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Centro Preuniversitario de la UNS S-14 Ingreso Directo
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-II
TRIGONOMETRÍA
“FUNCIÓNES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS”
Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez
I. F.T. SENO INVERSO O ARCO SENO
De la función: y = Senx
Tomamos el dominio:
El rango no cambia:
Luego para hallar la inversa; hacemos en:
Esto es: "y es un ángulo arco o número cuyo
Seno vale x".
Lo cual se denotará: y = ArcSenx
Finalmente, como el dominio y rango se
intercambian con el de la función original;
tendremos:
Cumpliéndose:
II. F.T. COSENO INVERSO O ARCO
COSENO
De la función: y = Cosx
Tomamos el dominio:
Sin cambiar el rango:
Luego para hallar la inversa procedemos igual
que en el caso del "ArcSenx"; obteniéndose:
Cumpliéndose:
III. F.T. TANGENTE INVERSO O ARCO
TANGENTE
De la función: y = Tanx,
Tomamos el dominio:
sin cambiar el rango :
Luego, para hallar la inversa de la función
Tangente, procedemos igual que en los casos
anteriores, obteniéndose:
Cumpliéndose:
IV.F.T. COTANGENTE INVERSA O ARCO
COTANGENTE



 
2
;
2
 1;1
Senyx
Senxy






 






 

2
;
2
:*Rang
1;1:*Dom
ArcSenx)x(*fy
1;1:Rang
2
;
2
:Dom
Senx)x(fy
*ff
ArcSen( x) = ArcSenx 
 ;0
 1;1
ArcCos( x) = ArcCosx 




:*Rang
1;1:*Dom
ArcCosx)x(*fy
1;1Rang :
:Dom
Cosx)x(fy
*ff
;0
;0
2
;
2

 ;

:*Rang
:*Dom
ArcTanx)x(*fy
Rang :
:Dom
Tanx)x(fy
*ff


;
2
;
2
 ;

2
;
2
ArcTan( x) = ArcTanx 
Semana Nº 14
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-14 Ingreso Directo
Cumpliéndose:
V. F.T. SECANTE INVERSA O ARCO
SECANTE
Cumpliéndose:
VI.F.T. COSECANTE INVERSA O ARCO
COSECANTE
PROBLEMA DE CLASE
1) Analizar la verdad (V) o falsedad (F)
de las siguientes proposiciones:
I.
II.
III.
A) FFF B) FVV C) VFF
D) VFV E) VVV
2) Si:
¿Qué alternativa es incorrecta?
A) es creciente para x < 0
B) es creciente para 0 < x < 1
C)
D) es decreciente para
E) es creciente para
3) Evaluar:

:*Rang
:*Dom
ArcCotx)x(*fy
Rang :
:Dom
Cotx)x(fy
*ff
 ;
 ;
;0
;0
ArcCot( x) = ArcCotx 

:*Rang
:*Dom
ArcSecx)x(*fy
Rang :
:Dom
Secx)x(fy
*ff







2
;0






2
;0 ;11;
 ;11;
ArcSec( x) = ArcSecx 

:*Rang
:*Dom
ArcCscx)x(*fy
Rang :
:Dom
Cscx)x(fy
*ff
}0{
2
;
2



 

}0{
2
;
2



    ;11;
   ;11;
1|x|para2/xarccosarcsenx 
Rxparax)senx(arcsen 
1x0paraxarccosarcsenx 
xarccosarcsenxf )x(

)x(
f
)x(
f







 

16
;
2
fRan
22
)x(
)x(
f 1x
2
2

)x(
f
2
2
x0 

















13
5
arccos
2
1
4
sen13M







 

32
16
arccos
3
2
arccosN
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-14 Ingreso Directo
A) B) C)
D) E)
4) Resolver:
A) B) C) 1
D) 2 E)
5) Reducir:
A) B)
C)
D) E)
6) Expresar "E" en términos de "W".
A)
B)
C)
D) E)
7) Indicar Verdadero (V) o falso (F)
I. Si:
II. Si:
III. Si: el período
de g(x) es la mitad de f(x).
A) VVV B) VFV C)VFF D) FFF E)VVF
8) Indicar verdadero (V) o falso (F):
I. La función: es
creciente en:
II. El producto del período y amplitud
de la función: 𝑦 = 𝐴𝐶𝑜𝑠𝐵𝑥 ± 2𝜋 es:
III. La función:
es par en:
A) VVF B) VFV C) FFV D) VVV E) FVV
9) Hallar el rango de:
A) B)
C) D) E)
10) Señale el rango de la función:
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3. 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑥 −
𝜋
4
A) [−
𝜋
4
,
11𝜋
4
] B) [−
3𝜋
4
,
7𝜋
4
] C) [−
𝜋
4
,
9𝜋
4
]
D) [−
𝜋
4
,
5𝜋
4
] E) [
3𝜋
4
,
11𝜋
4
]
11) Sea “f” la función definida por:






