
Punto A (1, 2)
3
1
−
−x
=
5
2
−
−y
Ecuación continua
– 5 (x – 1) = – 3 (y – 2)
– 5x + 5 = – 3y + 6
– 5x + 3y – 1 = 0
Ecuación general de la recta
– 5x + 3y = 0
Método 2
Vector director AB =
(Extremo menos origen, extremo menos origen)
AB = (– 3, – 5)
Vector normal n
r
= (– 5, 3) = ( v2, – v1)
Ax + By + C = 0
Vector normal → (– 5, 3)
– 5x + 3y + C = 0
Para averiguar C utilizamos el punto A(1, 2)
– 5·1 + 3 · 2 + C = 0
– 5 + 6 + C = 0
C = – 1
– 5x + 3y – 1 = 0
Ecuación general de la recta
– 5x + 3y – 1 = 0
ACTIVIDAD 7
Sea r ≡ 2x + 3y + 1 = 0, calcula:
(a) La ecuación general de la recta “s” paralela a “r” que pasa por el punto A (−2, −1)

2. Geometría Analítica en el plano
TEMA 09 – GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO – RESUELTOS2
RESOLUCIÓN del apartado (a)
Sabemos el vector normal de r → n
r
r = (2, 3)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos s, pasa por el punto A (– 2, − 1) y tiene como
vector normal el mismo que r porque son paralelas.
Como el vector normal de r es (2, 3)
El vector normal de s es (2, 3)
s ≡ 2x + 3y + C = 0
Para averiguar C utilizamos el punto A (– 2, − 1)
2· (− 2) + 3 ·(− 1) + C = 0
− 4 – 3 + C = 0
C = 7
s ≡ 2x + 3y + 7 = 0
(b) La ecuación general de la recta "t" perpendicular a “r” que pasa por el punto B (− 2, 3).
RESOLUCIÓN del apartado (b)
Sabemos el vector normal de r → (2, 3)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos t, pasa por el punto B (− 2, 3)
El vector director de “t” coincide con el vector normal de r, porque son perpendiculares.
El vector director de t es (2, 3)
El vector normal de t es (– 3, 2)
t ≡ – 3x + 2y + C = 0
Para averiguar C utilizamos el punto B (− 2, 3)
– 3 · (− 2) + 2 · 3 + C = 0
6 + 6 + C = 0 → C = – 12
t ≡ – 3x + 2y – 12 = 0
ACTIVIDAD 8
Sea r ≡ − x + y + 3 = 0, calcula:
r ≡ 2x + 3y + 1 = 0
n
r
r = (2, 3)
A (– 2, – 1)
n
r
s = (2, 3)
s
r ≡ 2x + 3y + 1 = 0
n
r
r = (2, 3)
t
r
= (2, 3)
B (– 2, 3)
n
r
t = (- 3, 2)
t

3. Matemáticas Académicas 4ºESO
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(a) La ecuación general de la recta “s” paralela a “r” que pasa por el punto A (−2, 5).
RESOLUCIÓN del apartado (a)
Sabemos el vector normal de r → n
r
r = (–1, 1)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos s, pasa por el punto A (– 2, 5) y tiene como
vector normal el mismo que r porque son paralelas.
Como el vector normal de r es (– 1, 1)
El vector normal de s es (– 1, 1)
s ≡ – x + y + C = 0
Para averiguar C utilizamos el punto A (–2, 5)
– (– 2) + 5 + C = 0
2 + 5 + C = 0 → C = – 7
s ≡ – x + y – 7 = 0
(b) La ecuación general de la recta perpendicular a “r” que pasa por el punto B (5, −2)
RESOLUCIÓN del apartado (b)
r ≡ − x + y + 3 = 0
Sabemos el vector normal de “r” → n
r
r = (– 1, 1)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos t, pasa por el punto B (5, − 2) y su vector
director coincide con el vector normal de r, porque son perpendiculares.
Sabemos el vector normal de r → (– 1, 1)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos t, pasa por el punto B (5, − 2)
El vector director de “t” coincide con el vector normal de r, porque son perpendiculares.
El vector director de t es (– 1, 1)
El vector normal de t es (1, 1) → n
r
t = (1, 1)
t ≡ x + y + C = 0
Para averiguar C utilizamos el punto B (5, − 2)
r ≡ − x + y + 3 = 0
n
r
r = (– 1, 1)
r ≡ − x + y + 3 = 0
n
r
r = (– 1, 1)
t
r
= (– 1, 1)
B (5, – 2)
n
r
t = (1, 1)
t
r ≡ – x + y + 3 = 0
n
r
r = (– 1, 1)
A (– 2, 5)
n
r
s = (–1, 1)
s

4. Geometría Analítica en el plano
TEMA 09 – GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO – RESUELTOS4
5 − 2 + C = 0 → 3 + C = 0 → C = – 3
t ≡ x + y – 3 = 0
ACTIVIDAD 9
Sea r ≡ 5x – 3y + 1 = 0, calcula:
(a) La ecuación general de la recta “s” paralela a “r” que pasa por el punto A (2, 4)
RESOLUCIÓN del apartado (a)
Sabemos el vector normal de r → n
r
r = (5, – 3)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos s, pasa por el punto A (2, 4) y tiene como
vector normal el mismo que r porque son paralelas.
Como el vector normal de r es (5, – 3)
El vector normal de s es (5, – 3)
s ≡ 5x – 3y + C = 0
Para averiguar C utilizamos el punto A (2, 4)
5· 2 – 3 ·4 + C = 0
10 – 12 + C = 0
C = 2
s ≡ 5x – 3y + 2 = 0
RESOLUCIÓN del apartado (b)
(b) La ecuación general de la recta perpendicular a r que pasa por el punto B (7, 4).
Sabemos el vector normal de r → (5, – 3)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos t, pasa por el punto B (7, 4)
El vector director de “t” coincide con el vector normal de r, porque son perpendiculares.
El vector director de t es (5, – 3)
El vector normal de t es (3, 5)
t ≡ 3x + 5y + C = 0
r ≡ 5x - 3y + 1 = 0
n
r
r = (5, - 3)
A (2, 4)
n
r
s = (5, - 3)
s
r ≡ 5x - 3y + 1 = 0
n
r
r = (5, - 3)
t
r
= (5, - 3)
B (7, 4)
n
r
t = (3, 5)
t

5. Matemáticas Académicas 4ºESO
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Para averiguar C utilizamos el punto B (7, 4)
3 ·7 + 5 · 4 + C = 0
21 + 20 + C = 0 → C = – 41
t ≡ 3x – 5y – 41 = 0