 1
2
arccos)(
x
xf
El dominio de “f” es:
a) 2;3 b)  0;2 c)  1;3
d)  0;4 e)  1;1
12) Del gráfico mostrado hallar el área del
4
;
2
3 
3
;
2
2 
6
;
2
2 
6
;
2
3 
6
;
2
1 
2
3xarctgx2arcsen


122  12 
22
  
osmintér"n"
....
13
1
arctg
7
1
arctg
3
1
arctgQ 
)1n(arctg 






1n
n
arctg
)1nn(arctg 2






 
n
1n
arctg 





 2n
n
arctg
1 1E Sen(Sen W Cos 2W) ; 1 W 0     
2 2 42W 1 5W W  
2 2 42W 1 5W 4W  
2 2 4W 1 4W 5W  
2 42W 1 5W 4W   2 22W 1 5W 4W  
   y Cosx; DF:R /2 RF:[ 1;1] 0     
F:Sen N F*: ArcSenN;    
N [ 1;1], [ /2, /2]    
f(x) Tgx; g(x) Tgx 
2
f(x) 2x Sen x
2 4
 
   
 
x 1;2  
f(x) ArcCos( x)
2

  
x 1.
F(x) ArcSen( x) ArcCos( x)   
,
2 2
 
 ,
2 2
  
 
 
,
2 2
 
 

,
4 4
  
 
 
,
4 4
 

Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-14 Ingreso Directo
triángulo PQR, si las dos curvas
pertenecen a la función arcoseno.
A) B)
C) D) E)
13) ¿Cuál de las siguientes desigualdades
representa el área de la región
sombreada ?
A) B)
C) D)
E)
14) Determinar el dominio de la siguiente
función:
𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛−1(𝑥2
− 1) + 𝐶𝑜𝑠−1
𝑥 + 𝑆𝑒𝑐−1
𝑥
a) [−1; 1] b) [−√2; √2⟩ c) {−√2; √2}
d) {−1; 1} e) 𝜙
15) El dominio de la función Senx, para
que exista la función inversa
correspondiente, debe ser:
a)−
𝜋
2
< 𝑥 <
𝜋
2
b) 0 < 𝑥 < 𝜋
c) 0 < 𝑥 <
3𝜋
2
d) −𝜋 < 𝑥 < 0 e) 0 < 𝑥 < 2𝜋
16) Dada la función f, tal que:
𝑓(𝑥) = 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑥. 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐𝑥,
El valor máximo de f es:
A)
𝜋2
16
B)
𝜋2
8
C)
𝜋2
4
D)
𝜋2
2
E) 𝜋2
17) Dada la función
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛(2𝑥 − 1) + 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(2𝑥 + 1)
halla Dom(f)URan(f)
𝑎){0; 𝜋} b) {1; −
𝜋
2
} c) {−1; −
𝜋
2
}
d) {0; −
𝜋
2
} e) 𝜑
18) Halle el dominio de la función:
𝑓(𝑥) = 5𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛 (
𝑥 − 1
3
) + 7𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠 (
2𝑥 + 1
5
)
a) [−1,1] b) [−2,2] c) 〈0,2〉
d) [−1,0[ e) 〈0,1〉
19) Determinar el dominio de la función f
definida por:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛 (
2|𝑥|+1
|𝑥|+2
) y dar como
respuesta el menor valor entero de x
a) -3 b)-1 c) 0 d) 1 e) 2
20) El dominio de la función
trigonométrica inversa
𝑓(𝑥) = 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛 (
𝑥−1
2
) es:
A) [−2,3]B) [−3,3] C) [−1,1]
D) [−3,3] E) [−1,3]
21) Al simplificar:
𝐶𝑜𝑠2(𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑥) − 𝑆𝑒𝑛2(𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑥)
se tiene:
a) 1 b) 2 c) 0 d) – 1 e) 3
Y
X-1
1 P
Q
1
R
1 Sen1
2 2 2


5 /12
/3
1
4 3


/4
(Y 0)
Y
X-2
f(x)
Y ArcSen(x 1)  Y ArcSen(x 1)  
Y 2ArcSen(x 1)   Y ArcSen(x 1)  
X SenY 1 

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Semana 14 funciones inversas

  • 1. 1 Centro Preuniversitario de la UNS S-14 Ingreso Directo UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA CEPUNS Ciclo 2018-II TRIGONOMETRÍA “FUNCIÓNES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS” Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez I. F.T. SENO INVERSO O ARCO SENO De la función: y = Senx Tomamos el dominio: El rango no cambia: Luego para hallar la inversa; hacemos en: Esto es: "y es un ángulo arco o número cuyo Seno vale x". Lo cual se denotará: y = ArcSenx Finalmente, como el dominio y rango se intercambian con el de la función original; tendremos: Cumpliéndose: II. F.T. COSENO INVERSO O ARCO COSENO De la función: y = Cosx Tomamos el dominio: Sin cambiar el rango: Luego para hallar la inversa procedemos igual que en el caso del "ArcSenx"; obteniéndose: Cumpliéndose: III. F.T. TANGENTE INVERSO O ARCO TANGENTE De la función: y = Tanx, Tomamos el dominio: sin cambiar el rango : Luego, para hallar la inversa de la función Tangente, procedemos igual que en los casos anteriores, obteniéndose: Cumpliéndose: IV.F.T. COTANGENTE INVERSA O ARCO COTANGENTE      2 ; 2  1;1 Senyx Senxy                  2 ; 2 :*Rang 1;1:*Dom ArcSenx)x(*fy 1;1:Rang 2 ; 2 :Dom Senx)x(fy *ff ArcSen( x) = ArcSenx   ;0  1;1 ArcCos( x) = ArcCosx      :*Rang 1;1:*Dom ArcCosx)x(*fy 1;1Rang : :Dom Cosx)x(fy *ff ;0 ;0 2 ; 2   ;  :*Rang :*Dom ArcTanx)x(*fy Rang : :Dom Tanx)x(fy *ff   ; 2 ; 2  ;  2 ; 2 ArcTan( x) = ArcTanx  Semana Nº 14
  • 2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. 2 Centro Preuniversitario de la UNS S-14 Ingreso Directo Cumpliéndose: V. F.T. SECANTE INVERSA O ARCO SECANTE Cumpliéndose: VI.F.T. COSECANTE INVERSA O ARCO COSECANTE PROBLEMA DE CLASE 1) Analizar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. II. III. A) FFF B) FVV C) VFF D) VFV E) VVV 2) Si: ¿Qué alternativa es incorrecta? A) es creciente para x < 0 B) es creciente para 0 < x < 1 C) D) es decreciente para E) es creciente para 3) Evaluar:  :*Rang :*Dom ArcCotx)x(*fy Rang : :Dom Cotx)x(fy *ff  ;  ; ;0 ;0 ArcCot( x) = ArcCotx   :*Rang :*Dom ArcSecx)x(*fy Rang : :Dom Secx)x(fy *ff        2 ;0       2 ;0 ;11;  ;11; ArcSec( x) = ArcSecx   :*Rang :*Dom ArcCscx)x(*fy Rang : :Dom Cscx)x(fy *ff }0{ 2 ; 2       }0{ 2 ; 2        ;11;    ;11; 1|x|para2/xarccosarcsenx  Rxparax)senx(arcsen  1x0paraxarccosarcsenx  xarccosarcsenxf )x(  )x( f )x( f           16 ; 2 fRan 22 )x( )x( f 1x 2 2  )x( f 2 2 x0                   13 5 arccos 2 1 4 sen13M           32 16 arccos 3 2 arccosN
  • 3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. 3 Centro Preuniversitario de la UNS S-14 Ingreso Directo A) B) C) D) E) 4) Resolver: A) B) C) 1 D) 2 E) 5) Reducir: A) B) C) D) E) 6) Expresar "E" en términos de "W". A) B) C) D) E) 7) Indicar Verdadero (V) o falso (F) I. Si: II. Si: III. Si: el período de g(x) es la mitad de f(x). A) VVV B) VFV C)VFF D) FFF E)VVF 8) Indicar verdadero (V) o falso (F): I. La función: es creciente en: II. El producto del período y amplitud de la función: 𝑦 = 𝐴𝐶𝑜𝑠𝐵𝑥 ± 2𝜋 es: III. La función: es par en: A) VVF B) VFV C) FFV D) VVV E) FVV 9) Hallar el rango de: A) B) C) D) E) 10) Señale el rango de la función: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3. 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑥 − 𝜋 4 A) [− 𝜋 4 , 11𝜋 4 ] B) [− 3𝜋 4 , 7𝜋 4 ] C) [− 𝜋 4 , 9𝜋 4 ] D) [− 𝜋 4 , 5𝜋 4 ] E) [ 3𝜋 4 , 11𝜋 4 ] 11) Sea “f” la función definida por:        1 2 arccos)( x xf El dominio de “f” es: a) 2;3 b)  0;2 c)  1;3 d)  0;4 e)  1;1 12) Del gráfico mostrado hallar el área del 4 ; 2 3  3 ; 2 2  6 ; 2 2  6 ; 2 3  6 ; 2 1  2 3xarctgx2arcsen   122  12  22    osmintér"n" .... 13 1 arctg 7 1 arctg 3 1 arctgQ  )1n(arctg        1n n arctg )1nn(arctg 2         n 1n arctg        2n n arctg 1 1E Sen(Sen W Cos 2W) ; 1 W 0      2 2 42W 1 5W W   2 2 42W 1 5W 4W   2 2 4W 1 4W 5W   2 42W 1 5W 4W   2 22W 1 5W 4W      y Cosx; DF:R /2 RF:[ 1;1] 0      F:Sen N F*: ArcSenN;     N [ 1;1], [ /2, /2]     f(x) Tgx; g(x) Tgx  2 f(x) 2x Sen x 2 4         x 1;2   f(x) ArcCos( x) 2     x 1. F(x) ArcSen( x) ArcCos( x)    , 2 2    , 2 2        , 2 2      , 4 4        , 4 4   
  • 4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. 4 Centro Preuniversitario de la UNS S-14 Ingreso Directo triángulo PQR, si las dos curvas pertenecen a la función arcoseno. A) B) C) D) E) 13) ¿Cuál de las siguientes desigualdades representa el área de la región sombreada ? A) B) C) D) E) 14) Determinar el dominio de la siguiente función: 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛−1(𝑥2 − 1) + 𝐶𝑜𝑠−1 𝑥 + 𝑆𝑒𝑐−1 𝑥 a) [−1; 1] b) [−√2; √2⟩ c) {−√2; √2} d) {−1; 1} e) 𝜙 15) El dominio de la función Senx, para que exista la función inversa correspondiente, debe ser: a)− 𝜋 2 < 𝑥 < 𝜋 2 b) 0 < 𝑥 < 𝜋 c) 0 < 𝑥 < 3𝜋 2 d) −𝜋 < 𝑥 < 0 e) 0 < 𝑥 < 2𝜋 16) Dada la función f, tal que: 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑥. 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐𝑥, El valor máximo de f es: A) 𝜋2 16 B) 𝜋2 8 C) 𝜋2 4 D) 𝜋2 2 E) 𝜋2 17) Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛(2𝑥 − 1) + 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠(2𝑥 + 1) halla Dom(f)URan(f) 𝑎){0; 𝜋} b) {1; − 𝜋 2 } c) {−1; − 𝜋 2 } d) {0; − 𝜋 2 } e) 𝜑 18) Halle el dominio de la función: 𝑓(𝑥) = 5𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛 ( 𝑥 − 1 3 ) + 7𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠 ( 2𝑥 + 1 5 ) a) [−1,1] b) [−2,2] c) 〈0,2〉 d) [−1,0[ e) 〈0,1〉 19) Determinar el dominio de la función f definida por: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛 ( 2|𝑥|+1 |𝑥|+2 ) y dar como respuesta el menor valor entero de x a) -3 b)-1 c) 0 d) 1 e) 2 20) El dominio de la función trigonométrica inversa 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛 ( 𝑥−1 2 ) es: A) [−2,3]B) [−3,3] C) [−1,1] D) [−3,3] E) [−1,3] 21) Al simplificar: 𝐶𝑜𝑠2(𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑥) − 𝑆𝑒𝑛2(𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑥) se tiene: a) 1 b) 2 c) 0 d) – 1 e) 3 Y X-1 1 P Q 1 R 1 Sen1 2 2 2   5 /12 /3 1 4 3   /4 (Y 0) Y X-2 f(x) Y ArcSen(x 1)  Y ArcSen(x 1)   Y 2ArcSen(x 1)   Y ArcSen(x 1)   X SenY 1 